capitulo 3 secao 3.5

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3.5 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert
A transformada de Fourier permite o estudo de filtros capazes de separar sinais, baseados em suas 
frequências.
C t d i t iõ d ã d i i b d f é i i dContudo, existem ocasiões onde a separação de sinais baseados em suas fases é mais apropriada.
Para esta última aplicação, a transformada de Hilbert é conveniente.
Filtro de Quadratura (ou de Hilbert)Q ( )
Um filtro de quadratura é uma rede passa-tudo que simplesmente desloca a fase das componentes de 
frequência positiva por 900, e, as de frequência positiva, por +900.
Note-se que:
1)( fH Q





0,90
0,90
)(arg
0
0
f
f
fH Q
A resposta impulsiva hQ(t) deste filtro pode ser obtida a partir de (2.5-17), ou seja, de:
______________________________________
aplicando-se o teorema da dualidade:
1
girar
Ou seja: 
ff
tj
sgn)(sgn1 
tj
jfjfH
tj
f Q 
1}sgn{)}({1}sgn{ 111  
sgn(f)
tjtj 
Se um sinal arbitrário x(t) for aplicado à entrada do filtro de quadratura, o sinal na saída será
)(ˆ)(
)(*)()( thtxty Q
o qual, por definição, constitui a transformada de Hilbert de x(t), denotada por :)(ˆ)( txty 
Filtro de Hilbert
)(ˆ tx
hQ(t)
x(t)
__________________________________
Note-se que a transformada de Hilbert é uma convolução e não varia o domínio, tal que, x(t) e
são ambas funções do tempo.)(ˆ tx
Uma outra forma de se determinar a transformada de Hilbert é fazendo a seguinte mudança de 
variáveis: substituir (t ) por ’  ’ = t    d’ =  d ,  =  .
Com isto (3 5-2) torna-se:
 '
Com isto, (3.5-2) torna-se:
'
'
)'(1)(ˆ 

 d
txtx 


 

 d
txtx 

 )(1)(ˆ
Portanto: 



 d
txtx
t
txd
t
x
t
txtx  




)(1)(*1)(ˆou)(11*)()(ˆ
)(*)()(ˆ thtxtx 
_______________________________
O espectro de é obtido a partir do teorema da convolução: )(ˆ tx
)(*)()( thtxtx Q
p p
ou seja
)()()}(*)({)(ˆ)}(ˆ{ fXfHtxthfXtx QQ 

)(ˆ fX
Fisicamente, a equação (3.5-1b), qual seja: ,
)( f
hQ(t) 
(contém precursor)
t
(contém precursor)
0
revela que hQ(t) é não-causal, o que significa que o filtro de quadratura não é realizável.
Contudo, seu comportamento pode ser aproximado ao longo de uma banda finita de frequência 
usando uma rede prática. 
Propriedades da transformada de Hilbert
Na sequência, considera-se que o sinal x(t) é real e que sua TF é X(f).
a) Um sinal x(t) e sua transformada de Hilbert têm o mesmo espectro de amplitudes.
Além disso, a energia (ou potência) num sinal e em sua transformada de Hilbert são iguais.
)(ˆ tx
_____________________________
Prova: isto segue diretamente da equação (3.5-3): 
donde resulta numa densidade espectral: 222
2
)(sgn)}(ˆ{)(ˆ fXfjtxfX 
Como  j sgn f  = 1 , então , a qual comprova a primeira parte da propriedade.
Integrando se este resultado se obtém:
)(g)}({)( ffjf
22 )()(ˆ fXfX 
Integrando-se este resultado se obtém: 
dffXdffX
22 )(ˆ)(  




e aplicando o teorema de Rayleigh, tem-se a energia E:
#   dttxdttxE 22 )(ˆ)( 

b) Se é a transformada de Hilbert de x(t) , então, x(t) é a transformada de Hilbert de ,
ou seja,
)(ˆ tx )(ˆ tx
)()(ˆ txtx 
_______________________________
Prova: Dado que )(ˆ)(sgn)}(ˆ{)(ˆ fXfXfjtxtx 
Filtro de Hilbert Filtro de Hilbert
)(ˆ txhQ(t)
x(t)
Filtro de Hilbert
)(ˆ tx
hQ(t)
Filtro de Hilbert
X(f) )(ˆ fX )(ˆ)( fXfH Q
então: 
)()()(sgn)()](sgn[sgn)(ˆsgn)(ˆ 22 fXfXfjfXfjfjfXfjtx 
calculando a transformada inversa, resulta:
)()}({)(ˆ 1 txfXtx  
Comentário: dois deslocamentos sucessivos de 900 resulta num deslocamento total de 1800.
c) A transformada de Hilbert é uma transformação linearc) A transformada de Hilbert é uma transformação linear
j di d d fi i ã
)(ˆ)(ˆ)()( twtvtwtv  
cuja prova segue diretamente da definição.
d) Regra de escalonamento e delay:
cuja prova fica como exercício.
) D i d
)(ˆ)(   txtx
e) Derivada:
)(ˆ)( tx
dt
d
dt
txd
n
n
n
n

f) Um sinal x(t) e sua transformada de Hilbert são ortogonais, ou seja:
para sinais de energia 
)(ˆ tx
para sinais de potência.
(continua...)
(continua...)
Propriedade: “Um sinal x(t) e sua transformada de Hilbert são ortogonais.
______________________________________
Prova: No caso de sinais de energia 
)(ˆ tx
Usando o teorema de Rayleigh: 




 dffXfXdttxtx )(ˆ)()(ˆ)(
Recorrendo-se a (3.5-3), ou seja:
obtém-se 0sgn)()](sgn)[()(ˆ)( 2    dfffXjdffXfjfXdttxtxobtém se
pois o integrando contém o produto de uma função par com uma função ímpar de f e, portanto, 
l f ã í j i l é l
0sgn)()](sgn)[()()( 

dfffXjdffXfjfXdttxtx
resulta numa função ímpar cuja integral entre  e + é nula.
A prova para sinais de potência é similar.
Exemplo 3.5-1: Transformada de Hilbert do cossenoExemplo 3.5 1: Transformada de Hilbert do cosseno
Se a entrada for , então, denotando tem-se )(ˆ)}(ˆ{ fXtx 
je je )sin()(ˆ 0   tAtx
e portanto, 
A transformada de Hilbert da função cosseno equivale simplesmente a um deslocamento de fase 
d 900
)90cos()sin()}(ˆ{)(ˆ 000
1    tAtAfXtx
de 900 .
Exemplo: Transformada de Hilbert do seno
sin  900) 900 900 ) = 
Exemplo: Calcular a transformada de Hilbert de
sin 90 ) 90 90 ) 
tje 0
na qual foi usada a propriedade de linearidade, e assim
tjttjte tj 0000 sencossencos0  
tjtj jetjtjtjte 00 )sencos(cossen 0000
  
Exemplo 3.5-2: Transformada de Hilbert de um pulso retangular
__________________________________________________
Seja um pulso retangular de amplitude A, largura e atrasado de /2:
A transformada de Hilbert é dada por:
*Para 0 < t < /2, observa-se que as áreas se cancelam 
entre  = 0 e  = 2t.
Fazendo: u = t   du = d, então
 dudd
  AAdAdA
   )ln(ln   tuudutdtd
)]ln()[ln(
)]2ln()[ln()][ln(()(ˆ
222







 
ttA
tttAtA
t
dA
t
dAtx
ttt
)]ln()[ln(  tt (continua...)
Como 0 < t < /2, o argumento do ‘ln’ é menor que 1, 
e assim, . 0)(ˆ tx
*O resultado também se mantém para /2 < t < , quando as 
áreas se cancelam entre  = 2t   e  = .
)][l (()(ˆ
22

  AdA
tt
)]ln()2[ln(
)][ln(()(ˆ
00





 
tttA
t
t
dtx
)]ln()[ln( 

 ttA
Como /2 < t < , o argumento do ‘ln’ é maior que 1, e assim, .0)(ˆ txComo /2 t , o argumento do ln é maior que 1, e assim, . 0)( tx
(continua...)
Não há área de cancelamento para t < 0 ou t > .
*Para t < 0:


  
 tAttAttAtAdAtx ln)]ln()[ln()]ln()[ln()][ln(()(ˆ
Como /2 < t < , o argumento do ‘ln’ é menor que 1, e assim, . 
   tt )()()()()(()( 00
 tAdA
0)(ˆ tx
*Para t > :
Como /2 < t < , o argumento do ‘ln’ é maior que 1, e assim, . 



   t tAtdAtx ln)(ˆ 0
0)(ˆ tx
(continua...)
Todos estes casos separados podem ser combinados numa única expressão:Todos estes casos separados podem ser combinados numa única expressão:
Transformada 
de Hilbert
Os spikes infinitos em t = 0 e t =  (bordas do pulso) podem ser interpretados como uma manifestação 
extrema da distorção por delay. #extrema da distorção por delay. #
Distorção por delay:A transformada de Hilbert desloca cossenos de 900 .
É interessante rever o caso dos sinais periódicos das Figuras 3.2-3 e 3.2-5, sendo que todas as 
senoides desta última foram deslocadas de 900 .
A forma de onda quadrada sofre 
distorção convertendo-se em ondadistorção, convertendo-se em onda 
triangular.
Pode-se interpretar que as cossenoidesPode se interpretar que as cossenoides
da Fig. 3.2-3 passaram por um 
filtro de Hilbert, gerando-se a 
forma de onda da Fig. 3.2-5.
Spikes foram criados nas bordas 
dos retângulos, embora não sejam
infinitosinfinitos.
Pares de transformada de Hilbert:
a) 0A^
b) )(1 t
t



c)
d)
)cos()(sen 00   tt
)(sinc
2
1)(sinc 2 atatat )
e)
f)
)(
2
)(
tjtj jee 00    
t 1)( f)
g)
t
t  )( 
)()( 2222
ta g)
h)
)()( 2222 atat  
12
12ln1)( 

t
tt  12 t
Epílogo:
Se v(t) e w(t) são sinais disjuntos em frequência, sendo que w(t) tem natureza passa-baixa e v(t) 
tem natureza passa-alta, então:
)(ˆ)()()( tttt
____________________________
Prova:
)()()()( tvtwtvtw 
W(f)
W(f)=0 para  f  > a
V(f)
a 0 +a f
V(f)=0 para  f  < a
a 0 +a f
 
Dado que
e usando a propriedade de linearidade da transformada de Hilbert:
')'()()()( )'(2 dfdfefVfWtvtw tffj 
 
  
'][)'()(')'()()()( )'(2)'(2 dfdfjefVfWdfdfefVfWtvtw tffjtffj 

  












')()'()( '22 dfejfVdfefW tfjftj  


(continua...)
'][)'()(')'()()()( )'(2)'(2 dfdfjefVfWdfdfefVfWtvtw tffjtffj     
 

 

')()'()( '22 dfejfVdfefW tfjftj  
  




  

Observe-se que:
e ')'()( '2 dffVt tfj    '][)'(')'()(ˆ '2'2 dfjfVdffVt tfjtfj 
______________________________________________________
e
o que prova que:


 ')'()( 2 dfefVtv tfj  

 '][)'(')'()( 22 dfjefVdfefVtv tfjtfj 
)(ˆ)()()( tvtwtvtw 
_____________________________________________________
Exemplo: Dado que w(t) é passa-baixa com W(f)=0 para  f  > a, vem
para f > attwttwttw  sen)(cos)(cos)(  , para f0 > a. ttwttwttw ooo  sen)(cos)(cos)( 
}{cos 0tW(f)passa-baixa
passa-alta
mensagem portadora
Também: para f0 > a. 
f0 a 0 +a +f0
f
ttwttw oo  cos)(sen)( 
Para estas as modulações, ocorre somente uma defasagem da  900 ou + 900 da portadora. #