07 ENERGIA CINETICA E TRABALHO (2)

Prévia do material em texto

Capitulo 7
Trabalho e energia
A ciência e a engenharia dos funny cars está tão avançada hoje em dia 
que a diferença entre a vitória e a derrota pode depender de intervalos 
de tempo menores que 1 ms.
Que propriedade de um funny car determina 
se ele será o vencedor de uma drag race?
 Energia – o termo energia é tão amplo 
que é difícil de pensar em uma definição 
concisa. Tecnicamente, a energia é uma 
grandeza escalar associada ao estado de 
um ou mais objetos. Mas é uma 
informação um pouco vaga para quem 
está começando.
Energia Cinética
 A energia cinética é a energia associada ao
estado de movimento de um objeto.
Quando um objeto está em repouso sua
energia cinética é nula.
Para um objeto de massa m cuja a velocidade 
v é muito menor que a velocidade da luz, 
temos:
2
2mv
Ec 
Unidades 1 joule = 1 J = 1 Kg.m2/s2
Exemplo1:
 Em 1896, em Waco, Texas,William Crush posicionou duas locomotivas em
extremidades opostas de uma linha férrea com 6,4km de extensão,
acendeu as caldeiras, amarrou os aceleradores e fez com que as
locomotivas sofressem uma colisão frontal, em alta velocidade, diante de
30000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos destroços,
várias morreram. Suponha que cada locomotiva pesava 1,2 x 106 N e
tinha uma aceleração constante de 0,26m/s2 qual era a energia cinética
das locomotivas imediatamente antes da colisão?
Trabalho
 O trabalho W é a energia transferida para um
objeto ou de um objeto por meio de uma
força atuando no objeto. A energia transferida
para o objeto é um trabalho positivo, e a
energia retirada do objeto é um trabalho
negativo.
Determinação de uma Expressão Matemática 
para o Trabalho
davv x2
2
0
2 
dF
mvmv
x
22
2
0
2
Fx = m ax
22
2
0
2 vv
dax 
m
F
a xx 
.xw F d
Para calcular o trabalho que uma força realiza usamos apenas a 
componente da força na direção do deslocamento do objeto. A 
componente da força que é perpendicular ao deslocamento não realiza 
trabalho.
 Fx = F cos θ

F
yF

xF

W = F .d. cos θ
θ
Unidades de trabalho
 1 J (Joule) = Kg . m2/s2 = 1 N.m = 0,738 ft.lb.
 Se várias forças atuam no mesmo corpo, o 
trabalho total será:
...332211  xFxFxFW xxxtotal
Considere que o deslocamento do ponto de aplicação de cada uma das forças
Seja Assim,
x
1 2 1 2
,
... ( ...)total x x x x
total res x
W F x F x F F x
W F x
        
 
Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
2 2
2 2
f i
x
mv mv
F d 
W
fE  iE
O resultado é o teorema do Trabalho-Energia Cinética:
“O trabalho total realizado sobre uma partícula é igual à
variação de sua energia cinética”.
Exemplo 1
1. Um objeto de 102kg está inicialmente movendo-se em linha
reta com uma velocidade de 53m/s . Se ele sofre uma
desaceleração de 2m/s2 até ficar imóvel:
a) Qual a intensidade da força utilizada?
b) Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar?
c) Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração?
Trabalho Realizado por uma Força 
Gravitacional
Wg = mg d cos θ
Trabalho Realizado por uma Força 
Gravitacional
 Para um objeto que esta se elevando, θ é 180 graus
e o trabalho é
Wg = mg d cos 180 = m g d (-1) = - m g d.
 Para um objeto que esta caindo de volta, θ é 0
graus e o trabalho é
Wg = mg d cos 0 = m g d (1) = + m g d.
Exemplo 2
2. Um guindaste exerce uma força de 31kN para cima,
elevando uma carga de 3000kg. Essa força, suficiente para
vencer a força gravitacional e fazer com que a carga
comece a subir, atua ao longo de uma distância de 2m.
Determine: (a) O trabalho realizado pelo guindaste
(b) o trabalho realizado pela força gravitacional
(c) a velocidade de subida da carga após os 2m.
(resp. 62,0kJ; -58,9kJ; 1,45m/s)
Exemplo 3: Um engradado de queijos redondos de 15 Kg, inicialmente em
repouso, é tracionado, via um cabo, por uma distância 5,70 m para cima de
uma rampa de altura 2,5m onde ele para.
a) Qual o trabalho realizado
sobre o engradado pela força
peso?
b) Qual o trabalho realizado
sobre o engradado pela força
de tração exercida pelo cabo
durante a subida?
Exemplo 3: Uma arca de 50kg é empurrada por uma 
distância de 6m, com velocidade constante, numa rampa com 
inclinação de 300 por uma força horizontal constante. O 
coeficiente de atrito cinético entre a arca e a rampa é 0,20 .
a) Calcule o trabalho realizado 
pela força aplicada.
c) Calcule o trabalho realizado 
pela força de atrito.
b) Calcule o trabalho realizado 
pelo peso da arca.
Trabalho Realizado por uma Força Variável Qualquer
Trabalho Realizado por uma Força 
Variável Qualquer
., xFW médjj 
  ., xFWW médjj
Podemos melhorar a aproximação reduzindo a largura de faixa
x e usando mais faixas, como na Fig. 4.3c. No limite, fazemos
a largura das faixas se aproximar de zero;
Trabalho Realizado por uma Força 
Variável Qualquer
O número de fatias então se torna infinitamente grande e
temos, como um resultado exato,
.lim
,0
xFW
médjx
 

Este limite é exatamente a definição da integral da função 
Fx entre os limites xi e xf:
dxxF
x
x
W
i
f
)(
Exemplo 4
Um bloco de 4kg, apoiado sobre uma plataforma sem
atrito, é preso a uma mola horizontal que obedece à lei
de Hooke e exerce uma força , onde
e é medido em relação à posição de
equilíbrio do bloco. A mola está originalmente
comprimida com o bloco na posição .
Determine (a) o trabalho realizado pela mola sobre o
bloco quando este se move da posição para
sua posição de equilíbrio e (b) a velocidade
do bloco em .
ixF k x 
mNk /400
cmx 51 
02 x
cmx 51 
02 x
Teorema do Trabalho-Energia Cinética com 
uma Força Variável
dxma
x
x
dxxF
x
x
W
i
f
i
f
  )(
.dx
dt
dv
mdxma 
Como 
Pela “regra de cadeia” do cálculo, temos
,v
dx
dv
dt
dx
dx
dv
dt
dv

Teorema do Trabalho-Energia Cinética 
com uma Força Variável
Que se transforma em:
dvmvdxv
dx
dv
mdxma 
Substituindo na integral:
dvv
v
v
mdvmv
v
v
W
i
f
i
f
 
Portanto 
c
if E
mvmv
W 
22
22
Produto Escalar:
sF
F

F

sF
cossW F ds F ds 
A componente mostrada na figura está relacionada ao ângulo
entre as direções de e de pela relação
assim o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento
F

sd

cosFFs 
Essa combinação de dois vetores
e o co-seno do ângulo entre eles
é chamada de produto escalar.
Produto Escalar:
 Propriedades do Produto Escalar:
cosABBA  
Se A forem perpendiculares, Então 0
Se A forem paralelos, Então .
 Lei comutativa
( ) ( ) ( ) Lei distributiva
e B A B
e B A B A B
A B B A
A B C A C B C
  
  
   
      
0ˆˆˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ


ikkjji
kkjjii
Pode-se utilizar os vetores
unitários para descrever o
produto escalar em termos das
coordenadas cartesianas dos dois
vetores:
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx 

)()()( zzyyxx BABABABA 

A componente de um vetor em alguma direção
preestabelecida pode ser expressa pelo produto escalar
entre o vetor e o vetor unitário naquela direção:
xzyx AikAjAiAiA  ˆ)
ˆˆˆ(ˆ

A diferenciação do produto escalar será feita da
seguinte maneira:
dt
Bd
AB
dt
Ad
BA
dt
d




 )(
Exemplo 5
jmims ˆ5ˆ2 

jNiNF ˆ4ˆ3 

A uma partícula é imposto um deslocamentoao longo de uma linha reta. Durante esse deslocamento, uma 
força constante atua sobre a partícula. 
Determine 
(a) o trabalho realizado pela força 
(b) a componente da força na direção do deslocamento.
.s
S
F F
S

Exemplo 6
6.1
6.2
Potência
(Potência média)
t
W
Pméd

 dt
dW
P 
(Potência instantânea)
vFP


 coscoscos vF
dt
dx
F
dt
dxF
dt
dW
P 






(Potência instantânea)
A potência desenvolvida pela força aplicada à carga pela 
picape é igual à taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a 
carga.
Unidade de potência
1 watt = 1 W = 1 J/s =0,738 ft.lb/s 
1 horsepower = 1 HP = 550 ft. lb/s = 746 W.
1 cavalo-vapor = 1cv=736w
Unidade de Energia
1 quilowatt-hora = 1kW . 1h = (1000W) (3600 s)
= 3,60 x 106J = 3,60 MJ 
Exemplo 7
Um pequeno motor é utilizado para operar um
elevador que carrega uma carga de tijolos com peso
de 800N a uma altura de 10m em 20s. Qual é a
potência mínima a ser desenvolvida pelo motor?