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Ca´lculo 2 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 4 Temas abordados : Teste da Convergeˆncia Absoluta; Se´ries de poteˆncias: Raio de con- vergeˆncia e Intervalo de convergeˆncia 1) Estude a convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo. (a) ∞∑ n=1 (−1)n3n− 1 2n+ 1 (b) ∞∑ n=1 (−1)n+1 1 4n2 + 1 (c) ∞∑ n=2 (−1)n n ln(n) (d) ∞∑ n=1 (−1)n √ n 1 + 2 √ n (e) ∞∑ n=1 (−1)n−1 ln(n) n (f) ∞∑ n=1 (−1)n cos(npi) n3 2) Determine se cada uma das se´ries abaixo e´ convergente ou divergente. (a) ∞∑ n=1 (−1)n e 1 n n3 (b) ∞∑ n=1 (−1)n+1 3 2n (c) ∞∑ n=1 (−1)n+1 1 4 √ n (d) ∞∑ n=1 nn 31+3n 3) Determine o raio e o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo. (a) ∞∑ n=0 (2x)n (b) ∞∑ n=0 (x+ 5)n (c) ∞∑ n=0 (−1)n(4x+ 1)n (d) ∞∑ n=1 (3x− 2)n n (e) ∞∑ n=1 (x− 1)n√ n (f) ∞∑ n=1 xn n √ n3n 4) Determine o raio de convergeˆncia e o valor da soma da se´rie, em func¸a˜o de x, para a se´rie ∞∑ n=1 (x+ 1)n 9n . Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 1 de 2 RESPOSTAS 1) (a) ∑∞ n=1(−1)n 3n−12n+1 diverge (termo geral na˜o vai para zero) (b) ∑∞ n=1 (−1)n+1 4n2+1 converge (Teste da Se´rie Alternada) (c) ∑∞ n=2(−1)n nln(n) diverge (termo geral na˜o vai para zero) (d) ∑∞ n=1(−1)n √ n 1+2 √ n diverge (termo geral na˜o vai para zero) (e) ∑∞ n=1(−1)n−1 ln(n)n converge (Teste da Se´rie Alteranada) (f) ∑∞ n=1(−1)n cos(npi)n3 converge (Teste da Comparac¸a˜o fornece convergeˆncia absoluta) 2) (a) ∑∞ n=1(−1)n e 1 n n3 , convergente (Teste da Comparac¸a˜o) (b) ∑∞ n=1(−1)n+1 32n , convergente (Teste da Comparac¸a˜o) (c) ∑∞ n=1(−1)n+1 14√n , convergente (Teste da Se´rie Alternada) (d) ∑∞ n=1 nn 31+3n , divergente (Teste da Raiz) 3) Vamos usar a seguinte notac¸a˜o nas respostas abaixo: R: raio de convergeˆncia IC: intervalo de convergeˆncia (a) R = 1 2 ; IC: −1 2 < x < 1 2 ; (b) R = 1; IC: −6 < x < −4; (c) R = 1 4 ; IC: −1 2 < x < 0; (d) R = 1 3 ; IC: 1 3 ≤ x < 1; (e) R = 1; IC: 0 ≤ x < 2; (f) R = 3; IC: −3 ≤ x ≤ 3. 4) O raio de convergeˆncia e´ R = 9 e a soma e´ S(x) = x+ 1 −x+ 10 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 4 - Pa´gina 2 de 2
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