7.+Modelagem+de+Sistemas+Discretos +Tempo+Cont%c3%adnuo

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Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
Baseado em: 
• Introdução à Pesquisa Operacional. Hillier e 
Lieberman. 2013. 
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 Em todas as seções anteriores, partimos do 
pressuposto de que o parâmetro relativo a 
tempo, t, fosse discreto (isto é, t = 0, 1, 2, ... ). 
Tal hipótese é adequada para muitos problemas, 
porém há certos casos (por exemplo, para 
alguns modelos de fila) nos quais é necessário 
um parâmetro de tempo contínuo (chamemos 
t'), em virtude de a evolução do processo estar 
sendo observada continuamente ao longo do 
tempo. 
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 Um processo estocástico de tempo contínuo 
𝑋 𝑡′ ; 𝑡′ ≥ 0 é uma cadeia de Markov de tempo 
contínuo se ela possuir a propriedade 
Markoviana. 
 Iremos restringir nossa consideração a cadeias 
de Markov de tempo contínuo com as seguintes 
propriedades: 
1. Um número de estados finito. 
2. Probabilidades de transição estacionárias. 
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 Cada vez que o processo entra no estado i. a 
quantidade de tempo que ele gasta neste estado 
antes de se transferir para um estado diferente é 
uma variável aleatória 𝑇𝑖, em que i =0, 1 .... ,M. 
 A Propriedade Markoviana diz que a distribuição 
probabilística do tempo remanescente até o 
processo sair de dado estado é sempre o 
mesmo, independentemente de quanto tempo o 
processo tiver gasto nesse estado (distribuição 
exponencial) 
𝑃 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 = 1 − 𝑒
−𝑞.𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0 
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 Esse resultado nos leva a uma maneira equivalente 
de descrever uma cadeia de Markov de tempo 
contínuo: 
1. A variável aleatória 𝑇𝑖 possui uma distribuição exponencial 
com uma média 1 𝑞𝑖 ; 
2. Ao sair do estado i, o processo vai para um estado j com 
probabilidade 𝜌𝑖𝑗 em que 𝜌𝑖𝑗 satisfazem as condições 
𝜌𝑖𝑖 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖
𝑒
 𝜌𝑖𝑗
𝑀
𝑗=0
= 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖
 
 
3. O próximo estado visitado após o estado i é independente 
do tempo gasto no estado i. 
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 Da mesma forma que as probabilidades de transição 
em uma etapa desempenharam importante papel na 
descrição cadeias de Markov de tempo discreto, o 
papel análogo para uma cadeia de Markov de tempo 
contínuo é desempenhado pelas intensidades de 
transição (𝑞𝑖 e 𝑞𝑖𝑗). 
 A interpretação intuitiva dos 𝑞𝑖 e 𝑞𝑖𝑗 é que elas são 
taxas de transição. Particularmente, 𝑞𝑖 é a taxa de 
transição fora do estado i no sentido que 𝑞𝑖 é o 
número de vezes esperado que o processo deixe o 
estado i por unidade de tempo gasto no estado i. 
 𝑞𝑖𝑗 é a taxa de transição do estado i ao estado j no 
sentido que 𝑞𝑖𝑗 é o número de vezes esperado que o 
processo transita do estado i ao estado j por 
unidade de tempo gasta no estado i. 
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𝑞𝑖 = 𝑞𝑖𝑗
𝑗≠𝑖
 
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𝜋𝑗 . 𝑞𝑗 = 𝜋𝑖 . 𝑞𝑖𝑗
𝑖≠𝑗
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑗 = 0, 1,⋯ ,𝑀
𝑒
 𝜋𝑗
𝑀
𝑗=0
= 1
 
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Certa loja tem duas máquinas idênticas que são 
operadas continuamente, exceto quando elas estão 
quebradas. Pelo fato de elas quebrarem com relativa 
freqüência, a alocação de prioridade mais alta para 
uma pessoa da manutenção em tempo integral é 
repará-las sempre que necessário. 
O tempo exigido para reparar uma máquina tem uma 
distribuição exponencial com uma média igual a 1 2 
dia. Assim que o reparo de uma máquina tiver 
terminado, o tempo até a próxima vez em que essa 
máquina se quebrar tem uma distribuição exponencial 
com média igual a 1 dia. Essas distribuições são 
independentes. 
Qual é a probabilidade de termos 0, 1 ou 2 máquinas 
quebradas? 
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