Texto 1_conceito de integral

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TEXTOS DE CÁLCULO 
 
TEMAS: A Integral Definida e a Integral Indefinida de uma Função 
Adelmo R. de Jesus1 
 
1.1 O Problema da Área de uma Curva Plana e a Integral Definida 
 
As fórmulas para as áreas das figuras geométricas mais simples datam dos primeiros registros 
sobre matemática. Os egípcios, por exemplo, devido às freqüentes cheias do Rio Nilo, tinham que 
refazer os cálculos das áreas de suas terras. O papiro egípcio Ahmes (1.650 A.C) contém vários 
problemas que envolvem cálculos de áreas de retângulos, triângulos, trapézios e até aproximações de 
áreas circulares (C. Boyer , História da Matemática) 
 
 A tarefa de encontrar a área de uma figura menos conhecida não é tão 
simples de resolver, e em geral não há uma fórmula elementar que nos 
diga como se obtém essa área. Arquimedes, cientista grego que viveu 
entre 287–212 A.C. se preocupou bastante com estes problemas, tendo 
calculado áreas e volumes de diversas figuras geométricas. 
 O procedimento usado nesses cálculos empregava o chamado 
“método da exaustão” que consistia em “exaurir” ou “esgotar” a figura 
dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. Este método é 
atribuído a Eudoxo (406-355 A.C.), que foi quem primeiro deu uma 
prova satisfatória de que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e 
altura. 
 
Exemplo: Calcular a área da região limitada pela parábola y = x2 e o eixo Ox , no intervalo [0,1]. 
 
A idéia do método de exaustão está basicamente mostrada nas figuras abaixo: Divide-se o intervalo 
[0,1] em algumas partes, e tomam-se retângulos de alturas f(x1), f(x2), f(x3), f(xn) “contidos” na 
região que queremos calcular a área. As bases desses retângulos são 1x∆ , 2x∆ , 3x∆ , nx∆ . 
Conseqüentemente a soma das áreas desses pequenos retângulos é ∑
=
∆=
n
i
iin xxfA
1
)( , e nos dá uma 
aproximação cada vez melhor da área procurada. 
Prosseguindo dessa forma, teremos que a área do chamado “triângulo parabólico” é 
∞→
=
∑ ∆=
x
n
i
ii xxfA
1
)(lim , ou seja, é uma “soma de infinitas parcelas” f(xi) ∆xi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O símbolo hoje utilizado para o limite ∑
=∞→
∆
n
i
iin
xxf
1
)(lim acima é ∫ba dxxf )( , e denominado a integral 
definida da função f. 
 
 
 
1 Texto elaborado em setembro de 2006, com contribuições de notas de aula da Profa. Ilka R. Freire. 
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1
2
3
x
y
1
1
x
y
1
1
x
y
1
1
x
y
Quando o gráfico de f(x) está acima do eixo Ox, este símbolo representa a área limitada pela curva 
y=f(x), o eixo Ox, e a x b≤ ≤ . Como veremos logo abaixo, a integral definida nem sempre 
representa a área entre a curva e o eixo Ox. 
 
Resumindo o que fizemos acima, a integral 
b
a
f (x)dx∫ é calculada através de um “limite de somas”, 
chamadas de “somas de Riemann da função f no intervalo [a ,b]. 
 
Mais precisamente, 
b n
i i
n i 1a
f (x) dx = lim f (x ) x→∞ =
∆∑∫ 
 
 
1.2 Observações 
 
1) Em alguns casos este limite não existe, ou seja, a função não é integrável. Isso é devido ao grande 
número de pontos de descontinuidades da função f. Não abordaremos estes exemplos aqui neste 
texto. 
 
2) A Integral definida de uma função y = f(x) é um número real, e nem sempre representa a área 
limitada por esta curva e o eixo Ox. Por exemplo, se f(x) = sen(x), 0 ≤ x ≤ 2π temos que entre 0 e π 
os valores de f(x) são positivos, enquanto entre π e 2π os valores são respectivamente os mesmos, só 
que negativos. É fácil visualizar então que 
2
0
sen(x)dx 0
π
=∫ 
 
 
 
 
2π
0
sen(x) dx=0∫ 
 
 
 
3) A integral 
b
a
f (x)dx∫ é o “saldo da função f”, ou seja, é o resultado das contribuições positivas e 
negativas ao longo do intervalo [a, b] . Por exemplo, tome f: [0, 3] → IR , f(x) = x-1 
 
Neste caso, tem-se 
3
0
(x 1)dx 1,5− =∫ mas a área limitada pela curva e o 
eixo Ox é A = 2,5. 
 
O que podemos concluir daí é que 
3
0
1(x 1)dx 2 1,5
2
− = − + =∫ , resultado 
das contribuições negativas (entre 0 e 1) e positivas (entre 1 e 3) da 
função f. 
 
4) O conceito de integral definida é razoavelmente fácil de compreender, pelo menos para funções 
contínuas em intervalos. Mesmo nestes casos, o cálculo dessas integrais não é simples, pois envolve 
a divisão do intervalo [a, b] em n partes, o cálculo das somas 
n
n i i
i 1
A f (x )∆x
=
=∑ , e posteriormente o 
limite dessas somas. Tendo em vista estas dificuldades, daremos a seguir um mecanismo de cálculo 
dessas integrais, mais conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo 
 
x
y
dx
f(x)
dx
π/2 π 3π/2 2π
−1
1
x
y
dx
f(x)>0
f(x)<0
dx
1 2 3
−1
1
2
x
y
2. A Integral Indefinida de uma Função 
 
 
2.1 Definição e exemplos 
Vimos acima que a integral definida 
b
a
f (x)dx∫ de uma função é um número real, que em alguns 
casos exprime a área limitada pela curva e o eixo Ox entre a e b. Vamos definir um outro tipo de 
integral, chamado de “integral indefinida” da função f, que nada mais é que a “operação inversa” da 
derivação. 
Historicamente os conceitos básicos da integral definida foram usados pelos gregos, muito tempo 
antes do Cálculo Diferencial ter sido descoberto. No século XVII vários matemáticos descobriram 
como obter áreas mais facilmente usando limites. O maior avanço em relação a um método geral para 
o cálculo de áreas foi feito independentemente por Newton e Leibniz, os quais descobriram que as 
áreas poderiam ser obtidas revertendo–se o processo da diferenciação. Dessa forma, o cálculo de 
antiderivadas, ou primitivas de uma função y=f(x) proporcionou meios para se calcular áreas mais 
facilmente. 
 
Definição: Uma função F é chamada de uma antiderivada ou uma primitiva de uma função f em um 
dado intervalo [a, b] se F´(x) = f(x) para todo x neste intervalo. 
 
Exemplos: 
1) F(x) = x3 é uma primitiva de f(x) = 3x2. G(x) = x3 + 1 também é uma primitiva dessa função 
2) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex . G(x) = ex + 2 também é uma primitiva dessa função 
3) Dada f(x) = cos x temos que F(x) = sen x + C é primitiva de f, para toda constante C. 
4) A função F(x) = tg x + C é a primitiva geral de f(x) = sec2 x 
 
Exercício: Encontre as primitivas das funções f(x) dadas a seguir: 
 
a) f(x) = 1 b) f(x) = x c) f(x) = x2 d) f(x) = e2x e) f(x) = cos(2x) 
 
 
 
Definição: Dizemos que f (x)dx F(x) C= +∫ se F(x) é uma primitiva de f(x). Em outras palavras, 
f (x)dx F(x) C= +∫ ⇔ ( )d F(x) f (x)dx = . Chamamos f (x)dx∫ de integral indefinida de f. 
 
 Como se vê acima, a integração indefinida é a operação inversa da derivação. Existe uma sutil 
diferença entre os dois conceitos, pois quando derivamos uma função F(x) temos apenas uma função 
f(x), mas quando integramos a função f(x) temos uma família de funções F(x) + C. Isto é 
exemplificado no quadro abaixo: 
 
Integral Indefinida Função Derivada 
F(x)=x2/2 + C f(x)=x f ´ (x) = 1 
F(x)=x3/3 + C f(x)=x2 f ´ (x) = 2x 
F(x)=sen x + C f(x)=cos x f ´ (x)=-sen x 
F(x)= ?? + C f(x)=tg x f ´ (x)=sec2 x 
F(x)= ?? + C f(x)=ln(x) f ´ (x)=1/x 
 
Observações: 
 
• O símbolo ∫ (“S” alongado) é chamado de símbolo de integração. O adjetivo “indefinida” 
estabelece que não se encontra somente uma função definida quando se integra mas uma família de 
funções F(x) + C 
• O símbolo dx nas operações de diferenciação e antidiferenciação servem para identificar a variável 
independente. Ele será muito útil posteriormente nas substituições de variáveis. 
• Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675. 
Exemplos: 
 
1. ∫ += C2
xxdx
2
 pois 
2x 2xC x
2 2
′ + = =   
 
2. ∫ += C3edxe
x3
x3 pois 
3x 3x
3xe e 3C e
3 3
′  ⋅+ = =   
 
3. ∫ += C2
x2senxdx2cos pois sen(2x) cos(2x) 2C cos(2x)
2 2
′ ⋅ + = =   
 
2.2 Propriedades da Integral Indefinida 
 
P1: A integral da soma de duas ou mais funções é igual à soma de suas integrais, ou seja, 
 
( )f g (x) dx f (x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫ 
 
 
P2: A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela 
integral da função. Simbolicamente, 
 
(kf )(x) dx k f (x)dx=∫ ∫ , ∀ k ∈ IR 
 
As demonstrações desses resultados são feitas a partir da definição de integral indefinida. Por 
exemplo: 
 
Se 
b
a
f (x)dx F(x)=∫ e ba g(x)dx G(x)=∫ temos F´(x) = f(x) e G´(x) = g(x) . Logo, 
 
[F(x)+ G(x)]´(x) = F´(x) + G´(x) = f(x) + g(x), ou seja, (F+G) é primitiva da função f + g . Em outras 
palavras, temos ( )f g (x) dx F(x) G(x) f (x)dx g(x)dx+ = + = +∫ ∫ ∫ 
Analogamente, como [kF(x)]´(x) = k F´(x) = k f(x), temos (kf )(x) dx k f (x)dx=∫ ∫ 
 
Exemplos: 
1) 2[2x cos x] dx 2x dx cos x dx x sen x C+ = + = + +∫ ∫ ∫ 
 
2) 
2
2x cos(2x)[4x 6sen(2x)] dx 4 x dx 6 sen(2x)dx 4 6( ) C 2x 3cos(2x) C
2 2
−− = + = − + = + +∫ ∫ ∫ 
 
Observação: Note que existem fórmulas para a derivada do produto e para a derivada do quociente, a 
saber: (uv)´ = u´v + u v´ e 2
u u´v uv´´
v v
−  =   . Estas fórmulas já indicam que a integral de um 
produto de funções NÃO É o produto das integrais, o mesmo acontecendo para a integral de um 
quociente. Para quem quiser “ver para crer”, observe o exemplo abaixo: 
 
3) 
2 2 4??2 x x xx dx x x dx x dx x dx
2 2 4
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ , o que não é verdadeiro !!