Matemática comercial e financeira Slides aula 04 06.03.2017

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Matemática Comercial 
e Financeira
Aula 4
Prof. Dr. Aroldo Salviato
Resumo: 
Nesta tele aula será abordado os conceitos sobre 
métodos de financiamentos ou empréstimos, das 
chamadas Rendas Certas e Amortização.
Resumo
Objetivo:  
Esta teleaula tem por objetivo ajudar o aluno a 
desenvolver uma visão objetiva e abrangente, 
permitindo uma maior compreensão dos principais 
conceitos que baseiam os financiamentos ou 
empréstimos e no pagamento de dívidas baseadas 
em parcelas com amortizações iguais.
Objetivo
Renda é o nome dado aos pagamentos ou 
recebimentos sucessivos feitos ao longo do tempo, 
tanto a nível de financiamentos quanto à 
investimentos.
Se forem para o pagamento de uma dívida, dizemos 
que é uma amortização.
Se forem para constituir um capital futuro, dizemos que 
é um processo de capitalização.
Se forem pagamentos feitos pelo 
uso(aluguéis), neste caso não 
ocorre amortização.
Rendas certas e amortização Para ser classificadas como rendas certas, 
também chamadas de séries periódicas 
uniformes, os pagamentos ou recebimentos são 
imutáveis, ou seja, são contratados previamente. 
Assim as Rendas Certas são consideradas 
temporárias, constantes e periódicas.
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Parecida com as rendas certas tem‐se Rendas 
Aleatórias, mas esta ocorre quando dependem de 
fatores incertos, que podem ou não ocorrerem, 
por exemplo, seguro de vida.
Com relação ao número de termos:
*Temporária (aleatória): Número finito de termos.
* Permanente (perpétuas): Número ilimitado de 
termos (aposentadoria).
As rendas podem ser classificadas como:
*Constantes (uniforme ou fixa): Termos das rendas 
forem iguais.
* Variáveis: Termos das rendas forem diferentes.
Com relação ao intervalo de tempo dos termos (períodos):
*Periódicas: Mesmo intervalo de tempo entre os termos.
* Não periódicas: Intervalos de tempo diferentes entre 
os termos.
Com relação aos valores dos termos: Com relação a data de vencimento do 1º termo:
* Imediata: O 1º termo vence imediatamente no 
final do primeiro período considerando a 
data zero.
* Deferida: O 1º termo vence a partir de um outro 
período que não o primeiro. Neste caso existirá 
um intervalo de tempo em que não ocorre o 
pagamento (carência).
Note que tanto as rendas imediatas podem ser:
* Antecipada: Os termos vencem no início do 
período (o 1º termo vence na data do contrato, 
ou seja, no período zero, ou seja, na data 1).
* Postecipadas (vencidas): Os termos vencem no 
final do período.
O objetivo é no valor final, no montante final, ou 
seja, no valor futuro. Graficamente, temos:
Para o cálculo de rendas certas
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Em que difere Rendas certas e 
operação de Juros?
VF: é o valor futuro, é o valor total que será 
resgatado ao final das aplicações;
PMT: é o valor da parcela 
(parcelas de mesmo valor);
i: é a taxa da operação (juros compostos);
n: é o número de parcelas (em rendas certas n 
não se trata de tempo);
: é o Fator de Acumulação de 
Capitais para uma séries 
de capitais.
Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100,00, 
feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m., 
sendo que a primeira parcela (ou aplicação) se dá 
um mês após a data inicial: 
Resolução:
VF = ?                      
n = 5
i = 10% a.m.
Postecipado
Exemplo Resolução
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Atividade 1
Qual será o montante ao final de 5 anos, que um 
investidor terá poupado, se começar hoje a 
depositar R$ 200,00 por mês, sendo a taxa de juros 
de 1% ao mês?
Refere‐se ao pagamento do principal de uma dívida, 
ou seja, o objetivo agora é no valor inicial (valor 
presente ou principal).
O Sistema de amortização “diz” de que forma o 
empréstimo ou financiamento é extinto por 
pagamentos periódicos.
Financiamentos longos            Adota‐se a 
capitalização composta.
Amortização
As prestações constituem de duas partes: a 
amortização ou devolução do principal 
emprestado e os juros correspondentes aos 
saldos do empréstimos ainda não amortizados, ou 
seja os juros cobrados são sempre sobre o 
saldo devedor.
Sistema Francês (Price);
Sistema Constante (SAC);
Sistema Americano;
Sistema Misto;
Sistema Único;
Sistema Variável.
Tipos de sistema de amortização
Sistema de Amortização Francês (SAF): A dívida é 
quitada através de prestações iguais, periódicas e 
sucessivas. 
Ex: Vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de 
varejo.
Sistema de Amortização Constante (SAC): A dívida é 
quitada através de prestações periódicas, sucessivas 
e decrescentes em P.A., em que as prestações 
incorpora o principal mais encargos.
Ex: Sistema Financeiro 
de Habitação.
Sistema de Amortização Americano (SAA): Os 
juros são pagos periodicamente e o principal é 
quitado no final da operação.
Ex: Título de dívida pública, debêntures, etc.
Sistema de Amortização Misto (SAM): Para cada 
um dos valores de seu plano de pagamento soma‐
se os valores obtidos pelo Sistema Francês (SAF) 
com os valores obtidos pelo Sistema SAC, 
dividindo‐se por dois. 
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Sistema de Pagamento Único: Um único 
pagamento no final. O devedor paga o Montante 
= Capital + Juros compostos da dívida em um 
único pagamento ao final de n = 5 períodos. O 
Montante pode ser calculado pela fórmula de 
juros compostos
Sistema de Pagamentos Variáveis: Vários 
pagamentos diferenciados. 
Fórmula para o cálculo de amortização:
Em que
VP: é o valor presente (principal), é o valor total que será 
diluído em várias prestações;
PMT: é o valor da parcela (parcelas de mesmo valor);
i: é a taxa da operação (juros compostos);
n: é o número de parcelas (em rendas certas n não se trata 
de tempo);
: é o Fator de  Amortização de Capitais  para 
uma séries de capitais; E = Entrada.
Exemplo: 
 Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos 
mensais e iguais de R$2.800,00 (num total de R$ 
36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da 
compra, ou seja, o famoso “com entrada", ou 
ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo 
que a loja opera a uma taxa de juros de 8% a.m. , 
calcule o preço à vista desse carro.
Resolução:
E = 2800,00
n =  (número de parcelas) = 12, sendo uma entrada, 
ou seja, Principal = E + PMT
Como queremos saber o valor a vista, ou seja, 
queremos saber o valor que seria pago no ato da 
compra, ou seja, o valor do principal –Amortização
Resolução:
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Atividade 1
Um aparelho de Tv, vendido a prazo, sendo 4 
pagamentos mensais e iguais de R$ 800,00, 
vencendo a primeira prestação no ato da compra. Se 
a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual o 
preço a vista desse carro?
Como vimos, existem vários e distintos sistemas 
de amortização, cada um deles com suas 
características próprias! O sistema de amortização 
que aprendemos na tele aula anterior, no qual 
todas as parcelas de amortização tem o mesmo 
valor, é chamado de Sistema Francês!
Muitos de vocês possivelmente já ouviram falar 
na Amortização pela Tabela Price!
Para facilitar e agilizar os cálculos financeiros em 
Amortização existe a tabela chamada: Tabela de 
Fator de Recuperação de Capital de uma Série 
Uniforme  (An┐i)
EXEMPLO 1: 
 Um indivíduo efetuou uma dívida de 
R$200.000,00 sabendo, que a taxa de juros 
cobrada pela instituição é de 12% a.a. e que a 
dívida deve ser saldada em 6 meses. Calcule o 
valor das prestações pelo 
sistema PRICE.
Resolução:
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Aprendemos que uma operação de Amortização é 
algo semelhante a uma compra a prazo. Existe um 
valor inicial que terá que ser pago; só que você está 
sem dinheiro para comprar à vista, e decide 
amortizar a quantia em várias parcelas futuras. 
Amortizar, portanto, significa diluir o valor da 
compra em diversas prestações.
Uma outra forma de amortização é o Sistema
de Amortização Constante (SAC).
Característica principal: o valor das prestações irá 
decrescendo, uma a uma até a última.
Sistema De Amortização Constante (SAC) 
Como vimosno sistema SAC as prestações são 
diferentes, obviamente, deve‐se especificar qual a 
parcela que pretende descobrir o valor.
Exemplo: 
 Marta pretende pagar uma quantia de R$20.000, 
por meio de dez parcelas mensais, usando o 
Sistema de Amortização Constante. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 
5% ao mês, calcule o valor de cada prestação.
Resolução:
 Total a ser amortizado: VP
 Número de parcelas: n
 Taxa da operação: i
 1º ‐ Encontramos a Amortização (A)
 A = VP / n
 2º ‐ Encontramos os juros 
que imposto sobre cada 
parcela (J) 
 J = VP * i
3º ‐ Encontramos o valor da primeira prestação
 (P1)
 P1 = A + J
 4º ‐ Encontramos o valor devedor após a 
primeira prestação, ou seja o valor 
presente atualizado.
 VP = saldo devedor anterior ‐ A
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Resolução:
Taxa 0,05 Saldo Devedor
nº 
prestação A Juros
Valor da 
prestação 20000,00
1 2000
2 2000
3 2000
4 2000
5 2000
6 2000
7 2000
8 2000
9 2000
10 2000