GeometriaAnalticaaula02 2011 20150825170133

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Vetores no R
2: 
O conjunto R2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado 
geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. Qualquer vetor 
→
AB considerado neste plano tem sempre um representante 
→
OP 
(segmento orientado) cuja origem é a origem do sistema. 
 
 
 
 
 
 
Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados 
por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas 
condições, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do 
segmento. Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor →v = →OP e 
escreve-se: 
→
v= (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as 
componentes de
→
v . 
 
 
 
 
 
 
A origem do sistema O(0, 0) representa o vetor nulo. 
O vetor oposto de 
→
v= (x, y) é o vetor – →v= (–x, –y). 
Igualdade e Operações: 
Igualdade: 
Dois vetores 
→
u = (x1, y1) e →v = (x2, y2) são iguais se, e somente se, 
x1 = x2 e y1 = y2. 
Exemplos: 
1) Os vetores →u = (3, 5) e →v = (3, 5) são iguais. 
2) Se o vetor →u = (x + 1, 4) é igual ao vetor →v = (5, 2y – 6), de acordo 
com a definição de igualdade de vetores, x + 1 = 5 e 2y – 6 = 4 ou 
x = 4 e y = 5. Assim se 
→
u = 
→
v ,então x = 4 e y = 5. 
 Operações: 
Sejam os vetores →u = (x1, y1) e →v = (x2, y2) e a Є R. Defini-se: 
a) → →+u v = (x1 + x2, y1 + y2) 
b) a →u = (ax1, ay1) 
Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes 
correspondentes e, para multiplicar um vetor por um número, multiplica-
se cada componente do vetor por este número. 
Por exemplo, se 
→
u = (4, 1) e →v = (2, 6), a figura abaixo mostra que: 
a) → →+u v = (4, 1) + (2, 6) = (4 + 2, 1 + 6) = (6, 7) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2 →u = 2(4, 1) = (2.4, 2.1) = (8, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor definido por dois pontos: 
Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um 
segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos 
o vetor 
→
AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em B(x2, y2). 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o que vimos nas propriedades da adição de dois vetores 
(observação 2), o vetor →AB é a diferença entre os vetores →OB e →OA : 
→
AB = 
→
OB – 
→
OA 
e, portanto: 
→
AB = (x2, y2) – (x1, y1) 
ou: 
→
AB = (x2 – x1, y2 – y1) 
Isto é, as componentes do vetor 
→
AB são obtidas pela diferença entre as 
coordenadas da extremidade B e as da origem A. 
Por exemplo, se A(–1, 3) e B(2, –2), o vetor →AB será: 
→
AB = B – A = (2, –2) – (–1, 3) = (3, –5) 
É importante lembrar que um vetor tem 
infinitos representantes que são os 
segmentos orientados de mesmo 
comprimento, mesma direção e 
mesmo sentido. E, dentre os infinitos 
representantes do vetor 
→
AB , o que 
“melhor o caracteriza” é aquele que 
tem origem em O(0, 0) e extremidade em 
P(x2 – x1, y2 – y1), veja a figura ao lado. O 
vetor 
→
v= 
→
OP é também chamado vetor posição ou representante natural 
de 
→
AB . 
Na figura ao lado, os segmentos orientados OP, AB e CD representam 
o mesmo vetor 
→
v= P – O = B – A = D – C = (3, 1). 
Esta figura deixa claro que o fato de 
os segmentos orientados ocuparem 
posições diferentes, é irrelevante. O 
que importa, é que eles tenham o 
mesmo comprimento, a mesma 
direção e o mesmo sentido para 
representarem o mesmo vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto Médio: 
Seja o segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2, y2) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma 
vetorial como 
→
AM = 
→
MB ou (x – x1, y – y1) = (x2 – x, y2 – y) 
e daí x – x1 = x2 – x e y – y1 = y2 – y 
Resolvendo em relação a x e y, temos 
2x = x1 + x2 e 2y = y1 + y2 
ou 
,
 
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
x +x y +yx = e y =2 2
Portanto,
x +x y +yM 2 2
 
Exemplo: 
O ponto médio do segmento de extremos A(–2, 3) e B(6, 2) é 
,
   
   
  
−2+6 3+2 5M ou M 2,2 2 2 
 
Paralelismo de dois Vetores: 
Vimos que, se dois vetores 
→
u = (x1, y1) e →v = (x2, y2) são paralelos, 
existe um número real α tal que 
→
u = α
→
v , ou seja, 
(x1, y1) = α(x2, y2) ou (x1, y1) = (αx2, αy2) 
que pela condição de igualdade resulta em 
x1 = αx2 e y1 = αy2 (∴ 1 1
2 2
x y= =α)
x y
 
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores 
são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 
Exemplo: 
Os vetores 
→
u = (–2, 3) e →v = (–4, 6) são paralelos pois: 
−
−
2 3=
4 6
 
Observações: 
� Considera-se o vetor 
→
0 = (0, 0) paralelo a qualquer vetor 
 
� Se uma das componentes de um vetor for nula, a correspondente 
de um vetor paralelo também é nula. 
Módulo de um vetor: 
Seja o vetor →v = (x, y) da figura abaixo. Pelo teorema de Pitágoras, vem 
=| |→ 2 2v x +y 
 
 
 
O módulo do vetor 
→
AB da figura abaixo, é a distância entre os pontos A 
e B e é dado por: 
( ) ( ) ( )→ − −2 22 2
1 1
=AB d A,B = x x + y y| | 
 
 
 
Ângulo de Dois Vetores: 
O ângulo entre dois vetores não-nulos 
→
u e 
→
vé o ângulo θ formado por 
duas semi-retas AO e OB de mesma origem O (figura abaixo), onde →u = 
→
OA , 
→
v = 
→
OB e 0 ≤ θ ≤ pi (θ em radianos) ou 0 ≤ θ ≤ 180º. 
 
 
 
 
 
Se 
→
u // 
→
v e 
→
u e 
→
v têm o mesmo sentido, então θ = 0. É o que ocorre, 
por exemplo, com os vetores 
→
u e 2
→
uque têm o mesmo sentido. Se 
→
u // 
→
v e 
→
u e 
→
v têm o sentidos contrários, então θ = pi. É o caso de →u e –
3
→
u (figura abaixo). 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
1) Dados os vetores →u = (2, –3) e →v = (–1, 4), determinar 3 →u + 2 →v e 3 →u 
– 2
→
v . 
 
2) Determinar o vetor →x na igualdade → → → →+ = +13x 2u v x2 , sendo 
→
u = 
(3, –1) e →v = (–2, 4). 
 
 
3) Dados os vetores →u = (2, –3); →v = (1, –1) e →w = ( –2, 1), determinar: 
a) 2 →u – →v 
b) →v – →u + 2 →w 
c) 0,5 →u – 2 →v – →w 
d) 3 →u – 0,5 →v –0,5 →w 
 
4) Dados os vetores →u = (3, –1) e →v = (–1,2), determinar o vetor →x tal 
que: 
a) 4 ( →u – →v ) + 
→
x
3 = 2
→
u – 
→
x 
b) 3 →x – (2 →v – →u ) = 2(4 →x – 3 →u ) 
 
5) Dados os pontos A(–1, 3); B(2, 5); C(3, –1) e O(0, 0), calcular: 
a) → →−AO AB 
b) → →−OC BC 
c) →→ −3BA 4CB 
 
6) Dados os vetores →u = (2, –4); →v = (–5, 1) e →w = (–12, 6), determinar 
a1 e a2 tais que: 
→w = a1 
→
u + a2 
→
v . 
 
 
 
 
 
 
7) Dados os vetores →u = (1, –1); →v = (–3, 4) e →w = (8, –6) calcular: 
a) | →u | 
b) | →v | 
c) | →w | 
d) | →u + →v | 
e) | 2 →u – 2 v | 
f) | →w – 3 →u | 
g) || v
v
→
 
h) || u
u
→
 
 
8) Dado o vetor →v = (3, –4) determinar seu versor e seu oposto. 
 
OBS: versor de um vetor 
→
v é o vetor unitário paralelo a 
→
v de mesma 
direção e sentido de 
→
v determinado por: || v
v
→
 
Vetor oposto ao vetor 
→
v é o vetor paralelo a 
→
v determinado por: 
– || v
v
→
 
 
9) Determinar no eixo Ox um ponto P que seja eqüidistante dos pontos: 
A (–1, –2) e B(5, –4). 
 
10) Calcular os valores de a para que o vetor →u = (a, –2) tenha módulo 
igual a 4. 
 
11) Determinar os valores de a para que o vetor →u = (a, 
2
1 ) seja 
unitário. 
 
 
 
 
12) Dados os pontos A (2, –1) e B(–1,4) e os vetores →u = (–1,3) e 
 
→
v = (–2, –1) determine: 
a) | →u + →v | 
b) Distância entre A e B 
c) Ponto médio de AB