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AULA 1   FUNÇÕES VETORIAIS

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 1- Funções vetoriais 
 
NOME DA AULA – AULA1 
NOME DA DISCIPLINA 
Conteúdo Programático desta aula 
 Definição de função vetorial; 
 Propriedade referente a função vetorial; 
 Aplicação dos conceitos de Limite, 
Derivada e Integral de funções vetoriais; 
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Funções vetoriais 
Definição. Uma função cujo domínio é um 
conjunto de números reais e cuja a imagem é 
um conjunto de vetores é chamada uma 
função vetorial. 
 
Uma função vetorial definida em um intervalo 
IR, com valores em R3, é denotado por 
 (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t  I, 
onde x(t), y(t), z(t) são funções reais definidas 
em I 
 
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Funções vetoriais: Curvas planas 
Uma curva plana é um conjunto C 
de pares ordenados de reais ( f(t), 
g(t) ), em que f e g são funções 
reais contínuas em um intervalo I. 
 
O ponto P é um ponto da curva C 
de coordenadas (x, y), sendo x = 
f(t) e y = g(t). 
 
Entenderemos de maneira intuitiva 
como curva, o gráfico do que 
definimos como curva. 
 
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Funções vetoriais: Curvas espaciais 
 Uma curva no espaço é um 
conjunto C de ternos ordenados 
de reais (f(t), g(t), h(t)), em que 
f, g e h são funções reais contínuas 
em um intervalo I. 
 
Um ponto P qualquer da curva C 
tem coordenadas (x, y, z) e 
depende do parâmetro t ; 
 
 P = P(t) = ( f(t), g(t), h(t) ) 
 
As equações paramétricas de C 
são: 
 
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Funções Vetoriais: Notas 
• As equações paramétricas de uma curva C constituem uma 
parametrização de C. Também dizemos que C é uma curva 
parametrizada. 
• Uma vez que C é uma curva parametrizada, podemos definir uma 
orientação para C que é a direção definida pelos valores crescente ou 
decrescente do parâmetro t , que indicamos por setas ao longo do 
gráfico da curva. 
 DEFINIÇÃO. Seja D (domínio) um subconjunto de IR. Uma 
função vetorial de uma variável , r, com domínio D é uma 
correspondência que a cada número real t de D associa 
somente um vetor r(t) em IRm. 
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Funções vetoriais 
O vetor r(t) = OP é o vetor posição de P 
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Funções vetoriais: Exemplos 
 Seja curva C dada pela função 
vetorial: 
 
r(t)=(3 + 2cos t, 1 + 2 sen t), t[0,2] 
 
Tem equações paramétricas: 
 
 
 
 
Fazendo cos t = (x – 3)/2 e sen t = (y - 
1)/2 e substituindo na igualdade 
trigonométrica cos2 t + sen2 t = 1 temos 
ou (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 
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Funções vetoriais: Exemplos 
 Seja curva C dada pela função 
vetorial: 
 
F(t) = (2cos t, 2sen t, t/2) , t[0,3] . 
 
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Funções vetoriais: Limite 
O limite de uma função vetorial para um determinado valor “a” é 
definido como: 
Uma vez que o limite da função depende dos limites individuais das funções de 
cada coordenada, este só existirá caso todos os limites existam. 
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Funções vetoriais: Limite (Exemplo) 
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Funções vetoriais: Continuidade 
A condição de continuidade da função vetorial é 
aplicada seguindo o mesmo princípio que utilizado na 
definição do limite, ou seja, a função vetorial é 
contínua se as suas funções das coordenadas forem 
contínuas 
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Funções vetoriais: Derivada 
A clássica definição de derivada de uma função também se aplica a 
funções vetorais 
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Funções vetoriais: Derivada (Propriedades) 
Considere as seguintes funções: 
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Funções vetoriais: Vetor tangente 
vetor tangente 
vesor tangente 
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Funções vetoriais: Derivada (Exemplo) 
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Funções vetoriais: Integral 
A clássica definição de integral de uma função também se aplica a 
funções vetorais 
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Funções vetoriais: Integral (Exemplo) 
Considere a função vetorial: .Determinar a integral no 
intervalo do [1,2]: 
 
Resolução: A integral da função vetorial é: 
 
 
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