Fórmulas de Geometria Analítica

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FÓRMULAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 
A RETA 
Sejam 𝐴 𝑥1,𝑦1,𝑧1 , 𝐵 𝑥2,𝑦2, 𝑧2 e 𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 
Equação vetorial: 𝑟: 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥1,𝑦1,𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 
Equações paramétricas: 𝑟: 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 𝑡 ∈ ℜ 
Reta definida por dois pontos: usar 𝑣 = 𝐴𝐵 
Equações paramétricas de um segmento de reta: 𝐴𝐵 = 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥1 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑡
 𝑡 ∈ 0,1 
Equações simétricas: 𝑟: 
𝑥−𝑥1
𝑎
=
𝑦−𝑦1
𝑏
=
𝑧−𝑧1
𝑐
 
Equações reduzidas: 𝑟: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞
 
Ângulo de duas retas: cos𝜃 =
 𝑣 1∙𝑣 2 
 𝑣1 𝑣2 
, com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Retas ortogonais: 𝑟1 ⊥ 𝑟2 ⟺ 𝑣1 × 𝑣2 = 0 
Retas ortogonais a duas retas: 𝑣 = 𝑣1 × 𝑣2 
O PLANO 
Equação geral: 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Equação segmentária: 𝜋: 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1 
Equação vetorial: 𝜋: 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥0,𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 ℎ, 𝑡 ∈ ℜ 
Equações paramétricas: 𝜋: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
 , ℎ, 𝑡 ∈ ℜ 
Equação vetorial do paralelogramo: 𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝐵 − 𝐴 + 𝑡 𝐶 − 𝐴 , com ℎ, 𝑡 ∈ 0,1 
Ângulo de dois planos: cos 𝜃 =
 𝑛1 ∙𝑛2 
 𝑛1 𝑛2 
, com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
Planos perpendiculares: 𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⟺𝑛1 ∙ 𝑛2 = 0 
Paralelismo e perpendicularismo de reta e plano: 
I) 𝑟 ∥ 𝜋 ⟺ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⇔ 𝑣 ∙ 𝑛 = 0 
II) 𝑟 ⊥ 𝜋 ⟺ 𝑣 ∥ 𝑛 ⟺ 𝑣 = 𝛼𝑛 
Reta contida em plano: 
I) A e B de r forem também de 𝜋 
II) 𝑣 ∙ 𝑛 = 0