aula fetrans 10

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TEMPERATURA, CALOR E AS LEIS DA TERMODINAˆMICA
1. Ma´quinas Te´rmicas e a Segunda Lei da Termodinaˆmica
• Como vimos, a Primeira Lei e´ um princı´pio de conservac¸a˜o de ener-
gia, o qual estabelece que a energia interna de um sistema pode
variar como resultado da transfereˆncia de energia por trabalho ou por
calor (ou pelos dois).
• A Primeira Lei na˜o faz distinc¸a˜o entre a energia transferida por calor
ou por trabalho, ambas podem alterar a energia interna do sistema.
No entanto, uma importante distinc¸a˜o entres as duas formas de ener-
gia na˜o fica evidente na Primeira Lei.
• Uma manifestac¸a˜o dessa distinc¸a˜o e´ a seguinte: e´ impossı´vel con-
verter a energia interna de um sistema completamente em energia
1
mecaˆnica ao considerarmos o sistema ao longo de um ciclo termodi-
naˆmico, como os que ocorrem nas ma´quinas te´rmicas.
• Apesar da sua importaˆncia, a Primeira Lei na˜o diferencia processos
que ocorrem espontaneamente daqueles que na˜o ocorrem. Veremos
que a Segunda Lei da Termodinaˆmica trata exatamente dos proces-
sos de conversa˜o e transfereˆncia de energia que podem ocorrer na
natureza (e os que na˜o podem).
• Exemplos de processos que ocorrem espontaneamente na natureza:
– Quando dois objetos a temperaturas diferentes sa˜o colocados em
contato te´rmico um com o outro, a energia (calor) sempre flui do
mais quente para o mais frio, nunca ao contra´rio;
– Uma bola de borracha, ao ser solta de uma determinada altura,
“quica” va´rias vezes no cha˜o e eventualmente atinge o repouso,
mas uma bola em repouso no cha˜o nunca comec¸a a saltar por si
so´.
Os processos mencionados acima sa˜o irreversı´veis, i.e., sa˜o proces-
sos que ocorrem naturalmente apenas em uma direc¸a˜o. Se um pro-
cesso irreversı´vel pudesse ser revertido dirı´amos que ele esta´ violan-
do a Segunda Lei da Termodinaˆmica.
• Do ponto de vista da engenharia, a mais importante implicac¸a˜o da Se-
gunda Lei e´ a eficieˆncia limitada das ma´quinas te´rmicas. A Segunda
Lei estabelece que uma ma´quina capaz de continuamente converter
energia interna completamente em outras formas de energia durante
um processo cı´clico na˜o pode ser construı´da.
• Uma ma´quina te´rmica e´ um dispositivo que converte energia interna
em energia mecaˆnica.
• O funcionamento de uma ma´quina te´rmica se baseia na ideia de al-
guma substaˆncia passando por um processo cı´clico durante o qual (1)
a substaˆncia absorve calor de um reservato´rio mantido a alta tempe-
ratura, (2) trabalho e´ realizado pela ma´quina (e pela substaˆncia), e (3)
calor e´ transferido da ma´quina para um reservato´rio mantido a baixa
temperatura (figura abaixo).
Como exemplo, considere o funcionamento de uma ma´quina a vapor,
como as antigas locomotivas, onde a substaˆncia que realiza trabalho
e´ a a´gua. A a´gua em uma caldeira/boiler absorve energia do com-
bustı´vel que esta´ sendo “queimado” e evapora, com o vapor enta˜o
expandindo e realizando trabalho sobre um pista˜o. Ao resfriar o vapor
libera energia e condensa, com a a´gua enta˜o retornando ao boiler e o
ciclo reiniciando.
• No esquema acima, a ma´quina absorve uma quantidade de energia
QQ do reservato´rio quente, realiza trabalho W , e enta˜o libera uma
quantidade de energia QF para o reservato´rio frio. Como a ma´quina
funciona em ciclo, a substaˆncia (ou seja, o sistema) passa por um
processo cı´clico e enta˜o ∆Eint = 0, logo
W = Q = QQ +QF →W ≡ |QQ| − |QF |. (1)
• Como ja´ sabemos, o trabalho lı´quido realizado durante um processo
cı´clico e´ a a´rea envolvida pela curva que representa o processo no
diagrama pV .
• A eficieˆncia te´rmica ε de uma ma´quina te´rmica e´ definida como a
raza˜o entre o trabalho lı´quido realizado durante um ciclo e a energia
absorvida do reservato´rio quente durante o ciclo,
ε =
energia utilizada
energia adquirida
=
W
|QQ|
=
|QQ| − |QF |
|QQ|
= 1−|QF ||QQ|
. (2)
• Na pra´tica, todas as ma´quinas te´rmicas possuem ε < 1, i.e., eficieˆncia
menor que 100 %.
• De acordo com a equac¸a˜o (2), ε = 1 apenas se QF = 0, i.e., se toda
a energia ganha pela ma´quina na forma de calor (QQ) for convertida
em trabalho mecaˆnico (W ).
• Podemos enta˜o enunciar a Segunda Lei da seguinte forma,
Segunda Lei da Termodinaˆmica: e´ impossı´vel construir uma ma´quina
te´rmica que, operando em ciclo, absorva energia de um reservato´rio
e realize a mesma quantidade de trabalho mecaˆnico.
• De acordo com a Segunda Lei, e´ impossı´vel, durante a operac¸a˜o de
uma ma´quina te´rmica, termos W = QQ e QF = 0.
Exemplo 1: A figura abaixo mostra um ciclo reversı´vel a que e´ sub-
metido 1,00 mol de um ga´s monoatoˆmico ideal. O volume Vc =
8,00Vb. O processo bc e´ uma expansa˜o adiaba´tica, com pb = 10,0
atm e Vb = 1,00 × 10−3 m3. Para o ciclo, determine (a) a energia
fornecida ao ga´s em forma de calor, (b) a energia liberada pelo ga´s
em forma de calor, (c) o trabalho lı´quido realizado pelo ga´s e (d) a
eficieˆncia do ciclo. Para um ga´s ideal monoatoˆmico temos: CV =
3R
2 ,
Cp = 5R2 e γ =
Cp
CV
= 1,67.
Temos n = 1 mol e sabemos que o ga´s e´ ideal, o que significa que a
equac¸a˜o pV = nRT e´ va´lida ao longo do ciclo. Como o processo bc
e´ adiaba´tico, Qbc = 0 e portanto o ga´s so´ pode perder e/ou ganhar
energia por calor durante os processos ab e ca. Para o processo ab,
temos
Va = Vb e
pa
Ta
=
pb
Tb
.
Como durante esse processo a pressa˜o aumenta (pb > pa), teremos
um aumento de temperatura, logo Tb > Ta. Verificamos tambe´m que
o processo ab e´ isovolume´trico, logo ∆Eint,ab = Qab = nCV ∆T
e podemos concluir que o ga´s ganha energia em forma de calor, au-
mentando sua energia interna. Ja´ para o processo ca,
pa = pc e
Va
Ta
=
Vc
Tc
.
Como Vc > Va, temos Tc > Ta e o ga´s esta´ esfriando. Portanto,
durante esse processo isoba´rico, o ga´s perde energia por calor, com
Qca = nCp∆T . Precisamos enta˜o determinar as temperaturas nos
estados a, b e c.
Estado a: pa = pc =?; Va = Vb = 10−3 m3; Ta =?
Estado b: pb = 10 atm= 1,01× 106 Pa; Vb = 10−3 m3; Tb =?
Estado c: pc =?; Vc = 8Vb = 8× 10−3 m3; Tc =?
De acordo com as informac¸o˜es acima, e´ mais fa´cil calcularmos ini-
cialmente a temperatura no estado b. Temos enta˜o pbVb = nRTb,
logo
Tb =
pbVb
nR
=
(1,01× 106)(10−3)
(1)(8,315)
=
1,01× 103
8,315
= 1,21× 102,
logo Tb = 121 K.
Considerando o processo bc (adiaba´tico) para achar Tc: TbV
γ−1
b =
TcV
γ−1
c , logo
Tc = Tb
(
Vb
Vc
)γ−1
= (121)
(
Vb
8Vb
)0,67
= (121)(0,248) = 30,
logo Tc = 30 K.
Calculando agora Ta considerando o processo ca (isoba´rico): VaTa =
Vc
Tc
, logo
Ta = Tc
Va
Vc
= (30)
Vb
8Vb
= (30)(0,125) = 3,75,
i.e., Ta = 3,75 K.
Respondendo as letras (a), (b), (c) e (d):
(a) Qab = nCV ∆T ,
Qab = nCV (Tb − Ta) = (1)(1,5× 8,315)(121− 3,75) =
= (12,5)(117,3) = 1466 ≈ 1,47× 103J.
(b) Qca = nCp∆T ,
Qca = nCp(Ta − Tc) = (1)(2,5× 8,315)(3,75− 30) =
= (20,8)(−26,25) = −546 = −5,46× 102J.
(c) Para o ciclo, ∆Eint = 0 e portanto W = Q = Qab + Qca, que
e´ exatamente a expressa˜o para o trablaho lı´quido realizado por uma
ma´quina te´rmica durante um ciclo. Logo,
Wliq = Qab +Qca = 1466− 546 = 920 = 9,20× 102J.
(d) A eficieˆncia do ciclo e´ dada por
ε = 1− |QF ||QQ|
= 1− |Qca||Qab|
= 1− 546
1466
= 0,627,
i.e., a eficieˆncia do ciclo e´ de 62,7%.
2. Processos Reversı´veis e Irreversı´veis. Ma´quina de Carnot
• Nesta sec¸a˜o discutiremos uma ma´quina te´rmica teo´rica que e´ a mais
eficiente possı´vel. No entanto, para compreendermos sua natureza,
primeiramente precisamos definir o que sa˜o processos reversı´veis e
irreversı´veis.
• Em um processo reversı´vel, o sistema que sofre o processo pode ser
levado de volta ao seu estado inicial ao longo da mesma trajeto´ria
mostrada no diagrama pV , com cada ponto da trajeto´riarepresen-
tando um estado de equilı´brio.
• Um processo que na˜o satisfaz a`s condic¸o˜es acima e´ chamado de
irreversı´vel.
• Todos os processo naturais sa˜o, na verdade, irreversı´veis. Como
exemplo, vamos analisar a expansa˜o adiaba´tica livre de um ga´s e
mostrar que a mesma na˜o pode ser revertida (letra (b) da figura abaixo).
Figura: (a) Expansa˜o isote´rmica − processo (quase) reversı´vel;
(b) Expansa˜o adiaba´tica livre − processo irreversı´vel.
• Durante uma expansa˜o adiaba´tica livre, variac¸o˜es significativas da
pressa˜o ocorrem atrave´s de todo o ga´s. Portanto, na˜o ha´ um valor
bem definido para a pressa˜o atrave´s de todo o sistema em cada ins-
tante, e as condic¸o˜es intermedia´rias entre os estados inicial e final
na˜o caracterizam estados de equilı´brio. Na verdade, tal processo nem
sequer pode ser representado por uma trajeto´ria no diagrama pV , e
portanto e´ irreversı´vel.
• Apesar de todos os processos reais serem irreversı´veis, alguns sa˜o
quase reversı´veis. Se um processo real ocorre de maneira lenta,
de modo que o sistema esteja sempre muito pro´ximo do equilı´brio
termodinaˆmico em cada instante, enta˜o o processo pode ser tratado
como reversı´vel (letra (a) da figura acima).
• Os processos reais apresentam mecanismos dissipativos, como atrito
e turbuleˆncia, os quais convertem energia mecaˆnica em energia in-
terna. Por essa raza˜o todos os processos reais encontrados na na-
tureza sa˜o irreversı´veis.
• Em 1824 o engenheiro franceˆs Sadi Carnot descreveu uma ma´quina
teo´rica, hoje chamada de ma´quina de Carnot, que e´ de grande im-
portaˆncia pra´tica e teo´rica. Carnot mostrou que uma ma´quina te´rmica
operando em um ciclo ideal reversı´vel entre dois reservato´rios e´ a
ma´quina mais eficiente possı´vel.
• A ma´quina de Carnot opera no chamado de Ciclo de Carnot, e estabe-
lece um limite superior para a eficieˆncia de todas as outras ma´quinas.
• O teorema de Carnot estabelece o seguinte: nenhuma ma´quina te´rmi-
ca real operando entre dois reservato´rios de energia pode ser mais
eficiente que a ma´quina de Carnot operando entre os mesmos dois
reservato´rios.
• Para descrever o Ciclo de Carnot operando entre as temperaturas TF
e TQ, consideramos como substaˆncia de trabalho um ga´s ideal con-
tido em um cilindro com um pista˜o mo´vel acoplado em uma das ex-
tremidades. As paredes do cilindro e do pista˜o sa˜o de material na˜o
condutor.
• A figura abaixo mostra as 4 etapas do Ciclo de Carnot, o qual consiste
em 2 processos adiaba´ticos e 2 isote´rmicos, todos reversı´veis.
Diagrama pV para o Ciclo de Carnot.
• O trabalho lı´quido realizado durante um ciclo e´ igual a` a´rea envolvida
pela curva 1 − 2 − 3 − 4 − 1 na figura acima, mas tambe´m e´ igual
a` energia lı´quida transferida para o sistema na forma de calor, W =
|QQ| − |QF |. Assim, a eficieˆncia da ma´quina de Carnot tambe´m e´
dada pela equac¸a˜o (2).
• No entanto, e´ possı´vel mostra que, para o Ciclo de Carnot
|QF |
|QQ|
=
TF
TQ
, (3)
e a equac¸a˜o (2) torna-se
εC = 1−
TF
TQ
. (4)
O resultado acima indica que todas as ma´quinas de Carnot operando
entre as mesmas duas temperaturas teˆm a mesma eficieˆncia.
Exemplo 2: Um ma´quina de Carnot opera entre as temperaturas TQ =
850 K e TF = 300 K. A ma´quina realiza 1200 J de trabalho em cada
ciclo, que leva 0,25 s. (a) Qual e´ a eficieˆncia da ma´quina? (b) Qual e´
a poteˆncia me´dia da ma´quina? (c) Qual e´ a energia |QQ| extraı´da em
forma de calor da fonte quente em cada ciclo? (d) Qual e´ a energia
|QF | liberada em forma de calor para a fonte fria a cada ciclo?
(a) A eficieˆncia da ma´quina de Carnot e´ dada por
εC = 1−
TF
TQ
= 1− 300
850
≈ 0,65,
i.e., a eficieˆncia da ma´quina e´ de aproximadamente 65%.
(b) A poteˆncia me´dia pode ser tomada como a raza˜o entre o trabalho
realizado durante um ciclo e o tempo de durac¸a˜o do ciclo,
P =
W
∆t
=
1200
0,25
= 4800,
logo P = 4800 W=4,8 kW.
(c) Temos que a definic¸a˜o de eficieˆncia e´ εC = W/|QQ|, logo
|QQ| =
W
εC
=
1200
0,65
= 1846J.
(d) A energia liberada em forma de calor para a fonte fria e´
W = |QQ| − |QF | → |QF | = |QQ| −W = 1846− 1200 = 646J.
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2009.(Verso˜es em portugueˆs e ingleˆs.)