Flexão Assimétrica

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FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Na dedução da equação da flexão, partiu-se de duas condições: 
 
- A área da seção transversal da viga deveria ter pelo menos um eixo de simetria 
 
- O momento causador da flexão (Momento fletor) deveria atuar em torno de um 
eixo perpendicular ao eixo de simetria da seção. 
 
- Esse eixo em torno do qual atua o momento é o chamado eixo neutro da área da 
seção transversal 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
No entanto, as condições anteriores são desnecessárias, 
ou seja, a equação da flexão pode ser aplicada mesmo 
que: 
- A seção transversal tenha um formato qualquer; 
 
- O momento interno resultante atue em qualquer direção. 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
Estudos com elementos altamente deformáveis mostram que, 
mesmo nesses casos, as deformações normais variam 
linearmente a partir de um eixo denominado eixo neutro 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
Por consequência, em materiais com comportamento elástico 
linear, fazendo-se uso da Lei de Hooke, conclui-se que as 
tensões normais também variam de forma linear a partir do 
eixo neutro 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Para analisar esses casos, vamos tomar uma viga, tal como 
a mostrada na figura, com as seguintes considerações: 
- Seção transversal assimétrica; 
- Sistema de coordenadas x,y e z, 
estabelecido pela regra da mão direita; 
- Origem do sistema de coordenadas 
localizada no centroide C da seção 
transversal; 
- Momento interno resultante “M” positivo e 
agindo em torno do eixo “z”c 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Para satisfazer às condições de equilíbrio, a distribuição de tensão que atua 
sobre toda a seção transversal precisa ter: 
 
-Força resultante nula 
 
 
- Momento fletor interno resultante em torno de “y” nulo 
 
 
- Momento fletor interno resultante em torno do eixo “z” igual a “M” 
 
0==∑ XR FF
( ) 0==∑ yyR MM
( ) MMM zzR ==∑
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Essas três condições podem ser expressas matematicamente considerando-se um 
elemento infinitesimal de área “dA”, localizado em (0,y,z) e sobre o qual age uma 
força “dF” obtida em função da distribuição da tensão atuante “σ” (sigma): 
 dAdF .σ=
0==∑ XR FF 0. =∫
A
dAσ
( ) ∑= yyR MM ∫=
A
dAz ..0 σ
( ) MMM zzR ==∑ MdAyA
=∫ ..σ
Assim, aplicando-se as equações de 
equilíbrio tem-se: 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez sendo z o eixo neutro, a deformação normal variará de zero no 
eixo neutro a um valor máximo quando y=c 
Para que o somatório de forças na direção “x” seja nulo, isto é, para que a 
força resultante da distribuição de tensões na seção transversal seja nula é 
preciso que o eixo neutro coincida com o eixo centroidal “z”. 
, só se o eixo “z” seja um eixo centroidal. 
 
Para que 
 
0. =∫
A
dAσ
max.εε 




=
c
y
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Chega-se à expressão: 
I
cM .
max =σ
Desse modo: max.σσ 




=
c
y
Substituindo a equação de “σ” em: ∫=
A
dAyM ..σ
Tratando-se de materiais com comportamento elástico linear, a distribuição de tensão 
normal na área da seção transversal também será linear. 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
na equação: 
Isso requer que: 
∫=
A
dAz ..0 σ
0.. =∫
A
dAzy
Chega-se a: ∫=
A
dAzy
c
..0 maxσ
max.σσ 




=
c
y
Substituindo-se a expressão: 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
O Produto de Inércia de uma área em relação 
a um sistema de eixos, tais como “y” e “z”, só 
será nulo se tais eixos sejam os eixos 
principais de inércia da área. 
0.. =∫
A
dAzy
A integral 
, somente se: 
- “ eixo y” for um eixo principal de inércia 
- “ eixo z” for um eixo principal de inércia 
∫=
A
xy dAzyI .. é chamada de Produto de Inércia de uma área 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Se uma área tiver um eixo de simetria, os eixos principais poderão 
ser facilmente determinados pois eles são sempre orientados ao 
longo do eixo de simetria e perpendicularmente a ele 
Eixos principais de inércia de uma área são os eixos em torno dos 
quais o momento de inércia chega aos valores máximo e mínimo 
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Eixos principais de inércia 
localizados por equações de 
transformação ou pelo Círculo de 
Inércia de Mohr 
Eixos principais de inércia 
localizados por simetria 
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Momento Aplicado Arbitrariamente 
Algumas vezes um elemento é carregado de tal modo que o momento 
interno resultante não atua em torno de um dos eixos principais de inércia 
 
Quando isso ocorrer, deve-se proceder da seguinte forma: 
 
1- Identificar os eixos principais de inércia; 
 
2- Decompor o momento interno resultante em componentes direcionadas 
ao longo dos eixos principais de inércia; 
 
3- Então, usar a Equação da Flexão para calcular a tensão normal 
provocada por cada uma das componentes do momento; 
 
4- Finalmente, usar o Princípio da Superposição dos Efeitos para 
determinar a tensão normal resultante. 
+=
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Momento Aplicado Arbitrariamente em uma Viga com Seção Retangular 
Nesse caso particular , o Momento M forma um ângulo θ com o eixo 
principal “z” 
Decompondo o Momento M em componentes ao longo dos eixos principais 
de inércia tem-se: Mz = M.cosθ e My = M.senθ 
 
+ =
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As figuras a seguir mostram as distribuições da tensão normal que M e seus 
componentes Mz e My produzem na barra. 
 
My Mz M 
( ) ( )maxmax 'xx σσ >
OBSERVAÇÕES: 
 - Nas figuras considerou-se que: 
 - Pela convenção, My é negativo, pois faz com que o centro de curvatura 
da barra flexionada localize-se no sentido negativo da direção z. 
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
Escrevendo a Equação da Flexão para cada momento componente e 
superpondo seus efeitos, obtém-se um expressão geral que fornece a 
tensão resultante em qualquer ponto da seção transversal 
 
A equação resultante é: 
 
 
 
y
y
z
z
I
zM
I
yM ..
+−=σ
FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
σ - tensão normal no ponto 
y e z – coordenadas do ponto onde se deseja determinar a tensão, as quais se 
originam no centróide da área da seção transversal 
Mz e My – Componentes do Momento Interno Resultante direcionados ao longo dos 
eixos principais “y” e “z” 
Iz e Iy – Momentos principais de inércia, respectivamente em torno de “z” e “y” 
 
y
y
z
z
I
zM
I
yM ..
+−=σ
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