Lista de Exercícios 3 - Modelagem de Sistemas Discretos

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Mod. Sist. Disc. 
Lista de Exercícios I - Cadeias de Markov 
 
1) Em Salvador, um taxista opera entre o aeroporto, a cidade baixa e um grupo de hotéis 
na orla. Em cada corrida o táxi aceita um passageiro (ou um grupo de passageiros 
viajando juntos) e transporta-o a um dos 3 destinos. Fica depois nesse local à espera de 
um novo cliente. Estudos realizados conduziram às seguintes conclusões: metade dos 
passageiros que apanham o táxi no aeroporto dirige-se à baixa e a outra metade aos 
hotéis; os passageiros que apanham o táxi na baixa distribuem-se igualmente pelos 3 
destinos; dois terços dos passageiros que apanham o táxi nos hotéis vão para o aeroporto 
e os restantes vão para a baixa. Construa um modelo que “siga” as viagens do táxi. 
 (a) Represente o diagrama de transições e determine a matriz de transições. 
 (b) Calcule a matriz de transições de 2ª ordem. Qual a probabilidade de o táxi 
estar de volta ao aeroporto ao fim da 2ª viagem após ter saído do aeroporto ? 
 (c) Se o táxi tiver igual probabilidade de partir dos 3 locais, qual a 
probabilidade de estar no aeroporto ao fim da 2ª viagem ? 
 (d) Calcule as probabilidades estacionárias. Qual a probabilidade de o táxi estar 
nos hotéis no fim do dia de trabalho (após um longo nº de viagens) ? 
 (e) Qual o nº médio de viagens até o táxi alcançar os hotéis, tendo começado na 
baixa? Se o táxi começou nos hotéis, qual o nº médio de viagens até o táxi alcançar de 
novo os hotéis? 
 
2) Cada família americana mora ou na zona urbana ou na rural ou na suburbana. 
Durante cada ano 15% das famílias urbanas mudam-se para o subúrbio e 5% para a 
zona rural. Já para as famílias suburbanas, 6% mudam-se para a zona urbana e 4% para 
a zona rural. Finalmente, 4% das famílias da zona rural mudam-se para a cidade e 6% 
para o subúrbio. 
Se atualmente uma família mora na cidade, qual a probabilidade de que em dois anos 
ela continue morando na cidade? Que vá para o subúrbio? E para o campo? 
Atualmente, 40% das famílias americanas vivem na zona urbana, 35% na 
suburbana e 25% na área rural. Daqui a dois anos qual será a porcentagem de 
famílias americanas a viver na área urbana? 
 
3) Considere um sistema de estoque cuja seqüência de eventos durante o dia é a 
seguinte: 
Observa-se o nível do estoque no início do dia (estado “i”). Se i ≤ 1, encomenda-se 
4-i unidades. Cada pedido tem entrega imediata (Por exemplo: se você imaginar que 
seja uma loja, suponha que a reposição é feita antes do horário comercial). Em 
relação à demanda diária do produto, a probabilidade de venda é: 
- 1/3 de não vender nada 
- 1/3 de vender uma unidade 
- 1/3 de vender duas unidades 
 Observa-se o nível de estoque no início do dia seguinte. Considerando que o nível 
de estoque no início de cada dia é a principal característica a observar, determine a 
matriz de transição que pode ser usada para representar o sistema como uma cadeia de 
Markov 
 
 2 
 
4) Considere a seguinte matriz de transição: 





















3/20003/10
000001
002/104/14/1
010000
100000
000100
P
 
 
a. Quais estados são transientes: 
b. Quais estados são recorrentes? 
c. A cadeia é ergódica? 
 
5) Para cada uma das seguintes cadeias , determine se a cadeia de Markov é ergódica. 
Determine par cada uma deles, o conjunto de estados recorrentes , o conjunto de estados 
transientes e o de estados absorventes. 
 











1,05,04,0
07,03,0
2,08,00
1P













1000
01,05,04,0
1,09,000
008,02,0
2P 
 
 
6) Para cada uma das cadeias de Markov a seguir, calcule a fração de tempo que cada 
estado estará ocupado. 
a) 






2/12/1
3/13/2 b) 










02,08,0
8,02,00
02,08,0
 
 
c) Calcule os tempos da primeira passagem para a cadeia 
 
7) Considere duas ações. A ação 1 é sempre vendida por R$ 10 ou R$ 20 . Se a ação 1 
for vendida por R$ 10 hoje, terá 80% de chance de ser vendida por R$ 10 amanhã. Se 
for vendida por 20 hoje, terá 90% de chance de ser vendida por R$ 20 amanhã. A ação 2 
é sempre vendida por 10 ou 25 . Se a ação 2 for vendida por 10 hoje, terá 90% de 
chance de ser vendida por R$ 10 amanhã. Se for vendida por 25 hoje, terá 85% de 
chance de ser vendida por R$ 25 amanhã. Em média qual das duas será vendida pelo 
preço mais alto? 
 
8) Uma fábrica de cerveja (A) pretende analisar a sua posição no mercado e está 
particularmente preocupada com a sua concorrente (B). Os técnicos da companhia (A) 
pensam que a mudança de marca de cerveja por parte dos consumidores pode ser 
modelada como uma cadeia de Markov usando 3 estados. Os estados A e B representam 
os consumidores que preferem a cerveja das companhias (A) e (B), respectivamente, 
enquanto o estado C representa os consumidores que preferem todas as outras marcas. 
Com base em registros foi construída a matriz de transições: 
 3 
 
 A B C 
A 0.7 0.2 0.1 
B 0.2 0.75 0.05 
C 0.1 0.1 0.8 
 
Quais são as quotas de mercado de cada companhia em regime estacionário? 
 
9) O programa de formação de supervisores de produção de uma empresa consiste em 2 
fases. A fase 1, que envolve 3 semanas de aulas teóricas, é seguida da fase 2, que 
envolve 3 semanas de aulas práticas. Pelas experiências anteriores, a companhia espera 
que apenas 60% dos candidatos da fase teórica passem à fase prática, com os restantes 
40% completando aí todo o seu programa de formação (ou seja, sendo eliminados). Dos 
que freqüentam a fase prática, 70% são graduados como supervisores, 10% devem 
repetir esta fase e 20% são eliminados. 
 
(a) Represente o diagrama de transição de estados. 
(b) Quantos supervisores podem a companhia esperar formar no seu programa se 
inicialmente houver 45 pessoas na fase teórica e 21 na fase prática ? 
 
10) Um produto é processado em duas máquinas seqüenciais, I e II. A inspeção ocorre 
após uma unidade do produto ser concluída em uma máquina. Há 5% de chance de a 
unidade ser descartada antes de uma inspeção. Após a inspeção, há 3% de chance de a 
unidade ser descartada e 7% de chance de ser devolvida à mesma máquina para 
retificação. Caso contrário, uma unidade que passa pela inspeção nas duas máquinas é 
boa. 
a. Expresse o problema como uma Cadeia de Markov 
b. Determine o número médio de passagens em cada estação para uma peça que começa 
na máquina I. 
c. Se um lote de 1000 peças for iniciado na máquina I, quantas unidades boas serão 
produzidas? 
 
11) Análise de dados passados mostra que quando um aluno pega um livro emprestado 
na biblioteca, em média, o devolve uma semana depois. Dependendo do livro e do 
tempo livre do aluno, há 30% de chance de conservá-lo por mais uma semana. Caso o 
aluno fique com o livro por duas semanas, há 10% de chance de conservá-lo por mais 
uma semana. Foi considerado desprezível o número de alunos que fica com um livro 
por mais de três semanas. 
a) Expresse a situação por meio de uma cadeia de Markov. 
b) Determine o número médio de semanas que um aluno permanece com o livro antes 
de devolvê-lo à biblioteca.