Mecanismos_04
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MECANISMOS CAPÍTULO 4 
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4. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
4.1. Introdução a Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Evolventais. Considerando 
duas superfícies curvas em contato direto pode-se mostrar que a razão das velocidades angulares 
é inversamente proporcional aos segmentos em que a linha de centros é cortada pela linha de 
ação ou normal comum às duas superfícies em contato. Se a linha de ação sempre intercepta a 
linha de centros em um ponto fixo, a razão das velocidades angulares permanece constante. Esta 
é a condição desejada quando dois dentes de engrenagens se acoplam: a razão das velocidades 
angulares deve ser constante. É possível supor a forma do dente em uma engrenagem e pela 
aplicação do princípio acima (a normal comum intercepta a linha de centros em um ponto fixo) 
para determinar o contorno dos dentes que se engrenam. Tais dentes são considerados dentes 
conjugados e as possibilidades são limitadas apenas pela habilidade em construí-los. Das muitas 
formas possíveis, só a ciclóide e a evolvente foram padronizadas. Primeiramente utilizava-se a 
ciclóide que, depois, foi substituída pela evolvente em todas as aplicações, exceto em relógios. O 
dente com perfil da evolvente tem diversas vantagens, as mais importantes das quais sua fácil 
fabricação e o fato de que a distância entre centros de duas engrenagens evolventais pode variar 
sem alterar a razão de velocidades. O sistema evolvental de engrenamento é discutido em 
detalhes nos parágrafos seguintes. A Fig. 4.1 mostra um par de engrenagens de dentes retos 
evolventais. 
 
Figura 4.1 Engrenagens de dentes retos evolventais 
Considere duas polias ligadas por um fio cruzado como mostra a Fig. 4.2. É evidente que as 
duas polias giram em direções opostas e que a relação das velocidades angulares é constante, 
desde que o fio não deslize, e depende da razão inversa dos diâmetros. Vê-se também que a 
relação entre as velocidades angulares não muda quando a distância de centros é modificada. Por 
conveniência, suponha que um lado do fio seja removido e um pedaço de cartolina seja fixado na 
polia 1 (Fig. 4.3a). Coloque um lápis no ponto Q, sobre o fio e guie a polia 2 no sentido anti-
horário. Em relação ao papel, o ponto Q descreverá uma linha reta, enquanto que em relação a 
polia 1, Q traçará uma evolvente na cartolina. A mesma evolvente poderia ser gerada cortando-se 
o fio em Q e desenrolando-o da polia 1, mantendo-o tenso. Se uma cartolina for agora fixada na 
polia 2 (Fig. 4.3b) e o processo for repetido, gera-se uma evolvente nesta cartolina. Se as 
cartolinas forem agora cortadas ao longo das evolventes, forma-se um lado de um dente em 
ambas as polias 1 e 2. A evolvente da polia 1 pode ser usada para impelir a evolvente da polia 2. 
A razão das velocidades angulares será constante porque a linha de ação, que pelo processo de 
construção é normal às evolventes no ponto de contato Q, corta a linha de centros em um ponto 
fixo. Como no caso das polias com o fio cruzado, a relação das velocidades angulares será 
inversamente proporcional aos diâmetros das polias. 
 
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 Figura 4.2 Figura 4.3 
Se a distância entre centros for modificada, a evolvente 1 ainda impelirá a evolvente 2, mas 
uma outra parte das duas evolventes estará agora em contato. Enquanto os diâmetros das polias 
não forem modificados, a relação das velocidades será a mesma. 
As circunferências usadas como base para a geração das evolventes são conhecidas como 
circunferências de base, e são o coração do sistema de engrenagens evolventais. Na Fig. 4.4 o 
ângulo definido por uma linha perpendicular à linha de ação tirada pelo centro da circunferência de 
base e uma linha de O1 a Q (ou O2 e Q) é conhecido como ângulo de pressão e é uma indicação 
do ponto da evolvente onde está havendo contato. Se na Fig. 4.4, o ponto de interseção da linha 
de ação e da linha de centros é chamado de P, a relação das velocidades angulares será 
inversamente proporcional aos segmentos em que este ponto dividir a linha de centros. 
 
Figura 4.4 
É possível traçar circunferências passando por P usando primeiro O1 como centro e depois 
O2, como mostra a Fig. 4.5. O ponto P é chamado de ponto primitivo e as circunferências que 
passam por ele são conhecidas como circunferências primitivas. Pode-se provar que quando a 
evolvente 1 impele a evolvente 2, as duas circunferências primitivas movem-se uma em relação à 
outra em rolamento puro. A relação das velocidades angulares é inversamente proporcional aos 
raios das duas circunferências primitivas porque os segmentos em que P divide a linha de centros 
agora são os raios destas circunferências. Se o diâmetro da circunferência primitiva 1 é d1 e o da 
circunferência 2 é d2, \u3c91/\u3c92 = d2/d1. Será mostrado em outra seção que o número de dentes em 
uma engrenagem é diretamente proporcional ao diâmetro primitivo. Logo, \u3c91/\u3c92 = d2/d1 = z2/z1. 
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Figura 4.5 
4.2. Evolvente. Relações. Se considerarmos o perfil do dente como sendo evolvental, 
devemos saber calcular algumas propriedades da evolvente. 
A Fig. 4.6 mostra uma evolvente que foi gerada a partir de uma circunferência de base de raio 
rb. A evolvente contém dois pontos A e B com raios correspondentes rA e rB e ângulos de 
incidência frontal \u3b1A e \u3b1B. É fácil obter uma relação para esses raios porque a circunferência de 
base é a mesma para qualquer ponto em consideração. 
 
Figura 4.6 
Então, 
rb = rA cos \u3b1A (4.1) 
ou 
 
rb = rB cos \u3b1B 
e 
 cos \u3b1B = ( rA / rB ) cos \u3b1A (4.2) 
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Da equação 4.2 é possível determinar o ângulo de incidência frontal em qualquer ponto de 
raio conhecido sobre a evolvente. 
A Fig. 4.7 mostra a Fig. 4.6 completa para incluir todo o dente da engrenagem. Deste 
diagrama é possível desenvolver uma equação para determinar a espessura do dente em 
qualquer ponto B, dada a espessura no ponto A. 
 
Figura 4.7 
 Do processo de geração de uma evolvente, o arco DG é igual ao comprimento BG. 
 Então 
OGocompriment
BGocompriment
OGocompriment
DGarcoDOGângulo == 
OGocompriment
BGocomprimenttg B =\u3b1 
Assim, 
BtgDOGângulo \u3b1= 
Também 
BBB tgDOGânguloDOBângulo \u3b1\u3b1\u3b1 \u2212=\u2212= 
Pode ser mostrado também que 
BAtgDOAângulo \u3b1\u3b1 \u2212= 
A expressão (tg \u3b1 - \u3b1) é chamada função evolvental e é às vezes escrita Ev \u3b1. É fácil calcular 
a função evolvental quando o ângulo é conhecido; \u3b1 é expresso em radianos. Entretanto, é difícil 
determinar \u3b1 a partir de Ev \u3b1, e por esta razão foram publicadas tabelas de funções evolventais 
(ver Apêndice 1). 
Referindo-se ainda à Fig. 4.7, 
B
B
B
B
B
r
sEv
r
s
DOBânguloDOEângulo
2
2
1
+=+= \u3b1 
Também 
A
A
A
A
A
r
sEv
r
s
DOAânguloDOEângulo
2
2
1
+=+= \u3b1 
Das relações acima, 
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Letícia
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