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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 7: Integrais imediatas e por substituição Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO INTEGRAIS IMEDIATAS 1 PRÓXIMOS PASSOS INTEGRAIS POR SUBSTITUÇÃO 2 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 . Ckxdxk C n x dxx n n 1 1 Cxdxx cos sen Cxdxx sen cos , para todo n real diferente de – 1. (i) (ii) (iii) (iv) Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO . (v) (vi) (vii) (viii) Cxdxx tg sec 2 Cxdxx cotg csc 2 Cxdxxx csc cotg csc Cxdxxx sec tgsec REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO . (ix) (x) (xi) (xii) Cxdx x cotg 1 1 2 Cxdx x sen arc 1 1 2 Cxdx x cos arc 1 1 2 Cxdx x tgarc 1 1 2 REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO . (xiii) (xiv) (xv) (xvi) Cxdx xx csc arc 1 1 2 Cxdx xx sec arc 1 1 2 Cxdx x cotg arc 1 1 2 Cadxaa xx ln REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO . (xvii) (xviii) (xiv) Cedxe xx Cxdx ax a log ln 1 Cxdx x ln 1 REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS) Considere a, n, k e C constantes, com a > 0 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO dx xgd dx xfd dx xgxfd )()()()( dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()( Como então Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO Seja F(x) uma antiderivada de f(x). Então, a integral de uma função da forma é dada por Considerando e , então podemos reescrever a expressão acima na forma Método da substituição )(')( xgxgf CxgFdxxgxgf )()(')( )(xgu dxxgdu )(' CuFdufu )( Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO dxx 5 5)( xxf 5 2 1 xu uf dxdu dx du 1 duudxx 5 2 1 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO dxx 5 C u C u duu 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 C uu 3 2 5 xu C xx C xx dxx 3 5)102( 3 5)5(2 5 sabendo que podemos concluir que Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO X’ x dxx 42 )73( . Note que, para realizar a substituição, é preciso dividir a expressão por 6 Portanto 73 2 xu xdxdux dx du 66 duxdx 6 1 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO x dxx 42 )73( C u C u duu duux dxx 30 56 1 6 1 6 1 )73( 5 5 4 442 73 2 xu C x x dxx 30 )73( )73( 52 42 Como , então podemos concluir que Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO dxx)3cos( xu 3 dudxdxdu 3 1 3 .sen 3 1 cos 3 1 3 1 cos)3cos( Cu u du duu dxx .)3(sen 3 1 )3cos( Cx dxx Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO dx xx x 53 1 3 2 533 xxu ).1(3 33 2 2 x x dx du dxxdu )1(3 2 Cu du u du u dx xx x ln 3 1 1 3 1 3 11 53 1 3 2 Unidade III: Integrais indefinidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 7: INTEGRAIS IMEDIATAS E POR SUBSTITUIÇÃO dx xx x 53 1 3 2 533 xxu Cu du u du u dx xx x ln 3 1 1 3 1 3 11 53 1 3 2 Cxxdx xx x 53ln3 1 53 1 3 3 2 Assuntos da próxima aula: 1. Teorema Fundamental do Cálculo; 2. Integral definida.
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