Lista de exercicios Taxas de variação – média e instantânea COM RESPOSTA (07 DE 13)

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Universidade de Mogi das Cruzes
7ª Lista de Exercícios de Cálculo I - A
 
Assuntos: Taxas de variação – média e instantânea Profª. Maria Helena Campanelli 
 
 
221. Considere a função f (t) = 3t² - 7t + 5 
a) ache a taxa de variação média de f (t) no intervalo [2 , 3].
b) ache a taxa de variação da função f (t) em t = 2 .
ache a taxa percentual de variação de f(t) em t = 2 .
222. Uma bola é jogada ao ar de uma ponte, e sua altura, h (em pés) acima do solo, t segundos depois de ser lançada, é dada por h (t) = - 16t² + 50t + 36.
qual é a altura da ponte acima do solo?
qual é a velocidade média da bola no primeiro segundo?
qual a velocidade da bola no instante t = 1s ? 
a bola estaria subindo ou descendo no instante t = 1s?
Suponha que um pessoa, em pé no alto de um prédio de 112 pés de altura,a atira uma bola verticalmente para cima com velocidade inicial de 96 pés/segundo. A altura h , em pés, da bola no instante t segundos após o lançamento é dado por h (t) = -16t² + 96t + 112 .
quanto tempo leva para que a bola atinja o solo ?
qual a velocidade de impacto ?
quando que a velocidade é 0 ?
qual é a distância percorrida pela bola durante o vôo ?
224. Um atleta percorre um pista de 100m de modo que a distância s(t) percorrida após t segundos é dada por s (t) = 
 metros. Determine a velocidade do atleta.
no início da corrida.
quando t = 5 segundos
na reta final.
225. Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância ( em cm) que ela percorre em
 t segundos é dada por s ( t ) = 2t³+ 3t² + 4 , 0 ( t ( 3.
determine a velocidade da bola em t = 2.
em que instante a velocidade é 30 cm/s ?
 
226. Estima-se que, x meses a partir de agora, a população de uma certa comunidade será de 
 P (x) = x² + 20x + 8000 habitantes.
a que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de agora?
a que taxa percentual a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de agora ?
Qual a variação real da população durante o 16º mês ?
227. Uma doença está se espalhando de tal forma que, após t semanas, o número de pessoas infectadas é de N ( t ) = 5175 – t³.(t – 8) 0 ( t ( 8 . A que taxa a epidemia está se alastrando após 3 semanas ?
228. Um estudo de eficiência do turno da manhã em uma certa fábrica indica que um trabalhador médio que chega à 8 horas, terá montado f (x) = -x³ + 6x² + 15x rádios transistores x horas depois.
a) deduza uma fórmula para a taxa na qual o trabalhador estará montando rádios após x horas.
b) a que taxa o trabalhador estará montando rádios às 9 horas?
 c) quantos rádios o trabalhador realmente montará entre 9 e 10 horas?
 Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere que, t anos a partir de agora, 
 o nível médio de monóxido de carbono no ar será de Q (t) = 0,05t² + 0,1t + 3,4 ppm (partes 
 por milhão).
a que taxa o nível de monóxido de carbono estará variando em relação ao tempo daqui a 1 ano?
de quanto o nível de monóxido de carbono variará neste ano?
 Estima-se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local será dada por 
 C (t) = 100t²+ 400t + 5000.
deduza uma expressão para a taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir da agora.
a que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesse tempo?
de quanto a circulação realmente variará durante o sexto ano?
 O custo da produção de x unidades de um produto é dado por 
 mil 
 reais.
ache o custo adicional quando a produção aumenta de nove para dez unidades.
ache o custo marginal quando x = 9.
compare os resultados dos itens a) e b) .
 A receita do aluguel de x apartamentos admite como modelo R (x) = 2x.(900+32x-x²), em 
 reais.
a) ache a receita adicional quando o número de unidades alugadas aumenta de 10 para 11.
b) ache a receita marginal quando x = 10
c) compare os resultados dos itens a) e b) .
233. O produto interno bruto ( PIB ) de um certo país foi de N (t) = t² + 5t + 106 bilhões de dólares, t anos após 1980.
a que taxa o PIB estava variando em relação ao tempo em 1988 ?
a que taxa percentual o PIB estava variando em relação ao tempo em 1988 ?
234. Estima-se que, t anos a partir de agora, a população de uma certa comunidade urbana será de 
 mil habitantes.
deduza uma fórmula para a taxa na qual a população estará variando em relação ao tempo t anos a partir de agora .
a que taxa a população estará crescendo 1 ano a partir de agora?
a que taxa percentual a população estará crescendo 1 ano a partir de agora?
de quanto a população realmente aumentará durante o primeiro ano ?
a que taxa a população estará crescendo daqui a 9 anos?
o que acontecerá com a taxa de crescimento populacional a longo prazo ?
235. Uma certa quantidade de areia está vazando de um saco, de tal forma que, após t segundos, há Q (t) = 
 cm³ de areia remanescentes no saco.
a) quanta areia havia originalmente no saco ?
b) a que taxa a areia está vazando do saco após 1 segundo ?
c) quanto tempo leva para que toda a areia vaze do saco?
d) A que taxa a areia está vazando do saco exatamente no momento em que ela se esvazia completamente ?
 Introduz-se em uma cultura uma população de bactérias. O número de bactérias P pode ter 
 por modelo 
, onde t é o tempo em horas. Ache a taxa de variação da 
 população quando t = 2 .
237. A voltagem num circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente (em ampères) é I e a resistência (em ohms) é R, então, pela lei de Ohm, I = 100/R . Sabendo-se que R está aumentando, ache a taxa instantânea de variação de I em relação a R 
a) para qualquer resistência R
b) para uma resistência R de 20 ohms.
Respostas:
221. a) 8 ; b) 5 ; c) 166,67%
222. a) 36 pés ; b) 34 pés/s ; c) 18 pés/s ; d) subindo
223. a) 7s ; b) -128 pés/s ; c) 3s ; d) 400 pés
224. a) 8 pés/s ; b) 10 pés/s ; c) 12 pés/s
225. a) 36 cm/s ; b) 1,79s
226. a) 50 pessoas por mês ; b) 0,58% por mês ; c) 51 pessoas
227. a) 108 pessoas por semana 
228. a) f ’(x) = - 3x² + 12x + 15 ; b) 24 rádios por hora ; c) 26 rádios
229. a) 0,2 ppm por ano ; b) 0,15 ppm
230. a) 
 ; b) crescendo à taxa de 1400 jornais por ano ; c) 1500 jornais
 a) 0,584 mil reais = 584 reais ; b) 0,6 mil reais = 600 reais ; c) 16 reais
 a) 2482 reais ; b) 2480 reais ; c) 2 reais
233. a) 21 bilhões de dólares por ano ; b) 10% por ano
234. a) 
 ; b) 1,5 mil = 1500 habitantes por ano ; c) 8,82% por ano ; 
 d) 1000 habitantes ; e) 0,06 mil = 60 habitantes por ano ; 
 f) a taxa de crescimento se aproxima de zero.
235. a) 50 cm³ ; b) –18,67 cm³/s ; c) 
s ; d) 0 cm³/s
236. 31,55 bactérias por hora 
237. a) 
 ; b) - 0,25 ampère por ohm
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