8 Energia de Deformação I

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Prof. José Renato de Castro Pessôa
jrenatopessoa@gmail.com
Energia de Deformação I 
Métodos Energéticos Aplicados a Estruturas Isostáticas
Trabalho de uma Força
Trabalho de um Momento
Energia de Deformação
Energia de Deformação Elástica para Vários Tipos de Carga
Conservação de Energia
Princípio do Trabalho Virtual
Resistência dos Materiais II
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Trabalho de uma Força
Em mecânica uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx
que está na mesma direção dela.
O trabalho realizado é um escalar, definido como dUe = Fdx.
Se o deslocamento total for x, o trabalho será:
Na barra mostrada, à medida que a intensidade de F
aumenta gradualmente de zero até algum valor limite F = P, o
deslocamento final da extremidade da barra torna-se ∆.
Se o material comportar-se de maneira linear elástica, a força
será diretamente proporcional ao deslocamento; isto é, (P/∆)x.
Integrando a equação do trabalho de 0
a ∆, obteremos:
À medida que a força é gradualmente aplicada à barra, sua intensidade
aumenta de zero até algum valor P e, por consequência, o trabalho
realizado é igual à intensidade média da força, P/2, vezes o deslocamento
total ∆.
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Pode-se representar esse trabalho como a área
sombreada mais clara do triângulo, representada
no gráfico mostrado.
Suponha que P já está aplicada à barra e que
outra força P' é aplicada, de modo que a
extremidade da barra desloca-se por uma
quantidade adicional ∆' , como mostrado.
Então, o trabalho realizado por P (não P')
quando a barra sofre esse deslocamento
adicional ∆' será:
No gráfico mostrado esse trabalho representa a área retangular sombreada.
Notar que P não muda de intensidade, visto que o deslocamento da barra ∆'
é provocado somente por P'.
Quando uma força P é aplicada à barra , seguida pela aplicação da força
P', o trabalho total realizado por ambas as forças é representado pela área
do triângulo inteiro mostrado no gráfico.
A área triangular mais clara representa o trabalho de P que é provocado por
seu deslocamento ∆. A área triangular sombreada mais escura representa o
trabalho de P', visto que essa força desloca-se ∆' e por fim, a área retangular
escura representa o trabalho adicional realizado por P quando P desloca-se
∆', em razão de P'.
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Trabalho de um Momento
Um momento M realiza trabalho quando sofre um
deslocamento rotacional dθ ao longo de sua linha de
ação.
O trabalho realizado é definido como Ue = Mdθ, como
mostrado na figura.
Se o ângulo total de deslocamento rotacional for θ rad, o trabalho torna-se:
Como ocorreu no caso da força, se o momento for aplicado a um corpo que
tenha comportamento de material linear elástico, tal que sua intensidade
aumente gradualmente de zero em θ = 0 a M em θ(∆θ=θ), (M/∆θ)θ então o
trabalho será:
Todavia, se o momento já estiver aplicado ao corpo e outras cargas
provocarem rotação adicional θ' ao corpo, então o trabalho será:
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Energia de Deformação
Quando cargas são aplicadas a um corpo, elas deformam o material.
Contanto que nenhuma energia seja perdida sob a forma de calor, o
trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno
denominado energia de deformação.
Essa energia, que se apresenta sempre positiva, é armazenada no corpo e
provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento.
Tensão Normal
Se o elemento de volume mostrado na figura for submetido
à tensão normal σz, a força criada nas faces superior e
inferior é dFz = σzdA = σz dxdy.
Se essa força for aplicada gradualmente ao elemento,
como a força P que discutimos anteriormente, sua
intensidade aumentará de zero a dFz, enquanto o elemento
sofrerá um deslocamento d∆z = ԑzdz.
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Sendo a força criada nas faces superior e inferior igual a
dFz = σzdA = σz dxdy e o deslocamento d∆z = ԑzdz, o trabalho
realizado por dFz será dUi = 1/2dFz d∆z = 1/2[σzdxdy]ԑzdz
Visto que o volume do elemento é
dV = dxdydz, teremos:
Observar que Ui é sempre positivo , mesmo que σz seja
uma força de compressão, uma vez que σz e ԑz estarão
sempre na mesma direção.
Se o corpo for submetido somente a uma tensão normal uniaxial σ, que
age em uma direção específica, a energia de deformação no corpo será:
Se o material comportar-se de maneira linear elástica, a lei de Hooke, σ =
Eԑ, é aplicável e, portanto, podemos expressar a energia de deformação
em termos da tensão normal como:
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Tensão de Cisalhamento
As faces verticais só giram, portanto as forças de cisalhamento nessas
faces não realizam nenhum trabalho.
A energia de deformação armazenada no elemento será:
No elemento de volume mostrado a tensão
de cisalhamento provoca a sua deformação
de modo tal que somente a força de
cisalhamento dF = Ƭ(dxdy), que age sobre a
face superior, desloca-se γdz, em relação á
face inferior.
O volume do elemento será dxdydz.
Integrando sobre todo o volume do corpo
para obter a energia de deformação
armazenada, (sempre positiva) teremos:
Se o material for linear elástico, aplicando-
se a lei de Hooke , γ=Ƭ/G teremos:
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Tensão Multiaxial
Como a energia é um escalar, a energia total de deformação no corpo será:
Quando um corpo é submetido a um estado geral de
tensão as energias de deformação associadas a cada
componente da tensão normal e da tensão de
cisalhamento podem ser obtidas pelas equações:
As deformações podem ser eliminadas usando-se a forma generalizada da
lei de Hooke dada pelas equações:
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Após substituir e reunir termos teremos:
Se somente as tensões principais σ1, σ2
e σ3 agirem sobre o elemento como
mostrado, essa equação é reduzida a
uma forma mais simples:
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Energia de Deformação Elástica para Vários Tipos de Carga
Para se formular a energia de deformação armazenada em um elemento
estrutural quando submetido a carga axial, momento fletor, cisalhamento
transversal e momento de torção procede-se como se segue, para cada
caso particular:
Carga Axial
Considerar uma barra de seção
transversal variável ligeiramente
cônica, que é submetida a uma
carga axial que coincide com o
eixo centroide da barra, como
mostrado.
A força axial interna em uma seção localizada à distância x de uma
extremidade é N. Se a área da seção transversal nessa seção for A,
então a tensão normal na seção é σ = N/A. Aplicando a equação para
energia de deformação em função da tensão teremos:
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Se escolhermos um elemento ou uma
lâmina diferencial com volume dV =
Adx, a fórmula geral para a energia
de deformação na barra será,
portanto,
Para o caso mais comum de uma barra prismática de área de seção
transversal constante A, comprimento L e carga axial constante N, como
mostrado, a equação quando integrada dará:
Por essa equação pode-se ver que a energia de
deformação elástica da barra aumentará se o
comprimento da barra aumentar, ou se o módulo de
elasticidade ou a área da seção transversal diminuir.
Dobrar a área da seção transversal de uma determinada haste reduzirá à
metade sua capacidade de armazenar energia.
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Exemplo
Determine a energia de deformação no
conjunto de hastes.
AB é de aço (Eaço= 200GPa)
BC de latão (Elat=101GPa);
CD de alumínio (Eal=73,1GPa).
Propriedades das seções:
Solução
Forças internas nos trechos:
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Paço= PA
Pal = PA + PB + PC
Plat = PA + PB
Cálculo da Energia de Deformação:
Resolvendo teremos:
Lembrar que 1J = 1N.m = 1kgm2/s2
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Momento Fletor
Visto que o momento fletor aplicado a um elemento
estrutural prismático reto desenvolve nele uma tensão
normal, para determinar a energia de deformação
armazenada no elemento decorrente da flexão utilizamos a
seguinte fórmula desenvolvida anteriormente:
Considerando a viga assimétrica
mostrada, o momento interno é M e a
tensão normal que age sobre o elemento
arbitrário à distância y do eixo neutro é
σ = My/I.
Se o volume do elementofor dv = dAdx, onde dA é a área de sua face exposta
e dx seu comprimento, a energia de deformação elástica na viga será:
Percebendo que a integral de área representa o momento
de inércia da viga em torno do eixo neutro, o resultado
final pode ser escrito como:
Para se obter a energia de deformação expressamos o momento interno em
função da posição x ao longo da viga, e integramos sobre o comprimento total
da viga.
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Exemplo
Determine a energia de deformação
por flexão na região AB da viga
mostrada considerando EI constante.
Um diagrama de corpo
livre da viga é mostrado .
Podemos expressar o
momento interno em
termos de qualquer uma
das três coordenadas 'x'
indicadas e em seguida
aplicar a equação :
Solução
Consideraremos a coordenada x1 para
expressar o momento interno.(0≤x1≤L)
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Cisalhamento Transversal
A energia de deformação decorrente d
tensão de cisalhamento em um elemento
de uma viga pode ser determinada pela
equação:
Consideraremos que a viga é prismática e tem um eixo de simetria em torno
do eixo y como mostrado.
Se o cisalhamento interno na seção x for V, a tensão de cisalhamento que age
sobre o elemento de volume de material, que tem comprimento dx e área dA,
será
Substituindo na equação da energia de deformação para o cisalhamento
teremos:
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A integral entre parênteses é calculada em
toda a área da seção transversal da viga.
Para simplificar essa expressão,
definiremos o fator de forma para
cisalhamento como:
Substituindo na equação teremos:
O fator de forma definido pela equação para fs é um número adimensional
exclusivo para cada área de seção transversal específica.
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Por exemplo, se a viga tiver uma seção transversal retangular com largura b
e altura h, então teremos:
Substituindo esses termos na equação para o fator de forma teremos:
O fator de forma para outras seções pode ser determinado de forma
semelhante. O número obtido é substituído na equação para energia de
deformação para o cisalhamento.
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Exemplo
Determine a energia de deformação na
viga em balanço decorrente de
cisalhamento, se a viga tiver seção
transversal quadrada e for submetida a
uma carga distribuída uniforme w .
Considerar EI e G constantes.
Solução
Pelo diagrama de corpo livre de uma
seção arbitrária teremos:
Como a seção transversal é quadrada, o fator de
forma fs = 6/5, então teremos:
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Sabendo que para seção transversal dada A = a2 e I = 1/12 a4, a relação entre
a energia de deformação por cisalhamento e energia de deformação por
flexão será:
Energia de deformação por flexão
calculada pela fórmula apresentada
anteriormente:
Energia de deformação por
cisalhamento calculada:
Visto que G = E/2(1+v) e v≤0,5,
teremos como limite superior E=3G,
de modo que:
Pode-se ver que a relação aumenta à medida que L diminui. Mesmo para
vigas muito curtas, por exemplo L = 5a, a contribuição dada pela energia de
deformação por cisalhamento é somente 8% da energia de deformação por
flexão.
Por essa razão a energia de deformação por cisalhamento armazenada em
vigas é normalmente desprezada na análise de engenharia.
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Momento de Torção
Para determinar a energia de deformação
interna em um eixo ou tubo circular decorrente
de um momento de torção aplicado, temos de
aplicar a equação para a energia de
deformação em termos da tensão de
cisalhamento.
A seção do eixo mostrado tomada à distância x de uma extremidade é
submetida a um torque interno T.
A distribuição de tensão de cisalhamento que provoca esse torque varia
linearmente em relação ao centro do eixo.
No elemento de comprimento arbitrário dx e área dA, a tensão será
Assim a energia de deformação armazenada no eixo será:
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Visto que a integral de área representa o
momento polar de inércia J para o eixo na
seção, o resultado final pode ser escrito como:
O caso mais comum ocorre quando um eixo (ou tubo) tem
uma área de seção transversal constante e o torque aplicado
é constante como mostrado.
A integração da equação dará:
Por essa equação, pode-se concluir que, do mesmo modo que ocorre com
um elemento estrutural submetido a carga axial, a capacidade de absorção
de energia de um eixo submetido á carga de torção diminui quando o
diâmetro do eixo aumenta, visto que isso aumenta J.
Caso o eixo não seja circular a equação deve ser modificada e teremos que
recorrer a análise matemática baseada na teoria da elasticidade.
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O eixo tubular da figura está
engastado na parede e é submetido
aos dois torques mostrados.
Determine a energia de deformação
armazenada no eixo decorrente
dessa carga. G = 75GPa.
Pelo método das seções, determinamos em
primeiro lugar o torque interno dentro das duas
regiões do eixo onde ele é constante, como
mostrado.
Exemplo
Solução
Embora esses torques estejam em direções
opostas, isso não terá consequência para a
determinação da energia de deformação, visto que
o torque é elevado ao quadrado na equação, ou
seja; a energia de deformação é sempre positiva.
O momento polar de inércia para o eixo é:
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Aplicando a equação para cada
trecho teremos:
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Conservação de Energia
Todos os métodos de energia usados em mecânica baseiam-se em um
equilíbrio de energia, muitas vezes denominado conservação de energia.
Consideraremos a energia mecânica no estudo do equilíbrio de energia. Não
serão consideradas as energias desenvolvidas por calor, reações químicas e
efeitos eletromagnéticos.
Se uma carga for aplicada lentamente a um corpo, de modo que a energia
cinética também possa ser desprezada, as cargas externas tendem a
deformar o corpo fisicamente, de modo que as cargas realizam trabalho
externo Ue à medida que são deslocadas.
Esse trabalho externo provocado pelas cargas transforma-se em trabalho
interno ou energia de deformação Ui, que é armazenada no corpo.
Quando se removem as cargas, a energia de deformação restitui o corpo à
posição original não deformada, desde que o limite de elasticidade do
material não seja ultrapassado.
Assim a conservação de energia para o corpo pode ser expressa como:
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Para determinar o deslocamento de um
ponto sobre um elemento estrutural ou
estrutura deformável, consideraremos
primeiramente uma treliça sujeita à
carga conhecida P.
Contanto que P seja aplicada de modo gradual, o trabalho externo
realizado por P é determinado por Ue = 1/2P∆, onde ∆ representa o
deslocamento vertical da treliça na articulação onde se aplica P.
Considerando que P desenvolve uma força axial N em um determinado
elemento estrutural, a energia de deformação armazenada nesse elemento
é determinada por Ui = N2L/2AE.
Somando as energias de deformação
para todos os elementos da treliça,
podemos escrever:
Uma vez determinadas as forças internas (N) em todos os elementos da
treliça e calculados os termos à direita, é possível determinar o
deslocamento desconhecido ∆.
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Outro exemplo é considerar a viga que
sofre ação da carga vertical P,
conhecida. Desejamos determinar o
deslocamento vertical ∆, causado pela
carga.
Novamente o trabalho externo será Ue = 1/2P∆, onde ∆ representa o
deslocamento vertical da viga no ponto onde se aplica P.
Contudo, nesse caso, a energia de deformação seria o resultado das
cargas do cisalhamento e momentos internos provocados por P.
A energia de deformação será, portanto,
determinada somente pelo momento fletor
interno M e teremos:
Desde que M seja expresso em função da posição e que a integral seja
calculada, pode-se determinar ∆.
Como foi visto, a contribuição da energia de deformação decorrente do
cisalhamento é desprezada na maioria dos problemas de deflexão em
vigas.
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Mais um exemplo consiste em se
considerar uma viga carregada por um
momento M0, como mostrado na figura.
Esse momento provoca o deslocamento rotacional
θ no pontode sua aplicação. Visto que o momento
só realiza trabalho quando gira, o trabalho externo
será Ue = 1/2M0θ. Teremos, então:
Aqui a energia de deformação é determinada como resultado do momento
fletor interno M provocado pela aplicação do Momento M0.
Desde que M seja expresso em função da posição x e a energia de
deformação calculada, pode-se calcular θ.
Observa-se que a aplicação da equação Ue = Ui é bastante limitada, porque
somente uma única força interna ou momento interno deve agir sobre o
elemento estrutural. Se mais de uma força externa ou momento externo
fosse aplicado, o trabalho externo de cada carga envolveria seu
deslocamento desconhecido associado o que não poderia ser feito visto só
haver uma equação disponível para solução.
Embora exista essa restrição, a aplicação da conservação de energia como
foi visto serve como introdução aos métodos de energia mais gerais.
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Exemplo
A viga em balanço mostrada tem
seção transversal retangular e está
sujeita a uma carga P em sua
extremidade.
Determine o deslocamento da carga.
EI constante.
Solução
O cisalhamento interno e o momento interno na
viga em função de x são determinados pelo
método das seções.
Consideraremos a energia de
deformação decorrente de
cisalhamento e flexão.
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O primeiro termo do lado direito dessa equação
representa a energia de deformação decorrente
do cisalhamento, enquanto o segundo é a
energia de deformação decorrente da flexão.
Como já foi dito e demonstrado, para a maioria das vigas a energia de
deformação por cisalhamento por ser muito menor do que a energia de
deformação por flexão só deverá ser utilizada para vigas curtas e largas.
Então teremos:
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Princípio do Trabalho Virtual
Desenvolvido por John Bernoulli em 1717 e baseia-se na conservação de
energia.
Sempre que um corpo é impedido de mover-se, as cargas devem satisfazer
as condições de equilíbrio, e os deslocamentos, as de compatibilidade.
As condições de equilíbrio exigem que as cargas externas estejam
relacionadas apenas às cargas internas, e as condições de compatibilidade
exigem que os deslocamentos externos estejam relacionados apenas com as
deformações internas.
Supondo um corpo deformável de qualquer forma submetido a uma série de
cargas externas P. Pode-se observar:
As cargas externas P provocarão cargas internas u dentro do corpo. As
cargas externas e internas estão relacionadas pelas equações de equilíbrio.
Como o corpo é deformável as cargas externas serão deslocadas ∆, e as
cargas internas sofrerão deslocamentos δ.
Se o material não comportar-se elasticamente os deslocamentos não estarão
relacionados com as cargas.
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Se os deslocamentos externos forem conhecidos, os internos
correspondentes estarão definidos unicamente visto que o corpo é contínuo.
Nesse caso, a conservação de
energia afirma que:
Utilizaremos o princípio do trabalho virtual para determinar o deslocamento e
a inclinação em qualquer ponto sobre o corpo.
Considerando um corpo de forma arbitrária, como
mostrado, submetida às cargas P1, P2 e P3.
As cargas não provocam nenhum movimento nos
apoios, podendo deformar o material além do limite
elástico.
Aplicando o princípio da conservação de energia, observa-se que em A não
há nenhuma força agindo. Dessa forma o deslocamento desconhecido ∆ não
será incluído como termo de trabalho externo na equação.
Se quer determinar o deslocamento ∆ do ponto A sobre
o corpo provocado por essas cargas.
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Para contornar essa limitação, aplica-se uma força
imaginária ou virtual P' sobre o corpo no ponto A, tal
que P' aja na mesma direção de ∆.
Além disso, consideraremos que essa carga é
aplicada ao corpo antes da aplicação das cargas
reais, como mostrado na figura.
Essa carga externa virtual P' = 1, cria uma carga virtual
interna u em um elemento ou fibra representativa do
corpo como também mostrado na figura.
P' e u podem ser relacionadas pelas equações de
equilíbrio.
Uma vez aplicada a carga virtual e submetido o corpo
às cargas reais P1, P2 e P3, o ponto A será deslocado
por uma quantidade real ∆, que provocará um
deslocamento dL no elemento como mostrado na
figura.
O resultado é que a força virtual externa P' e a carga virtual interna u
deslocam-se juntas por ∆ e dL, respectivamente. Essas cargas realizam
trabalho virtual externo de 1.∆ sobre o corpo e trabalho virtual interno de u.dL
sobre o elemento.
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Considerando somente a conservação de energia
virtual, o trabalho virtual externo é igual ao trabalho
virtual interno realizado sobre todos os elementos do
corpo.
Portanto, podemos escrever a equação do trabalho
virtual como:
Sendo:
P' = 1 = carga virtual externa unitária que age na
direção de ∆;
u = carga virtual interna que age sobre o elemento;
∆ = deslocamento externo provocado pelas cargas reais;
dL = deslocamento interno do elemento na direção de
u, provocado pelas cargas reais.
Escolhendo P' = 1, pode-se ver que a solução para ∆ decorre diretamente,
visto que ∆ = ∑ udL.
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De maneira semelhante, se tivermos que determinar o deslocamento
rotacional ou a inclinação da tangente em um ponto sobre o corpo,
aplicamos um momento virtual M' de intensidade unitária ao ponto.
Sendo:
M' = 1 = momento unitário virtual externo que age na direção de θ;
uθ = carga virtual interna que age sobre um elemento;
θ = deslocamento rotacional em radianos provocado pelas cargas reais;
dL = deslocamento interno do elemento na direção de uθ, provocado pelas
cargas reais.
Esse momento provoca uma carga virtual uθ em um dos elementos do
corpo.
Considerando que as cargas reais deformam o elemento por uma
quantidade dL, a rotação θ pode ser determinada pela equação do
trabalho virtual:
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Esse método de aplicação do princípio do trabalho virtual costuma ser
denominado método das forças virtuais, visto que se aplica uma força
virtual, resultando no cálculo de um deslocamento real externo.
A equação do trabalho virtual representa, nesse caso, uma declaração de
requisitos de compatibilidade para o corpo.
Também pode-se aplicar o princípio do trabalho virtual como um método de
deslocamentos virtuais.
Nesse caso, deslocamentos virtuais são impostos ao corpo quando ele é
submetido a cargas reais.
Esse método pode ser usado para determinar a força de reação externa
sobre o corpo ou uma carga interna desconhecida dentro do corpo.
Aqui, a equação do trabalho virtual é uma declaração de requisitos de
equilíbrio para o corpo.
Esse método é visto em detalhes em um curso de análise de estruturas.
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Trabalho Virtual Interno
Os termos do lado direito das equações do trabalho
virtual representam o trabalho virtual interno
desenvolvido no corpo.
Os deslocamentos reais internos dL nesses termos
podem ser produzidos de vários modos diferentes.
Esses deslocamentos podem resultar dos erros de
fabricação na geometria, da temperatura, ou o que é
mais comum da tensão.
Se considerarmos que o comportamento
do material é linear elástico e que a
tensão não ultrapassa o limite de
proporcionalidade, pode-se formular as
expressões para o trabalho virtual
interno provocado por tensão usando as
equações de energia de deformação
elástica já desenvolvidas.
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Cada uma dessas expressões considera que a tensão
resultante N, V, M ou T foi aplicada gradualmente de zero
até seu valor total.
Como resultado, o trabalho realizado pela tensão
resultante é mostrado nessas expressões como metade do
produto entre a tensão resultante e seu deslocamento.
No caso do método da força virtual, entretanto, a carga
virtual total é aplicada antes de as cargas reais
provocarem deslocamentos e, portanto, o trabalho das
cargas virtuais internas consiste simplesmente no
produto entre a carga virtual interna e seu deslocamento
real.
Designando essas cargas virtuais
internas (u) pelossímbolos
correspondentes em letras minúsculas
n, v, m e t, o trabalho virtual decorrente
da carga axial, cisalhamento, momento
fletor e momento de torção é mostrado.
:
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A equação do trabalho virtual para um corpo submetido a uma carga geral
pode ser escrita como:
É importante utilizar um conjunto consistente de unidades para todos os
termos.
Por exemplo, se as cargas reais forem expressas em (kN) e as dimensões
do corpo em (m), uma força virtual de 1 kN ou um momento virtual de 1 kN
deve ser aplicado ao corpo.
Desse modo, um deslocamento calculado ∆ será expresso em metros, e
uma inclinação calculada em radianos.