EDO's de primeira ordem lineares

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Universidade Federal de Vic¸osa - UFV
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica - DMA
MAT 147 - CA´LCULO II 2013/I
Professor Luiz Henrique
Aula: Me´todo do Fator Integrante, EDO’s Separa´veis e de Bernoulli
1 Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria de Primeira Ordem Linear
Definic¸a˜o 1.1 Uma equac¸a˜o do tipo
y′ + p(x)y = q(t) (1)
e´ chamada Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria De Primeira Ordem Linear, onde p e q sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas em um intervalo.
As func¸o˜es p e q da definic¸a˜o acima podem ser apresentadas por tipos diferentes de func¸o˜es, para cada tipo
existem me´todos que sa˜o mais convenientes na resoluc¸a˜o da EDO. Apresentaremos os diversos casos que
podem englobar as func¸o˜es p e q e o me´todo mais conveniente em cada caso.
1.1 Me´todo por Integrac¸a˜o
Observe que se fizermos p(x) = 0 na Equac¸a˜o 1, teremos
y′ = q(x)
e a soluc¸a˜o y(x) pode ser obtida por integrac¸a˜o, ou seja,∫
y′dx =
∫
q(x)dx ⇒ y(x) =
∫
q(x)dx+ c.
Exemplo 1.2
Para resolver a EDO de primeira ordem linear
y′ =
1
1 + x2
utilizaremos o processo de integrac¸a˜o, ja´ que temos p(x) = 0. A soluc¸a˜o e´ dada por
y(x) =
∫
1
1 + x2
dt ⇒ y(x) = arctg(x) + c.
1
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1.2 Me´todo do Fator Integrante
Dada uma EDO na forma y′ + p(x)y = q(x) resolveremos esta equac¸a˜o transformando-a naquela em que
p(x) = 0. Neste sentido, vamos definir uma func¸a˜o µ(x) a qual chamaremos de fator integrante da equac¸a˜o
linear.
Considere a EDO linear de primeira ordem
y′ + p(x)y = q(x).
Multiplicando esta equac¸a˜o pelo fator integrante µ(x), obteremos:
µ(x)y′ + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)
⇒ (y · µ(x))′ = µ(x) · q(x)
⇒
∫
(y · µ(x))′dx =
∫
µ(x) · q(x)dx
⇒ y · µ(x) =
∫
µ(x) · q(x)dx+ c.
Assim, a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ dada por
y(x) =
1
µ(x)
·
(∫
µ(x) · q(x)dx+ c
)
,
onde µ′(x) = µ(x) · p(x) ⇒ µ′(x) = e
∫
p(x)dx.
Exemplo 1.3
Resolva o Problema de Valor Inicial (P.V.I.): y′ + 2xy = cos (x)x2 , x > 0y(pi) = 0.
Soluc¸a˜o
Inicialmente encontraremos a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada. Para tanto, precisamos
determinar o fator integrante:
µ(x) = e
∫
2
x
dx = elnx
2
= x2.
De posse do fator integrante, a soluc¸a˜o geral e´ dada por:
y(x) =
1
x2
·
[∫
x2 · cos (x)
x2
dx+ c
]
⇔ y(x) = 1
x2
· (sen(x) + c) .
Usando a condic¸a˜o inicial y(pi) = 0, encontraremos a soluc¸a˜o particular, ou seja, a soluc¸a˜o do P.V.I.:
y(pi) =
1
pi2
· (sen(pi) + c) = 0 ⇒ c = 0.
Portanto, a soluc¸a˜o do P.V.I. e´
y(t) =
sen(x)
x2
.
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2 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de Primeira Ordem Na˜o-Lineares
Os me´todos de resoluc¸a˜o para cada tipo de EDO na˜o-linear sa˜o mais sofisticados. No entanto, na˜o sa˜o
sufientes para determinar a soluc¸a˜o de todos os tipos de EDOs que existem. Por isso, ficaremos restritos a
alguns tipos de equac¸o˜es diferenciais que possuem me´todos de resoluc¸a˜o.
2.1 Equac¸a˜o de Varia´veis Separa´veis
Definic¸a˜o 2.1 Uma equac¸a˜o da forma
N(y)
dy
dx
= M(x) (2)
e´ chamada equac¸a˜o separa´vel.
Observac¸a˜o 2.2 A Equac¸a˜o 2 e´ dita separa´vel pois pode ser escrita na forma diferencial N(y)dy = M(x)dx.
Exemplo 2.3
A equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
x2
1− x2
e´ uma equac¸a˜o separa´vel, pois conseguimos escreveˆ-la na forma
x2dx = (1− y2)dy.
Observac¸a˜o 2.4 Note que a EDO do exemplo anterior e´ uma equac¸a˜o de primeira ordem na˜o-linear.
Veremos agora como obter uma soluc¸a˜o para este tipo de EDO. Considere a seguinte equac¸a˜o separa´vel
N(y)
dy
dx
= M(x). (3)
Sejam H1(x) e H2(y) as func¸o˜es primitivas de M(x) e N(y), ou seja,∫
M(x)dx = H1(x) e
∫
N(y)dy = H2(y).
Escrevendo a Equac¸a˜o 3 na forma diferencial e integrando ambos os membros, teremos
N(y)dy = M(x)dx ⇔∫
N(y)dy =
∫
M(x)dx ⇔
H2(y) = H1(x) + c ⇔
H2(y)−H1(x) = c,
que e´ a soluc¸a˜o geral da EDO 3, dada implicitamente.
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Exemplo 2.5
Resolva o PVI

dy
dx
=
ycosx
1 + 2y2
y(0) = 1
Soluc¸a˜o:
Como visto anteriormente, esta EDO e´ separa´vel e reduz-se a forma diferencia´vel(
1
y
+ 2y
)
dy = cosxdx.
Deste modo, ∫
(y−1 + 2y)dy =
∫
cosxdx ⇔(
ln |y|+ y2) = (senx) + c ⇔
Como y(0) = 1, temos (
ln |1|+ 12) = (sen 0) + c⇒ 0 + 1 = 0 + c⇒ c = 1.
Assim, a soluc¸a˜o do PVI e´ dada (implicitamente) por(
ln |y|+ y2) = (senx) + 1.
2.2 Equac¸a˜o de Bernoulli
Considere a equac¸a˜o diferencial
y′ + p(x)y = q(x)yn. (4)
Para n = 0 ou n = 1 esta equac¸a˜o se reduz a uma EDO linear de primeira ordem cuja resoluc¸a˜o ja´ foi vista.
Quando n 6= 0 e n 6= 1, uma equac¸a˜o do tipo 4 e´ chamada Equac¸a˜o de Bernoulli.
Podemos reescrever a Equac¸a˜o 4 como
y−ny′ + p(x)y1−n = q(x).
Fazendo a mudanc¸a v = y1−n obtemos v′ =
dv
dx
= (1− n)y−n · dy
dx
= (1− n)y−n · y′ e a equac¸a˜o diferencial
linear se transforma em
1
1− n · v
′ + p(x) · v = q(x) (5)
A equac¸a˜o 5, sendo linear, pode ser resolvida utilizando o fator integrante µ(x) = e
∫
(1−n)p(x) dx e, a partir
dessa soluc¸a˜o, podemos encontrar a func¸a˜o soluc¸a˜o y(x).
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Exemplo 2.6
A equac¸a˜o diferencial y′+
1
x
y = xy2 e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli. Para resolveˆ-la, vamos dividir ambos
os membros por y2 e fazer a substituic¸a˜o v = y1−2 = y−1. Assim, obtemos a equac¸a˜o
−v′ + 1
x
v = x ⇔ v′ − 1
x
v = −x.
Utilizando o fator integrante
µ(x) = e
∫
1
x dt = elnx
−1
= x−1 =
1
x
para resolver a equac¸a˜o diferencial em v, encontraremos
v(x) = −x2 + xc,
onde c e´ uma constante. Como v = y−1, segue que
y(x) = − 1
x2 − xc.