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Trabalho de campo 4º Ano Mathusso . Página 1 
 
 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
CENTRO DE ENSINO Á DISTÂNCIA 
 
 
Teoria de Números 
(Estrutura Algébrica) 
4º ANO 
 
Trabalho do Campo II Sessões/Julho de 2014 
 
 
Estudante: Filipe Mathusso Lunavo 
 
 
 
 
 
Trabalho de campo 4º Ano Mathusso . Página 2 
 
 
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES 
 
1. Dados �, �	�	� inteiros; � ≠ 0	�	� ≠ 0, diga se as afirmações seguintes são falsas ou 
verdadeiras. Se for falso dá um contra – exemplo. 
a) Se 	
 e 	
	
�
, então 	 	
��
 . É verdadeira (V). 
Prova: Se 	
 e 
	
�
 , então, da definição de divisibilidade, existem números inteiros 
	e 
� tais que � = � ∗ 
 e � = � ∗ �. 
Portanto: � + � = � ∗ 
 + � ∗ � = � ∗ (
 + �) 
Logo: � divide � + � 
b) Se 	
		�		
�
, então, 	
�
. É verdadeira (V) 
c) Se 	
 e �/�, então para todos �	�	� inteiros, 	
�
���
. É verdadeira (V) 
d) Se 	
, então (� + �) divide (� + �). É verdadeira (V) 
e) Se 	
�
 e 
�
, então 	
�
. É verdadeira (V) 
 
2. Explique como se pode decompor 3599 em factores primos. 
Solução: Podemos decompor da seguinte maneira 
3599 = 3600 − 1 = 60 − 1 = (60 − 1)(60 + 1) = 59 ∗ 61 
 
3. Mostrar que, se � é um número inteiro qualquer, então um dos inteiros �, � + 2, � + 4 é 
divisível por 3. 
Solução: De acordo com o algoritmo da divisão, � = 3#	$%	� = 3# + 1	$%	� = 3# + 2, 
isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1	$%	2. 
Se � = 3#, está comprovada a hipótese 
Se � = 3# + 1, ���ã$	� + 2 = 3# + 3 = 3(# + 1) => � + 2	 é divisível por 3. 
Se � = 3# + 2, ���ã$	� + 1 = 3# + 2 + 1 = 3# + 3 = 3(# + 1) => � + 1 é divisível 
por 3. 
Portanto, uma das três (3) formas será divisível por 3. 
 
 
 
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4. Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4' + 1	$%	4' + 3. 
Solução: Seja � um número inteiro. Pelo algoritmo da divisão � = 4'	$%		� = 4' + 2	 
ou � = 4' + 3. 
Se � = 4', então � = 2(2') => é	*�+. 
Se � = 4' + 1, então � = 2(2') + 1 é � = 2' + 1 
�
 é � é ímpar. 
Se � = 4' + 2, então � = 2(2' + 1) é � = 2(2' + 1) é � = 2' => � é par. 
Se � = 4' + 3, então � = 4'2 + 1 = 2(2' + 1) + 1 => � = 2' + 1 � é ímpar. 
Portanto: � é ímpar se apresentar uma das formas 4' + 1 ou 4' + 3. Cqd. 
 
5. Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3' ou 3' + 1. 
Solução: De acordo com o algoritmo da divisão � = 3'		$%	� = 3' + 1	$%	� = 3' + 2. 
Assim, se � = 3', então: � = 9' = 3(3') = 3' 
Se � = 3' + 1, então: � = (3' + 1)2 = 9' ,	2 + 6' ,+1 = 3(3' ,	2 + 2') + 1 = 3' + 1 
Se � = 3' , + 2 , então: � = (3' , + 2)2 = 9' + 12' , + 4 = 9' 
, + 12' , + 3 + 1 
=3(3' 
, + 4' , + 1) + 1 = 3' + 1 
Portanto, � terá uma das formas, 3'		$%		3' + 1 
 
6. Verifique a associatividade nas operações , ∗ - = ./
 
 definida em ℝ. 
Solução: ∀			�, �, �	 ∈ ℝ, (� ∗ �) ∗ � = � ∗ (� ∗ �) ⟹ (��) ∗ � = � ∗ (��) 
2
2
2
*
2
2
**
2






=






⇒





=





bc
ac
ab
bc
ac
ab
 =
	
�
4
=
	
�
4
		(5�+6�6�7+�) 
 
7. Determine o elemento neutro: , ∗ - = .�/
8�./
	 definida em ℝ− 91,−1: 
Solução: Seja , ∗ - = .�/
8�./
	 definida em ℝ− 91,−1: 
 
 
 0)1(0)1( 222 =−→=−→+=+→+=+ xeexeexxexxeex 
x
xe
ex
x
=
+
+
=
1
11*
 
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 ;0
1
0
2 =→
−
= e
x
e , ≠ 1; , = −1 
 
 
8. Seja < = 91,−1, 7, −7:. O grupo (<, . )	��		#%�	7 = −1 é cíclico. 
Solução: 
i
i
i
i
−
−
−
−
•
1
1
1
1
1
)(
 
i
i−
−
−
1
1
1
 
1
1−
− i
i
i
 
1
1
−
−
−
i
i
i
 
 
Logo: (<, . ) é um grupo cíclico, sendo 7	� − 7 seus geradores. 
 
9. Verifique se , + - = 1, , ∈ =−1; 1>, - ∈ ?@ é uma função. 
Solução: 
Seja A: ?@ → ?@.																					 
	(,, -) → , + - = 1 
Para 1 > 0 as curvas de nível de valor 1 são as circunferências de centro na origem e 
raio √1 de equação , + - = 1. Podemos descrever as circunferências considerando a 
função. 
: ?@ → ?@ 
� → (√1	cos � , √1	sin �) 
Seja 
(�J) = (,J, -J), ,J = √1 cos �J 			�	-J = √1 sin �J . 
Ora ∇A(,J, -J) = (2,J, 2-J) tem direcção radical. Uma vez que ∇A(,J, -J) é ortogonal 
a qualquer curva de nível (como mostra o gráfico abaixo), podemos concluir que 
, + - = 1, , ∈ =−1; 1>, - ∈ ?@ é uma função. 
 
 
 
 
 
=1> = 91: 
=−1> = 91;−1: 
=−7> = 9−1; 7; 1;−7: = < 
=7> = 9−1;−7, 1, 7:= A 
 
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Representação Gráfica 
 
 
 
 
10. Mostre que - = √,, , ≥ 0 é injectora. 
Solução: Condição: A: < → M é injectora caso: 
A(,8) = A(, ) ∈ M ⇒ ,8 = , ∈ < ou ,8 ≠ , ∈ <	 ⇒ A(,8) ≠ A(, ) ∈ M 
Logo: -(,8) = -(, ) ⇔ √, ∗ ,8 = √, ∗ , ⇔ √, ∗ ,8 − √, ∗ , = 0 ⇔ √,(,8 − , ) = 0 
Como √,(,8 − , ) = 0 , com , ≥ 0, então (,8 − , ) = 0 e, portanto ,8 = ,8 , assim 
concluímos que esta função é injectora.