3.2 Cônicas - Elipse

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Prof(a): Dra. Fabíola Sperotto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG
INSTITUTO DE MATEMÀTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF
SEÇÕES CÔNICAS
Parte 2: Elipse e Circunferência
Professora: Dra. Fabíola Sperotto
Elipse
Profa. Dra. Fabíola Sperotto
Definição: é o lugar geométrico do conjunto
de todos os pontos de um plano cuja soma
das distâncias a dois pontos fixos desse
plano é constante.
ELIPSE: eixo maior sobre o eixo x
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Elementos da Elipse
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Relação fundamental e Coordenadas
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222 cba +=Relação fundamental:
Equação Reduzida
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( ) ( ) ( ) ( )2222
21
200
2
aycxycx
aPFPF
=−+−+−++
=+
Equação reduzida da elipse com centro na origem e eixo 
focal sobre o eixo x.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2222222222
2
222
2
222
222222
22442
222
222
200
ccxyxccxyxaaccxyx
ccxyxaccxyx
ccxyxaccxyx
aycxycx
+−+++−+−=+++
+−+−=+++
+−+−=+++
=−+−+−++
Angelo
Highlight
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( )
22
22
2
4424
224222222
22242222222
22242222
2222
2222
−=+−
+−=+−+
+−=+−+
−=+−+
−=+−+
caayaxcxa
xccxaacacxayaxa
xccxaaccxyxa
cxaccxyxa
cxaccxyxa
( ) ( )
1
 :sendo
2
2
2
2
222222
222
22222222
=+
=+
=−
−=+−
−=+−
b
y
a
x
bayaxb
bca
caayaxca
caayaxcxa
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12
2
2
2
=+
b
y
a
xEquação Reduzida:
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
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Equação Reduzida:
Eixo maior : Oy.
Excentricidade
• Responsável pela “forma” da elipse.
Elipses com excentricidade perto de zero – são 
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)10(, <<= e
a
c
e 
Elipses com excentricidade perto de zero – são 
aproximadamente circulares. Focos coincidem com o 
centro.
Elipses com excentricidade próxima de um – são 
“achatadas”. Tendem a um segmento de reta.
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0≈e 1≈e
Elipse com centro C(h,k)
Eixo maior: paralelo ao Ox
Equação da elipse com eixo maior 
paralelo ao eixo x
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Equação Geral:Equação Geral:
022 =++++ fdycxbyax
Parametrização da Elipse de eixo maior 
sobre o eixo x
Equações
⇒=+⇒=+
=+
θθ 1cos1)cos(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
b
y
a
a
b
y
a
x



≤≤=
=
=⇒=⇒−=
piθθ
θ
θθθ
20,
cos
cos1 22222
2
senby
ax
senbysenby
b
y
bba
Observações
• Quanto mais afastados estiverem os focos, mais
achatada estará a elipse.
• Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da
elipse pode encontrar-se em salas que tem a forma de
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elipse pode encontrar-se em salas que tem a forma de
meio elipsóide. Se duas pessoas se colocarem nos focos
e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá
perfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros
ruídos. Existem salas deste tipo (“galerias de sussurros”)
em vários edifícios na Europa e nos Estados Unidos.
Grand Central Terminal em Nova York
Coliseu de Roma
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Estádio Nacional de Brasília
Mineirão
Circunferência
Definição: é o lugar geométrico dos pontos
que estão equidistantes de um ponto fixo,
chamado centro C e a medida da distância é
o raio r.
Circunferência
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11 Se 22
222
=+⇒=
=+
yxr
ryx
Circunferência Centro: C(a,b)
0 )()( 22222 =++++⇒=−+− CByAxyxrbyax
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Parametrização do Círculo
 =
=+
θcos
222
rx
ryx



<≤=
=
piθθ
θ
20,
cos
senry
rx