Aula 3 - Sistemas Polif. Equilibrados

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Sistemas Polifásicos
1. Introdução
Até agora foram estudadas concepções e termologias para o sistema CA monofásico,
ou seja, toda a concepção de como a carga se comporta, seja em regime transitório
ou nominal, era sempre em função de uma fonte monofásica. A partir de agora, será
discutido o sistema trifásico, pois é o mais usado para transmissão de energia
elétrica.
Em geral, existe uma preferência por sistemas trifásicos em vez de monofásicos para
transmissão de energia por diversão razões, nas quais se incluem as seguintes:
‐> Condutores de menor diâmetro podem ser usados para transmitir a mesma
potência à mesma tensão, o que reduz a quantidade de cobre necessário ( 25% a
menos ) e consequentemente reduz os custos e manutenção das linhas.
Sistemas Polifásicos
‐> A energia elétrica é gerada e distribuída sob a forma polifásica, no Brasil com
frequência de 60 Hz. Alguns países utilizam a frequência de 50 Hz.
‐> Instalações elétricas em geral (residenciais, comerciais e industriais) operam com
tensões e correntes alternadas senoidais.
‐> Linhas mais leves são mais fáceis de instalar e as torres de sustentação podem ser
menos robustas e mais espaçadas (<$).
‐> Equipamentos e motores trifásicos apresentam melhores características de partida e
operação que os sistemas monofásicos, pois a transferência de potência da fonte
para a carga está menos sujeita a flutuação.
‐> Quase todos os motores de grande porte são trifásicos pois a partida não necessita
de circuitos externos ou auxiliares.
‐> O sistema polifásico mais comum é o sistema trifásico, equilibrado e simétrico.
Sistemas Polifásicos
‐> Nos sistemas polifásicos, as tensões e correntes são descritas por meio do uso de
uma notação com subíndice duplo. Exemplificando: VAB – tensão no ponto A em
relação ao ponto B ou VAN – tensão no ponto A em relação ao ponto N.
‐. Os valores das grandezas tensão e corrente são representados pelos seus valores 
RMS ou eficazes.
‐>  A transmissão de potência (energia) na forma trifásica apresenta vantagens em 
relação à monofásica.
A frequência é determinada pelo número de polos do rotor e pela velocidade angular
do eixo. É praticamente consenso que as duas frequências utilizadas ao redor do
mundo são de 60Hz ( EUA, Brasil ) ou 50Hz ( Europa, Paraguai ).
Essas frequências foram escolhidas porque podem ser geradas com relativa eficiência
por equipamentos mecânicos cujo porte depende de dimensões do sistema de geração
e da demanda nos períodos de pico. ( Em navios e aeronaves é possível o uso da
frequência de 400Hz. )
Sistemas Polifásicos
O sistemas trifásico é usado pela grande maioria dos geradores elétricos
comerciais, mas isso não significa que os bifásicos e monofásicos não estejam
sendo usados.
Grande parte dos sistemas de emergência são monofásicos, como geradores a óleo
ou gasolina ( usado muito em industrias ). Jjá os geradores bifásicos são usados em
esquemas de servomecanismos, neste caso, um dos pontos comporta‐se como
ponto de referência.
O número de tensões de fase que podem ser produzidas por um gerador polifásico
não esta limitado a três. Pode‐se obter qualquer número de fases ajustando o
espaçamento angular entre os enrolamentos de cada fase ao longo do estator.
Usina de Belo Monte
Claudio Peixoto Engenheiros Academy 
Grandes Obras de Engenharia- Linha Transmissão Belo Monte Dois anos 
após ter vencido leilão do governo, a companhia de energia chinesa State 
Grid iniciou obras para a construção da segunda linha de transmissão de 
eletricidade de Belo Monte, projeto que custará R$ 9,5 bilhões e vai gerar 
16 mil empregos durante sua execução. Com 2.550 quilômetros, a linha vai 
cortar cinco Estados brasileiros, ligando a usina localizada no rio Xingu a 
Paracambi, na Baixada Fluminense, e é fundamental para garantir o 
escoamento da energia gerada por Belo Monte. Em janeiro, a empresa 
adquiriu o controle da CPFL, maior grupo privado de energia do país, em 
uma operação de R$ 14 bilhões. "Estamos com muito interesse nas áreas 
de transmissão, distribuição e energias renováveis", afirmou Guanchao. A 
obra da linha de transmissão de Belo Monte deve durar 25 meses - o 
contrato prevê o início das operações em dezembro de 2019. A licença de 
instalação foi emitida em agosto. Serão 13 canteiros de obras no trajeto da 
linha, para a instalação de 4,6 mil torres. "Os grandes desafios dessa obra 
são a extensão e administração dos contratos", disse Paulo Esmeraldo, 
presidente da Xingu Rio Transmissora de Energia (XRTE), cerca de 40% 
dos equipamentos virão da China #engenheirosacademy
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Definição de circuito trifásico (3Ø):
Estes circuitos monofásicos podem ser conectados de diferentes maneiras, 
tanto para os geradores como para as cargas. 
A título de exemplo, conectando-se os três circuitos monofásicos 
anteriores através de um ponto comum (tanto o gerador quanto a carga), 
denominado de “neutro”, se terá um circuito trifásico com gerador e carga 
conectados em estrela (Y).
Considere os circuitos monofásicos a seguir, cada um alimentando uma carga 
monofásica Z.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Definição de circuito trifásico (3Ø):
Considere os circuitos monofásicos a seguir, cada um alimentando uma carga 
monofásica Z.
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
Definição de circuito trifásico (3Ø):
Neste caso, e em se tratando de fontes com amplitudes de mesmo módulo, 
e que, quando conectadas, estejam defasadas de 120º , uma das outras, 
as tensões podem ser descritas como:
0
0
0
120
120
0



VV
VV
VV
c
b
a
0
0
0
120
120
0



VV
VV
VV
c
b
a
Sequência Positiva Sequência Negativa
00E
0120E0120E
Fig. 12.1 Single phase systems a) two‐
wire type, b) three‐wire type
Ex. Sistema americano doméstico 
(120 e 240V).
Fig. 12.2  Two‐phase three‐wire system
Fig. 12.3  Three‐phase four‐wire system
Fig 12.6 Three‐phase voltage sources: a) wye‐
connected source, b) delta‐connected source
Fig. 12.7 Phase sequences: a) abc or positive 
sequence b) acb or negative sequence
Fig. 12.8 Two possible three‐phase load configurations: 
a)a wye‐connected load, b) a delta‐connected load
Sistemas Polifásicos
2. O gerador Trifásico
O gerador ilustrado a seguir usa três enrolamentos posicionados a 120° um do
outro em torno do estator. Como os três enrolamentos possuem o mesmo
número de espiras e giram com a mesma velocidade angular, as tensões
induzidas nesses enrolamentos têm a mesma amplitude, forma de onda e
frequência. À medida que o eixo do gerador gira acionado por alguma força
externa, as tensões induzidas eAN, eBN e eCN são geradas simultaneamente e o
defasamento entre as três formas de ondas senoidais é idêntica.
Sistemas Polifásicos
a – a’: Bornes enrolmento A.
b – b’: Bornes enrolamento B.
c – c’: Bornes enrolamento C.
Forças eletromotrizes (fems) induzidas nos 
enrolamentos do estator
Três enrolamentos defasados de 120°
Três enrolamentos defasados de 120º:
C A B C A B
Sistemas Polifásicos
3. O gerador trifásico conectado em Y
É o caso em que os três terminais mostrados na figura a) são conectados entre si como
mostra a figura b)
Figura a) - Enrolamentos de um gerador trifásico. Figura b) Gerador conectado em Y
Conforme dito, ao definir-se os sistemas trifásicos, observa-se que, entre as 
grandezas que o caracterizam há uma defasagem de ± 1200.
Para tratar circuitos deste tipo, define-se o operador “α” (ou operador “a”), que 
apresenta a seguinte característica: α=1/__1200. Trata-se de um operador 
complexo, com módulo igual a 1 e argumento de 1200. Assim sendo, um sistema 
trifásico é definido como uma sequência ordenada de 3 fasores.
De forma geral, este conjunto de fasores é indicado numa matriz coluna (ou 
vetor).Estes conceitos se aplicam a qualquer conjunto de fasores.
Todavia, existem casos particulares de fasores utilizados no estudo de sistemas 
elétricos, que recebem designações especiais, conforme descrito a seguir.
O Operador α (a)
Propriedades:
Potência a1 = a2 = a3 a4
Valor =1/_1200= =1/_2400= =1/_3600= =1/_1200=
=‐0,5+j0,866 =‐0,5‐j0,866 =‐1+j0 =‐0,5+j0,866=a
Potência 1+a 1‐a 1+a2 a+a2 a‐a2 1+a+a2
Valor =1/_600= =raiz(3)/_‐300= =1/_‐600= =1/_1800= =raiz(3)/_900= 0
=0,5+j0,866=‐a2 =1,5‐j0,866 =0,5‐j0,866=‐a =‐1+j0 =0+j1,732 0+j0
866,05,011201 3
20 jea j  
Relação entre tensões de linha e tensões de fase:
0303 Van
0303 Vbn
0303 Vcn
anV

bnV

cnV

abV

bcV

caV

Relação entre 
tensões de linha e 
tensões de fase.
a 0° 30° 45° 60° 90°
Seno 0 1
Cosseno 1 0
Tangente 0 1 h
 1,0 1,0
 0, 1
3 1,
2 2
    
2 2,
2 2
    
1 3,
2 2
    
 0,11 3,
2 2
    
2 2,
2 2
    
3 1,
2 2
    
3 1,
2 2
     
2 2,
2 2
     
1 3,
2 2
     
3 1,
2 2
    
2 2,
2 2
    
1 3,
2 2
    
6
4
3
2
3

3
4

5
6


7
6

5
4

4
3

3
2

5
3

7
4

11
6

2




















 




1
1
1
][ 0
0
0
0
0 V
V
V
V
V
a) Sequência Zero: ou homopolar, consiste de três 
fasores iguais em amplitude e fase angular. São 
identificados pelo subíndice zero.



















 







 21
1
1
2
1
1
1
][ V
V
V
V
V



















 




2
2
2
2
2
2
2
1
][



 V
V
V
V
V
b) Sequência Positiva: ou sequência direta, consiste de 
três fasores de igual magnitude (Va, Vb, e Vc), defasados 
de 120º e na mesma sequência de fases do sistema 
original, designados pelo subíndice 1 (ou +), são definidos 
como:
acab VVVV   e 2
c) Sequência Negativa: ou sequência inversa, consiste 
de três fasores de igual magnitude (Va, Vb, e Vc), 
defasados de 120º e em sequência de fases contrária à 
do sistema original, designados pelo subíndice 2 (ou -), 
são definidos como:
:
acab VVVV
2 e  
Sequência de fases - Convenção:
Para verificar a sequencia de fases de um sistema trifásico, utiliza-se um 
instrumento conhecido como sequencímetro.
Por convenção, um sistema é dito de sequência direta ou positivo, quando 
os fasores giram em sentido anti-horário, na sequência A-B –C.
Para o caso de ocorrer alteração da sequencia, denomina-se sequência 
negativa ou inversa, quando os fasores giram em sentido anti-horário sendo 
a sequencia: A – C – B.
Posto na forma matricial, obtêm-se: 
Que resulta:
Neste caso, as tensões de linha são dadas por: 
VAB = VAN - VBN
VBC = VBN - VCN
VCA = VCN - VAN
 
0
02222
02
303)
2
1
2
3(3
2
3
2
31)
2
3
2
1(1
3031
303)
2
1
2
3(3)
2
3
2
1(11






jjj
jj
Posto na forma matricial, obtêm-se: 
Que resulta:
Neste caso, as tensões de linha são dadas por: 
VAB = VAN - VBN
VBC = VBN - VCN
VCA = VCN - VAN 


















 







 21
1
1
2
1
1
1
][ V
V
V
V
V
A figura ilustra a obtenção das tensões de linha a partir das tensões de fase, para 
o caso de sequencia positiva (ABC).
Para a sequência negativa ou inversa (ACB), mostra-se o correspondente
diagrama fasorial. Neste caso, o fator multiplicativo é: 0303 
0
2
1
3 30
AB
BC f
CB
V
V V
V



 

 
0
2
1
3 30
AN
AB
BN
CN
V
VV
V






 
Fasorialmente (Matriz de Transformação de Fortescue - Charles):
No estudo de sistemas polifásicos considera-se que:
Sistema trifásico simétrico – é um sistema de três grandezas sinusoidais, de 
mesma frequência e mesmo valor eficaz. Duas grandezas consecutivas estão 
defasadas, uma em relação a outra, por um múltiplo inteiro do intervalo angular 
(2Π/3), no caso dos sistemas trifásicos, 1200. Sistemas trifásicos assimétricos podem 
ser decompostos num conjunto (soma) de grandezas trifásicas simétricas, que são 
as suas componentes simétricas. 
Um sistema trifásico assimétrico pode-se decompor na soma de três 
sistemas sinusoidais: um sistema trifásico simétrico direto, um sistema 
trifásico simétrico inverso e um sistema homopolar ou de sequência zero.
A seguir, apresenta-se a tabela onde constam os valores de corrente e 
tensão, de linha e de fase, para um simétrico e equilibrado conectado em Y. 
(estrela).
Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão
IAN VAN Ian VAN IA VAB IA Vab
IBN VBN Ibn VBN IB VBC IB Vbc
ICN VCN Icn VCN IC VCA IC Vca
Gerador Carga Gerador Carga
Valores de fase Valores de linha





































a
a
a
c
b
a
V
V
V
V
V
V 0
2
2
 1
 1
1 1 1







































c
b
a
a
a
a
V
V
V
V
V
V


 1
 1
1 1 1
3
1
2
2
0
Representação de um conjunto de fasores pelas componentes simétricas.
Representação das componentes simétricas em função de um conjunto de 
fasores.
 2jo 3a 1 120 1 0,5 j0,866      
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Fonte: Unicamp
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Sistemas Polifásicos Equilibrados
‐> Exemplo circuito em Y a quatro fios.
Qual seria o valor da tensão medida por um voltímetro conectado aos terminais A
e B da fonte?. (Em função das tensões de fase)
Sistemas Polifásicos Equilibrados
‐> Exemplo circuito em Y a quatro fios.
Qual seria o valor da tensão medida por um voltímetro conectado aos terminais A
e B da fonte?.
Tensão de linha 
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Sistemas Polifásicos Equilibrados
Sistemas Polifásicos
Exemplo 1:
Dada a figura a seguir e considerando as tensões:
va
vb
+
++
--
-- --
ein
Va (t) = 50 sen (377t + 300)
Vb (t) = 30 sen (377t + 600)
f=60 Hz
Determine: a) A tensão de entrada
b) Desenhe a forma de onda de ein (t)
Sistemas Polifásicos
Exemplo 2
Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema 
trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase direta (+ ou ABC). 
Sabendo-se que | VBN | = 220 |__ 0° V, pede-se:
determinar:
a) as tensões de fase na carga;
b) as tensões de linha na carga;
c) O diagrama fasorial.
Exemplo 4
Refazer o exemplo anterior considerando sequencia de fases negativa (-
ou ACB).
Exemplo 3
Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema 
trifásico simétrico e equilibrado com sequência de fase direta (+ ou ABC). 
Sabendo-se que | VBN | = 220 |__ 58° V, pede-se:
determinar:
a) as tensões de fase na carga;
b) as tensões de linha na carga;
c) O diagrama fasorial.
OBS. Utilizar a notação matriciale o operador α.
Sistemas Polifásicos
Exemplo 2
Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico 
simétrico e equilibrado com sequência de fase direta (+ ou ABC). Sabendo-se que 
VBN = 220 |__ 58° V, pede-se:
determinar:
a) as tensões de fase na carga;
b) as tensões de linha na carga;
c) O diagrama fasorial.
Sistemas Polifásicos
Exemplo 2 continuação:
VAB
VBN
VCN
580
VAN
-VAN
-VBN
-VCN
VBC
VAC
VAB
300
Ref.
Sistemas Polifásicos
Exemplo 4
Um sistema trifásico simétrico tem sequência de fase negativa (B-A-C ) e 
| VBN | = 220 |__58° V, pede-se determinar as tensões:
Respostas: 
Sistemas Polifásicos
Exemplo 5
Um sistema trifásico simétrico tem sequência de fase negativa (B-A-C ) e | 
VCN | = 220 |__ 40° V, pede-se determinar as tensões: VAN e VBN
Sistemas Polifásicos
Exemplo 5
Um sistema trifásico simétrico tem sequência de fase negativa (B-A-C ) e 
VCN = | 220 | |__ 40° V, pede-se determinar as tensões: VAN e VBN
Exercícios:
6) Três impedâncias com valor de Z=4 − 3j são conectadas em estrela, 
As impedâncias são ligadas a um gerador trifásico equilibrado com uma tensão de 
linha de 208V. Pede-se:
a) Desenhe um circuito representativo do sistema, indicando as tensões de fase e de 
linha,
b) Calcule os fasores corrente em cada impedância,
c) Determine o fator de potência em cada fase e total,
d) e a potência ativa total na carga.
7) Um gerador trifásico com uma tensão de linha no valor de 208 V alimenta uma 
carga em triângulo. A corrente em cada impedância da carga é de 5 A, com fator de 
potência de 0,8 em atraso (Ɵ<0). 
a) Desenho o circuito, identificando as correntes de fase e linha
b) Calcule o fasor corrente na linha.
8) Três impedâncias com valor de Z=4 +3j , conectadas em triângulo, são conectadas 
a um gerador trifásico equilibrado com uma tensão de linha de 240V. Calcule:
determine;
a) O fasor corrente em cada fase, 
b) O fasor corrente nas linhas, 
c) o fator de potência, e 
d) a potência ativa total dissipada na carga.
Exercícios:
Exerciícios 7 e 8 do slide anterior e,
Livro do Sadiku: 
12.12; 12.14; 12.38 e 12.56. 
Livro do Nilson (cópia em pdf disponibilizada): 
(estudar o Exemplo 11.6 e o constante nas páginas 315 e 316.) 
Exercícios: 11.1; 11.17; 11.21; 11.33; 11.43; e 11.46 
Exercícios:
9) Para o circuito a seguir, determine I1,I2 e I3.
Exercícios:
10) A carga conectada em triângulo, da figura, consome uma potência ativa de 600 
kW para uma tensão de 5 kV. Se a corrente medida na linha é de 75 A, determine 
o fator de potência do circuito.Repita os cálculos utilizando grandezas de linha.
Sistemas Polifásicos
1. Gerador Conectado em Y com uma carga conectada em Y – equilibrado.
As cargas alimentadas por fontes trifásicas podem ser de dois tipos: estrela ou
triângulo. Quando uma carga em Y é conectada a um gerador em Y, o sistema é
representado por Y‐Y tal qual a figura abaixo:
Sistemas Polifásicos
O que caracteriza uma carga equilibrada?
* Quando a carga é equilibrada, ou seja, quando Z1 = Z2 = Z3, a
conexão do neutro pode ser removida sem que o circuito seja afetado.
Nesta situação, a corrente de neutro ( IN) é nula.
* O ângulo de fase seja igual para as três impedâncias.
O sistema Y‐Y a 4 fios.
As três correntes de fase do gerador são iguais às três correntes de
linha, que por suas vez são iguais às três correntes de fase da carga
conectada em Y, portanto:
 LLfg III 
 
Sistemas Polifásicos
E como o gerador e a carga têm o neutro em comum, tem‐se que:
Isto é válido para carga equilibrada ou não, e se desconsideradas as
impedâncias da linha e gerador
Como o módulo da tensão de linha é (raiz de três) vezes a tensão de
fase, a mesma relação pode ser aplicada à carga equilibrada ou não em
um sistemas Y‐Y de quatro fios.
 
  EEVV ff
 V3 LE
3
Sistemas Polifásicos
1. Gerador Conectado em Y com uma carga conectada em Y.
Relação entre as tensões de linha (VL) e tensões de fase (VF) – Sequência ABC (+):
 240 , 120 ,0 000   FcnFbnFan VVVVVV
 bnannbanab VVVVV
 
0303 )
2
3j
2
11(  FFab VVV
Analogamente:
02103  Fca VV
0903  Fbc VV
FL VV 3 
Vale para carga equilibrada ou não.
Sistemas Polifásicos
1. Gerador Conectado em Y com uma carga conectada em Y.
Para as correntes (IL) e tensões de fase (VF) – Sequência ABC :
0
0
0
0
240 240 
 , 120 120
 ,



















f
Y
an
Y
cn
c
f
Y
an
Y
bn
b
f
Y
an
a
I
Z
V
Z
VI
I
Z
V
Z
VI
I
Z
VI
 0) (
 0 




cban
cba
IIII
III
0 
-   nnnN IZV
Equivalente monofásico
][ ||   YY ZZ
Lf II
  Y em Carga
Sistemas Polifásicos
1. Gerador Conectado em Y com uma carga conectada em Y.
Para as correntes (IL) e tensões de fase (VF) – Sequência ABC :
Equivalente monofásico
000000
3 120.120120.120.0 
  ffffffY IVIVIVS
[VA] 3
3
3..3 0003  



lll
l
lf
Y IVIVIVS [VA] .3 03  

ll
Y IVS
][ ||   YY ZZ[VA]   IVS
Sistemas Polifásicos
Exercício 11: Para o circuito a seguir determine:
a) A sequência de fase do gerador conectado em Y .
b) Os ângulos de fase Ɵ2 e em Ɵ3.
b) O módulo das tensões de linha.
c) As correntes de linha.
d) Prove que a corrente de neutro é igual a 0.
Sistemas Polifásicos
1. Carga conectada em ∆.
Para as correntes (IL) e tensões de fase (VF) – Sequência ABC :
Lf VV
  em Carga
Sistemas Polifásicos
1. Carga conectada em ∆.
Para as correntes (IL) e tensões de fase (VF) – Sequência ABC :
Sistemas Polifásicos
1. Carga conectada em ∆.
Para as correntes (If) e tensões de fase (VL) – Sequência ABC :
][ ||   LL ZZ
[VA] 
3
.0.3.0.3 00003  



 l
lfl
IVIVS
[VA] .3 03  


ll IVS
Sistemas Polifásicos
[A] 150 
 [A] 90
0
0










f
L
ca
ca
f
L
bc
bc
I
Z
VI
I
Z
VI
1. Carga conectada em ∆.
Para as correntes (If) e tensões de fase (VL) – Sequência ABC :
][ ||   LL ZZ
Considerando a defasagem entre correntes de linha e de fase, pode‐se
escrever:
 [A] 30
||
30|| 00 



 




f
L
ab
L
ab
ab I
Z
V
Z
VI
Sistemas Polifásicos
    T T TT dtivTdtivTdtivTpdtTP 0 0 0 3322110 .1.1.11
333222111 coscoscos  IVIVIVP 
[VA] .3 3  

ll IVS
Sendo Ɵ o ângulo da impedância da carga.
[W] cos .3P3  ll IV
[W] sen .3Q3  ll IV
Potência complexa trifásica
Potência ativa trifásica
Potência reativa trifásica
Exercícios:
6) Para o circuito a seguir, determinar:
a) A corrente na linha,
b) A tensão em cada fase da carga,
c) A potência ativa absorvida (demandada) pela carga,
d) A potência dissipada na linha
Sistemas Polifásicos
Exercício 1 (Livro do Nilson , pg 370)
Exercício 2: Conexão Y - Y
Um gerador trifásico equilibrado, ligado em Y, com sequência de fases positiva, tem
uma impedância de 0,2 + j0,5Ω e uma tensão a vazio de 120V/fase. O gerador
alimenta uma carga trifásica equilibrada, ligada em Y, com uma impedância de
39+j28 Ω/fase. A impedância da linha que liga o gerador à carga é de 0,8 + j1,5
Ω/fase. A tensão a vazio da fase a do gerador é tomada como referência. Pede-se:
a) Construa o circuito trifásico e o equivalente da fase “a” do circuito.
b) Calcule as três correntes de linha IaA, IbB e IcC.
c) Calcule as três tensões de fase na carga VAN,VBN e VCN.
d) Calcule as três tensões de linha: VAB, VBC e VCA ,nos terminais da carga.
e) Calcule as tensões de fase nos terminais do gerador: Van, Vbn e Vcn
f) Calcule as tensões de linha Vab, Vbc e Vca nos terminais do gerador.
g) Repita os itens (a) a (f) para uma sequência negativa.
Sistemas Polifásicos
Exercício 2 (Livro do Nilson )
Exercício 3:
Um gerador trifásico equilibrado, ligado em Y, com sequência de fases positiva, tem
uma impedância de 0,2 + j0,5Ω e uma tensão a vazio de 120V/fase. Através de uma
linha cuja impedância é de 0,3 + j0,9 Ω/fase, o gerador é utilizado para alimentar
uma carga trifásica equilibrada, ligada em ∆, cuja impedância equivalente é de
118,5+j85,8 Ω/fase. Considerando como referência a tensão da fase “a” da fonte.
Pede-se:
a) Construa o circuito trifásico e equivalente da fase a do circuito.
b) Calcule as correntes de linha IaA, IbB e IcC.
c) Calcule as tensões de fase nos terminais da carga.
d) Calcule as correntes de fase na carga.
e) Calcule as tensões de linha nos terminais do gerador
Sistemas Polifásicos
Exercício 11.2 (Livro do Nilson )
Exercício 3:
A) Diagrama unifilar para a fase a.
Sistemas Polifásicos
Exercício 2 (Livro do Nilson )
Exercício 2:
Sistemas Polifásicos
Exercício 2 (Livro do Nilson )
Sistemas Polifásicos
Exercício: Para o sistema trifásico a seguir, determine:
a) Os ângulos de fase 2 e 3.
b) As correntes de cada fase conectada à carga.
c) O módulo das correntes de linha.
Sistemas Polifásicos
2. Gerador conectado em Y com uma carga conectada em Delta.
Não existe a conexão do neutro no sistema Y‐Δ. Qualquer variação na impedância de uma das fases que
desequilibre o sistema faz com que as correntes de linha sejam diferentes. No caso de Z1 = Z2 = Z3 temos que
agora a tensão de fase na carga é igual a tensão de linha da rede e que a corrente de linha é razão de raiz de
três vezes a corrente de fase.
Obs. Demonstra-se que a soma fasorial das correntes de linha e de fase, com carga 
equilibrada, é nula. 
Sistemas Polifásicos
Exercício:
Um sistema trifásico, com uma tensão eficaz de 100,0V, tem uma carga ligada em 
delta (∆) e equilibrada, com impedância de 20,0 | 45º (Ω). Obter as correntes de linha 
e traçar o diagrama fasorial.
Sistemas Polifásicos
Exercício:
Um sistema trifásico, com uma tensão eficaz de 100,0V, tem uma carga ligada em delta (∆), equilibrada, com 
impedância de 20,0 | 45º (Ω). Obter as correntes de linha e traçar o diagrama fasorial.
 
 
 
 
 
124,6124,6294,1830,4830,4294,1
294,1830,4º2850,5
º165660,8
241,2365,8535,3535,3294,1830,4
º450,5º1650,5
º75660,8
365,8241,2830,4294,1535,3535,3
º2850,5450,5
º2850,5
º450,20
º2400,100
º1650,5
º450,20
º1200,100
º450,5
º450,20
º00,100
jjj
jIII
A
jjj
III
jjj
III
A
Z
VI
A
Z
VI
A
Z
VI
BCCAC
ABBCB
CAABA
CA
CA
BC
BC
AB
AB














 Aº45661,8 
Diagrama Fasorial
Sistemas Polifásicos
Sistemas Polifásicos
Sistemas Polifásicos
3. Gerador conectado em Δ
Quando o gerador é conectado conforme a figura a seguir, o sistema é
denominado de gerador trifásico a três fios conectado em delta. Nesse
sistema, as tensões de fase e de linha são equivalentes e têm o mesmo valor
que as tensões induzidas nos enrolamentos do gerador. Ou seja:
Sistemas Polifásicos
3. Gerador conectado em Δ
Diferentemente da corrente do gerador conectado em Y, a corrente de linha no
sistema conectado em Δ é diferente da corrente de fase. A relação das duas
correntes pode ser determinada aplicando a lei de Kirckoff para correntes a um
dos nós do circuito e calculando a corrente de linha em termos das de fase; ou
seja, para o nó A tem‐se:
Sistemas Polifásicos
Gerador Conectado em ∆
O diagrama fasorial para as correntes está mostrado a seguir.
Salienta‐se que é utilizada a mesma metodologia utilizada para encontrar a tensão
de linha no gerador conectado em Y.
Diagrama Fasorial para carga equilibrada:
Sistemas Polifásicos
4. Sequência de fase no gerador conectado
em delta.
Embora as tensões de linha e de fase de um
sistema conectado em delta sejam iguais, é
mais prático descrever a sequência de fase em
termos das tensões de linha.
O método utilizado é o mesmo usado para
descrever as tensões de linha dos geradores
em Y. Dada a sequência na ordem a seguir:
Sistemas Polifásicos
Sistemas polifásicos ∆ ‐ ∆ e Y ‐ Y
Semelhantes aos casos anteriores.
Exercícios
‐> Conversão de uma fonte trifásica conectada em ∆ para conexão em Y.
a) As tensões de fase da fonte conectada em ∆ são:
Valendo‐se das LTK, obtem‐se:
Para sequencia de fase positiva, tem‐se:
OBS.
VL=Vf na conexão ∆ .
IL= If na conexão ∆. IL atrasada 300 de If.
na sequência positiva.
Sistemas Polifásicos
0
00
120
120 ,0




fca
fbcfab
VV
VVVV

 
Y
f
a
Z
V
I
0303/
0
0
120
120




ac
ab
II
II
3
‐> Conversão de uma fonte trifásica conectada em ∆ para conexão em Y.
b) Outra forma de determinar a corrente de linha, é substituir a fonte conectada em ∆
por uma conectada em Y, sendo:
Se a fonte possui uma impedância em ∆ /fase (Zs), na conexão em Y ficará :
Sistemas Polifásicos
0
0
0
90
3
150
3
 ,30
3






f
cn
f
bn
f
an
V
V
V
V
V
V
faseZZY /
3


 
‐> Conversão de uma fonte trifásica conectada em ∆ para conexão em Y.
Como a fonte foi transformada em Y, tem‐se um circuito Y‐Y. Assim sendo, pode‐se utilizar o circuito
equivalente por fase (desconsideradas a impedância da fonte e das linha).
Ou seja:
Sistemas Polifásicos
0
00
90
3
150
3
 ,30
3




f
cn
f
bn
f
an
V
V
V
V
V
V
0
0
120
120




ac
ab
II
II

 
Y
f
a
Z
V
I
0303/
‐> Conversão de uma fonte trifásica conectada em ∆ para conexão em Y.
Sendo assim, tem‐se.
Sistemas Polifásicos
030
3



f
YaAN
V
ZIV
0120  ANBN VV
0120  ANCN VV
Sistemas Polifásicos
‐> Exercício:
Resolver o circuito utilizando a conversão da fonte trifásica conectada em ∆ para
conexão em Y.
Desenhar o circuito equivalente monofásico.
v
v
v
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
Potência Média: Em cada fase a potência média fornecida é calculada por :



 R
VRIIVP RVI
2
2cos 

 VI
Sendo:
Ângulo entre  IV e 
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
A Potência Total Ativa fornecida à carga equilibrada pode ser determinada por:
[W] 3 PPT 
Ou em função das grandezas de linha:


 RIIEP LVILLT 23cos3 
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
A Potência Reativa em cada fase em VAr (Volt‐Ampèr reativos) é determinada por:
[VAr] 3 QQT 


 XIsenIEQ LVILLT 233 
A Potência Total Reativa fornecida à
carga equilibrada pode ser determinada
por:




 X
V
XIsenIVQ VI
2
2 
Ou em função das grandezas de linha:
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
A Potência Aparente associada a cada fase em VA (Volt‐Ampèr) é determinada
por:
[VA] 3 SST 
Ou, em função de grandezas de linha:
LLT IES 3
A Potência Aparente Total fornecida à
carga equilibrada é dada por:
[VA]  IVS 
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
O Fator de Potência associada do sistemaé determinado por:
adiantado)ou (atrasado cos  VI
T
T
P S
PF 
Exercício pag. 847
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
Exercício pag. 847
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
Exercício pag. 847
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em Y
Exercício pag. 847
VR – divisor de tensão I 
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em ∆
Potência Média: Em cada fase a potência média fornecida a cada fase é calculada
por :
[W] cos
2
2



 R
VRIIVP RVI 
Potência Média Total
[W] 3 PPT 
Sistemas Polifásicos
Potências
Carga trifásica conectada em ∆
Potência reativa: Em cada fase a potência média fornecida a cada fase é calculada
por :
[VAr] 
2
2




 R
V
XIsenIVQ VI 
Potência Média Total
[VAr] 3 QQT 
Potência Aparente
T
T
P S
PF Fator de Potência
[VA]  IVS 
[VA] IE33 LL SST
Sistemas Polifásicos
Correção do fator de Potência – Circuitos Monofásicos
Com auxílio da expressão anterior pode-se determinar a capacitância , em farad, necessária 
para elevar o fator de potência - FP de um valor inicial FP1 a um valor final FP2 . 
Caso se deseje especificar um fator de potência final de natureza capacitiva, o ângulo ϕ’ 
deverá ser escolhido com valor negativo. 
Sistemas Polifásicos
Correção do fator de Potência – Circuitos trifásicos
Assim como em circuitos monofásicos, a correção do fator de potência de cargas trifásicas 
é realizada através da ligação de capacitores em paralelo com a carga. Utilizando os 
resultados alcançados no caso de circuitos monofásicos, a potência reativa por fase , 
necessária para “elevar” o fator de potência do valor cosϕ ao valor cos ϕ’, pode ser obtido 
por meio da expressão:
Os capacitores podem ser ligados em triângulo ou em estrela, conforme mostra a 
Figura. 
)'tan(tan3
'
333   PQQQcap
E: )'tan(tan
33
33   PQQ capf
Sistemas Polifásicos
Correção do fator de Potência – Circuitos trifásicos
a) Capacitância necessária para alcançar uma Potência Reativa, por 
fase, igual a Qf – conexão Y: 
a) Capacitância necessária para alcançar uma Potência Reativa, por fase, igual 
a Qf – conexão ∆: 
wV
Q
wV
Q
C
L
f
L
f
Y 22
3
)
3
(

Y
L
f C
wV
Q
C
3
1
2

Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos três wattímetros – Circuitos trifásico equilibrado ou não e conexão em ∆
ou Y.
Sistema a 4 fios ‐ Y
A potência ativa total na carga é igual à soma das potências ativas em cada impedância:
3213 PPPPP Ty 
3332121113 cos..cos..cos..  nnnnnn IVIVIVP 
simpedânciadasÂngulo e , 321 
W2 W3W1
Para circuitos equilibrados::
 cos..3cos..3.3 11113 ffnn IVIVPP 
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos três wattímetros – Circuitos trifásico equilibrado ou não e conexão em ∆
ou Y.
Sistema a 3 fios - ∆
A potência ativa total na carga é igual à soma das potências ativas em cada impedância:
321 PPPPT 
Z1
Z 3 Z2
±
BC1
BP1
Linha
W1
BC2
BP2
W2
Linha
Linha
n
a
c
±
±
±
BC3
BP3
W3
±
±
O
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos três wattímetros – Circuitos trifásicos equilibrados ou não e conexão em ∆
ou Y.
Sistema a 3 fios ‐ ∆ ou Y
Sistema a 3 fios - Y
A potência ativa total na carga é igual à soma das potências ativas em cada impedância:
Não havendo conexão entre o neutro da carga e o neutro 
da fonte, o ponto comum das bobinas de potencial dos
wattímetros (ponto O) terá um potencial arbitrário.
As indicações dos três wattímetros correspondem a:















*
333
*
222
*
111
.Re 
 ,..Re
 ,..Re
IVP
IVP
IVP
n
n
n
Pode ser 
também  
carga em ∆
321 PPPPT 
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos dois wattímetros – Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e
conexão em ∆ ou Y (4 fios só se for equilibrado) .
A potência ativa total é a soma algébrica da leitura dos dois wattímetros.
O potencial do ponto “O” não tem influência 
no resultado final. Pode-se, dessa forma, 
atribuir a este um potencial em particular.
Pode-se conectar o ponto O a uma das 
fases, como por exemplo, na fase B . Neste 
caso, o wattímetro 2, passará a indicar 
potência nula, pois não haverá diferença de 
potencial aplicada em sua bobina de 
potencial.
Assim, o wattímetro 2 pode ser retirado do 
circuito sem qualquer implicação. Compare:
Tente outras conexões possíveis para os 
Wattímetros!
Pode ser 
carga 
em ∆
Demonstrar, matematicamente, que a soma algébrica das leituras dos Wattímetros fornece a 
potência ativa total fornecida à carga.
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos dois wattímetros – Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e
conexão em ∆ ou Y.
São considerados dois métodos para determinar se 
as leituras dos wattímetros devem ser somadas ou 
subtraídas.
Para o caso de um sistema equilibrado, a potência total 
será dada por:

 VILLlhT IVPPP cos3
O Fator de Potência é:
LL
lhV
IP IV
PPF
3
cos  
Ph e Pl - leitura dos Wattímetros de maior e menor valor.
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos dois wattímetros – Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e
conexão em ∆ ou Y.
Métodos considerados (dois) para determinar se as leituras dos wattímetros devem ser 
somados ou subtraídas
Para o caso de um sistema equilibrado, a potência total 
será dada pela soma algébrica de:
0
1
0
2
cos cos(30 )
cos cos(30 )
ac
a
bc
b
V
ac a I ac a
V
bc b I bc b
W V I V I
W V I V I
 
 
  
  
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos dois wattímetros – Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e
conexão em ∆ ou Y.
Considerando o método do fator de potência - para determinar se as leituras dos 
wattímetros devem ser somados ou subtraídos
5,0cos60 : 0  Para
W1 e W2 positivos (os 2 wattímetros indicação para 
frente)
1)
2) 5,0cos60 : 0  Para
Primeiro wattímetro para frente, segundo para trás 
(inverter a bobina de corrente e levar em conta o sinal -).
5,0cos60 : 0  Para3)
O primeiro wattímetro indica sozinho a potência total.
O segundo igual a zero.
4) 1cos0 : 0  Para
W1=W2 (carga resistiva).
PT=W1 + W2.
5) 0cos09 : 0  Para W1=-W2 (carga reativa)
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Método dos dois wattímetros – Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e
conexão em ∆ ou Y.
Em geral, a potência ativa total entregue a uma carga com n fios pode ser obtida através da
utilização de (n-1) wattímetros.
O teorema de Blondel formaliza o chamado método dos ( n-1 ) wattímetros:
“Se a energia é fornecida a uma carga polifásica através de n fios, a potência total na carga é
dada pela soma algébrica das leituras de n wattímetros, ligados de tal maneira que cada um 
dos n fios contenha a bobina de corrente de um wattímetro, estando a correspondente bobina 
de potencial ligada entre este fio e um ponto comum a todas as bobinas de potencial, o ponto 
O. Se este ponto estiver sobre um dos n fios, bastam (n-1) wattímetros.”
ANALISE:
PORQUE O TERMO soma algébrica ESTÁ DESTACADO NO TEXTO DO TEOREMA?
SistemasPolifásicos
Medição de Potência ativa em circuitos trifásicos
Medição de potência ativa:
Em geral, para um sistema de n circuitos, se conhecidas n-1 tensões e 
correntes, a potência total pode ser calculada, uma vez que, de acordo 
com a lei de Kirchhoff, existem apenas n-1 tensões ou correntes 
independentes. 
Em síntese, tem-se:
a) Para circuitos a três fios, equilibrados ou não, conectados em 
estrela ou triângulo – apenas dois wattímetros são necessários. Uma das 
fases é tomada como referência. 
b) Para circuito a 4 fios: Se equilibrado, apenas dois wattímetros são 
necessários. Uma das fases é a referência.
c) Para circuito a 4 fios, desequilibrado, são necessários 3 wattímetros. 
Sistemas Polifásicos
Exercício 3 (Livro do Nilson ex. 11.5 )
Uma carga trifásica equilibrada demanda 480 kW com fator de potência 0,8
atrasado. A carga é alimentada por uma linha de 0,005 + j0,025Ω/fase. A tensão de
linha nos terminais da carga é 600V.
a) Construa o circuito equivalente para uma das fases.
b) Calcule o modulo da corrente de linha.
c) Calcule o modulo da tensão de linha no inicio da linha.
d) Calcule o FP no inicio da linha.
Sistemas Polifásicos
Exercício 3 (Livro do Nilson ex. 11.5 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 3 (Livro do Nilson ex. 11.5 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 3 (Livro do Nilson ex. 11.5 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 3 (Livro do Nilson ex. 11.5 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 23.8 (Livro do Boylestad, pg 852 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 23.8 (Livro do Boylestad, pg 852 )
Sistemas Polifásicos
Exercício 23.8 (Livro do Boylestad, pg 852 )
Z 3 Z2
±
BC1
BP1
Linha
W1
BC2
BP2
W2
Linha
Linha
n
a
c
±
±
±
BC3
BP3
W3
±
±
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência REATIVA em circuitos trifásicos
Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e conexão em ∆ ou Y.
A potência reativa total de uma carga trifásica é igual à soma das potências reativas 
de cada fase, e pode ser medida através de wattímetros convenientemente conectados.
Pode ser 
carga 
em ∆
Pode-se demonstrar que:
][
3
1
3213 LLLQ 
L1 , L2 e L3 são as leituras 
dos três wattímetros.
Note que a soma das três 
leituras é vezes maior
que a potência reativa total .3Q
3
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência REATIVA em circuitos trifásicos utilizando Wattímetros
Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e conexão em ∆ ou Y.
ANALISE:
PORQUE O TERMO soma algébrica ESTÁ DESTACADO NO TEXTO DO TEOREMA?
Porque dependendo da característica da carga e, portanto, dos ângulos de defasagem entre as 
tensões e correntes, nos wattímetros analógicos, os ponteiros podem defletir à esquerda do 
ZERO.
PROCEDIMENTO PRÁTICO:
* inverter a ligação da bobina de potencial do(s) wattímetro(s) em que há essa tendência; 
• atribuir sinal negativo à(s) respectiva(s) leitura(s) e 
• realizar a soma algébrica das leituras dos wattímetros, sendo que a potência ativa trifásica 
da carga corresponderá ao valor absoluto do resultado dessa soma.
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência REATIVA em circuitos trifásicos utilizando Wattímetros
Circuitos trifásico , três fios, equilibrado ou não e conexão em ∆ ou Y.
PARTICULARDADES:
1ª. PARTICULARIDADE:
Se a carga for equilibrada, os três termos da expressão de Q3Ø serão iguais e somente um
wattímetro é necessário.
Por exemplo, utilizando-se apenas o wattímetro W1, a potência reativa total corresponderá a:
ou seja, a potência reativa total em uma carga equilibrada é vezes a leitura de um wattímetro. 
113213 3].3[3
1][
3
1 LLLLLQ 
3
Z1
Sistemas Polifásicos
Medição de Potência REATIVA em circuitos trifásicos utilizando Wattímetros
Circuitos trifásico , três fios, equilibrado e conexão em ∆ ou Y.
PARTICULARDADES:
2ª. PARTICULARIDADE:
Trata-se de um cálculo prático da Potência Reativa em Carga Equilibrada.
Se o método dos dois wattímetros estiver sendo utilizado para a medição de potência ativa em 
cargas equilibradas, é possível obter a potência reativa total utilizando a mesma conexão.
Pode-se demonstrar que:
É possível então obter o ângulo da impedância da carga:
3
3
12
 QsenIVPP LL 








 
21
121
3
31 )(3
PP
PPtg
P
Q
tg


Pode 
ser 
carga 
em ∆
‐> Exemplo carga conectada em Y a quatro fios.
A carga trifásica tem em cada fase uma resistência de 120 Ω e uma reatância indutiva de 160 Ω. A tensão
de fase é igual a 127 V.
Considerando a sequência de fases ABC e a tensão de fase ÛAN como referência angular, as tensões de
fase fornecidas pela fonte são iguais a:
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‐> Exemplo carga conectada em Y a quatro fios.
A impedância da carga vale: Z = R + jX =120 + j160 = 200/___53,13
o
Ω
Observação:
AS CORRENTES QUE VÃO DA FONTE PARA A CARGA, SÃO AS CORRENTES DE LINHA.
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‐> Exemplo carga conectada em ∆.
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‐> Exemplo carga conectada em ∆.
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‐> Exemplo carga conectada em ∆.
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‐> Exemplo carga conectada em ∆.
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‐> Exemplo carga conectada em ∆.
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