Apostila de Isostática Cap1ao6

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Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais 
 
1.1 - A importância das estruturas 
 
Ao se construir qualquer edificação ou objeto, é preciso garantir a estabilidade do produto 
durante o processo construtivo e na fase de utilização. Desta forma, torna-se necessário saber 
quais são os efeitos do peso próprio (uma ponte ou edifício deve ser capaz de suportar o peso 
dos materiais utilizados na sua construção sem ruir), dos efeitos ambientais (o vento pode ser 
ainda mais crítico durante a construção; as variações térmicas podem provocar rachaduras 
críticas), das cargas a serem aplicadas (veículos, pessoas, móveis) e prever as piores situações 
possíveis de solicitação na estrutura. 
 
A estrutura é o conjunto de elementos de sustentação de uma obra ou objeto, que tem a 
finalidade de garantir a estabilidade global em todas as solicitações. 
 
O projeto de uma estrutura envolve sempre as seguintes etapas: 
- Projeto geométrico da obra – Arquitetura 
- Definição geométrica da estrutura 
- Definição de materiais 
- Identificação de vínculos internos e externos (apoios e ligações entre elementos 
como vigas e pilares) 
- Cálculo dos esforços seccionais na estrutura 
- Verificação da estabilidade dos elementos estruturais (função do material e dos 
esforços atuantes) 
 
Um bom entendimento dos principais conceitos estruturais ajuda os engenheiros e arquitetos a 
encontrar, desde o projeto geométrico, as soluções estruturais mais vantajosas do ponto de 
vista econômico e estético. A escolha sábia entre os diferentes tipos de materiais estruturais 
depende da compreensão adequada do funcionamento de cada elemento estrutural e de como 
eles se ligam uns aos outros. Somente um bom conhecimento teórico permite projetos mais 
arrojados, de construção rápida e de utilização adequada de cada material de acordo com suas 
propriedades estruturais. 
 
As estruturas compõem-se de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo 
a formar um conjunto estável, isto é, capaz de receber solicitações externas, absorvê-las 
internamente e transmiti-las até seus apoios. 
 
1.2 - Apoios 
 
Os apoios são os vínculos que ligam uma estrutura a elementos externos ao sistema 
estrutural considerado. A função dos mecanismos de apoio é a de restringir deslocamentos ou 
rotações nos pontos onde se encontram, despertando com isso reações nas direções dos 
movimentos impedidos. 
 
São classificados de acordo com o número de movimentos impedidos, que é igual ao número 
de reações que fazem surgir sobre a estrutura,. Desta forma, considerando-se os três eixos tri-
ortogonais de referência podem-se ter deslocamentos em 3 direções e rotações em torno dos 3 
eixos. 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 1 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
z 
y 
x 
 
 
 
 
 
 
Os apoios são capazes de restringir de 1 a 6 movimentos, permitindo assim 5 a zero graus de 
liberdade. 
 
Entende-se por Graus de Liberdade as 3 componentes de translação e as 3 componentes 
de rotação que um elemento estrutural pode sofrer em um espaço tridimensional. 
 
Para que se estabeleça o equilíbrio da estrutura quando sob o efeito de cargas solicitantes, 
esses seis graus de liberdades devem ser restringidos, ou seja, devem-se adicionar ao sistema 
novas forças que façam com que sejam atendidas as equações universais da estática, 
garantindo que o somatório de forças e momentos em qualquer direção seja nulo. 
 
 
Quadro 1 - Equilíbrio e as equações universais da estática 
Sabendo+ 
 
Para que um corpo submetido à ação de um sistema de forças esteja em equilíbrio, é 
necessário que essas forças não provoquem nenhuma tendência de translação ou rotação a este 
corpo, o que só ocorre se tanto a resultante R das forças como o momento resultante m 
dessas forças em relação a um ponto qualquer forem nulas. 
 
As seis equações universais da estática mostradas abaixo, regem o equilíbrio de um sistema 
de forças no espaço. 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Mz
My
Mx
Z
Y
X
 
Onde: 
 
• são as projeções das forças que 
compõem o sistema, respectivamente, nas 
direções dos eixos x, y e z. 
iii ZYX ,, iF
 
• são as projeções dos momentos 
das forças em relação a um ponto qualquer do 
espaço, respectivamente, nas direções dos eixos 
x, y e z. 
iii MzMyMx ,,
iF
 
• n é o número de forças que compõem o sistema 
considerado 
 
2 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
1.2.1 - Tipos de apoios 1.2.1 - Tipos de apoios 
 
No caso de estruturas planas carregadas exclusivamente no próprio plano (sistema de forças 
coplanares), que é o mais freqüente em Análise Estrutural, há apenas três graus de liberdade a 
restringir: 2 movimentos de translação em duas direções ortogonais no plano da estrutura e 1 
rotação em torno do eixo ortogonal ao plano da estrutura. Os apoios para impedir tais 
movimentos são: 
No caso de estruturas planas carregadas exclusivamente no próprio plano (sistema de forças 
coplanares), que é o mais freqüente em Análise Estrutural, há apenas três graus de liberdade a 
restringir: 2 movimentos de translação em duas direções ortogonais no plano da estrutura e 1 
rotação em torno do eixo ortogonal ao plano da estrutura. Os apoios para impedir tais 
movimentos são: 
 
a) Apoio do 1o gênero ou charriot: a) Apoio do 1
 
 
 
 
 
 
 
o gênero ou charriot: 
Ry ou V 
Rx ou H 
y 
x 
Este apoio restringe apenas o movimento em uma direção (vertical ou horizontal de acordo 
com a orientação do desenho do apoio). É preciso ressaltar que a reação vertical pode ser para 
cima ou para baixo e a reação horizontal no caso a2 pode ser para esquerda ou para a direita. 
Pode-se considerar este apoio como sendo uma roda em um trilho, pois é permitido o 
deslocamento paralelo ao trilho e impedido o deslocamento perpendicular. A rotação também 
e permitida e por isso não há reação de momento. 
Este apoio restringe apenas o movimento em uma direção (vertical ou horizontal de acordo 
com a orientação do desenho do apoio). É preciso ressaltar que a reação vertical pode ser para 
cima ou para baixo e a reação horizontal no caso a2 pode ser para esquerda ou para a direita. 
Pode-se considerar este apoio como sendo uma roda em um trilho, pois é permitido o 
deslocamento paralelo ao trilho e impedido o deslocamento perpendicular. A rotação também 
e permitida e por isso não há reação de momento. 
 
 
b) Apoio do 2o gênero ou rótula: b) Apoio do 2
 
 
 
 
 
 
 
 
o gênero ou rótula: 
y 
Rx ou H x 
Ry ou V 
Este apoio restringe deslocamentos verticais ou horizontais. É preciso ressaltar que a reação 
vertical pode ser para cima ou para baixo e a reação horizontal pode ser para esquerda ou para 
a direita. Pode-se considerar este apoio como sendo uma rotula presa a um ponto fixo. 
Este apoio restringe deslocamentos verticais ou horizontais. É preciso ressaltar que a reação 
vertical pode ser para cima ou para baixo e a reação horizontal pode ser para esquerda ou para 
a direita. Pode-se considerar este apoio como sendo uma rotula presa a um ponto fixo. 
 
c) Apoio do 3o gênero ou engaste c) Apoio do 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o gênero ou engaste 
H 
V
M 
y 
x 
Este apoio restringe deslocamentos e rotações. Desta forma possui reação horizontal, vertical 
e de momento. 
Este apoio restringe deslocamentos e rotações. Desta forma possui reação horizontal, vertical 
e de momento. 
 
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Quadro 2 - Sistema de forças coplanares 
Sabendo+ 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Mz
Y
X
 
 
 
y 
x o 4
F 
3F 
2F 
 1F
Como, neste caso, não há componentes de forças na direção do eixo ao qual elas são 
ortogonais (z, no caso da figura) e os momentos de todas as forças em relação a qualquer 
ponto situado no mesmo plano que as contem será sempre ortogonal a esse plano, as equações 
de equilíbrio do sistema reduzem-se às três equações mostradas acima. 
Este tipo de sistema de forças é o que se observa nas estruturas denominadas quadros planos, 
que são definidos como estruturas planas compostas por barras, sobre as quais atuam, 
exclusivamente, cargas situadas no plano da estrutura. 
 
 
 
1.3 - Isostática , análise estrutural e resistência dos materiais 
 
Em alguns currículos acadêmicos a nomenclatura de cada disciplina pode confundir o aluno 
quanto ao campo de estudo de cada um destes tópicos. 
 
As Estruturas Isostáticas, objetos de estudo deste livro, são aquelas onde os apoios são 
em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estruturas. 
 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, avaliando a 
magnitude dos esforços internos a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes 
externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios etc.) e engloba as estruturas 
isostáticas e hiperestáticas. 
 
A Resistência dos Materiais propriamente dita permite a quantificação das tensões 
atuantes nos diferentes pontos e direções da estrutura em função desses esforços internos, bem 
como a verificação da estabilidade da estrutura, que se faz comparando-se as tensões nela 
atuantes à capacidade que o material de que foi construída apresenta de resistir a essas 
tensões, sem que ocorra ruptura ou deformação inaceitável nas peças estruturais. 
 
4 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
 
 29/6/2007 5 
 
 
Quadro 3 – Estaticidade e Estabilidade 
Sabendo+ 
Vimos que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três casos 
poderão acontecer: 
 
- Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: neste caso, o número de reações de apoio a determinar (incógnitas) 
é igual ao número de equações de equilíbrio. Diz-se, então que a estrutura é isostática, 
ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
 
- Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: neste caso, havendo mais equações de equilíbrio do que incógnitas 
a determinar, tem-se um sistema de equações impossível. Isso significa que a estrutura 
será instável, sendo denominada hipostática. Podem ocorrer, neste caso, algumas 
situações em que o próprio sistema de cargas atuantes consiga atender às equações de 
equilíbrio, estando impedidos os movimentos que os apoios não são capazes de restringir. 
Quando isso ocorre, tem-se uma situação de equilíbrio instável, pois qualquer nova carga 
introduzida pode levar a estrutura à ruína, já que os apoios não serão capazes de impedir 
os movimentos que essa nova carga produz. Estruturas hipostáticas não são admissíveis 
em construções. 
 
- Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: neste caso, há menos equações do que incógnitas a determinar, o 
que conduz a um sistema indeterminado. As equações universais da estática não serão 
suficientes para que se determinem as reações de apoio, havendo uma infinidade de 
soluções possíveis para o sistema de equações. Neste caso, são necessárias equações 
adicionais baseadas na compatibilidade das deformações, que permitam definir qual dessas 
soluções é a verdadeira, “levantando-se”, assim, a indeterminação do sistema. A estrutura 
será dita hiperestática e seu equilíbrio será estável. 
 
 
 
1.4 - Elementos de uma Estrutura 
 
As peças que compõem uma estrutura são tridimensionais, podendo apresentar uma das 
características a seguir: 
 
a) duas dimensões muito pequenas em relação à terceira. 
É o caso das barras ou hastes. Neste caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da 
prática, a maior dimensão é o comprimento da peça, estando as duas outras no plano da 
chamada seção transversal da peça. O estudo estático das barras faz-se considerando-as 
unidimensionais, isto é, representadas pelos seus respectivos eixos longitudinais (lugar 
geométrico dos centros de gravidade de suas sucessivas seções transversais). 
Uma barra será reta ou curva conforme seu eixo seja reto ou curvo e uma estrutura 
composta por barras será dita plana ou espacial se os eixos das diversas barras que a 
compõem, respectivamente, estiverem ou não contidos em um único plano. 
 
 
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b) Uma dimensão é pequena em relação às outras duas. 
Este é o caso das placas (superfícies planas) e das cascas (superfícies curvas). 
 
c) As três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
Neste caso, o elemento estrutural é denominado bloco 
 
O escopo deste curso está limitado ao estudo de estruturas compostas por barras. 
 
 
1.5 - Exercícios resolvidos 
 
1) Calcular as reações de apoio para as estruturas abaixo: 
 
a) 
 
 
 
Muitas vezes, ao se deparar com uma situação como essa, o estudante conclui que por não 
haver forças aplicadas na horizontal ou na vertical as reações de apoio verticais e horizontais 
são nulas. Será? 
 
Engano comum por excesso de simplificação. Segue-se a solução passo a passo: 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) no primeiro apoio (apoio do 2º gênero) e uma reação 
vertical no segundo apoio (apoio do 1º gênero). É preciso descobrir as três incógnitas do 
problema: 
HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para direita (Æ) 
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
Trabalhando com uma estrutura plana com forças atuando no plano, pode-se usar apenas as 3 
equações da estática (3 equações para 3 incógnitas – estrutura isostática): 
 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=→=⋅++===
=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
kNVVMMz
VVY
HX
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
A
n
i
i
208880:0
0:0
0:0
1
1
1
 
Deve-se ressaltar que no cálculo do somatório dos momentos em torno do apoio A, foi 
adotado como positivo o sentido anti-horário de rotação. O aluno pode definir que sentido irá 
adotar como positivo ou negativo, desde que mantenha a coerência ao longo do exercício. 
 
6 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
Percebe-se que pelo sinal negativo de VB, a reação no segundo apoio é contrária ao sentido 
adotado inicialmente, isso é. VB atua, na realidade, de cima para baixo. Portanto, para o 
somatório das forças verticais ser nulo, VA e VB têm módulos iguais e sentidos contrários. 
Percebe-se que pelo sinal negativo de V
 
B, a reação no segundo apoio é contrária ao sentido 
adotado inicialmente, isso é. VB atua, na realidade, de cima para baixo. Portanto, para o 
somatório das forças verticais ser nulo, VA e VB têm módulos iguais e sentidos contrários. 
VA=2kN (Ç) V
VB=2kN (È) V
A=2kN (Ç) 
B=2kN (È) 
 
 
 
Outra forma de resolver o mesmo problema é utilizar o conceito de binário. Adotar um binário 
de sentido oposto ao momento atuante resultante de 16kNm onde os módulos de VA e VB 
podem ser definidos simplesmente por [VA]= [VB] = 16/8= 2kN. 
 
 
 
Recordando 1 - Conceito de binário 
 
Um sistema de duas forças paralelas de mesmomódulo e de sentidos opostos, como o 
mostrado na figura abaixo, tem a propriedade de possuir resultante nula e momento constante 
em relação a qualquer ponto do espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
O 
M 
F
F
M’ 
O momento das duas forças F em relação ao ponto genérico O será dado por: 
 
FMMFOMFOMm Λ=Λ−Λ= '' 
 
O momento do sistema independe, portanto, da posição do ponto O. Diz-se, neste caso, que as 
duas forças formam um binário, cujo efeito em relação a qualquer ponto do espaço é 
invariante. 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 7 
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b) 
 
Há uma reação vertical no primeiro apoio (apoio do 1º gênero) e duas reações (vertical e 
horizontal) no segundo apoio (apoio do 2º gênero). Deve-se descobrir as três incógnitas do 
problema: 
 
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) 
 
Trabalhando com uma estrutura plana com forças atuando no plano, pode-se usar apenas as 3 
equações da estática (3 equações para 3 incógnitas – estrutura isostática): 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=→=+⋅−⋅+===
=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
kNVVMMz
kNVVY
kNHX
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
104242280:0
4:0
2:0
1
1
1
 
Nota: Desta vez, no cálculo do somatório dos momentos em torno do apoio B, foi adotado 
como positivo o sentido horário de rotação. Isso é para que fique claro que não existe uma 
convenção de sinais durante a fase de cálculo de reações de apoio, para que não se entendam 
estes sentidos como positivos ou negativos quando forem estudados os diagramas de esforços. 
 
Percebe-se que pelo sinal negativo de VA, a reação no primeiro apoio é contrária ao sentido 
adotado inicialmente, isso é. VA atua, na realidade, de cima para baixo. 
 
VA=1kN (È) 
VB=4-(-1)=5kN (Ç) 
 
8 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
c) 
 
Há três reações no engaste (força vertical, força horizontal e momento): 
 
VA Æ Força vertical no apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
HA Æ Força horizontal no apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) 
MA Æ Momento no apoio, adotado inicialmente como anti-horário (4) 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=→=−⋅+⋅+⋅+===
=+==
=+==
∑∑
∑
∑
=
=
=
kNMMMMz
kNVY
kNHX
AAA
n
i
i
A
n
i
i
A
n
i
i
32054222240:0
422:0
624:0
1
1
1
 
Ultima atualização em 29/6/2007 9 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
2) Calcular as reações de apoio para a estrutura tridimensional abaixo, cujas barras formam 
entre si apenas angulos de 90º.: 
 
 
Trata-se de uma grelha plana, isto é, um caso especial de sistema de forças paralelas no 
espaço. 
 
Desta forma, como o engaste pode conter os deslocamentos e rotações, neste caso ele irá ter 
duas reações de momento (em torno de x e de y) e uma reação vertical. Estas são as três 
incógnitas do problema: 
 
MAx Æ Momento de reação no engaste em torno do eixo x. 
MAy Æ Momento de reação no engaste em torno do eixo y. 
VA Æ Força vertical no engaste, adotada inicialmente para cima (Ç) 
 
É fácil descobrir que a reação vertical no engaste precisa ser de 10kN para que o somatório 
das forças verticais seja nulo, mas como calcular as reações de momento? 
 
 
 
 
 
10 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
 
 29/6/2007 11 
 
 
Quadro 4 - Sistema de forças paralelas no espaço 
Sabendo+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z 
y 
3F 
3F
x 
o 
1F
2F 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Z
My
Mx
 
 
 
5F 4F 
Como, neste caso, não há componentes de forças nas direções dos eixos aos quais elas são 
ortogonais (x e y, no caso da figura) nem componentes de momentos na direção do eixo ao 
qual as forças são paralelas (z, no caso da figura), as equações de equilíbrio do sistema 
reduzem-se às três equações mostradas acima. 
Este tipo de sistema de forças é o que se observa nas estruturas denominadas grelhas planas, 
que são definidas como estruturas planas compostas por barras, sobre as quais atuam, 
exclusivamente, cargas perpendiculares ao plano da estrutura. 
 
 
 
VA = 10kN 
y 
x 
Para o cálculo das reações de momento é preciso recordar a regra da mão direira (ver quadro 
explicativo a seguir). Adotando como referência o eixo x passando pelo engaste, temos as 
forças de 2kN e 4kN produzindo momento positivo em torno de x e vamos precisar então de 
uma reação de momento negativa mo engaste. 
 
kNMMMx AxAx 528824120424264620 −=−−−−=→=+×+×+×+×==∑ 
 
E adotando como referência o eixo y passando pelo engaste, temos duas forças de 2kN 
produzindo momento positivo em torno de y e as forças de 2kN e 4kN produzindo momento 
negativo em torno de y. 
 
kNMMMy AyAy 6612660323432320 =++−−=→=+×−×−×+×==∑ 
Ultima atualização em
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Recordando 2 - Força, Momento e a 
regra da mão direita 
 
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas, portanto, por direção, sentido e intensidade. 
Sua unidade no sistema internacional é o Newton (N). Em Engenharia estrutural, onde as 
forças são denominadas cargas, é importante também a definição do ponto de aplicação da 
força sobre a estrutura. 
Momento é uma grandeza associada ao movimento de rotação que uma força produz em 
torno de um ponto. O exemplo da figura abaixo pode ilustrar esse conceito: 
 
 
 A B C 
 
 
 
 
 
 
Seja a barra da figura suportada em B por um cutelo. É intuitivo perceber que o peso (força) a 
ser colocado em A para anular a tendência à rotação da barra em torno do cutelo é inferior a 
10 kN, por estar o ponto A mais afastado do cutelo que o ponto C. Assim, pode-se afirmar que 
a grandeza capaz de representar a tendência à rotação em torno de um ponto provocada por 
uma força é proporcional à intensidade da força e à sua distância ao ponto considerado. Tal 
grandeza é denominada momento, que pode ser definido como a seguir: 
Chama-se momento de uma força F em relação a um ponto O ao produto vetorial do vetor 
OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação da força F ) pela força F , 
como mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
kN 
4 m 2 m 
m 
F
P 
O 
d 
M α FOMm Λ= 
O vetor momento é representado por uma seta dupla, para que não seja confundido com uma 
força. Sua direção é perpendicular ao plano P, seu sentido é o do dedo polegar, quando se faz 
os demais dedos da mão direita girarem no sentido da rotação de F em torno do ponto O 
(regra da mão direita com rotação no sentido dos dedos se fechando); seu módulo é dado por 
FdFOMm == αsen , ou seja, pelo produto do módulo da força F pela menor distância do 
ponto O à sua linha de ação. A unidade de momento no sistema internacional é N.m 
(Newton.metro). 
 
12 
Conceitos fundamentais – Professora Elaine Toscano 
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VA = 10kN 
 
MAx=52kN 
MAy=6kN 
 
 
1.6 - Exercícios propostos 
 
1) Calcular as reações de apoio para as estruturas abaixo: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
1.7 - Respostas dos exercícios propostos 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
14 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 2 – Cargas e esforços 
 
2.1 –Cargas 
 
Até o presente momento foram adotadas apenas cargas concentradas e cargas-momento nos 
exemplos, no entanto, na prática, o tipo mais usual de carregamento é o distribuido.Como 
principal exemplo pode-se citar o peso próprio da estrutura: vigas, lajes, etc. 
 
De uma forma geral, todas as forças aplicadas sobre uma estrutura são transmitidas através de 
uma superfície de contato. Uma carga é dita concentrada quando a área dessa superfície de 
contato é tão pequena que pode ser considerada nula, sem que o erro cometido com essa 
simplificação seja significativo para efeitos de cálculo estrutural. Caso contrário, a carga é 
considerada distribuída. 
 
Um exemplo de carga concentrada é o caso de vigas secundárias descarregando suas reações 
sobre vigas principais. Neste caso, a viga principal ira ter um carregamento distribuido 
(proveniente do seu peso próprio e de outras solicitações contínuas) e cargas concentradas 
onde estão apoiadas as vigas secundárias. 
2.1.1- Tipos principais de cargas distribuídas 
 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática em estruturas compostas de 
barras (que podem ser representadas pelos eixos longitudinais de seus elementos) são as 
cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (mais comum em casos de 
empuxos de terra e de água). A forma de representa-las em um modelo estrutural pode ser 
vista abaixo: 
 
 
 29/6/2007 15 
 
 
 
 
 
Carga triangular Carga uniformemente distribuída 
q 
q 
 
 
2.2- Cargas equivalentes 
 
Para efeito deo cálculo das reações de apoio utiliza-se o conceito de cargas equivalentes para 
se trabalhar com a resultante de um carregamento distribuido. Como uma carga distribuída 
pode ser encarada como uma soma infinita de cargas concentradas aplicadas sobre áreas 
infinitesimais (q.ds), a resultante de um carregamento distribuído genérico como o mostrado 
na figura abaixo será igual a: 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
∫=
B
A
dsqR . 
 
 
 
 
 
 
 
 O ponto de aplicação dessa resultante é definido pela abscissa s do centro de gravidade 
dessa área. 
 
 
Recordando 3 - Centros de gravidade 
 
O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda 
a massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos relacionados com a 
gravidade. Em figurtas planas de massa homogênea o centro de massa coincide com o centro 
de gravidade. Para n partículas, cada uma com posição ri e massa mi, o centro de massa R é 
dado por: 
q 
s 
s R 
q.d
A B 
o 
ou seja, a carga equivalente 
é igual à área limitada entre a 
curva que define a variação do 
carregamento e o eixo da 
estrutura 
s 
 
∑= ii rmMR 1 
 
Onde mi é a massa de cada uma das partículas, M é a massa do corpo, ri é a posição de cada 
partícula 
 
O anexo 1 apresenta uma tabela com os centros de massa das principais figuras geométricas. 
 
 
2.3 - Esforços seccionais 
 
Até o presente momento já foram estudadas as reações de apoio através da aplicação das 
equações de equilíbrio. No entanto, o principal objetivo do estudo das estruturas isostáticas é 
determinar de que forma as solicitações das cargas influenciam cada uma das seções de um 
corpo. Só a partir da quantificação destes esforços seccionais torna-se possível dimensionar 
uma estrutura com propriedades geométricas e materiais adequados para resistir a tais 
esforços. 
 
Esforços seccionais são os efeitos estáticos que um conjunto de cargas e reações de apoio 
provocam em cada uma das seções transversais da peça em estudo.. 
 
16 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Considere-se em equilíbrio um corpo submetido a um conjunto de forças (carregamentos e 
reações de apoio). Ao seciona-lo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, o 
corpo é dividido em duas partes A e B. Para manutenção do estado de equilíbrio em cada uma 
das partes, é necessário aplicar na seção S um sistema estaticamente equivalente ao das forças 
aplicadas na parte suprimida. Tal sistema estático pode sempre ser desmembrado em um vetor 
força (R) e um vetor momento (M) aplicados no centro de gravidade da seção. 
 
Assim se definem os esforços seccionais em uma seção S de uma peça, os quais podem ser 
quantificados utilizando-se todas as forças atuantes à esquerda da seção OU utilizando-se 
as forças à sua direita. 
 
 
S
P 
1.1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
M 
M 
R 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Um engano comum é o aluno confundir o somatório das forças e momentos (equações 
de equilibrio) com as equações que devem ser usadas para o cálculo dos esforços seccionais. 
É sempre útil frizar que enquanto no primeiro caso são utilizadas todas as cargas atuantes na 
estrutura para a determinação das reações de apoio, no segundo caso se utiliza apenas um 
dos dois lados da seção para a determinação dos esforços seccionais, até porque, caso fossem 
usadas as cargas de ambos os lados, o resultado seria sempre nulo (conforme definição de 
um corpo em equilíbrio). 
Ultima atualização em 29/6/2007 17 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
Quadro 5 - Sistema estaticamente equivalente 
Sabendo+ 
A figura abaixo é capaz de mostrar que para se reduzir um sistema de forças qualquer a um 
determinado ponto no espaço, basta transferir todas as forças para esse ponto, acrescentando, 
para cada uma delas, seu momento em relação ao ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
F
− F
F F
O O 
A A 
= = 
 F
 m 
Pode-se dizer, portanto, que todo sistema de forças é redutível a um sistema estaticamente 
equivalente, composto de uma força resultante R e de um momento resultante m em relação 
a qualquer ponto O do espaço. 
 
Decompondo-se o vetor R em uma componente perpendicular à seção S e outra situada no 
próprio plano P, obtemos, respectivamente, o esforço normal e o esforço cortante atuantes na 
seção, podendo ainda este último ser decomposto em duas componentes, nas direções dos dois 
eixos de referência ortogonais à normal ao plano P. Da mesma forma, se o vetor M for 
decomposto em uma componente normal e outra no plano P, teremos, respectivamente, os 
momentos torçor e fletor. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ser 
decomposto em duas componentes ortogonais entre si, nas direções dos dois eixos 
coordenados situados no plano P. 
 
Numa seção transversal s de uma barra de uma estrutura espacial qualquer, tomando-se um 
sistema de eixos coordenados onde o eixo x tem a direção longitudinal à barra, são, portanto, 
seis os esforços seccionais considerados: 
 
N(s) → esforço Normal = Rx 
Qy(s) → componente do esforço cortante na direção y = Ry 
Qz(s) → componente do esforço cortante na direção z = Rz 
T(s) → momento torsor = Mx 
My(s) → componente do momento fletor na direção y = My 
Mz(s) → componente do momento fletor na direção z = Mz 
 
 
No caso particular dos quadros planos, as cargas atuantes, necessariamente contidas no 
plano da estrutura, fazem com que tenhamos apenas três tipos de esforços seccionais a 
considerar: momento fletor, esforço normal e esforço cortante. 
 
Da mesma forma, como, por definição, as cargas nas grelhas planas são sempre 
perpendiculares ao plano da estrutura, tais estruturas só admitem três tipos de esforços 
seccionais: momento fletor, momento torçor e esforço cortante. 
 
18 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
2.3.1- Esforço normal (N) 
 
O esforço normal em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a 
seção por um lado ou pelo outro, projetadass na direção do eixo da barra (normal à 
seção). 
 
O esforço normal é: positivo na tração (forças “saindo da seção”) e 
negativo na compressão (forças “entrando na seção”) 
 
 
 
 
 29/6/2007 19 
 
 
 
 
 
 
 
- 
+ + 
S 
- 
+ 
ds ds 
- 
N(+) N(-)2.3.2- Esforço cortante (Q) 
 
O esforço cortante em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a 
seção por um lado ou pelo outro, projetadas na direção perpendicular ao eixo da 
barra. . 
 
Como o corpo encontra-se em equilíbrio, o somatório das forças calculado de um lado terá 
sempre módulo igual e direção contraria ao somatório realizado utilizando-se as forças do 
outro lado da seção. Desta forma, pode-se dizer que estas forças se representam como se 
formassem um “binário”. Esta analogia é útil para a definição de sinais. 
 
O esforço cortante é: positivo quando o “binário” parece atuar no sentido horário e 
negativo quando o “binário” parece atuar no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
- 
+ 
S 
- 
+ 
ds ds 
- 
 Q(+) Q(-) 
 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
2.3.3- Momento fletor (M) 
 
O momento fletor em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos 
produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado ou pelo outro, considerando-se 
apenas as componentes de momento em torno dos eixos do plano da seção 
transversal.. 
 
O momento fletor é positivo quando traciona as fibras inferiores da barra e 
negativo quando traciona as fibras superiores da barra. 
 
 
 ds ds 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Mais importante do que saber o sinal do momento é saber em que lado da barra as 
fibras estão tracionadas. No caso de barras verticais é preciso apenas identificar se o lado 
tracionado está a direita ou a esquerda.. 
Alguns autores, a fim de eliminar a necessidade de escrever que fibras da seção estão sendo 
tracionadas, fazem um pontilhado de um lado das barras. Assim o momento será positivo 
quando tracionar o lado pontilhado e negativo em caso contrário. 
Quando forem estudados os diagramas de esforços, o diagrama de momentos fletores será 
sempre traçado no lado tracionado. 
 
2.3.4- Momento torçor (T) 
 
O momento torçor em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos 
produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado ou pelo outro, considerando-se 
apenas as componentes de momento em torno do eixo perpendicular a seção 
transversal, isto é, na direção da barra.. 
 
O momento torçor é: positivo quando o vetor de seta dupla parece estar “saindo da seção” e 
negativo quando o vetor de seta dupla parece estar “entrando na seção” 
S - 
+ 
S + 
- 
M(+) M(-) 
 
 
ds ds 
 
 
 
 
 
 T(-) T(+) 
20 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
 
 29/6/2007 21 
 
 
Quadro 6 - A importância dos esforços secionais 
Sabendo+ 
 
O conhecimento de exemplos práticos de atuação dos esforços secionais sempre motiva mais 
o aprendizado do cálculo destes esforços. 
O esforço normal, além de ser o principal esforço em pilares, também se encontra em 
escoras, cabos de aço para estaiamento, barras de treliças de telhados, coberturas, entre outros. 
Conhecer o tipo de esforço predominante em uma estrutura ajuda até na escolha dos materiais 
em uma fase de pré-projeto. Por exemplo: uma estrutura submetida fundamentalmente a 
esforços de tração deve priorizar materiais como o aço, que possuem alta resistência a tração. 
No caso de estruturas submetidas fundamentalmente a compressão, o concreto continua sendo 
a melhor alternativa. 
Por causa destas propriedades físicas do concreto e do aço, o momento fletor é de grande 
importância no dimensionamento das estruturas de concreto armado. A flexão, tão comum em 
vigas e lajes, provocaria fissuras no lado tracionado do concreto se não fossem usadas as 
armaduras de aço. É por esta razão que os diagramas de momentos fletores são desenhados do 
lado tracionado. Desta forma, as barras de aço longitudinais das vigas podem ser distribuidas 
de acordo com a magnitude e o sinal do momento fletor e são chamadas de armadura 
positiva quando utilizadas na parte inferior da viga e armadura negativa quando utilizadas 
na parte superior da viga 
O esforço cortante, além de ser necessário no dimensionamento de todos os tipos de 
estruturas, é fundamentalmente importante na escolha de parafusos para diversos tipos de 
ligações estruturais. De acordo com as solicitações de corte na ligação são adotados os tipos, 
áreas e a distribuição dos parafusos nas ligações. 
Quanto ao esforço torçor, é interessante observar o comportamento de duas seções 
transversais de mesma área e formatos diferentes quando submetidas a este esforço. As seções 
abertas, como os perfis metálicos do tipo I (muito utilizado para resistir a flexão), podem se 
deformar quando submetidas a torção (empenamento da seção transversal). Já as seções 
fechadas possuem maior resistência quando submetidas a esforços de torção. 
 
 
 
2.4- Exercícios resolvidos 
 
 
1) Calcular os esforços secionais nas seções indicadas para as estruturas abaixo: 
 
a) 
 
 
O primeiro passo para a resolução deste tipo de exercício é sempre calcular as reações de 
apoio, o que já foi feito no capítulo 1 deste livro (exercício resolvido 1a). 
S 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
S 
Após o cálculo das reações basta preencher o quadro abaixo com os esforços atuantes na seção 
indicada. 
Esforço Seção S Unidade 
Normal (N) ? KN 
Cortante (Q) ? KN 
Fletor (M) ? KN m 
Torçor (T) ? KN m 
 
Como a estrutura e um caso de forças coplanares atuando no plano da estrutura, pode-se 
definir o torçor como nulo. 
Para o cálculo do esforço normal, basta somar todas as forças ligadas a seção por um lado ou 
pelo outro, na direção horizontal (direção da barra). Neste exemplo não existe força 
horizontal, então o esforço normal é zero. 
No caso do cortante consideram-se as forças perpendiculares a barra. A esquerda da seção há 
apenas a reação de 2kN para cima. Logo, o cortante vale 2kN (positivo). 
Para o cálculo do momento fletor, é mais fácil utilizar também o lado esquerdo. 
KNmM S 422 =×= 3 
Como utilizamos o lado esquerdo da seção para o cálculo, o momento traciona as fibras 
inferiores da seção (positivo). 
Assim temos: 
 
Esforço Seção S Unidade 
Normal (N) 0 KN 
Cortante (Q) +2 KN 
Fletor (M) +4 KN m 
Torçor (T) 0 KN m 
 
b) 
 
S2
S1
S3
 
 
22 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 1b). 
 
S2
S1
S3
Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela por baixo, para 
S2 as forças ligadas pela esquerda e para S3 as forças ligadas a ela por baixo. 
 
Para o esforço normal: Seção 1: 1KN saindo da seção (tração) 
 Seção 2: 0: nenhuma força horizontal a esquerda. 
 Seção 3: –5KN:entrando na seção (compressão). 
 
E para o esforço cortante: Seção 1: 0: nenhuma força horizontal abaixo 
 Seção 2:.1+4=5KNL a esquerda de S2
 Seção 3: 2 respostas devem ser dadas. 
 
No cálculo do esforço cortante na seção 3, deve-se considerar ou não a força 
horizontal de 2KN aplicada na seção? A resposta é simples. Considerar os dois 
casos e fornecer a resposta para uma seção S3i (imediatamene abaixo) e uma seção S3s 
(imediatamente acima). 
 
 Seção 3: Abaixo de S3 = 2KNI 
 Acima de S3 = 2-2=0 
 
E para o momento fletor: Seção 1: 0: nenhuma força abaixo de S1 produz momento 
 Seção 2: -1 x 3 1 - 4 x 1 1 = -7KNm 1 (tração superior) 
 Seção 3: 2 x 2 =4KNm 3 (tracionando a direita). 
 
 
Seção S3Esforço Seção S1 Seção S2
S3i S3s
Unidade 
Normal (N) 1 0 -5 KN 
Cortante (Q) 0 -5 2 0 KN 
Fletor (M) 0 -7 4 (direita) KN m 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 23 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
c) 
 
S2
S1
HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente paraesquerda (Å) 
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
 
kNV
kNVVxxxxxMMz
kNxxVVY
kNHX
A
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
A
n
i
i
281846
18
8
15624432085.6)38(4
2
3442160:0
462461638
2
3416:0
3:0
1
1
1
=−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=++−−=→=+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+===
=++=++=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
 
 
S2S1
Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela pela esquerda e 
para S2 as forças ligadas pela direita. 
 
Para o esforço normal: Seção 1: 6-3=3KN entrando na seção (compressão) 
 Seção 2: 3kN entrando na seção (compressão). 
 
E para o esforço cortante: Seção 1: 28-16=12kN(Ç à esquerda) 
 Seção 2:. 18-8x3= -6K(È à direita) 
 
No cálculo do momento fletor na seção 1, deve-se considerar ou não o momento 
aplicado de 4KNm? Considerar os dois casos e fornecer a resposta para uma seção S1e 
(imediatamente a esquerda) e uma seção S1d (imediatamente à direita). 
 
E para o momento: Seção 1e: -16 x 3 1 +28 x 1 3 = -20KNm1 (tração superior) 
 Seção 1d: -16 x 3 1 +28 x 1 3 -4 1 = -24KNm1 (tração superior) 
 Seção 2: -18x32+8 x 3 x 1,53 = -182 (tração inferior) 
 
Seção S1Esforço 
S1e S1d
Seção S2 Unidade 
Normal (N) -3 -3 KN 
Cortante (Q) +12 +6 KN 
Fletor (M) -20 -24 18 KN m 
 
 
24 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
2) Calcular os esforços na seção S para a estrutura tridimensional abaixo, cujas barras 
formam entre si apenas angulos de 90º.: 
 
 
S 
 
Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 2). 
 
 
VA = 10kN 
MAx=52kN S 
MAy=6kN 
 
Trata-se de uma grelha plana, isto é, temos q nos preocupar com os seguintes esforços: 
 
Cortante: 4 + 2 = 6kN (È à esquerda) 
Momento Fletor: 4 x 0 + 2 x 0 = 0 
Momento Torçor: 4 x 3JJ - 2 x 3 II= 6kNm saindo da seção 
 
 
Esforço Seção S Unidade 
Cortante (Q) -6 KN 
Fletor (M) 0 KN m 
Torçor (T) +6 KN m 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 25 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
2.5- Exercícios propostos 
 
1) Calcular as reações de apoio e os esforços atuantes nas seções indicadas para as 
estruturas abaixo: 
 
a) 
 
b) 
S 
 
S3
S1 S2
c) 
 
 
S2
S1
 
d) 
 
 
S3
S1 S2
26 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
 
2.6 - Respostas dos exercícios propostos 
 
 
a) 
 
 
 
 
Seção S1Esforço 
S1e S1d
Unidade 
Normal (N) 0 KN 
Cortante (Q) +4 0 KN 
Fletor (M) +8 KN m 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Esforço Seção S1 Seção S2 Seção S3 Unidade 
Normal (N) +3 0 0 KN 
Cortante (Q) -3 -3 +6 KN 
Fletor (M) -5 +7 6 (esquerda) KN m 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 27 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
c) 
 
 
 
Esforço Seção S1 Seção S2 Unidade 
Normal (N) -2 0 KN 
Cortante (Q) 0 -4 KN 
Fletor (M) +12 4(direita) KN m 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
Seção S1 Seção S3Esforço 
S1e S1d
Seção S2
S3e S3d
Unidade 
Normal (N) -8 -5 -5 -5 KN 
Cortante (Q) -8 +16 +16 -8 KN 
Fletor (M) -16 0 +28 +24 KN m 
28 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 3 – Diagramas de esforços em vigas isostáticas 
 
3.1 – Diagramas de esforços 
 
Cada esforço secional em uma seção transversal de uma estrutura submetida a um sistema de 
forças ou cargas atuantes já foi definido como uma das componentes de forças e momentos 
resultantes que se transmitem de um lado para o outro da estrutura quando se supõe que ela 
seja cortada pelo plano da seção transversal considerada. Assim, um esforço seccional é 
função das cargas atuantes de um dos lados da seção de corte e, conseqüentemente, da própria 
seção considerada. 
 
Linhas de estado ou diagramas de esforços são, para cada esforço seccional considerado, 
curvas traçadas sobre o eixo longitudinal da estrutura (quando ela é composta de barras), que 
têm por objetivo representar como varia o esforço considerado ao longo das sucessivas seções 
transversais da estrutura. 
 
Para o traçado dos diagramas de esforços tomam-se como eixos coordenados em cada barra o 
seu eixo longitudinal (eixo das abscissas, onde se identificam as seções transversais) e o eixo a 
ele ortogonal (eixo das ordenadas, sobre o qual se assinalam, em escala, os valores do esforço 
considerado, função da seção transversal). 
 
As características dos diagramas de esforços são função das equações fundamentais da 
estática. 
 
3.2– Equações fundamentais da estática 
 
Seja a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado: 
 
Va Vb 
a 
dx 
s 
S 
qdx 
q=q(x) 
x 
xo 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os esforços seccionais em S são dados por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +−=−−= sxosxoasxoaS dxxqxdxxqssVdxxqxssVM .. 
 
( )∫−= sxoaS dxxqVQ 
 
Derivando-se as duas expressões acima em relação à abscissa s que define a seção transversal 
na qual são quantificados os esforços, obtém-se: 
Ultima atualização em 29/6/2007 29 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
( )∫ =−= sxo SaS QdxxqVdsdM 
 → Equações fundamentais da estática 
)(sq
ds
dQS −= 
 
 
 
 
Quadro 7 - Características dos diagramas 
Sabendo+ 
Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao cortante e a derivada negativa do cortante é 
o carregamento, podem-se relacionar algumas características importantes que devem ser 
observadas nos diagramas de esforços seccionais em um trecho de uma barra submetido a um 
carregamento distribuído qualquer: 
 
1. Em um trecho de barra onde não haja carregamento distribuído (q=0), o diagrama de 
cortantes será uma reta horizontal (Q=cte) e o diagrama de momentos será retilíneo 
(coeficiente angular da tangente à curva =cte). 
 
2. Em um trecho de barra onde haja carregamento uniformemente distribuído (q=cte), o 
diagrama de cortantes será uma reta inclinada (curva de 1o grau) e o diagrama de 
momentos será uma curva de 2o grau (parábola). 
 
3. Em um trecho de barra onde haja carregamento triangular, o diagrama de cortantes 
será uma parábola e o diagrama de momentos será uma curva de 3o grau. 
 
4. Em uma seção transversal onde houver uma carga concentrada aplicada, haverá 
necessariamente uma descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, sem, no 
entanto, haver diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. O diagrama de 
momentos fletores apresenta, nesse caso, um ponto anguloso na seção onde se encontra a 
carga concentrada. 
 
5. Em uma seção transversal onde houver um momento aplicado, haverá necessariamente 
uma descontinuidade no diagrama de momentos fletores, sem, no entanto, haver 
diferença em sua inclinação nos dois lados da seção. 
 
6. Nas seções correspondentes a pontos de máximo ou mínimo no diagrama de momentos 
fletores (coeficiente angular nulo), o valor do esforço cortante será nulo. 
 
7. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é 
igual ao esforço cortante nela atuante. 
 
8. O coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é 
igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção, com sinal trocado. 
 
As equações fundamentais da estática permitem, desta forma, a verificação da 
coerência de diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores traçados, entre si e em 
relação ao carregamento atuante na estrutura. 
30 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
3.3– Diagramas para vigas bi-apoiadas 
3.3.1 - Carga concentradaMs 
_ 
+ 
Condições de equilíbrio: 
 
lVaPM
PVVV
BA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
0
0
 
 
 
l
PbV
l
PaV
A
B
=
=
 
VA
S 
A B 
VBa 
l 
b 
x P 
M 
Q 
Cálculo dos esforços: 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥⇒−−
≤⇒==
axaxPxV
axx
l
PbxV
xM
A
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ ( )
l
PabaMM S == 
 
 
( )
⎩⎨
⎧
〉⇒−
〈⇒=
axV
axV
xQ
B
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ descontinuidade 
 
 
A solução é análoga para mais de uma carga concentrada aplicada na viga. 
 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 4 
citadas na página anterior. 
Ultima atualização em 29/6/2007 31 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
3.3.2 - Carga uniformemente distribuída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
M 
Q 
Mmax
Ms 
Condições de equilíbrio: 
 
lVqlM
lqVVV
BA
BA
×=⇒=
×=+⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
2
2
qlV
qlV
A
B
=
=
 
q 
VA
A 
S 
qx 
B 
VBx 
l 
ql 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: 
( )
222
2qxxqlxqxxVxMM AS −=−== ⇒ Curva do segundo grau em x (parábola) 
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
2
=− qxql → 
2
lx = 
 
82
2
max
qllMM =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
 
( ) qxqlqxVxQQ AS −=−== 2 ⇒ curva do primeiro grau em x (reta) 
 para x=0 → ( )
2
qlxQ = 
para x=l → ( )
2
qlxQ −= 
para x ( ) 0
2
=→= xQl 
 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 2 e 6. 
 
32 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
3.3.3 - Carga triangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
M 
Q Mmax
Ms 
x 
Condições de equilíbrio: 
 
lVlplM
plVVV
AA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
32
0
2
0
 
 
3
6
plV
plV
B
A
=
=
 
p 
VA
A 
S 
B 
l
px 
2
plR = 
3/l 
VB
l 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: 
 
( )
l
pxxplx
l
pxxVxMM AS 6632
32
−=×−== ⇒ Curva do terceiro grau em x 
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
Pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
26
2
=−
l
pxpl → lx 577,0= 
 
( ) 2max 064,0577,0 pllMM == 
 
( )
l
pxpl
l
pxVxQQ AS 262
22
−=−== ⇒ curva do segundo grau em x (parábola) 
 
 para x=0 → ( )
6
plxQ = 
para x=l → ( )
3
plxQ −= 
para x ( ) 0577,0 =→= xQl
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 33 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
Pode-se verificar a coerência dos diagramas observando as características 3, 6 e 8. 
 
3.3.4 - Carga-momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de equilíbrio: 
 
- As reações de apoio capazes de 
equilibrar uma carga momento é 
o binário composto por: 
 
l
MVV BA == 
 
- Os diagramas de momentos 
fletores e esforços cortantes 
mostrados na figura são, então, 
imediatamente obtidos. 
A B 
VA VBa 
l 
_ 
M 
Q 
Mb/l 
Ma/l 
b 
S 
M 
-M/l 
É possível verificar a coerência dos diagramas observando as características 1 e 5. 
 
3.3.5 - Caso geral de carregamento: 
 
É comum na prática o caso de viga submetida a carga continuamente distribuída que não 
abrange todo o seu vão, como mostrado na figura abaixo: 
 
 A
B C
D
VA
MB MC
8
2qa
M 
Q 
+VA
+ 
_ 
B C
q
MB MC
MB
MC
a
8
2qa
VA
q 
 
 
VD 
VD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-VD 
 
 
 
34 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho 
Um dos métodos de traçado geral de diagramas, que recai num problema conhecido, é romper 
a viga nas seções B e C, desde que se aplique nesses pontos os esforços ali atuantes, de forma 
a manter o equilíbrio de cada trecho obtido. Feito isto, o trecho BC , por exemplo, poderá ser 
tratado como uma viga biapoiada independente submetida ao carregamento externo que lhe 
está diretamente aplicado e às cargas e momentos concentrados que representam a ação dos 
respectivos esforços seccionais em suas extremidades. Os diagramas de momentos e de 
cortantes podem então ser traçados, separadamente, para cada um dos trechos considerados. 
Outros métodos de traçado podem ser vistos no quadro 8. 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 5 e 6. 
 
 
3.4– Diagramas para vigas engastadas ou biapoiadas com balanços 
 
Em vigas engastadas ou biapoiadas com balanços, todos os conceitos e artifícios apresentados 
até o momento são aplicáveis no cálculo e traçado de diagramas dos esforços seccionais da 
peça. O quadro 8 apresenta um resumo passo a passo do que levar em consideração. 
 
 P 
q 
A B 
Q 
P _ 
QB
l 
a b VC
8
2qa 8
2qb 
MBM 
C 
MC 
 
Condições de equilíbrio: 
 
 
PbqlMM
PlqVV
CC
C
+=⇒=
+×=⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
Esforços na seção B: 
 
qaQ
qaM
B
B
−=
=
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VC 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 5, 6 
e 7. 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 35 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
 
Quadro 8 – Traçado fácil de diagramas 
Sabendo+ 
 Sabendo-se que a derivada do momento é igual ao c Pode-se observar que o diagrama de 
momentos da viga completa AD é obtido assinalando-se nos pontos A, B, C e D, 
respectivamente, os momentos fletores calculados para essas seções e “pendurando-se” na 
linha tracejada que une tais valores em cada trecho da viga, o diagrama de momentos 
característico de uma viga biapoiada submetida ao carregamento que lhe é diretamente 
aplicado. Aqui são apresentadas algumas regras práticas para simplificar o traçado de 
diagramas: 
 
Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra; 
 - Calcular o esforço normal nos trechos entre estes pontos e traçar 
 (compressão para baixo e tração para cima). 
 
Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita, plotar, a partir do eixo da 
estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida 
em que forem surgindo: da seguinte forma (observar diagrama de 
cortantes de exemplo do item 3.3.5).: 
 - Nos trechos sem carregamento, seguir paralelamente ao eixo até o 
próximo carregamento concentrado ou distribuido.. 
 - Nas seções com carga concentrada, desenhar o vetor da força a partir 
do úlitimo ponto marcado. 
 - Nos trechos com carregamento uniforme, traçar uma reta inclinada 
variando o total do carregamento no comprimento carregado. 
 - Nos trechos com carregamento distribuido triangular ou de fprma 
livre, traçar uma reta inclinada tracejada variando o total do 
carregamento no comprimento carregado. Depois desenhar a função real 
(integral do carregamento) . 
. - No final da barra, ao aplicar as últimas cargas a direita; o resultado 
final deve chegar ao zero (corpo em equilíbrio). 
 
Momento Fletor: Marcar os seguintes pontos fundamentais do diagrama de momentos: 
 - Apoios; 
 - Extremidades das barras; 
 - Pontos de apicação de cargas concentradas; 
 - Extremidades de cargas distribuidas;- Seções imediatamente antes e depois dos pontos de aplicação de 
momentos; 
 Calcular o valor do momento fletor em cada uma destas seções, 
marcando no diagrama sempre do lado tracionado; 
 Ligar os pontos com linhas tracejadas nos trechos com carregamento 
distribuido e linhas cheias nos demais trechos; 
 A partir da linha tracejada, traçar o efeito dos carregamentos 
distribuidos como se estivessem atuando em uma viga bi-apoiadam 
considerando a linha tracejada como o eixo da viga. 
 
 
 
36 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
 P2 P4 q P1 P3 
 
 
C B A D 
 
q 
P2 
P3 
P4 
MB MC
P1 P3+P4 
P1 
 
 
 VB
 VC
 
 
 
 MC
MB 
 
 
 
 M
 
 
 
 
 
VB
P1 _ 
+ 
VC
P2 
+ P4 
P3 
_ 
 
 
Q 
 
 
 
 
 
 
Pode-se verificar a coerência do diagrama observando as características 1, 2, 4, 6, 7 
e 8. 
 
 
3.5– Vigas inclinadas 
 
Em algumas estruturas (coberturas, rampas, etc.) é comum encontrar barras inclinadas 
submetidas ao peso próprio e a ações externas. Como calcular os esforços atuantes na viga 
inclinada apresentada a seguir, admitindo-se que a carga concentrada horizontal P se encontra 
aplicada exatamente no meio do vão e a carga distribuida q se apresenta ao longo de sua 
projeção horizontal a? 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 37 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
q 
 
 
a 
b 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) no segundo apoio e uma reação vertical no primeiro 
apoio. 
 
a
PbqaVqaV
a
PbqaVaqaaVbPMMz
aqVVY
PHX
AB
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
22
2222
0:0
:0
:0
1
1
1
+=−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
−=→⋅−⋅+⋅===
⋅=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
 
 
Verifica-se que na utilização trivial das equações de equilíbrio não foi preciso considerar o 
ângulo de inclinação da viga. Desta forma, não há diferença na resolução de vigas 
horizontais e inclinadas na fase de cálculo das reações de apoio. 
 q 
 
P 
a
Pbqa
22
+
P 
a
Pbqa
22
−
 
Para traçar os diagramas de esforços normal e cortante, precisamos de forças 
perpendiculares ou paralelas a barra. Desta forma precisamos decompor todas as forças 
atuantes nestas direções. Como fazer isso? 
 
A decomposição das forças pode ser feita de uma forma bem simplificada por semelhança de 
triângulos considerando-se a barra como a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b. 
Desta forma, o comprimento da barra pode ser dado por 22 bal += e os seno e cosseno em 
relação a horizontal seriam 
l
b=θsen e 
l
a=θcos respectivamente. 
 
 
38 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
 
 
l
a 
b 
 
 
 
 
 
 
 
Como as forças horizontais e verticais devem ser decompostas nas direções paralela e 
perpendicular a barra, a semelhança de triangulos deve ser feita de forma que as forças sejam 
as hipotenusas dos triângulos semelhantes, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l
bFV
l
aFV
l
bFH
l
aFH
b 
a 
 
 
Pela semelhança de triângulos fica fácil perceber que no diagrama de esforço normal devemos 
usar as forças horizontais multiplicadas pelo
l
a=θcos e as forças verticais multiplicadas pelo 
l
b=θsen : 
 
 
 
l
bqa
l
aP
al
Pb
22
2
++
l
aP
al
Pb +
2
2
al
Pb
l
bqa
l
b
a
Pbqa
2222
2
=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
N
l
b
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
22 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 39 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
No caso do esforço cortante devemos usar as forças verticais multiplicadas pelo
l
a=θcos e as 
forças horizontais multiplicadas pelo 
l
b=θsen , logo: 
 
 
l
a
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
22l
Pb
l
bP
l
Pb
22
=+−
Q
l
a
a
Pbqa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
22 l
Pb
l
aqa
l
a
a
Pbqa
2222
−=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
 
Para traçar o diagrama de momentos fletores não é preciso decompor as forças, 
bastando multiplicar as forças horizontais ou verticais pelas distâncias perpendiculares 
às forças em relação à seção desejada. 
 
 
 
4842222
2 Pbqaaqaa
a
Pbqa −=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −8
2
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ aq
8
2
2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ aq
M
Deve-se ressaltar que o momento no meio do vão também pode ser calculado pela 
superposição dos efeitos de uma carga distribuida uniforme e uma carga concentrada no meio 
do vão. 
 
 
Quadro 9 – Superposição de efeitos 
Sabendo+ 
Em geral, uma viga costuma estar submetida a mais de um dentre os exemplos de 
carregamentos apresentados. Neste caso, é sempre válido o princípio da superposição de 
efeitos, ou seja, o diagrama de qualquer esforço na viga será igual à soma dos diagramas 
obtidos para cada uma das cargas aplicadas sobre a viga, isoladamente. 
 
 
 
= + 
 
 
40 
Diagramas de esforços em vigas – Professora Elaine Toscano 
3.6 – Vigas Gerber 3.6 – Vigas Gerber 
 
Seja a estrutura apresentada na figura abaixo: Seja a estrutura apresentada na figura abaixo: 
 
 
A 
B C 
 D 
 
 
 
Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade do trecho AC 
de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as reações necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o trecho carregado, como esse trecho tem 
estabilidade própria o carregamento encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e 
nenhum efeito será transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD 
se apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. 
Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade do trecho AC 
de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as reações necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o trecho carregado, como esse trecho tem 
estabilidade própria o carregamento encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e 
nenhum efeito será transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD 
se apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. 
 
No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento fletor, já que 
não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser representado por uma 
rótula no esquema estático da estrutura, que será o mostrado na figura abaixo: 
No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento fletor, já que 
não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser representado por uma 
rótula no esquema estático da estrutura, que será o mostrado na figura abaixo: 
 
 
 29/6/2007 41 
 
A 
P1 P2 
B 
P5 P6 
C 
D 
P3 P4 
 
 
 
 
 
 
D 
P5 P6 
 
 C 
HC 
 
VC VD
 
A 
P1 P2 
B HC
P3 P4 
VC 
 
 C 
 
 
Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são diretamente 
aplicadas, acrescidas das reações Vc e Hc transmitidas invertidas pela rótula C, recaindo-se, 
assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga biapoiada com balanço (AC). 
Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são diretamente 
aplicadas, acrescidas das reações Vc e Hc transmitidas invertidas pela rótula C, recaindo-se, 
assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga biapoiada com balanço (AC). 
 
Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade própria sobre as 
quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto estável. 
Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade própriasobre as 
quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto estável. 
 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
Quadro 10 – Rótulas 
Sabendo+ 
No item 1.2.1, falamos sobre os diversos tipos de apoios existentes. Os apoios representam 
vínculos externos entre a estrutura e o meio onde estão inseridas, capazes de produzir reações 
que impeçam os movimentos da estrutura. Após apresentarmos o conceito de esforços internos 
já é possível conceituar vínculo interno. Vimos que uma seção transversal é capaz de 
transmitir tensões de um lado para o outro da estrutura que ela secciona e que as resultantes 
dessas tensões são os chamados esforços seccionais. Assim, as seções transversais podem ser 
interpretadas como vínculos entre as duas partes da estrutura que elas separam. Através de tais 
vínculos internos à estrutura, desenvolvem-se reações de um lado sobre o outro da estrutura 
que, além de garantirem o equilíbrio de cada uma das partes, impedem os movimentos 
relativos da estrutura na seção considerada. 
 
Um tipo de vínculo interno que merece ser destacado é a rótula. A rótula é um vínculo 
interno que restringe os deslocamentos relativos (longitudinal e transversal), mas permite a 
rotação relativa entre as duas ou mais barras que ela liga. 
 
Em estruturas de máquinas e mesmo em algumas estruturas metálicas, são exemplos de 
rótulas as dobradiças e alguns tipos de ligações aparafusadas. Em edificações de concreto, o 
exemplo mais comum é o dente Gerber. Os exemplos citados são apresentados abaixo: 
 
 
 
 
Pode-se dizer, assim, que através da seção transversal que contém uma rótula transmitem-se 
esforços normais e cortantes, mas não se transmitem momentos fletores, ou seja, o momento 
fletor na seção da rótula é sempre nulo. 
 
Como conhecemos, a priori, o valor do momento fletor na seção da rótula, que é igual a zero, 
concluímos que cada rótula existente em uma estrutura pode fornecer uma equação adicional 
para determinar as reações de apoio em uma estrutura. Para melhor compreensão, apresenta-se 
abaixo, dois exemplos de estruturas isostáricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VB
R
A A B 
VBVA
VA
Incógnitas: 
VA, VB, HB 
 
Equações: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
M
V
H
 
HAHB B 
Incógnitas: 
VA, VB, HA HB 
 
Equações: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
0
RM
M
V
H
 
HB
ligação aparafusada 
flexível 
dente dobradiça 
barra B barra A 
barra B barra A 
42 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 4 – Diagramas de esforços em pórticos planos 
 
4.1 – Pórticos planos 
 
Este capítulo será dedicado ao estudo dos quadros ou pórticos planos. 
 
Chama-se pórtico plano a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas 
contidas no próprio plano da estrutura. 
 
Para validade desta definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o 
efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano da 
estrutura. 
 
 
4.2– Equações de equilíbrio em pórticos planos 
 
As equações de equilíbrio estático disponíveis para determinação de reações de apoio em 
pórticos planos, considerando-se que não há cargas nem reações na direção transversal ao 
plano da estrutura (plano xy), são as três equações a seguir: 
 
∑∑ == 0VFy Æ Somatório das forças verticais nulo 
∑∑ == 0HFx Æ Somatório das forças horizontais nulo 
0==∑∑ Pz MM Æ Somatório dos momentos em qualquer ponto nulo 
 
Como já vimos no item 3.6, cada rótula existente no quadro plano, interceptando uma de suas 
barras ou posicionada em um de seus vértices, representa uma seção onde o momento fletor é 
conhecido e igual a zero. A cada rótula corresponde, portanto, uma equação adicional ao 
sistema das três equações de equilíbrio, a qual envolve parte das cargas atuantes e das reações 
de apoio a determinar. 
 
Assim, a existência de uma rótula acrescenta uma equação ao sistema de equações de 
de equilíbrio, permitindo ampliar o número de incógnitas que podem ser determinadas 
pelo sistema de equações disponível e mantendo a condição de isostaticidade do quadro. 
 
 0 Æ momento fletor produzido pelas forças ligadas a rótula por um lado ou pelo =RotM
outro é nulo, 
 
 
Calculadas as reações de apoio em um quadro plano, a determinação dos esforços seccionais 
nas sucessivas seções transversais, bem como o traçado de seus diagramas, se faz exatamente 
obedecendo-se aos mesmos princípios apresentados no estudo de vigas isostáticas, sendo 
também válidos todos os artifícios aplicáveis a cada caso de carregamento que se apresente. 
As convenções de sinais podem ser observadas no item 2.3 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 43 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
4.3– Pórticos planos simples 
 
Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, os quais chamaremos de 
quadros simples. Estes quadros são resolvidos sem a necessidade de decomposição em partes 
menores. 
As principais diferenças entre os tipos de quadros simples estão relacionadas ao cálculo das 
reações de apoio. Uma vez determinadas estas reações, o traçado dos diagramas se dá de 
forma muito semelhante ao que já foi apresentado sobre vigas isostáticas. Os itens abaixo 
apresentam de forma resumida estas diferenças no cálculo das reações de apoio para cada um 
dos quatro tipos. 
 
4.3.1 – Quadro biapoiado 
 
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro 
gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático 
são suficientes para sua resolução. 
 
 
 + = 3 incógnitas Æ 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.b). 
 
 
 
A partir do cálculo das reações apresentadas na figura acima, é possível traçar os diagramas de 
esforço normal, cortante e momento fletor. A forma de traçar os diagramas em vigas já foi 
apresentada no quadro Sabendo Mais 8. O quadro Sabendo Mais 11 apresenta algumas 
considerações adicionais sobre os diagramas de esforços em pórticos. 
 
 
44 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
 29/6/2007 45 
 
 
Quadro 11 – Considerações adicionais sobre diagramas em quadros 
Sabendo+ 
 
Esforço Normal: - Marcar os pontos onde existe carregamento na direção da barra e as 
extremidades de cada barra; 
 - Nos trechos entre estes pontos, verificar quais as forças na direção da 
barras ligadas ao trecho por um lado OU pelo outro e verificar se estão 
“entrando” no trecho (compressão) ou “saindo”do trecho (tração). 
 - Traçar os diagramas, observando que o lado para o qual marcamos os 
valores é indiferente, interessando apenas o sinal (compressão negativo 
e tração positivo). 
 
Esforço Cortante: Seguindo da esquerda para a direita em barras horizontais e inclinadas 
e de baixo para cima em barras verticais, plotar, a partir do eixo da 
estrutura, as componentes de forças perpendiculares a barra, a medida 
em que forem surgindo, de acordo com o que já foi apresentado no 
quadro 8. 
 - Deve-se considerar, em cada nó, o efeito das forças transmitidas 
naquele ponto proveniente das outras barras. 
 
Momento Fletor: Observar que marcar as extremidades de cada barra significa que em 
cada nó teremos 2 ou mais pontos de momentos fletores a serem 
calculados, dependendo do número de barras que chega ao nó. 
 - No cálculo dos valores, verificar que os momentos calculados por um 
lado OU pelo outro da seção devem considerar todas asforças ligadas a 
seção pelo lado considerado. 
 
 
 
Os diagramas para o quadro biapoiado são apresentados a seguir. 
 
D.N. D.Q. D.M. 
 
 
Observação: Para os sinais e lados de traçado do diagrama de esforços normais ficarem 
compatíveis com os de esforços cortantes, consideramos o lado esquerdo das barras verticais 
como positivo e o lado direito como negativo. 
 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
4.3.2– Quadro engastado 
 
Os quadros engastados apresentam as 3 reações de apoio proveniente do engaste. Desta forma, 
as 3 equações de equilíbrio estático são suficientes para sua resolução. 
 
 
 = 3 incógnitas Æ 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações é apresentado no item 1.5 (exercício resolvido 1.c). 
 
 
A partir destas reações é possível traçar os diagramas apresentados a seguir. 
 
D.N. D.Q. D.M. 
 
 
46 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
4.3.3– Quadro Triarticulado 4.3.3– Quadro Triarticulado 
 
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do 
segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para 
sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional 
(momento fletor na rótula nulo). 
Os quadros triarticulados apresentam 4 reações de apoio provenientes de dois apoios do 
segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático não são suficientes para 
sua resolução. A existência de uma rótula permite a utilização da equação adicional 
(momento fletor na rótula nulo). 
 
 
 
 29/6/2007 47 
 + = 4 incógnitas Æ 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 Rótula = uma equação adicional Æ 0=RotM 
 
 
Um exemplo de cálculo das reações em quadros triarticulados é apresentado a seguir: 
 
 
 
Há duas reações (vertical e horizontal) em cada apoio do 2º gênero. Deve-se descobrir as 
quatro incógnitas do problema: 
 
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) 
VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) 
 
Utilizando as quatro equações disponíveis: 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=+−⋅=
=−=−⋅−−−⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅===
=⋅++=+=
=+=
−
=
=
=
∑∑
∑
∑
0435,16
0666634335,1325,464663230:0
163264:0
12:0
1
1
1
BBDROT
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
BA
n
i
i
HVM
VVMMz
kNVVY
kNHHX
 
 
Logo: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=→=+−=+⋅−=
=→=
=+
=+
− kNHHHM
kNVV
kNVV
kNHH
BBBDROT
BB
BA
BA
6042441139
11666
16
12
 
 
Então: 
kNV
kNH
A
A
5
6
=
=
 
 
A partir destas reações de apoio e possível traçar os diagramas de esforços atuantes: 
D.N. D.Q. 
D.M. 
48 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
 
Observações: 
 
 - Neste exemplo o apoio B não se encontra alinhado com a rótula nem na direção 
vertical nem na horizontal. Quando algum apoio se encontra alinhado com a rótula, 
torna-se mais fácil obter imediatamente uma das reações de apoio através da 
equação da rótla. 
 
 - Para o traçado dos diagramas de esforços normal e cortante da barra inclinada, 
basta considera-la uma vigar inclinada com o total do carregamento ligado pela 
esquerda aplicado ma extremidade esquerda e o total do carregamento a direita 
aplicado na extremidade direita. 
 
 Faz-se então a decomposição destas forças para auxiliar o traçado direto dos 
diagramas. 
 
 
4.3.4– Quadro biapoiado com rótula e tirante (ou escora) 
 
Os quadros biapoiados apresentam 3 reações de apoio provenientes de um apoio do primeiro 
gênero e de um apoio do segundo gênero. Desta forma, as 3 equações de equilíbrio estático 
são suficientes para sua resolução. 
 
Quando se inclui em um quadro biapoiado uma rótula e um tirante (ou escora), o quadro 
permanesse isóstático. Como isso ocorre? 
 
 
 
 + = 3 incógnitas Æ 3 equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
 Rótula = uma equação adicional Æ 0=RotM 
 
 Tirante = uma incógnita adicional Æ ?=TirN 
 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 49 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
Considando uma barra descarregada e rotulada em suas extremidades, os esforços 
cortante e de momento fletor nesta barra são nulos, havendo apenas esforço normal. 
Quando este esforço é de tração chama-se a barra de tirante e quando o esforço é de 
compressão a barra é denominada escora. 
 
O valor do esforço normal no tirante (ou escora) torna-se mais uma incógnita do problema. 
Desta forma, a rótula adicional fornece mais uma equação (momento fletor na rótula nulo).a 
fim de garantir a isostaticidade da estrutura. 
 
Para o cálculo das três reações nos apoios, procede-se como em um quadro biapoiado padrão 
(item 4.3.1). A equação da rótula é utilizada para a determinação do esforço normal no tirante. 
O cálculo deste esforço normal é feito substituindo o tirante por duas forças opostas de mesmo 
módulo aplicadas onde ficavam as extremidades do tirante. 
 
= 
 
N N 
VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç) 
HB Æ Força horizontal no segundo apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å) 
N Æ Esforço normal no tirante, adotado inicialmente saindo do tirante (ÅÆ) 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=+=
=−=+⋅⋅−⋅⋅===
=⋅=+=
==
−
=
=
=
∑∑
∑
∑
024
012442421220:0
1262:0
0:0
1
1
1
NM
VVMMz
kNVVY
kNHX
EROT
AAB
n
i
i
BA
n
i
i
B
n
i
i
 
 
Logo: 
kNV
kNH
A
B
3
0
=
=
 
kNV
kNN
B 9
2
=
−=
 
 
50 
Diagramas de esforços em pórticos planos – Professora Elaine Toscano 
Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, 
puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em 
conseqüência dos momentos aplicados na rótula. 
Ou seja, o esforço normal é contrário ao adotado inicialmente. O tirante está, na realidade, 
puxando as barras verticais para dentro, de forma a evitar que o quadro se abra em 
conseqüência dos momentos aplicados na rótula. 
 
Observação: Como as barras estão puxando o tirante para fora, ele oferece uma reação, 
puxando as barras para dentro. Esta reação é representada pelas forças N. 
 
A convenção de sinais apresentada no item 2.3.1 afirma que o esforço normal é: 
 positivo na tração (forças “saindo da seção”) e 
 negativo na compressão (forças “entrando na seção”) 
 
 
 29/6/2007 51 
 
 
 
 
 
 
ds ds 
 
 
N(+) N(-)
No caso do tirante, apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é 
positivo pois as setas representam uma reação do tirante às ações por ele sofridas. 
 
Desta forma, em tirantes (ou escoras): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escora 
N(-) 
Tirante 
N(+)
 
A partir das reações de apoio e do esforço normal calculado, é possível traçar os diagramas de 
esforços atuantes: 
D.N. D.Q. 
Ultima atualização em
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
D.M. 
 
Observações: 
 
- Verifica-se