Regra da cadeia C3

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11.4 A Regra da Cadeia
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Ide´ia
Ca´lculo no R: Se y = f (x) e x = g(t), onde f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis,
enta˜o y e´ indiretamente uma func¸a˜o diferencia´vel de t e:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Exemplo (1): Ca´lcule f (x) = sen2(cos(x)).
Ca´lculo no R2: Seja z = f (x, y), onde g = x(t) e y = h(t), ou seja, z e´ indi-
retamente uma func¸a˜o de t, z = f (g(t), h(t)). Neste caso, t e´ uma varia´vel
independente, x e y sa˜o varia´veis intermedia´rias e z a varia´vel dependente.
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
dy
dt
∂z
∂x
∂z
∂y
z
x
y t
t
dx
dt
Teorema: Func¸a˜o de duas varia´veis
Teorema: Suponha que z = f (x, y) seja uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y,
onde x = g(t) e y = h(t) sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de t. Enta˜o z e´ uma
func¸a˜o diferencia´vel de t e:
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
Exemplo (2): Se z = x2y + 3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), determine
dz
dt
quando t = 0.
Exemplo (3): A pressa˜o P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a
temperatura T (em Kelvins) de um mol de um ga´s ideal esta˜o relacionados
por meio da fo´rmula PV = 8.31T . Determine a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o
quando a temperatura e´ de 300K e esta´ aumentando com a taxa de 0.1K/s
e o volume e´ de V = 100L e esta´ aumentando com a taxa de 0.2L/s.
Teorema: Func¸a˜o de treˆs varia´veis
Teorema: Se w = f (x, y, z) for diferencia´vel e x, y e z forem diferencia´veis
em t, enta˜o w sera´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t e:
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
Exemplo (4): Determine
dw
dt
em t = 3 se w = ln (x2 + y2 + z2), x = cos t,
y = sen t e z = 4
√
t.
Varia´veis independentes e varia´veis intermedia´rias
Teorema: Suponha que z = f (x, y) seja uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y,
onde x = g(s, t) e y = h(s, t) sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de s e de t. Enta˜o
∂z
∂s
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
Exemplo (5): Se z = ex sen y, onde x = st2 e y = s2t, determine
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
Exemplo (6): Escreva a Regra da Cadeia para o caso onde w = f (x, y, z, t)
e x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) e t = t(u, v).
Exemplo (7): Se u = x4y+ y2z3, onde x = rs et, y = rs2 e−t e z = r2s sen t,
determine o valor de ∂u
∂s
quando r = 2, s = 1 e t = 0.
Exemplo (8): Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f e´ diferencia´vel, mostre que
g satisfaz a equac¸a˜o:
t
∂g
∂s
+ s
∂g
∂t
= 0.
Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Ide´ia: Suponha que:
1. F (x, y) seja diferencia´vel.
2. F (x, y) = 0 defina y implicitamente como uma func¸a˜o diferencia´vel de
x, ou seja, y = h(x), onde F (x, h(x)) para todo x no dom´ınio de h.
3. Enta˜o, como F (x, y) = 0, temos que
dF
dx
= 0.
4. Como x e y sa˜o ambas func¸o˜es de x, obtemos:
dF
dx
=
∂F
∂x
dx
dx
+
∂F
∂y
dy
dx
= 0
5. Pore´m
dx
dx
= 1; enta˜o, se
∂F
∂y
6= 0, temos:
dy
dx
= −
∂F
∂x
∂F
∂y
= −Fx
Fy
.
Exemplo (9): Determine y′ se x3 + y3 = 6xy.
Derivac¸a˜o Impl´ıcita (2)
Func¸a˜o de treˆs varia´veis: Seja z = f (x, y) dada implicitamente por uma
equac¸a˜o da forma F (x, y, z) = F (x, y, f (x, y)) = 0. Se F e f sa˜o dife-
rencia´veis, temos:
∂F
∂x
∂x
∂x
+
∂F
∂y
∂y
∂x
+
∂F
∂z
∂z
∂x
= 0
Pore´m
∂
∂x
(x) = 1 e
∂
∂x
(y) = 0, logo:
∂F
∂x
∂x
∂x
+
∂F
∂z
∂z
∂x
= 0
Se
∂F
∂z
6= 0, obtemos ∂z
∂x
. Analogamente, obtemos
∂z
∂y
:
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂z
= −Fx
Fz
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂z
= −Fx
Fz
.
Derivac¸a˜o Impl´ıcita (3)
Exemplo (10): Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
se x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.
Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Pa´ginas 289 a` 291;
Exerc´ıcios: 1 a` 50.