Estatística e Probabilidade

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Estatística e Probabilidade 
Alexandre Antunes 
Medidas de Dispersão 
GST1079 - Estatística e Probabilidade 
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 
a) Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média. 
b) Determine a variância. 
c) Determine o desvio padrão. 
d) qual a amplitude total? 
Medidas de Dispersão 
GST1079 - Estatística e Probabilidade 
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 
a) Determine o desvio médio desses valores em relação a sua média. 
Média: 𝑋 = 
𝑋𝑖
𝑁
=
8:4:6:9:10:5
6
=
42
6
 
 𝑋 = 7 
𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑋𝑖 − 𝑋 
4
5
6
8
4 − 7 = −3
5 − 7 = −2
6 − 7 = −1
8 − 7 = 1
3
2
1
1
9
10
9 − 7 = 2
10 − 7 = 3
2
3
 
 𝑋𝑖 − 𝑋 = 0 𝑋𝑖 − 𝑋 = 12 
Portanto o desvio médio é 
𝐷𝑚 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 . 𝑓𝑖
𝑛
=
12
6
= 2 
Medidas de Dispersão 
GST1079 - Estatística e Probabilidade 
1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 
b) Determine a variância. 
𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑋𝑖 − 𝑋 
2
4
5
6
8
4 − 7 = −3
5 − 7 = −2
6 − 7 = −1
8 − 7 = 1
9
4
1
1
9
10
9 − 7 = 2
10 − 7 = 3
4
9
 
 𝑋𝑖 − 𝑋 = 0 𝑋𝑖 − 𝑋 
2 = 28 
Portanto a variância é 
𝑆2 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 
2. 𝑓𝑖
𝑁 − 1
=
28
5
= 5,6 
Média: 𝑋 = 
𝑋𝑖
𝑁
=
8:4:6:9:10:5
6
=
42
6
 
 𝑋 = 7 
Medidas de Dispersão 
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1ª Questão: Dado o conjunto de números 8, 4, 6, 9, 10, 5 
c) Determine o desvio padrão. 
𝑆 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖
𝑁 − 1
= 5,6 = 2,36 
d) qual a amplitude total? 
𝐴𝑇 = 10 − 4 = 6 
Medidas de Dispersão 
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2ª Questão: A tabela ao lado é o resultado 
de uma pesquisa realizada entre os 
funcionários de uma empresa de exportação 
e importação de produtos eletrônicos, com o 
objetivo de verificar os salários nesse 
segmento de mercado. 
a) determine o desvio médio; 
b) determine a variância; 
c) determine o desvio padrão. 
Salário 
(Em salários mínimos) Funcionários 
1 |-- 2 1 
2 |-- 3 4 
3 |-- 4 6 
4 |-- 5 5 
5 |-- 6 6 
6 |-- 7 10 
7 |-- 8 9 
8 |-- 9 6 
9 |-- 10 3 
50 
Medidas de Dispersão 
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2ª Questão: a) determine o desvio médio; 
Salário Funcionários 
(Em salários mínimos) Xi Frequência (fi) Xi * fi Xi - M |Xi - M|.fi 
1 |-- 2 1.50 1 1.50 -4.50 4.50 
2 |-- 3 2.50 4 10.00 -3.50 14.00 
3 |-- 4 3.50 6 21.00 -2.50 15.00 
4 |-- 5 4.50 5 22.50 -1.50 7.50 
5 |-- 6 5.50 6 33.00 -0.50 3.00 
6 |-- 7 6.50 10 65.00 0.50 5.00 
7 |-- 8 7.50 9 67.50 1.50 13.50 
8 |-- 9 8.50 6 51.00 2.50 15.00 
9 |-- 10 9.50 3 28.50 3.50 10.50 
50 300.00 88.00 
𝑀 = 𝑋 
𝑋 =
 𝑋𝑖 . 𝑓𝑖 
𝑛
𝑖=1
 𝑓𝑖 
𝑛
𝑖=1
=
300
50
 
𝑋 = 6 
Portanto, o desvio 
médio é 
𝐷𝑚 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 . 𝑓𝑖
𝑁
 
=
88
50
= 1,76 
Medidas de Dispersão 
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2ª Questão: b) determine a variância; 
 c) determine o desvio padrão. 
Salário Funcionários 
(Em salários mínimos) Xi Frequência (fi) Xi * fi Xi - M (Xi - M)
2.fi 
1 |-- 2 1.50 1 1.50 -4.50 20.25 
2 |-- 3 2.50 4 10.00 -3.50 49.00 
3 |-- 4 3.50 6 21.00 -2.50 37.50 
4 |-- 5 4.50 5 22.50 -1.50 11.25 
5 |-- 6 5.50 6 33.00 -0.50 1.50 
6 |-- 7 6.50 10 65.00 0.50 2.50 
7 |-- 8 7.50 9 67.50 1.50 20.25 
8 |-- 9 8.50 6 51.00 2.50 37.50 
9 |-- 10 9.50 3 28.50 3.50 36.75 
50 300.00 216.50 
Portanto a variância é 
𝑆2 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 
2. 𝑓𝑖
𝑁 − 1
=
216,50
50
 
 
𝑆2 = 4,33 
E o desvio padrão é 
𝑆 =
 𝑋𝑖 − 𝑋 2. 𝑓𝑖
𝑁 − 1
 
 
𝑆 = 2,08 
Medidas de Assimetria 
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Para revisar os índices de Assimetria e Curtose, ditos de Pearson, 
sugerimos que você reveja a apresentação do PreparAV1. 
Ressalto que, além desse tema, as demais revisões poderão ser uteis 
para o bom fechamento de seu semestre na disciplina! 
Probabilidade 
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3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. 
Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja 
múltiplo de 8 é: 
O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. 
Probabilidade 
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3ª Questão: (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. 
Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja 
múltiplo de 8 é: 
Os múltiplos de 8 são os números 8, 16, 24, 32, 40, 48. 
Para problemas com uma quantidade maior de números, podemos encontrar a 
quantidade de múltiplos de 8, utilizando a progressão aritmética de razão 8, 
com a1 = 8 (1º múltiplo) e an (último múltiplo). 
O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. 
Logo, 
25
3
50
6
)E(P 
. 
Probabilidade 
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4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número 
maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? 
. 
Probabilidade 
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4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número 
maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? 
O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Como foi informado que o resultado é maior que 3, o espaço amostral fica 
reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6. 
 
Logo, . 
. 
1ª Solução: Redução do espaço amostral 
 
3
2
3|parP 
Probabilidade 
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4ª Questão: No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número 
maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? 
i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; 
ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; 
iii) E ∩ E’ = {4, 6} 
 
Logo, . 
. 
2ª Solução: Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos: 
 
 
3
2
3
6
.
6
2
6
3
6
2
)E(P
E'EP
E|'EP 


Probabilidade 
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5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube 
A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, 
qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B? 
. 
Probabilidade 
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5ª Questão: Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube 
A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, 
qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B? 
. 
Utilizando a teoria de conjuntos, temos: 
 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500. 
 
Logo, 
  %50
2
1
1000
500
BAP 
Probabilidade 
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6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco 
bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma 
após outra, sem reposição? 
. 
Probabilidade 
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6ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolas pretas e cinco 
bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma 
após outra, sem reposição? 
. 
A = {a primeira bola é branca} 
B = {a segunda bola é branca} 
𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵|𝐴) 
𝑃 𝐴 𝐵 =
3
10
.
2
9
=
1
5
.
1
3
=
1
15
= 0,0667 
Logo, a probabilidade é de 6,67% 
Probabilidade 
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7ª Questão: Em uma caixa, temos três bolas brancas, duas bolaspretas e cinco 
bolas amarelas. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas brancas, uma 
após outra, sem reposição? 
. 
Probabilidade 
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7ª Questão: Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de 
uma moeda honesta? 
.