PRIMEIRO TRABALHO DE MODELAGEM DE SISTEMAS

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Centro Universitário Anhanguera de Niterói UNIAN 
Curso de Engenharia de Controle e Automação 
 
 
 
 
1o Trabalho (2018/1) 
Disciplina: 159974 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos 
Série: 7a Turno: Noite Turma: 1103720151A 
 
Aluno(s): Nome RA 
 
 
 
 
Obs.: Este trabalho deve ser feito em grupo com no máximo 3 alunos. O nome e o 
RA devem ser preenchidos de forma bem legível. Não pode haver erros no RA. 
Esta capa é obrigatória ao entregar o trabalho com as respostas. 
 
 
 
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Este trabalho consiste em apresentar respostas satisfatórias para as seguintes 
proposições: 
 
1a) Uma fonte de sinal ótico preciso pode controlar o nível de potência de saída com erro de 1% (no 
máximo). Um “laser” é controlado por uma entrada de corrente para fornecer a potência de saída. 
Um microprocessador compara o nível desejado de potência com um sinal medido proporcional à 
potência de saída do “laser” obtida por meio de um sensor. Construa o diagrama de blocos 
representando este sistema, identificando a entrada, as variáveis de processo, as variáveis medidas, 
o dispositivo de controle, a saída e demais itens que você julgar necessários. 
2a)No passado, os sistemas de controle usavam um operador humano como parte de um sistema de 
controle a malha fechada. Esboce o diagrama de blocos do sistema de controle de operação manual 
mostrado na figura abaixo, identificando a entrada, as variáveis de processo, as variáveis medidas, o 
dispositivo de controle, a saída e demais itens que você julgar necessários. 
 
 
 
3a) Num sistema de controle de um processo químico, é relevante controlar a composição química 
do produto. Para fazer isto, uma medida de composição pode ser obtida usando-se um analisador 
infravermelho de fluxo, conforme mostrado na figura abaixo. A válvula no fluxo aditivo pode ser 
controlada. Esboce um diagrama de blocos para este processo, identificando a entrada, as variáveis 
de processo, as variáveis medidas, o dispositivo de controle, a saída e demais itens que você julgar 
necessários. 
 
 
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4a) Um exemplo comum de sistema de controle com duas entradas é o chuveiro doméstico com 
válvulas separadas para água quente e fria. O objetivo é conseguir (1) a temperatura desejada da 
água do chuveiro e (2) um fluxo de água (vazão) desejado. Obs.: não se trata de um chuveiro 
elétrico. Esboce um diagrama de blocos para este processo, identificando a entrada, as variáveis de 
processo, as variáveis medidas, o dispositivo de controle, a saída e demais itens que você julgar 
necessários. 
 
5a) Pequenos computadores são usados em automóveis para controlar as emissões de gases e obter 
maior quilometragem por litro de gasolina. Um sistema de injeção de combustível controlado por 
computador ajusta automaticamente a proporção da mistura combustível-ar de modo a aumentar a 
quilometragem por litro de gasolina e reduzir significativamente a emissão de poluentes. Esboce um 
diagrama de blocos para este sistema sabendo-se que os principais sensores no sistema de injeção 
de combustível são os de pressão e temperatura. 
 
6a) O telescópio espacial Hubble foi consertado no espaço em dezembro de 1993. Um problema 
desafiador é o de amortecer as contrações que fazem vibrar uma nave espacial cada vez que esta 
cruza a sombra da Terra (lado oposto ao sol no qual se observa distúrbios gravitacionais). A pior 
vibração apresenta um período de 20 segundos, ou uma frequência de 0,05 hertz (lembrando que a 
frequência é o inverso do período e vice-versa). Projete um sistema de controle que reduzirá as 
vibrações do telescópio Hubble, ou seja esboce um diagrama de blocos para tal, considerando como 
principal medida o giro da nave. 
 
7a) considere o sistema amortecido de segunda ordem da figura abaixo: 
 
 
 
 
mola 
 
 
Sendo a massa do corpo (carrinho) m = 5 Kg, admitindo-se um coeficiente de amortecimento para a 
mola c = 1 N×s/m e uma constante elástica k = 2 N/m. Desconsidere a massa da mola e entradas 
no sistema. Aplique a 2ª Lei de Newton ao sistema e faça a modelagem matemática do mesmo, ou 
seja, obtenha a equação diferencial do deslocamento “x” em função do tempo. Resolva a equação 
com as seguintes condições iniciais: v = 0, x = 1 m para t = 0, e obtenha o gráfico x × t. 
 
8a) Resolva a seguinte integral: ∫ + )( bxax
xd
 
 
x 
c 
k 
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9a) Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as, seguindo o exemplo do item (a): 
a) 
xd
yd
 = 5x → equação diferencial ordinária linear de 1a ordem, com coeficientes 
constantes, não homogênea. 
�)			�	� + 		3�� + 9x = 2sen5t 
 c) �	� + 		3�� + 9x = 0 
 d) �	� + 		 (3
	 − 		1)�� + 9x = 0 
 e) �	� + 		 (3
	 − 		1)�� + 9x = 3u (t) 
 f) 	∂
2
�(�,
)
∂�2
 = 	
∂
2
�(�,
)
∂	
2
 
 
10a) Um sistema de nível de líquido, tal como a caixa d’água de uma residência, é modelada 
matematicamente pela equação diferencial de 1a ordem 
td
hd
 + 
AR
g h = 
A
1 q(t), onde A é a 
área da seção reata do reservatório (constante), R é a resistência hidráulica do sistema (constante), g 
é a aceleração devido à gravidade (constante), q(t) é a vazão volumétrica de água que entra no 
reservatório (excitação ou entrada do sistema) e h(t) é a altura instantânea de líquido dentro do 
reservatório, em relação ao fundo do mesmo. Admitindo que o reservatório inicialmente esteja 
vazio e que a vazão q = Q seja constante, use os seus conhecimentos de Cálculo para resolver a 
equação diferencial e encontrar a resposta no tempo h(t), ou seja, como a altura do nível varia com o 
tempo. Esboce um diagrama de blocos para este processo e o gráfico h × t. 
 
11a) Suponha que a resposta de um sistema seja dada por x(t) = tt ee 32 −− − + sen2t. Obtenha 
a resposta transiente e a resposta permanente. 
 
12a) Determine a expressão da corrente i (t), no circuito da figura abaixo, sabendo que o interruptor 
é fechado em t = 0 e que a carga inicial do capacitor é nula. A seguir esboce o gráfico da corrente 
i (t), e o gráfico das tensões no resistor e no capacitor (no mesmo gráfico) e compare as curvas 
destas tensões. 
 
 
 
 
 
 • 
i 
 E 
 • 
 + 
 − 
 C 
 R VR 
VC 
 − + 
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Para resolver esta proposição relembre alguns conceitos sobre circuitos resumidos a seguir. 
 
1- Circuitos Elétricos 
 
Vamos tecer algumas considerações sobre a teoria dos circuitos com o objetivo de fornecer ao 
estudante base suficiente para que ele possa traduzir para a linguagem matemática, por meio de 
equações diferenciais, uma série de problemas elementares relativos a circuitos elétricos. Uma vez 
montada a equação diferencial que rege o comportamento de circuitos, nos preocuparemos em 
resolvê-la, aplicando as técnicas aprendidas anteriormente, bem como analisar fisicamente a 
solução obtida. 
Conceitos mais importantes: 
 
I. RESITÊNCIA R 
 
 Se ao fornecermos energia elétrica a um elemento do circuito e ele responder consumindo esta 
energia, então o elemento do circuito é um resistor puro. 
 A diferença de potencial V( t ) entre os terminais de um resistor puro é diretamente 
proporcional à corrente i( t ) que nele circula. A constante de proporcionalidade R é denominada 
RESISTÊNCIA do resistor e sua unidade é o Ohm (Ω) que representa volt/ampère (vide diagrama 
abaixo). 
 
 
 V ( t ) = R i ( t ) 
 e 
 
 i ( t ) = ( )
R
tV
 
II. INDUTÂNCIA L 
 
 Se a energia elétrica fornecida a um elemento do circuito é armazenada num campomagnético, o 
elemento é um indutor puro. 
 Quando em um circuito há uma variação na corrente, o fluxo magnético que o envolve também 
varia, provocando o aparecimento de uma força eletromotriz (fem) induzida V( t ) no mesmo. V( t ) 
é proporcional à taxa de variação de corrente com o tempo, desde que a permeabilidade seja 
constante. A constante de proporcionalidade L é chamada de auto indutância ou indutância do 
circuito. 
V( t ) = L 
td
id
 
 Figura 2 
 
i ( t ) R 
V ( t ) 
+ − 
i ( t ) L 
V ( t ) 
+ − 
Figura 1 
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ou i ( t ) = ∫L
1 V( t ) dt 
 A expressão i ( t ) = ∫L
1 V( t ) dt nos assegura que, qualquer que seja a tensão aplicada, a 
corrente no indutor deve ser uma FUNÇÃO CONTÍNUA. Em outras palavras, se a corrente tiver 
um dado valor em t = a −, ela terá um valor exatamente igual em t = a +. 
 A indutância é expressa em 
AMPÈRE
DOVOLT.SEGUN
 ou HENRY ((H). 
 
III. CAPACITÂNCIA C 
 
 Quando a energia elétrica fornecida a um elemento do circuito é armazenada num campo 
elétrico, o elemento é um capacitor puro. 
 A carga existente no capacitor num dado instante t, Q ( t ), é proporcional à diferença de 
potencial V( t ) entre os terminais do mesmo. A constante de proporcionalidade C é chamada de 
capacitância cuja unidade é 
VOLT
COULOMB
 ou FARAD (F). 
 
Q ( t ) = C V( t ) 
 
 Figura 3 
i( t) = 
td
Qd
 = C 
td
Vd
 
 
V( t ) = ∫C
1 i ( t ) dt 
 
 
IV. LEIS DE KIRCHHOFF 
 
Denomina-se NÒ, em um circuito elétrico, um ponto de confluência de três ou mais condutores do 
mesmo. Qualquer percurso fechado, condutor, é chamado MALHA. 
 i ( t ) C 
V ( t ) 
+ − 
 7
 
PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF 
 
 “A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem dele”. 
 
 
 
 
 Σ correntes que chegam = Σ correntes que saem 
 
 I1 + I3 + I5 = I2 + I4 
 
 
 Figura 4 
 
SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF 
 “A soma algébrica das diferenças de potencial ao longo de uma malha é igual a ZERO. Se 
existir mais de uma fonte de energia e os sentidos não forem iguais, será considerada positiva a 
tensão da fonte cujo sentido coincidir com o adotado para a corrente”. 
 
Exemplo: Considere o seguinte circuito RL com três fontes de energia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 1 
I 4 
I 2 
I 5 
 I 3 
(V1 − V2) + (V2 − V3) + (V3 − V4) + 
 
(V4 − V5) + (V5 − V1) = 0 
 
− Ri − L 
td
id
 − E3 + E2 + E1 = 0 
• 
• 
• • 
• 
+ + 
+ 
− − 
− 
E1 
E2 
 E3 
 V3 
 V4 
 L R 
 V2 V1 
 V5 
i 
Figura 5 
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REGIME TRANSITÓRIO E REGIME PERMANENTE (OU ESTACIOÁRIO) 
 
 Ao provocarmos uma alteração qualquer em um circuito, seja por uma mudança da tensão 
aplicada, seja por uma variação em um dos elementos do mesmo, ocorre um período de transição no 
qual a corrente nos ramos (parte do circuito compreendido entre dois nós) e a queda de tensão 
variam para novos valores. Este intervalo de transição é denominado de TRANSITÓRIO, e o 
regime que sucede ao mesmo, de ESTACIONÁRIO. 
 A aplicação das Leis de Kirchhoff a circuitos que contenham elementos capazes de armazenar 
energia, resulta sempre em uma equação diferencial. 
 
13a) EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM APLICADAS A 
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS E FÍSICOS 
 
Escreva a equação diferencial que melhor representa cada uma das situações a seguir (não resolva a 
equação basta escreve-la): 
 
a) O elemento químico Rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade Q, presente. 
 
 
 
 
 
 
b) A população P de uma cidade aumenta numa razão proporcional à população e à diferença entre 
à 200.000 e a população. 
 
 
 
 
 
 
c) Para uma certa substância, a razão de variação da pressão do vapor (P) em ralação à t 
emperatura ( T ) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da 
temperatura. 
 
 
 
 9
 
 
 
d) A diferença de potencial E através de um elemento de indutância L é igual ao produto de L pela 
taxa de variação, em relação ao tempo, da corrente i na indutância. 
 
 
 
 
14a) Admita que a evaporação provoque numa gota d’água esférica um decréscimo de volume 
proporcional em cada instante à sua área superficial. Determine o tempo necessário para que uma 
gota de raio r0 se evapore inteiramente