1ı Prova 2015 1 Gabarito

Prévia do material em texto

1 
 
Universidade Federal do Espírito Santo 
1ª Prova de Cálculo I- GABARITO – MAT05114 – Prof. Antonio Luíz Rosa 
 
1. Sabendo-se que o gráfico de é dado abaixo, figura 1, use as 
transformações para criar uma função cujo gráfico é mostrado na figura 2. 
 
 y y 
 
 
 3,0 3,0 
 
 1,5 1,5 
 
 
 0 3 x 2 5 x 
 Figura 1 Figura 2 
 
Solução: O gráfico de foi deslocado 2 unidades para a direita e 
esticado verticalmente por um fator 2. 
Deste modo, uma função descrevendo o gráfico é: 
 
 
Portanto, a função descreve o gráfico da Figura 2 acima. 
_____________________________________________________________________________________________________ 
2. Verifique se os limites abaixo existem. Se existem, calcule-os. Caso não existam, 
justifique: 
a) (1pt) 
 
 
. 
b) (1pt) 
 
 
. 
c) (1pt) 
 
 
. 
d) (1pt) 
 
 
. 
 
Solução: 
a) Temos que: 
 
 
 
 
Como , numa vizinhança de , temos valores de . Assim, 
 . Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Fazendo então temos que . Além disto, vemos que 
 . Assim podemos reescrever o limite por: 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra solução: Observe que . 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Temos: 
 
 
 
 
Logo a função 
 
 
 se comporta como 
 
 
 se e como 
 
 
 
 se . 
Desta forma, devemos calcular os limites laterais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois . 
Assim, 
 
 
 
 
 
Portanto, não existe 
 
 
 
 
 
3 
 
Outra solução: Observamos que: 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
Portanto, não existe 
 
 
 
 
 
 
d) Visto que , então consideramos valores de . Neste caso temos: 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois, 
 
 
 
 
 
 . 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra solução: Observamos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
. 
Visto que: 
 
 
 , segue que, 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
3. (1pt) Encontre números e tais que 
 
 
 . 
 
Solução: Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
Agora, como o denominador tende a quando , o limite existirá somente se o 
numerador também tender a quando . Desta forma, devemos ter que: 
 
 
 
Substituindo , a equação se torna 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, . 
__________________________________________________________________________________________________________ 
4. (1pt) (a) Encontre todos os pares de valores , para os quais é contínua 
em 
 
 
 
 
 
(b) Usando os valores dos pares possíveis encontrados em (a) para se ter é contínua 
em , descreva todas estas funções. 
(c) Esboce o gráfico de apenas uma das funções descritas em (b). 
 
Solução: (a) Temos que é contínua em , e para todos , 
 . 
Para termos contínua em , uma vez que está definida no ponto, devemos ter que 
 
 
 
Isto é, deveremos ter: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para termos contínua em , uma vez que está definida no ponto, devemos ter que 
 
 
 
Isto é, deveremos ter: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, os possíveis pares de reais, , são: , e . 
(b) Usando o par , temos: 
 
 
 
 
 
Usando o par , temos: 
 
 
 
 
 
 
Por fim, usando o par , temos: 
5 
 
 
 
 
 
 
(c) Gráficos: 
 
 y y y 
 
 9 9 9 
 
 
 y=f1y=f2 y=f3 
 4 4 4 
 
 
 1 1 1 
 
 -1 0 x -1 3 x 2 3 x 
 ___________________________________________________________________ 
5. (4 pts) Um ponto fixo de uma função é um número em seu domínio tal que . 
(A função não movimenta ; ele fica fixo.) 
(a) Esboce o gráfico de uma função contínua com o domínio cuja imagem 
também está em . Localize um ponto fixo de . 
(b) Tente fazer o gráfico de uma função contínua com o domínio e a imagem em 
 que não tenha um ponto fixo. Porque não é possível? 
(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que toda função contínua 
com o domínio e a imagem em deve ter um ponto fixo. 
 
Solução: 
(a) Temos abaixo algumas possibilidades: 
 
 
(b) A impossibilidade para se esboçar uma função contínua com o domínio e a 
imagem em que não tenha um ponto fixo ocorre pelo “obstáculo” que é a reta 
 (veja os gráficos acima). 
Qualquer interseção de com a reta produz um ponto fixo e se o gráfico da 
função não cruza a reta em nenhum ponto do intervalo , então ele deve 
começar no ponto , neste caso é um ponto fixo ou terminar em , neste 
caso é um ponto fixo. 
(c) Considere a seguinte função , onde é uma função contínua 
qualquer com domínio e a imagem em . Provaremos que possui um 
ponto fixo. 
Se , nada resta a provar. 
6 
 
Suponha então que . Pela mesma razão de , podemos assumir 
 . Então temos: e . Logo pelo T.V.I., 
existe algum tal que . Então , portanto 
possui um ponto fixo.