01 Modelo básico

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Modelo com 1 insumo e 1 produto
Exemplo: 4 DMUs, 1 produto e 1 insumo
DMU Y1 X1 Produtividade (Y1/X1)
1 125 18 6,94
2 44 16 2,75
3 80 17 4,71
4 23 11 2,09
Utilizando a produtividade como medida de 
eficiência
DMU Produtividade (Y1/X1)
Eficiência
(Yi/Xi) /(Y/X máx)
1 6,94 6,94/6,94 = 1,000
2 2,75 2,75/6,94 = 0,396
3 4,71 4,71/6,94 = 0,679
4 2,09 2,09/6,94 = 0,301
.0,
1x
y
:asujeito
,x
yMAX
j
j
i
i
≥νµ
≤





ν
µ





ν
µ
Pode-se construir um PPL para calcular a eficiência
0;0
:asujeito
MAX
1
111
23
117
80
116
44
118
125
16
44
≥ν≥µ
≤ν
µ
≤ν
µ
≤ν
µ
≤ν
µ
ν
µ
DMU Y1 X1
1 125 18
2 44 16
3 80 17
4 23 11 INFINITAS 
SOLUÇÕES
Linearizando o PPL
 Para linearizar, basta considerar νxi = 1
.0,
1x
y
:asujeito
,x
yMAX
j
j
i
i
≥νµ
≤





ν
µ





ν
µ
.0,
,1x
,0xy
:asujeito
,yMAX
i
jj
i
≥νµ
=ν
≤ν−µ
µ
.0,
,1x
,0xy
:asujeito
,yMAX
i
jj
i
≥νµ
=ν
≤ν−µ
µ
Método dos multiplicadores com retornos constantes (DMU 2)
0;0
,116
01123
01780
01644
018125
:asujeito
,44MAX
≥ν≥µ
=ν
≤ν−µ
≤ν−µ
≤ν−µ
≤ν−µ
µ
DMU Y1 X1
1 125 18
2 44 16
3 80 17
4 23 11
Modelo com 2 insumos e 1 produto
P0
Q0TécnicaEficiência =
Q0
R0AlocativaEficiência =
P0
R0
Q0
R0x
P0
Q0EconômicaEficiência ==
x2/y
A
0 A’ x1/y
S’
Q’
P
Q
R
Produto e insumos de seis DMUs
DMU y x1 x2 x1/y x2/y
1 2 6 14 3 7
2 4 8 16 2 4
3 3 12 12 4 4
4 2 6 4 3 2
5 1 6 3 6 3
6 3 15 3 5 1
6
4
5
2 3
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1/y
x2/y
Fronteira 
eficiente
Firma x1/y x2/y
1 3 7
2 2 4
3 4 4
4 3 2
5 6 3
6 5 1
6
4
5
2 3
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1/y
x2/y 2, 4 e 6 são eficientes
1, 3 e 5 são ineficientes
6
4
5
2 3
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1/y
x2/y O que as ineficientes 
podem fazer?
6
4
5
2 3
1
5’
3’
1’
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x1/y
x2/y
Firma Eficiência Redução
1 66,67% -33,33%
2 100,00% 0,00%
3 66,67% -33,33%
4 100,00% 0,00%
5 58,33% -41,67%
6 100,00% 0,00%
Solucionando o modelo com 
software de Programação linear 
e Excel
O exemplo de Beasley
Dados de quatro DMUs:
2 produtos e 1 insumo
DMU Y1 Y2 X1
A 125 50 18
B 44 20 16
C 80 55 17
D 23 12 11
.0,
,1x
,0xyy
:asujeito
,yyMAX
i1
j1j22j11
i22i11
≥νµ
=ν
≤ν−µ+µ
µ+µ
O PPL para a DMU 2
0;0
,116
0111223
0175580
0162044
01850125
:asujeito
,2044MAX
21
21
21
21
21
≥ν≥µ
=ν
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
µ+µ
DMU Y1 Y2 X1
A 125 50 18
B 44 20 16
C 80 55 17
D 23 12 11
0;0
,116
0111223
0175580
0162044
01850125
:asujeito
,2044MAX
21
21
21
21
21
≥ν≥µ
=ν
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
µ+µ Na solução ótima:
µ1 = 0,003
µ2 = 0,015 
υ1 = 0,063
Relação µ2 / µ1 = 5
E se for necessário mudar 
a proporção entre µ2 e µ1? 
Exemplo: µ2 / µ1 ≥ 12
.0,
,012
,1x
,0xyy
:asujeito
,yyMAX
12
i1
j1j22j11
i22i11
≥νµ
≥µ−µ
=ν
≤ν−µ+µ
µ+µ
O PPL para a DMU 2, supondo µ2 / µ1 ≥ 12
0;0
,012
,116
0111223
0175580
0162044
01850125
:asujeito
,2044MAX
12
21
21
21
21
21
≥ν≥µ
≥µ−µ
=ν
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
≤ν−µ+µ
µ+µ
DMU Y1 Y2 X1
A 125 50 18
B 44 20 16
C 80 55 17
D 23 12 11
	Modelo com 1 insumo e 1 produto
	Exemplo: 4 DMUs, 1 produto e 1 insumo
	Utilizando a produtividade como medida de eficiência
	Número do slide 4
	Linearizando o PPL
	Número do slide 6
	Modelo com 2 insumos e 1 produto
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Solucionando o modelo com software de Programação linear e Excel��O exemplo de Beasley
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18