17 Equacoes da reta

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n. 17 – ESTUDO DA RETA: equações 
 Uma direção e um ponto determinam uma reta 
 Dois pontos determinam uma reta 
 
Equação geral de uma reta 
Para determinar a equação geral de uma reta utilizamos os 
conceitos relacionados a matrizes. 
A equação geral é da forma: ax + by + c = 0 
Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma 
matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo 2 pares 
ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados. 
 
Exemplo: Sejam os pontos A = (1, 2) e B = (3, 8) obtenha a equação 
da reta. 
∆ = |
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
| = 0 → ∆ = |
𝑥 𝑦 1
1 2 1
3 8 1
| = 0 
 
 ∆ = (2 – 8) x – (1 – 3) y + (8 – 6) 1 = 0 
– 6 x + 2 y + 2 = 0 
– 3 x + y + 1 = 0 
3 x – y = 1 
 
 x 3x –y = 1 y 
-2 3(-2)-y = 1 -7 
-1 3(-1)-y = 1 -4 
0 3(0)-y = 1 -1 
1 3(1)-y = 1 2 
2 3(2)-y = 1 5 
 
Exercícios: 
 
1. Determine a equação geral das retas que passam pelos pontos: 
 
a. A = (- 1, 2) e B (- 2, 5) 
b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) 
 
 
Resoluções: 
a. A = (- 1, 2) e B (- 2, 5) R: – 3 x – y – 1 = 0 
 
 
 
 
∆ = |
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
| = 0 → ∆ = |
𝑥 𝑦 1
−1 2 1
−2 5 1
| = 0 
(2 − 5)𝑥 − (−1 + 2)𝑦 + (−5 + 4)1 = 0 
−3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
3𝑥 + 𝑦 = −1 
 
 
b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) R: 5 x + 2 y – 23 = 0 
 
 
∆ = |
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
| = 0 → ∆ = |
𝑥 𝑦 1
5 −1 1
3 4 1
| = 0 
(−1 − 4)𝑥 − (5 − 3)𝑦 + (20 + 3)1 = 0 
−5𝑥 − 2𝑦 + 23 = 0 
5𝑥 + 2𝑦 − 23 = 0 
 
 
 
Equação da reta na forma vetorial: 
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor 
não nulo �⃗�. 
Para que um ponto P do espaço pertença à reta r é necessário e 
suficiente que os vetores 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e �⃗� sejam colineares. 
Obs.: para que dois vetores sejam colineares, eles devem ter a mesma 
direção. 
Para verificar se os pontos são colineares, o determinante da matriz deve 
ser igual à zero: ∆ = 0. 
Monte a matriz com as coordenadas dos pontos e calcule o determinante. 
 
 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t �⃗⃗⃗� ou P – A = t �⃗⃗⃗� 
�⃗� é quem dá a direção da reta 
 P = A + t �⃗⃗⃗� 
 ou 
 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 ) + 𝒕 (𝒂, 𝒃, 𝒄) 
 
As duas equações acima são denominadas equações vetoriais 
da reta, sendo P (x, y, z) , A (x1, y1, z1) e �⃗⃗⃗� = (a, b, c). 
 
Exemplo: 
1. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e 
tem a direção do vetor �⃗� = 2 i + 2 j – k 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 �⃗� 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥 − 3, 𝑦 − 0, 𝑧 + 5) 
�⃗� = (2, 2, −1) 
 ∆ = |
𝑥 − 3 𝑦 − 0 𝑧 + 5
2 2 −1
1 1 1
| 
𝑥 − 3 𝑦 − 0
2 2
1 1
= 0 
 
 (x – 3) 2 – y + [(z + 5) 2] – [ (z + 5) 2] – [ ( x – 3) -1] – [y (2)] = 0 
2 x – 6 – y + 2 z + 10 – 2 z – 10 + x – 3 – 2 y = 0 
 3 x – 3 y – 9 = 0 
x – y = 3 
 
ou: 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 �⃗� 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥 − 3, 𝑦 − 0, 𝑧 + 5) 
�⃗� = (2, 2, −1) 
(𝑥 − 3, 𝑦 − 0, 𝑧 + 5) = 𝑡 (2, 2, −1) 
{
𝑥 − 3 = 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 + 5 = −𝑡
 
𝑥 − 3
2
= 
𝑦
2
=
𝑧 + 5
−1
 
Logo, 
 
𝑥−3
2
=
𝑧+5
−1
→ −𝑥 + 3 = 2𝑧 + 10 → 𝑧 = 
−𝑥+3−10
2
→ 𝑧 = 
−𝑥−7
2
 (1) 
E, 
 
𝑦
2
=
𝑧+5
−1
 → −𝑦 = 2𝑧 + 10 → 𝑦 = −2𝑧 − 10 (2) 
Portanto, de (1) em (2): 
 𝑦 = −2 (
−𝑥−7
2
) − 10 → 𝑦 = 𝑥 + 7 − 10 → 𝑥 − 𝑦 = 3 
 
 Como t pode variar de + ∞ a – ∞ , para encontrarmos um 
ponto da reta fazemos: 𝑷 = 𝐴 + 𝑡 �⃗� 
 
Se t = 2, por exemplo: 
(x, y, z) = (3, 0 , -5) + 2 ( 2, 2, -1) 
(x, y, z) = (3, 0 , -5) + (4, 4, -2) 
(x, y, z) = (7, 4, -7) 
Logo, P (7, 4, -7) é um ponto da reta r. 
 
 
 
Equação paramétrica da reta: 
A partir da equação (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c) 
temos: (x, y, z) = (x1 + a t, y1 + b t, z1 + c t) 
ou ainda: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 𝑡
 
Essas são as equações paramétricas da reta: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 𝑡
 
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas 
equações paramétricas quando t varia de – ∞ a + ∞ . 
 
Exemplo: Determine as equações paramétricas da reta r, que passa 
pelo ponto A (3, -1, 2) e é paralela ao vetor �⃗� = (-3, -2, 1). 
{
 
 
 
 
𝑥 = 3 − 3𝑡
𝑦 = −1 − 2𝑡
𝑧 = 2 + 𝑡
 
Para se obter um ponto da reta basta atribuir um valor qualquer 
para t, por exemplo, para t = 3: 
 x = - 6 y = - 7 z = 5 
(a, b, c) é o vetor diretor 
(x1, y1, z1) é o ponto 
Logo, (- 6, - 7, 5 ) é um ponto da reta. 
 
Reta definida por dois pontos: 
A reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) é a reta que 
passa pelo ponto A (ou pelo ponto B) e tem direção do vetor �⃗�: 
�⃗⃗⃗� = 𝑨𝑩 = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) 
 
Exemplo: 
1. A reta r é determinada pelos pontos A (1, - 2, - 3) e B (3, 1, - 4), 
escreva as equações paramétricas dessa reta. 
Primeiro temos que achar a direção do vetor: 
 �⃗� = 𝐴𝐵 = B – A = (2, 3, - 1) 
Logo, as equações paramétricas que passam ponto A são: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −2 + 3𝑡
 𝑧 = −3 − 1𝑡
 
Analogamente, as equações paramétricas que passam ponto B são: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 3 + 2𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
 𝑧 = −4 − 1𝑡
 
 
 
Equações simétricas da reta: 
Das equações paramétricas e supondo (a, b, c) ≠ 0, temos: 
{
 
 
 
 
 
 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 𝑡 → 𝑡 = 
𝑥−𝑥1
𝑎
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 𝑡 → 𝑡 = 
𝑦−𝑦1
𝑏
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 𝑡 → 𝑡 = 
𝑧− 𝑧1
𝑐
 
 
Logo, 
𝒙−𝒙𝟏
𝒂
 = 
𝒚−𝒚𝟏
𝒃
 = 
𝒛−𝒛𝟏
𝒄
 
 
Essas são as equações simétricas ou normais de uma reta que 
passam por um ponto A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e tem a direção do �⃗� = (a, b, c). 
 
Exemplo 1: Determine as equações simétricas da reta que passa 
pelo ponto A (3, 0, - 5) e tem a direção do vetor �⃗� = 2 i + 2 j - k 
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
 = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
 = 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
  
𝑥 − 3
2
 = 
𝑦
2
 = 
𝑧 + 5
−1
 
 
Exemplo 2: Determine as equações simétricas da reta que passa 
pelo ponto A (2, 1, - 3) e B (4, 0, - 2) 
Primeiro temos que saber a direção do vetor �⃗�: 
 �⃗� = 𝐴𝐵 = B – A = (2, -1, 1) 
Equações simétricas da reta que passa pelo ponto A: 
(a, b, c) é o vetor diretor 
(x1, y1, z1) é o ponto 
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
 = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
 = 
𝑧 − 𝑧 1
𝑐
  
𝑥 − 2
2
 = 
𝑦 − 1
−1
 = 
𝑧 + 3
1
 
Equações simétricas da reta que passa pelo ponto B: 
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
 = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
 = 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
  
𝑥 − 4
2
 = 
𝑦
−1
 = 
𝑧 + 2
1
 
 
Exercício: Ache as equações na forma vetorial, paramétrica e 
simétrica da reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0). 
 
Primeiro temos que achar a direção do vetor: 
 �⃗� = 𝐴𝐵 = B – A = (0, 1, 0) – (1, 0, 1) = (-1, 1, - 1) 
 Equação vetorial: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ) + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 0, 1 ) + 𝑡 (−1, 1, −1) 
 
 Equações paramétricas: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 𝑡 
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 𝑡 
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 𝑡 
 → 
{
 
 
 
 
𝑥 = 1 + (−1) 𝑡 
𝑦 = 0 + (1) 𝑡 
𝑧 = 1 + (−1) 𝑡 
→ 
{
 
 
 
 
𝑥 = 1 − 𝑡 
𝑦 = 𝑡 
𝑧 = 1 − 𝑡 
 
 
 Equações simétricas: 
𝑥 − 1
−1
 = 
𝑦
1
 = 
𝑧 − 1
−1
 
 Equação geral: 
 
𝑥−1
−1
 = 
𝑧− 1
−1
 → −1(𝑥 − 1) = −1(𝑧 − 1) → −𝑥 + 1 = −𝑧 + 1 → 𝑧 = 𝑥 
 
 
𝑦
1
 = 
𝑧− 1
−1
 → −𝑦 = 𝑧 − 1 → 𝑧 = −𝑦 + 1 
Logo, 𝑥 = −𝑦 + 1 → 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
 
 
 
Condição de colinearidade de três pontos: 
Para que três pontos A1 (x1, y1, z1) , A2 (x2, y2, z2) e A3 (x3, y3, z3) estejam 
em linha reta a condição é que os vetores 𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e 𝐴1𝐴3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sejam 
colineares, isto é: 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = m 𝐴1𝐴3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ para algum m Є R 
 
Logo, 
𝑥2− 𝑥1
𝑥3− 𝑥1
=
𝑦2− 𝑦1 
𝑦3− 𝑦1
=
𝑧2− 𝑧1
𝑧3− 𝑧1
 
 
Calculando de outra maneira: 
 Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se 
pertencem a uma mesma reta. 
 Se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não 
existe , e podemos pois considerar que sua área é nula (S = 0). 
 Fazendo S = 0 na fórmula de área do triângulo, concluímos que a 
condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante seja 
nulo , ou seja: ∆ = 0 
 
Exercício: Verifique se os pontos A1 (5, 2, - 6 ), A2 (- 1, - 4, - 3 ) e A3 
(7, 4, - 7 ) são colineares. 
𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
=
𝑧2 − 𝑧1
𝑧3 − 𝑧1
 
−1 − 5
7 − 5
 =
− 4 − 2
4 − 2
= 
− 3 + 6
7 + 6
 
−6
 2
= 
− 6
 2
 = 
 3
−1
 
−3 = −3 = −3 
Logo, os pontos estão em linha reta, portanto, são colineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da reta na forma reduzida: 
As equações simétricas da reta: 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
 = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
 = 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
podem ter outra forma, isolando-se y e z e expressando-as em 
função de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas são as equações reduzidas da reta. 
 
Retomada das equações da reta: 
 
Equação geral de uma reta 
A equação geral é da forma: ax + by + c = 0 
Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma 
matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo 2 pares 
ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados. 
 
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒃
= 
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒂
 
 𝒚 − 𝒚𝟏 = 
𝒃
𝒂
 (𝒙 − 𝒙𝟏) 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 
𝒃
𝒂
 𝒙 − 
𝒃
𝒂
 𝒙𝟏 
𝒚 = 
𝒃
𝒂
 𝒙 − 
𝒃
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 
 
Fazendo: 
 
𝒃
𝒂
= 𝒎 e − 
𝒃
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 = 𝒏 
Temos: 𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒏 
 
 
𝒛 − 𝒛𝟏
𝒄
= 
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒂
 
 𝒛 − 𝒛𝟏 = 
𝒄
𝒂
 (𝒙 − 𝒙𝟏) 
 𝒛 − 𝒛𝟏 = 
𝒄
𝒂
 𝒙 − 
𝒄
𝒂
 𝒙𝟏 
𝒛 = 
𝒄
𝒂
 𝒙 − 
𝒄
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 
 
Fazendo: 
 
𝒄
𝒂
= 𝒑 e − 
𝒄
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 = 𝒒 
Temos: 𝒛 = 𝒑 𝒙 + 𝒒 
 
Exemplo: 
Dado um ponto e o vetor diretor da reta. 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 �⃗� 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1) 
�⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
|
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑎 𝑏 𝑐
1 1 1
| 
 
Vetorial: P = A + t �⃗⃗⃗� 
 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 ) + 𝒕 (𝒂, 𝒃, 𝒄) 
 
Paramétricas: 
{
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 𝑡
 
 
Simétricas: 
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒂
 =
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒃
 =
𝒛 − 𝒛𝟏
𝒄
 
 
Reduzidas: 1º achar as equações simétricas, depois deixar y em 
função de x e z, ou, de acordo com a variável 
independente indicada. 
 
 
 
Colinearidade entre três pontos: 𝑨𝟏𝑨𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = m 𝑨𝟏𝑨𝟑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑚 =
𝑥2− 𝑥1
𝑥3− 𝑥1
= 
𝑦2− 𝑦1
𝑦3− 𝑦1
= 
𝑧2− 𝑧1
𝑧3− 𝑧1
 ou ∆ = 0 |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = 0 
 
 
Exercícios: 
 
1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos 
pontos A ( 2, 1, - 3) e B ( 4, 0, - 2). R: x = 2 z + 8 y = - z - 2 
 
2. Achar as equações reduzidas da reta r: 
𝑥
2
 = 
𝑦−3
−3
 = 
𝑧−2
− 2
 (com 
variável independente x) R: 𝑦 = − 3 𝑥
2
+ 3 𝑒 𝑧 = −𝑥 + 2 
3. Determine o ponto da reta r:{
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 1 + 𝑡
𝑧 = 4 − 𝑡
 que tenha ordenada 5 e 
o mesmo vetor diretor. R: P(7, 5, 0) e �⃗� (1, 1, −1) 
 
 
4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2, 3, - 
2) e tem a direção do vetor 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 3 �⃗⃗� + 2 𝑘⃗⃗⃗ ⃗ 
 
5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0 , 3, -2 ) 
e tem a direção do vetor 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 2 �⃗⃗� 
 
 
Resoluções 
 
1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos 
pontos A ( 2, 1, - 3) e B ( 4, 0, - 2). 
 
AB = B – A = ( 4, 0, - 2) - ( 2, 1, - 3) = (2, - 1, 1) 
Logo, o vetor diretor é: (2, - 1, 1) 
 
Simétricas que passam pelo ponto A: 
𝑥 − 2
2
= 
𝑦 − 1
−1
= 
𝑧 + 3
1
 
 
Reduzidas com variável livre z: 
x – 2 = 2 (z + 3) y – 1 = - 1 ( z + 3) 
x = 2 z + 6 + 2 y = - z – 3 + 1 
x = 2 z + 8 y = - z - 2 
 
R: x = 2 z + 8 e y = - z - 2 
 
Equação geral: 
𝑥 = 2𝑧 + 8 → 𝑧 = 
𝑥 − 8
2
 
𝑦 = −𝑧 − 2 → 𝑧 = −𝑦 − 2 
Logo, 
𝑥−8
2
= −𝑦 − 2 → 𝑥 − 8 = 2(−𝑦 − 2) → 𝑥 + 2𝑦 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Achar as equações reduzidas da reta r: 
𝑥
2
 = 
𝑦−3
−3
 = 
𝑧−2
− 2
 (com 
variável independente x) 
 
𝑥
2
=
𝑦−3
−3
=
𝑧−2
− 2
 
 
 
𝑥
2
=
𝑦−3
−3
 → −3𝑥 = 2(𝑦 − 3) → −3𝑥 = 2𝑦 − 6 → 𝑦 = 
−3𝑥+6
2
 
 
 
𝑥
2
=
𝑧−2
− 2
 → −2𝑥 = 2( 𝑧 − 2) → −2𝑥 = 2𝑧 − 4 → 𝑧 =
−2𝑥+4
2
 
 
R: 𝑦 = −
3 𝑥
2
+ 3 𝑒 𝑧 = −𝑥 + 2 
 
 
3. Determine o ponto da reta r:{
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 1 + 𝑡
𝑧 = 4 − 𝑡
 que tenha ordenada 5 e 
o mesmo vetor diretor. 
 
𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 = 𝑥, 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 = 𝑦 , 𝑐𝑜𝑡𝑎 = 𝑧 
 
Paramétricas: {
𝑥 = 3 + 𝑡
5 = 1 + 𝑡
𝑧 = 4 − 𝑡
 → logo, 𝑡 = 4. 
 
Assim, 𝑥 = 3 + 4 = 7 𝑒 𝑧 = 4 − 4 = 0 
 
 R: P (7, 5, 0) e �⃗� (1, 1, −1) 
 
4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2, 3, - 
2) e tem a direção do vetor 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 3 �⃗⃗� + 2 𝑘⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. 
 
Vetor diretor: 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = (3, 0, 2) Ponto A (- 2, 3, - 2) 
 Vetorial: (x, y, z) = ( -2, 3, -2) + t (3, 0, 2) 
 
 Paramétricas: {
𝑥 = −2 + 3 𝑡
𝑦 = 3
𝑧 = −2 + 2 𝑡
 
 
 Simétricas: 𝑥+2 
3
 = 
𝑧+2
2
 𝑒 𝑦 = 3 
 
Como b = 0 essa reta se encontra num plano paralelo a xOz 
 
Equação geral: 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 �⃗� 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (−2, 3, −2) = (𝑥 + 2, 𝑦 − 3, 𝑧 + 2) 
�⃗� = (3, 0, 2) 
 ∆ = |
𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑧 + 2
3 0 2
1 1 1
| = 0 
 
(0 − 2). (𝑥 + 2) − (3 − 2)(𝑦 − 3) + (3 − 0)(𝑧+ 2) = 0 
(−2)(𝑥 + 2) − 1(𝑦 − 3) + 3(𝑧 + 2) = 0 
−2𝑥 − 4 − 𝑦 + 3 + 3𝑧 + 6 = 0 
−2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 5 = 0 
 
 
 
 
5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0 , 3, -2 ) 
e tem a direção do vetor 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = 2 �⃗⃗� 
 
Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. 
Vetor diretor: (2, 0, 0) Ponto A (0, 3, - 2) 
 
Paramétricas: {
𝑥 = 2 𝑡
𝑦 = 3
𝑧 = −2
 
 𝑣⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 0, 0) 
 
(x, y, z) = ( 0, 3, -2) + t (2, 0, 0) 
 
{
𝑥 = 2 𝑡
𝑦 = 3
𝑧 = −2
 
 
y = 3 z = - 2 
Como b = 0 e c = 0 essa reta se encontra num plano paralelo a Ox 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de 
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