Primeira prova

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 147 - CA´LCULO II 2013/I
Professor Luiz Henrique Couto
Gabarito da 1a Prova - Turma 3
1. Verifique se a sequeˆncia, cujo termo geral e´ dado abaixo, converge ou diverge, justificando sua
resposta.
(a) an =
n2
√
32n+1
Soluc¸a˜o:
Repare que
lim
n→∞
an = lim
n→∞
n2
√
32n+1 = lim
n→∞
3
2n+1
n2 .
Fazendo f(x) = 3
2x+1
x2 , temos
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
3
2x+1
x2 = 3limx→∞
2x+1
x2 ,
pois a func¸a˜o exponencial de base 3 e´ cont´ınua. Note que
lim
x→∞
2x+ 1
x2
LH( 00)
= lim
x→∞
2
2x
= 0
e assim,
lim
x→∞
3
2x+1
x2 = 3limx→∞
2x+1
x2 = 30 = 1.
Como f(n) = an para todo n ∈ N∗, temos
lim
n→∞
3
2n+1
n2 = 1
e, portanto, (an) converge.
(b) an =
n2
2n− 1sen
(
1
n
)
Soluc¸a˜o:
Repare que
n2
2n− 1sen
(
1
n
)
=
sen
(
1
n
)
2n− 1
n2
.
1
Fazendo f(x) =
sen
(
1
x
)
2x− 1
x2
, segue que
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
sen
(
1
x
)
2x− 1
x2
LH
= lim
x→∞
cos
(
1
x
)
·
(
− 1
x2
)
2x2 − (2x− 1)2x
(x2)2
= lim
x→∞
cos
(
1
x
)
·
(
− 1
x2
)
2x2 − 4x2 + 2x
x4
= lim
x→∞
cos
(
1
x
)
·
(
− 1
x2
)
· x
4
−2x2 + 2x = limx→∞ cos
(
1
x
)
· −x
2
−2x2 + 2x.
Como
lim
x→∞
cos
(
1
x
)
= cos(0) = 1
e
lim
x→∞
−x2
−2x2 + 2x
LH
= lim
x→∞
−2x
−4x+ 2
LH
= lim
x→∞
−2
−4 =
1
2
,
temos
lim
x→∞
cos
(
1
x
)
· −x
2
−2x2 + 2x = 1 ·
1
2
=
1
2
.
Note ainda que f(n) = an para todo n ∈ N∗. Portanto,
lim
n→∞
an = lim
n→∞
n2
2n− 1sen
(
1
n
)
=
1
2
e, assim, a sequeˆncia (an) converge.
2. Fac¸a o que se pede abaixo:
(a) Prove que
∞∑
n=1
2n + n2 + n
2n+1n(n+ 1)
= 1
Soluc¸a˜o:
Note que
an =
2n + n2 + n
2n+1n(n+ 1)
=
2n + n(n+ 1)
2n+1n(n+ 1)
=
2n
2n+1n(n+ 1)
+
n(n+ 1)
2n+1n(n+ 1)
=
1
2n(n+ 1)
+
1
2n+1
.
Repare que a se´rie
∞∑
n=1
1
2n+1
=
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . =
1/4
1− 1/2 =
1
2
(Geome´trica de raza˜o q = 1/2)
converge. Considerando agora a se´rie
∞∑
n=1
1
2n(n+ 1)
=
1
2
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
=
1
2
∞∑
n=1
[
1
n
− 1
n+ 1
]
,
2
calculando
∞∑
n=1
[
1
n
− 1
n+ 1
]
, temos que a n-e´sima soma parcial e´ dada por:
sn =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ . . .+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
.
Assim,
∞∑
n=1
[
1
n
− 1
n+ 1
]
= lim
n→∞
sn = lim
n→∞
(
1− 1
n+ 1
)
= 1
e, portanto,
∞∑
n=1
1
2n(n+ 1)
=
1
2
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
=
1
2
· 1 e essa se´rie tambe´m converge. Deste
modo, como as duas se´ries convergem, temos
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
[
1
2n(n+ 1)
+
1
2n+1
]
=
∞∑
n=1
1
2n(n+ 1)
+
∞∑
n=1
1
2n+1
=
1
2
+
1
2
= 1.
(b) Prove que
∞∑
n=1
(−1)n−1 2n+ 1
2n(n+ 1)
=
1
2
Soluc¸a˜o:
Repare que
2n+ 1
2n(n+ 1)
=
2n+ 2− 1
2n(n+ 1)
=
2n+ 2
2n(n+ 1)
− 1
2n(n+ 1)
=
1
n
− 1
2n
(
1
n+ 1
)
=
1
n
− 1
2
(
1
n
− 1
n+ 1
)
=
1
n
− 1
2n
+
1
2(n+ 1)
=
(
2− 1
2n
)
+
1
2(n+ 1)
=
1
2n
+
1
2(n+ 1)
.
Desta forma,
an = (−1)n−1 2n+ 1
2n(n+ 1)
= (−1)n−1
(
1
2n
+
1
2(n+ 1)
)
e, assim, a n-e´sima soma parcial e´ dada por
sn =
(
1
2
+
1
4
)
−
(
1
6
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
6
)
−
(
1
10
+
1
8
)
. . .+ (−1)n−1
(
1
2(n+ 1)
+
1
2n
)
=
1
2
+ (−1)n−1 · 1
2n+ 2
.
Portanto,
∞∑
n=1
(−1)n 2n+ 1
2n(n+ 1)
= lim
n→∞
sn = lim
n→∞
(
1
2
+ (−1)n−1 · 1
2n+ 2
)
=
1
2
.
3
3. Determine se as se´ries abaixo convergem ou divergem, justificando sua resposta.
(a)
+∞∑
n=2
ln
√
n3 − n2
Soluc¸a˜o:
Note que
lim
n→∞
ln
√
n3 − n2 = lim
n→∞
ln
(
n3 − n2)1/2 = lim
n→∞
1
2
ln
(
n3 − n2) = lim
n→∞
ln (n2(n− 1))
2
= lim
n→∞
[
ln (n2) + ln (n− 1)
2
]
.
Como
lim
x→∞
ln
(
x2
)
=∞ e lim
x→∞
ln (x− 1) =∞,
temos
lim
x→∞
[
ln (x2) + ln (x− 1)
2
]
=∞
e assim, como f(n) = an para todo n ∈ N∗, segue que
lim
n→∞
ln
√
n3 − n2 =∞.
Pelo Crite´rio do Termo Geral,
+∞∑
n=2
ln
√
n3 − n2 diverge.
(b)
+∞∑
n=1
ne−n
2
(Aplique o teste da integral)
Soluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o f(x) = xe−x
2
=
x
ex2
. Repare que
• f(x) > 0 para todo x > 0.
• f e´ cont´ınua em (1,+∞) pois e´ quociente de func¸o˜es cont´ınuas e o denominador nunca
se anula.
• f e´ decrescente em (1,+∞) pois
f ′(x) =
1 · ex2 − x · 2xex2
(ex2)
2 =
ex
2 − 2x2ex2
(ex2)
2 =
ex
2
(1− 2x2)
(ex2)
2 =
1− 2x2
ex2
< 0
para x ≥ 1.
Logo,
+∞∑
n=1
ne−n
2
tem o mesmo comportamento que
∫ +∞
1
xex
2
dx.
Vamos resolver
∫
xex
2
dx, fazendo a substituic¸a˜o simples u = −x2 ⇒ du = −2xdx.
Assim, ∫
xex
2
dx =
∫
−e
u
2
du = −e
u
2
+ c = −e
−x2
2
+ c
4
Dessa forma,∫ +∞
1
xex
2
dx = lim
t→∞
∫ t
1
xex
2
dx = lim
t→∞
[
−e
−x2
2
]t
1
= lim
t→∞
[
− 1
2et2
+
1
2e1
]
=
1
2e
∈ R,
ou seja, a integral converge e, portanto, a se´rie
+∞∑
n=1
ne−n
2
converge.
(c)
+∞∑
n=1
n+ 2
3n(n+ 1)
Soluc¸a˜o:
Note que
+∞∑
n=1
1
3n
=
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . . converge, pois e´ uma se´rie geome´trica de raza˜o q =
1
3
,
cujo mo´dulo e´ menor que 1.
Como ainda
lim
n→∞
n+2
3n(n+1)
1
3n
= lim
n→∞
n+ 2
n+ 1
= 1 > 0,
temos que a se´rie
+∞∑
n=1
n+ 2
3n(n+ 1)
converge pelo Crite´rio de Comparac¸a˜o no Limite.
4. Em cada item abaixo, responda se a afirmativa e´ verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta.
(a) (F )
∫ ∞
0
dx
x(1 + ln2(x))
= 0. (Fac¸a u = ln(x))
Soluc¸a˜o:
Vamos resolver a integral indefinida
∫
dx
x(1 + ln2(x))
:
Fazendo a substituic¸a˜o simples u = ln(x)⇒ du = 1
x
dx, obtemos∫
dx
x(1 + ln2(x))
=
∫
du
1 + u2
= arctg(u) + c = arctg(ln(x)) + c.
Note que, ao tomarmos a integral definida, precisamos dividir o intervalo de integrac¸a˜o
pois, ale´m de termos um limite de integrac¸a˜o infinito, o integrando
1
x(1 + ln2(x))
e´ de-
scont´ınuo no limite de integrac¸a˜o x = 0.
Assim, ∫ ∞
0
dx
x(1 + ln2(x))
=
∫ 1
0
dx
x(1 + ln2(x))
+
∫ ∞
1
dx
x(1 + ln2(x))
.
Como ∫ 1
0
dx
x(1 + ln2(x))
= lim
t→0+
∫ 1
t
dx
x(1 + ln2(x))
= lim
t→0+
[arctg(ln(x))]1t
= lim
t→0+
[arctg(ln(1))− arctg(ln(t))] = 0−
(
−pi
2
)
=
pi
2
e ∫ ∞
1
dx
x(1 + ln2(x))
= lim
t→∞
∫ t
1
dx
x(1 + ln2(x))
= lim
t→∞
[arctg(ln(x))]t1
5
= lim
t→∞
[arctg(ln(t))− arctg(ln(1))] = pi
2
− 0 = pi
2
,
temos ∫ ∞
0
dx
x(1 + ln2(x))
=
pi
2
+
pi
2
= pi 6= 0.
Logo, a afirmativa e´ falsa.
(b) (F ) Se a se´rie
∞∑
n=1
a2n e´ convergente, enta˜o
∞∑
n=1
an e´ convergente.
Soluc¸a˜o:
Tome, como contra-exemplo, an =
1
n
e note que
∞∑
n=1
a2n =
∞∑
n=1
1
n2
converge mas
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
1
n
diverge.
Logo, a afirmativa e´ falsa.
(c) (F ) Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sa˜o se´ries de termos positivos tais que lim
n→∞
an
bn
=∞ e
∞∑
n=1
bn converge,
enta˜o
∞∑
n=1
an e´ convergente.
Soluc¸a˜o:
Tome, como contra-exemplo, an =
1
ne bn =
1
n2
.
Assim,
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
n2
n
= lim
n→∞
n =∞
e
∞∑
n=1
bn =
∞∑
n=1
1
n2
converge mas
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
1
n
diverge.
Logo, a afirmativa e´ falsa.
6