Mecanismos_06

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MECANISMOS CAPÍTULO 6 
128 
6. ENGRENAGENS CÔNICAS, HELICOIDAIS E PARAFUSOS SEM-FIM 
 
ENGRENAMENTO CÔNICO 
6.1 Teoria das Engrenagens Cônicas. As engrenagens cônicas são usadas para conectar 
árvores cujos eixos se interceptam. O ângulo entre eixos é definido como o ângulo entre as linhas 
de centro das engrenagens em contato. Embora o ângulo entre eixos seja usualmente 90°, há 
muitas aplicações de engrenagens cônicas que requerem ângulos maiores ou menores do que 
esse valor. 
A superfície primitiva de uma engrenagem cônica é um cone. Quando duas engrenagens 
cônicas se engrenam, seus cones fazem contato ao longo de uma linha comum e há um vértice 
também comum onde as linhas de centro das engrenagens se encontram. Os cones rolam um 
sobre o outro sem deslizarem e têm movimento esférico. Cada ponto em uma engrenagem cônica 
mantém uma distância constante do vértice comum. 
A Fig. 6.2 mostra uma seção axial de um par de engrenagens cônicas engrenadas com os 
eixos em ângulo reto. A relação entre as velocidades angulares é inversamente proporcional aos 
diâmetros das bases dos cones, porque os cones primitivos rolam um sobre o outro sem 
escorregamento. Estes diâmetros tornam-se os diâmetros primitivos das engrenagens. A relação 
entre as velocidades angulares pode então ser expressa como ω1/ω2 = d2/d1 = z2/z1, como no 
caso de engrenagens de dentes retos. A relação p = z/d também é válida. 
 
Figura 6.1 Engrenagens cônicas com dentes retos 
 
Figura 6.2 
Fazendo um esquema de um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos, será simples, 
conhecendo-se os diâmetros primitivos, desenhar as circunferências primitivas em sua posição 
correta. No caso de engrenagens cônicas, entretanto, devem ser considerados os ângulos 
primitivos bem como os diâmetros primitivos. As equações para os ângulos primitivos estão 
deduzidas a seguir, com R representando o comprimento da geratriz do cone primitivo. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
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( )211 2 δδ −Σ== senR
dsen 
221 coscos δδδ sensensen Σ−Σ= 
Σ
Σ−=Σ sensensensen
sen coscos
2
2
2
1
δ
δ
δ
δ
 
22
1 1cos1 δδ
δ
tgsen
sen
sen
=

 Σ+Σ 
Também, 
2
1
2
1
d
d
sen
sen =δ
δ
 
Então, 
 
2112
2 coscos zz
sen
dd
sentg +Σ
Σ=+Σ
Σ=δ (6.1) 
Do mesmo modo 
 
12
1 cos zz
sentg +Σ
Σ=δ (6.2) 
Embora as Equações 6.1 e 6.2 tenham sido deduzidas para engrenagens com eixos em 
ângulo reto, aplicam-se às engrenagens cônicas com qualquer ângulo entre eixos. 
Fazendo o esboço de um par de engrenagens, a posição de geratriz comum aos cones 
primitivos pode ser determinada graficamente se a relação das velocidades angulares e o ângulo 
entre eixos forem conhecidos. 
Como foi mencionado, os cones primitivos de um par de engrenagens cônicas têm movimento 
esférico. Então, a fim de que as extremidades mais espessas dos dentes de engrenagens cônicas 
se ajustem perfeitamente quando engrenadas, estas extremidades devem permanecer na 
superfície de uma esfera cujo centro é o vértice dos cones primitivos e cujo raio é sua geratriz 
comum. Entretanto, não é freqüente fazer esférica a extremidade de uma engrenagem cônica, e 
assim ela é feita cônica como mostra a Fig. 6.3. Este cone é conhecido como cone complementar 
e é tangente à esfera teórica no diâmetro primitivo. A geratriz do cone complementar é então 
perpendicular à geratriz do cone primitivo. Para todos os efeitos práticos, as superfícies do cone 
complementar e da esfera são idênticas na região da extremidade dos dentes de engrenagens 
cônicas. As distâncias do vértice dos cones primitivos às extremidades externas dos dentes em 
qualquer ponto, com exceção do ponto principal, não são iguais, de modo que as superfícies das 
extremidades dos dentes engrenados não ficarão bem niveladas. Entretanto esta variação é 
pequena e não afeta a ação dos dentes. 
Todas as proporções de dente de uma engrenagem cônica referem-se à extremidade mais 
espessa do dente. Isto será discutido em uma seção posterior. Quando é necessário mostrar o 
contorno da extremidade mais espessa do dente, faz-se uso do fato de que o perfil do dente da 
engrenagem cônica corresponde aproximadamente ao do dente de uma engrenagem cilíndrica de 
dentes retos que tenha um raio primitivo igual a geratriz do cone complementar e um diametral 
pitch igual ao da engrenagem cônica. Esta engrenagem de dentes retos é chamada engrenagem 
de dentes retos equivalente, e esta seção na engrenagem cônica é conhecida como seção 
transversal. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
130 
 
Figura 6.3 
Além do tipo geral de engrenagens cônicas visto na Fig. 6.2, há os seguintes casos especiais: 
1. Engrenagens cônicas: do mesmo tamanho e ângulo dos eixos 90°. 
2. Engrenagens cônicas angulares: o ângulo dos eixos é maior ou menor do que 90°. Um 
esquema é mostrado na Fig. 6.4. 
3. Engrenagens de face: o ângulo primitivo é 90° e a superfície primitiva torna-se um plano. A 
Fig. 6.5 mostra um esboço. 
 
Figura 6.4 
 
Figura 6.5 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
131 
Até aqui a apresentação tratou fundamentalmente da teoria geral e de tipos de engrenagens 
cônicas. Consideraremos agora a forma dos dentes. 
Como foi visto no estudo do Capítulo 4, o perfil evolvental de uma engrenagem de dentes 
retos foi facilmente gerado a partir de uma circunferência de base e tomou a forma de uma 
evolvente cilíndrica quando se considerou a largura da engrenagem. Entretanto, a forma 
evolvental não é usada para engrenagens cônicas porque a superfície de base seria um cone. Isto 
significa que, quando um plano rola sobre este cone base, uma linha do plano gera uma evolvente 
esférica, que é de fabricação impraticável. 
No sistema de engrenamento cônico que foi desenvolvido, os dentes são gerados conjugados 
a uma coroa que tem dentes com lados planos. A coroa mantém a mesma relação para 
engrenagens cônicas como uma cremalheira mantém para engrenagens de dentes retos. A Fig. 
6.6 mostra o esboço de uma coroa teórica. Os lados dos dentes permanecem em planos que 
passam pelo centro da esfera. 
 
Figura 6.6 
Quando a coroa se engrena com uma engrenagem conjugada, a trajetória completa do 
contato na superfície da esfera tem a forma de um 8. Por causa disto, os dentes da coroa e da 
conjugada são chamados dentes octóides. Só uma parte da trajetória é usada e, para dentes com 
a altura mostrada, o contato se dá em APB ou A' PB'. 
6.2 Detalhes das Engrenagens Cônicas. A fim de considerar as particularidades de uma 
engrenagem cônica, mostra-se na Fig. 6.7a um par de engrenagens cônicas Gleason de dentes 
retos. 
O sistema Gleason foi adotado como o padrão para engrenagens cônicas. Como pode ser 
visto no esboço, as geratrizes do cone de pé são traçadas pelo vértice dos cones primitivos. 
Entretanto, as geratrizes dos cones de cabeça são traçadas paralelamente às geratrizes de pé da 
engrenagem que se acopla, possibilitando assim uma folga constante e eliminando possível 
interferência no fundo do dente na extremidade menos espessa dos dentes. A eliminação desta 
possívelinterferência permite maiores raios de aresta nas ferramentas geradoras, o que 
aumentará a resistência dos dentes pelo aumento do raio de arredondamento. As extremidades 
mais espessas dos dentes são dimensionadas de acordo com o sistema de saliências diferentes, 
discutido no Capítulo 5, de modo que a saliência do pinhão será maior do que a da engrenagem. 
Usam-se saliências grandes no pinhão fundamentalmente para evitar o adelgaçamento, para 
igualar o desgaste e para aumentar a resistência dos dentes. Na seção seguinte veremos a norma 
Gleason para as dimensões de engrenagens cônicas de dentes retos. A Fig. 6.7b representa o 
corte AA, mostrando os perfis dos dentes. 
A saliência e a profundidade são medidas perpendicularmente à geratriz do cone primitivo, na 
parte externa da engrenagem; então, o ângulo de profundidade é dado por 
R
h
tg f=1δ (6.3) 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
132 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 6.7 d = diâmetro primitivo, da = diâmetro de cabeça, R = comprimento da geratriz, b = largura do denteado, ha = 
saliência ou altura da cabeça, hf = profundidade ou altura do pé, Σ = ângulo entre eixos, δ = ângulo primitivo, θa = ângulo 
de saliência, θf = ângulo de profundidade, δa = ângulo de cabeça, δf = ângulo de pé. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
133 
O ângulo de profundidade deve ser determinado indiretamente, porque a geratriz do cone de 
cabeça não passa pelo vértice dos cones primitivos. Pode-se mostrar que o ângulo de saliência do 
pinhão é igual ao ângulo de profundidade da engrenagem. Da mesma maneira, o ângulo de 
saliência da engrenagem é igual ao ângulo de profundidade do pinhão. Os ângulos de cabeça e 
de pé são então 
 aa θδδ += (6.4) 
 ff θδδ += (6.5) 
Devido ao ângulo complementar ser igual ao ângulo primitivo, o diâmetro de cabeça de uma 
engrenagem cônica é 
 da = d + 2 ha cos b (6.6) 
A largura do denteado de uma engrenagem cônica não é determinada pela cinemática da 
ação dos dentes, mas por requisitos de fabricação e capacidade de carga. Se o dente for muito 
grande em relação ao comprimento R, haverá dificuldades na fabricação, de modo que a largura 
do denteado é limitada como se segue: 
 
3
Rb < ou 
p
10
 (aquele que for menor) (6.7) 
Embora sejam usados freqüentemente, "diametrais pitchs" inteiros em engrenagens cônicas, 
não há a mesma necessidade para essa restrição nos projetos, uma vez que o ferramental para 
engrenagens cônicas não é limitado a passos normalizados como no caso de engrenagens de 
dentes retos. 
6.3 Proporções de Dente para Engrenagens Cônicas Gleason. (Para engrenagens 
cônicas de dentes retos com eixos em ângulo reto e 13 ou mais dentes no pinhão.) 
1. Número de dentes 
16 dentes ou mais no pinhão 
15 dentes no pinhão e 17 ou mais na engrenagem 
14 dentes no pinhão e 20 ou mais na engrenagem 
2. Ângulo de pressão, α = 20° 
3. Profundidade de trabalho, hk = 2,00/p 
4. Profundidade total h = 2,188/p + 0,002 
5. Saliência: 
Engrenagem: ( )2122 /
460,0540,0
zzpp
ha += 
 Pinhão: 21
000,2
aa hp
h −= 
6. Profundidade: 
Engrenagem: 22
188,2
af hp
h −= 
 Pinhão: 11
188,2
af hp
h −= 
7. Espessura do dente na circunferência primitiva: 
Engrenagem: ( ) αtghhps aat 212 2 −−= (aproximadamente) 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
134 
 Pinhão: 21 sps t −= 
Onde pt é o passo frontal. 
Nota: Para obter o valor exato, é necessário um conjunto de curvas cuja inclusão aqui não é oportuna. Ver Gleason, Design 
Manual. 
6.4 Engrenagens Cônicas Angulares de Dentes Retos. As proporções das engrenagens 
cônicas angulares de dentes retos podem ser determinadas das mesmas relações que as cônicas 
em ângulo reto, com as seguintes exceções: 
1. O número limite de dentes não pode ser tomado do item um na seção 6.3. Cada aplicação 
deve ser examinada separadamente quanto ao adelgaçamento com a ajuda de um gráfico 
do Design Manual da Gleason. Este gráfico mostra o ângulo de saliência do pinhão versus 
ângulo primitivo. Há curvas para vários ângulos de pressão. 
2. O ângulo de pressão é determinado de acordo com o item anterior. 
3. Ao determinar a profundidade do dente da engrenagem do item 5 na seção 6.3, é 
necessário usar uma razão de transmissão equivalente de engrenagens cônicas de 90° 
em lugar de z2/z1. 
Razão equivalente de 90° = 
21
12
cos
cos
δ
δ
z
z
 
Para uma coroa (δ = 90°) esta relação é infinita. 
Para engrenagens cônicas angulares em que o ângulo das árvores é maior do que 90° e o 
ângulo primitivo da engrenagem é também maior do que 90°, resulta uma engrenagem cônica 
interna. Neste caso, os cálculos devem seguir as indicações da Gleason Works para determinar 
se as engrenagens podem ser usinadas. 
6.5 Engrenagens Cônicas Zerol. Além das engrenagens cônicas de dentes retos, há 
outros dois tipos de engrenagens cônicas, um dos quais é o "zerol". As engrenagens cônicas zerol 
têm dentes curvos com ângulo de espiral nulo na metade da largura do denteado, como mostra a 
Fig. 6.8, e têm o mesmo empuxo e a mesma ação de dentes que as engrenagens cônicas de 
dentes retos. Podem ser usadas nas mesmas montagens. A vantagem da engrenagem zerol 
sobre a cônica de dentes retos é que a superfície de seus dentes pode ser retificada. A 
engrenagem zerol tem contato localizado, isto é, o contato só se realiza sobre a parte central do 
dente,em lugar de ao longo do dente inteiro, enquanto a cônica de dentes retos pode ou não ter 
contato localizado, dependendo da ferramenta da geradora usada. Os modernos geradores de 
engrenagens cônicas de dentes retos produzem dente com contato localizado, curvando-os 
levemente ao longo do comprimento de modo que o contato se dá próximo ao meio do dente. 
Uma engrenagem cônica de dentes retos com estas características é conhecida como 
engrenagem coniflex. O contato localizado permite um ligeiro ajuste durante a montagem e algum 
deslocamento devido à deflexão sob carga, sem concentrar a força nas extremidades dos dentes. 
A Fig. 6.9 mostra fotografias de engrenagens cônicas zerol e coniflex, com contato localizado. 
 
Figura 6.8 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
135 
 
Figura 6.9 (a) Engrenagens cônicas Coniflex mostrando o contato localizado. 
 
Figura 6.9 (b) Engrenagens cônicas Zerol mostrando o contato localizado. 
6.6 Engrenagens Cônicas Espirais. O segundo tipo é o da engrenagem cônica espiral, 
que tem dentes curvados obliquamente. A Fig. 6.10a mostra uma seção de um par de dentes em 
contato e a Fig. 6.10b mostra a espiral do dente de uma engrenagem. Os dentes têm um ângulo 
de espiral tal que o avanço do dente (Fig. 6.10b) seja maior do que o passo frontal, resultando em 
um contato contínuo na linha primitiva no plano dos eixos das engrenagens. Isto possibilita obter 
operação suave com um menornúmero de dentes no pinhão do que com engrenagens cônicas de 
dentes retos ou zerol, que não têm contato contínuo na linha primitiva. Em engrenagens cônicas 
espirais, o contato entre os dentes inicia-se em uma extremidade do dente e progride 
obliquamente através da face. Isto contrasta com a ação dos dentes de engrenagens cônicas de 
dentes retos ou zerol, onde o contato se dá de uma vez através de toda a largura da face. Assim, 
por estas razões, as engrenagens cônica espirais têm ação mais suave do que as de dentes retos 
ou zerol e são especialmente adequadas para trabalho em altas velocidades. Como mostra a Fig. 
6.10a, as engrenagens espirais têm contato localizado nos dentes que é facilmente controlado 
variando o raio de curvatura dos dentes engrenados. As superfícies dos dentes podem também 
ser retificadas. A Fig. 6.11 mostra um par de engrenagens cônicas espirais. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
136 
 
 
Figura 6.10 
 
Figura 6.11 Engrenagens cônicas espirais. 
6.7 Engrenagens Hipóides. Outrora as engrenagens cônicas espirais eram usadas 
exclusivamente como engrenagens motoras das árvores traseiras dos automóveis (coroa e 
pinhão). Em 1925, a Gleason introduziu a engrenagem hipóide, que substituiu a cônica espiral 
nesta aplicação. As engrenagens hipóides têm aparência semelhante às cônicas espirais, com 
exceção do eixo do pinhão que é deslocado, de modo que não mais se cruza com o eixo da 
engrenagem (ver Fig. 6.12). Para sofrer este deslocamento e ainda manter contato em linha, a 
superfície primitiva de uma engrenagem hipóide se aproxima de um hiperbolóide de revolução em 
lugar dos cones como nas engrenagens cônicas de dentes retos. Em aplicações automotivas esse 
deslocamento é vantajoso porque permite baixar a árvore de transmissão, resultando em uma 
carroceria de silhueta mais baixa. Além disso, os pinhões hipóides são mais resistentes do que os 
pinhões cônicos espirais. A razão disto é que as engrenagens hipóides podem ser projetadas de 
modo que o ângulo de espiral do pinhão seja maior do que o da engrenagem, daí resultando um 
pinhão de diâmetro maior e ainda mais resistente do que o pinhão cônico espiral correspondente. 
Outra diferença é que as engrenagens hipóides têm ação de deslizamento ao longo do dente, 
enquanto que as cônicas espirais não a têm. As engrenagens hipóides operam mais 
silenciosamente do que as cônicas espirais e podem ser usadas para relações de redução 
maiores. As engrenagens hipóides também podem ser retificadas. 
 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
137 
 
Figura 6.12 Engrenagens hipóides. 
A forma dos dentes para engrenagens cônicas zerol, cônicas espirais e hipóides é o sistema 
de saliências diferentes, exceto quando ambas as engrenagens têm o mesmo número de dentes. 
Foram desenvolvidas normas semelhantes às das engrenagens cônicas de dentes retos para 
estes sistemas e podem ser encontradas no Design Manual da Gleason para engrenagens 
cônicas e hipóides. 
ENGRENAMENTO HELICOIDAL 
6.8 Teoria das Engrenagens Helicoidais. Se sobre um cilindro base for rolado um plano, 
uma linha deste plano, paralela ao eixo do cilindro, gerará a superfície de um dente de 
engrenagem cilíndrica de dentes retos evolventais. Se a linha geradora for inclinada em relação 
ao eixo, será gerada a superfície de um dente helicoidal. Estas duas situações são mostradas nas 
Figuras 6.13a e b, respectivamente. 
 
Figura 6.13 
As engrenagens helicoidais são usadas para conectar eixos paralelos e não paralelos que não 
se interceptam. As primeiras são chamadas de engrenagens helicoidais paralelas e as últimas. de 
helicoidais esconsas ou reversas (ver Figuras 6.14a e b). Ao determinar as proporções dos dentes 
de uma engrenagem helicoidal seja paralela ou esconsa, é necessário considerar a maneira como 
os dentes vão ser usinados. Se a engrenagem vai ser fresada todas as dimensões são 
assinaladas em um plano ortogonal à geratriz primitiva do dente e o diametral pitch e o ângulo de 
pressão são valores normalizados naquele plano. Como a ação de corte de uma fresa ocorre no 
plano ortogonal, é possível usar a mesma ferramenta para cortar engrenagens helicoidais e 
cilíndricas de dentes retos de mesmo passo: em uma engrenagem cilíndrica o plano ortogonal e o 
de rotação são idênticos. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
138 
 
 (a) (b) 
Figura 6.14 Engrenagens cilíndricas helicoidais (a) para eixos paralelos e (b) para eixos esconsos ou reversos. 
,A Fig. 6.15 mostra o esboço de uma engrenagem helicoidal com o passo frontal medido no 
plano ortogonal e no plano de rotação. 
 
Figura 6.15 ptn = passo frontal ortogonal, pt = passo ortogonal no plano da rotação, β = ângulo da hélice. 
Da Fig. 6.15: 
 
p
pp ttn
βπβ coscos == (6.8) 
onde p = diametral pitch no plano de rotação (também conhecido como diametral pitch 
transversal). 
Quando uma engrenagem helicoidal é cortada por uma fresa, o passo frontal ortogonal ptn da 
Fig. 6.15 torna-se igual ao passo frontal da ferramenta. Por isso e pelo fato de que pt = π/p, pode-
se escrever a seguinte relação: 
n
tn p
p π= 
onde pn = diametral pitch normal e é igual ao diametral pitch da fresa. Substituindo na Eq. 6.8 
 βcosnpp = (6.9) 
Como p = z/d, então, 
 βcosnp
zd = (6.10) 
 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
139 
Embora não haja intenção de entrar em detalhes concernentes às forças que agem em uma 
engrenagem helicoidal, é necessário considerá-las ao se determinar a relação entre o ângulo de 
pressão α no plano de rotação e o ângulo de pressão ortogonal αn e o ângulo de hélice β. 
Da Fig. 6.16, que mostra estas forças, 
t
s
F
F
tg =α (plano OABH) 
OD
F
tg sn =α (plano ODC) 
βcos
tFOD = (plano OADG) 
Substituindo, 
t
s
n F
F
tg
βα cos= 
e 
 β
αα
cos
ntgtg = (6.11) 
 
Figura 6.16 
É também interessante considerar o efeito do ângulo de hélice no número de dentes que 
podem ser cortados por uma fresa em uma engrenagem helicoidal sem adelgaçamento. 
Referindo-se à Fig. 4.17 (engrenagens cilíndricas de dentes retos) pode-se desenvolver a 
equação para o número mínimo de dentes para engrenagens helicoidais cortadas por uma fresa, 
da seguinte maneira: 
r
PEsen =α 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
140 
também, 
pE
pk
pE
hsen na ==α 
Multiplicando as duas equações membro a membro, 
npr
ksen =α2 
onde 
p
zr
2
= 
e 
βcos
ppn = 
Então, 
z
ksen βα cos22 = 
eα
β
2
cos2
sen
kz = (6.12) 
Foi compilada uma tabela pela AGMA (207.05, junho, 1971) que indica o número mínimo de 
dentes que podem ser fresados em uma engrenagem helicoidal sem adelgaçamento. Esses 
números estão indicados na Tabela 6.1 em função do ângulo da hélice β e do ângulo de pressão 
ortogonal αn para dentes normais. 
Tabela 6.1 
 z 
β, graus αn, graus 
 14
2
1 20 25 
 0 (engrenagens cilíndricas retas) 32 18 12 
 5 32 17 12 
10 31 17 11 
15 29 16 11 
20 27 15 10 
23 26 14 10 
25 25 14 9 
30 22 12 8 
35 19 10 7 
40 15 9 6 
45 12 7 5 
(Cortesia da AGMA). Extraída do Sistema de Padronização Norte-americano - Tooth 
Proportions for Fine-Pitch Spur and Helical Gears (USAS B6.7-1967). 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
141 
Se for necessário usar um pinhão menor do que os da Tabela 6.1, ele pode ser cortado sem 
adelgaçamento afastando-se a ferramenta de maneira semelhante à mostrada para engrenagens 
cilíndricas de dentes retos, no Capítulo 5. Pode-se deduzir uma equação equivalente à Eq. 5.2, 
para engrenagens helicoidais. 
 

 −= β
α
cos2
1 2senzk
p
xm
n
 (6.13) 
O valor de xm dado pela Eq. 6.13 é a quantidade que a fresa terá que ser afastada a fim de 
que a linha de cabeça da fresa ou cremalheira passe justamente pelo ponto de interferência do 
pinhão que está sendo cortado. 
Embora em sua maioria as fresas sejam projetadas para ter um valor normalizado do 
diametral pitch no plano ortogonal, há fresas que o têm no plano de rotação. Estas fresas são 
conhecidas como fresas transversais e o passo no plano de rotação é conhecido como diametral 
pitch transversal. 
Se a engrenagem deve ser cortada pelo método de usinagem Fellows (ferramenta pinhão), as 
dimensões são consideradas no plano de rotação e o diametral pitch e o ângulo de pressão têm 
valores normalizados nesse plano. Quando uma engrenagem helicoidal é cortada por uma 
ferramenta pinhão, o passo frontal p, da Fig. 6.15 torna-se igual ao passo frontal da ferramenta, de 
modo que valem as seguintes relações: 
 
pz
dpt ππ == (6.14) 
e 
 
d
zp = (6.15) 
 No método Fellows não pode ser usada a mesma ferramenta para cortar engrenagens 
cilíndricas de dentes retos e helicoidais. 
 Os aspectos discutidos aplicam-se a engrenagens helicoidais paralelas e esconsas. Os 
dois tipos serão agora considerados separadamente. 
6.9 Engrenagens Helicoidais Paralelas. Para as engrenagens helicoidais engrenarem-se 
adequadamente, as seguintes condições devem ser satisfeitas: 
1. Ângulos de hélice iguais 
2. Passos iguais 
3. Hélices opostas, isto é, uma engrenagem com hélice à esquerda e outra com hélice à 
direita. 
A relação de velocidades é: 
 
1
2
1
2
2
1
z
z
d
d ==ω
ω
 (6.16) 
A distância entre eixos para engrenagens cilíndricas retas 
p
zza
2
21 += 
pode também ser usada para engrenagens helicoidais paralelas desde que p seja o diametral 
pitch no plano de rotação. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
142 
Em uma engrenagem helicoidal paralela a largura do denteado é feita suficientemente grande 
tal que, para um dado ângulo de hélice β, o avanço do dente seja maior do que o passo frontal, 
como ilustra a Fig. 6.17. Isto possibilitará contato contínuo no plano axial quando a engrenagem 
girar. Esta relação (avanço do dente para passo frontal) pode ser considerada como uma razão 
frontal de transmissão. Na Fig. 6.17, pode-se observar que para haver avanço da face igual ao 
passo frontal, a largura do denteado seria igual a pt/tg β. Para estabelecer uma margem de 
segurança, a AGMA recomenda que esta largura do denteado seja aumentada de, pelo menos, 
15%, do que resulta a seguinte equação: 
 βtg
p
b t
15,1> (6.17) 
Além da razão frontal de transmissão resultante da inclinação dos dentes, as engrenagens 
helicoidais paralelas também têm uma razão frontal de transmissão no plano de rotação como as 
engrenagens cilíndricas de dentes retos. A razão de transmissão total será então a soma destes 
dois valores e é maior do que o das engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
 
Figura 6.17 
Engrenagens helicoidais paralelas têm contato em linha, de modo semelhante às cilíndricas 
retas. Entretanto, nestas últimas, a linha de contato é paralela ao eixo, enquanto que nas 
primeiras corre diagonalmente através da face do dente. As engrenagens helicoidais paralelas 
têm ação mais suave e, portanto, apresentam menos ruído e vibração do que as cilíndricas de 
dentes retos e devem ser preferidas para trabalho em alta velocidade. A razão para a ação mais 
suave é que os dentes entram em contato gradualmente, iniciando em uma extremidade do dente 
e progredindo pela superfície, enquanto que nas cilíndricas de dentes retos o contato se dá 
simultaneamente sobre toda a largura do denteado. A desvantagem das engrenagens helicoidais 
paralelas está no esforço axial produzido pela hélice dos dentes. Se este esforço axial for tão 
grande que não possa ser convenientemente suportado pelos mancais, pode-se contrabalançá-lo 
usando duas engrenagens helicoidais de hélices opostas ou uma engrenagem espinha de peixe 
que é na verdade uma helicoidal dupla cortada em um só disco. A Fig. 6.18 mostra a fotografia de 
uma engrenagem espinha de peixe. 
 
Figura 6.18 Engrenagens helicoidais duplas. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
143 
Exemplo 6.1 
Como um exemplo de engrenagens helicoidais paralelas, considere que a fim de reduzir o 
ruído em uma caixa de engrenagens, deve-se substituir engrenagens cilíndricas de dentes retos, 
normais, 20°, de 30 e 80 dentes, por helicoidais. A distância entre eixos e a relação das 
velocidades angulares devem permanecer as mesmas. Determine o ângulo de hélice, os 
diâmetros externos e a largura do denteado das novas engrenagens. Suponha que as 
engrenagens helicoidais sejam cortadas com uma fresa de dentes normais, 20°, diametral pitch 
16. Dos dados das engrenagens cilíndricas de dentes retos, 
4375,3
162
8030
2
21 =×
+=+=
p
zza 
15
40
30
80
1
2
2
1 ===
z
z
ω
ω
 
Para engrenagens helicoidais, 
16=np p
zza
2
21 += ou 
a
zzp
2
21 += 
16<p 
12 15
40 zz = 1
1
15
8
16
552
15
55
z
z
p =






= 
4375,3=a pol 

 pol
16
73 
Por tentativas encontre o número de dentes e o diametral pitch. 
z1 z2 p Observações 
30 80 16 Engrenagens originais 
29 77,33 15,47 z2 número não inteiro 
28 74,67 14,93 z2 número não inteiro 
27 72 14,40 Satisfatório para uso 
Então, 
z1 = 27 
z2 = 72 
900,0
16
40,14cos ===
np
pβ 
β = 25,84° 
Há outras combinações de número de dentese ângulo de hélice que satisfariam às 
condições, mas a solução encontrada deve ser a escolhida porque tem o menor ângulo de hélice. 
Os diâmetros de cabeça das duas engrenagens são 
000,2
16
12
4,14
2722 111 =

+=


+=+=
n
aa p
k
p
zhdd pol 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
144 
125,5
16
12
4,14
7222 222 =

+=


+=+=
n
aa p
k
p
zhdd pol 
Observe que a saliência foi calculada usando o diametral pitch da fresa (Pn)' A largura do 
denteado é 
βtg
p
b t
15,1> 
2185,0
4,14
=== ππ
p
pt pol 
Então, 
( )( ) 5189,0
84,25
2185,015,1 >°> tgb pol 
Use 
16
9=b pol 
6.10 Engrenagens Helicoidais Esconsas. Para engrenagens helicoidais esconsas 
acoplarem-se adequadamente há só um requisito, isto é, elas devem ter o mesmo diametral pitch 
ortogonal. Seus passos no plano de rotação não são necessariamente iguais, sendo usualmente 
diferentes. Os ângulos de hélice podem ou não ser iguais e as engrenagens podem ter hélice de 
mesmo sentido ou não. A relação de velocidades é 
 
11
22
1
2
2
1
cos
cos
β
β
ω
ω
d
d
z
z == (6.18) 
Se Σ é o ângulo entre dois eixos conectados por engrenagens helicoidais esconsas e β1 e β2 
são os ângulos das hélices das engrenagens, 
 Σ = β1 ± β2 (6.19) 
Os sinais menos e mais aplicam-se, respectivamente, quando as engrenagens têm hélices 
opostas ou não. A Eq. 6.19 é ilustrada na Fig. 6.19 que mostra pares de engrenagens helicoidais 
esconsas antes e depois do acoplamento. 
A ação das engrenagens helicoidais esconsas é bastante diferente da ação das helicoidais 
paralelas. Aquelas têm contato pontual. Além disso, há ação de deslizamento ao longo do dente, o 
que não acontece nas paralelas. Por estes motivos, as engrenagens helicoidais esconsas são 
usadas somente para transmitir pequenas potências. Uma aplicação destas engrenagens é o 
conjunto que aciona o distribuidor de um motor automotivo. 
Usando o princípio da velocidade de deslizamento desenvolvido no Capítulo 1, é possível 
determinar as hélices dos dentes através das faces de duas engrenagens helicoidais esconsas 
desde que seja conhecida a velocidade periférica do ponto primitivo de cada engrenagem. A Fig. 
6.20 mostra esta construção, onde V1 e V2 são conhecidos e pode-se determinar as hélices dos 
dentes e os ângulos de hélice para estas velocidades e o ângulo entre eixos. As duas hélices em 
contato no ponto P são paralelas à linha M1M2. Este contato ocorre na parte inferior da 
engrenagem 1 e na parte superior da engrenagem 2. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
145 
 
Figura 6.19 
 
Figura 6.20 
Exemplo 6.2 
Para ilustração, considere um par de engrenagens helicoidais esconsas conectando dois 
eixos com um ângulo de 60° e com uma relação de velocidades de 15:1. O pinhão tem um 
diametral pitch ortogonal 6, um diâmetro primitivo de 7,75 pol e um ângulo de hélice de 35°. 
Determine o ângulo de hélice e o diâmetro primitivo da engrenagem e o número de dentes em 
ambos, pinhão e engrenagem. 
Para determinar o ângulo da hélice da engrenagem, suponha que ambas têm hélices de 
mesmo sentido. 
Então, 
Σ = β1 + β2 onde Σ = 60° e β1 = 35° 
Logo, 
β2 = 25° 
Pode-se determinar o diâmetro primitivo da engrenagem, como se segue: 
22
2
11
1
coscos ββ d
z
d
zpn == 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
146 
11
22
1
2
2
1
cos
cos
β
β
ω
ω
d
d
z
d == 
( )( )( )
( )9063,0
5,18192,075,7
cos
cos1
2
1
2
1
2 =×= ω
ω
β
βdd 
Os números de dentes do pinhão e da engrenagem são 
( )( )( )°== 35cos75,76cos 111 βdpz n 
381 =z 
( )( )5,138
2
1
12 == ω
ωzz 
572 =z 
6.11 Parafuso Sem-Fim. Se um dente de uma engrenagem helicoidal faz uma revolução 
completa no cilindro primitivo, a engrenagem resultante é conhecida como parafuso sem-fim. A 
engrenagem que se acopla com o parafuso sem-fim é denominada coroa do sem-fim; entretanto, 
a coroa não é uma engrenagem helicoidal. A coroa e parafuso sem-fim são usados para conectar 
eixos não paralelos e que não se interceptam, e que estão, usualmente, em ângulos retos; ver 
Figo 6.21. 
 
Figura 6.21 (a) Par coroa e sem-fim. 
 
Figura 6.21 (b) Par coroa e sem-fim globoidal. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
147 
A redução é geralmente muito grande. A relação entre uma engrenagem cilíndrica de dentes 
retos ou helicoidal e sua fresa, durante o corte, é semelhante à relação entre um parafuso sem-fim 
e coroa. Os parafusos sem-fim, que são verdadeiras engrenagens helicoidais evolventais, podem 
ser usados para acionar engrenagens cilíndricas de dentes retos ou helicoidais, mas obviamente 
resulta contato pontual, o que é insatisfatório do ponto de vista de aplicação. É possível, 
entretanto, assegurar contato em linha acoplando o sem-fim com uma coroa cortada com uma 
fresa que tenha o mesmo diâmetro e a mesma forma de dente que o sem-fim. Se isto for feito, o 
sem-fim e a coroa serão conjugados, mas o sem-fim não terá dentes evolventais. A Fig. 6.22a 
mostra um esboço de um sem-fim onde λ é o ângulo de avanço, β o ângulo de hélice, px o passo 
axial e d o diâmetro primitivo. O passo axial do sem-fim é a distância entre pontos 
correspondentes de fios de rosca adjacentes medida paralelamente ao eixo. 
 
Figura 6.22 
Considerando as características de um sem-fim, o avanço é de importância primordial e pode 
ser definido como a distância axial que um ponto na hélice do sem-fim se move em uma 
revolução. A relação entre o avanço e o passo axial é 
 1zpl x= (6.20) 
onde z1 é o número de entradas ou filetes no cilindro primitivo do sem-fim. Um sem-fim pode ser 
obtido com número de entradas de um a dez. 
Se desenrolarmos uma volta completa de um filete de um sem-fim resulta um triângulo, como 
mostra a Fig. 6.22b. Da figura pode-se ver que 
 
1
1
d
tg πλ = (6.21) 
onde d1 é o diâmetro do sem-fim. 
 O diâmetro de uma coroa pode ser calculado de 
 π
21
2
zpD = (6.22) 
onde z2 é o número de dentes da coroa. A relação das velocidades é 
 
11
22
1
2
2
1
cos
cos
β
β
ω
ω
d
d
z
z == (6.23) 
e 
 
l
d 2
2
1 π
ω
ω = (6.24) 
para eixos em ângulo reto. 
Para um sem-fim e coroa com eixos em ângulo reto acoplarem-se adequadamente, devem 
ser satisfeitasas seguintes condições: 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
148 
1. ângulo de avanço do sem-fim = ângulo de hélice da coroa 
2. passo axial do sem-fim = passo frontal da coroa 
Uma transmissão por sem-fim e coroa pode ou não ser reversível, dependendo da aplicação. 
Quando usada para guincho, é necessário que a unidade seja auto-travante e acionada só pelo 
sem-fim. Entretanto, se a transmissão for usada para engenhos automotivos, é necessário que 
seja reversível e que a coroa seja capaz de acionar o sem-fim. Se o ângulo de avanço do sem-fim 
for maior do que o ângulo de atrito das superfícies em contato, a transmissão será reversível. O 
coeficiente de atrito µ e o ângulo de atrito Φ são relacionados pela equação µ = tg Φ. Um sem-fim 
e coroa são considerados auto-travantes quando o ângulo de avanço do sem-fim for menor do 
que 5°. 
Exemplo 6.3 
Como um exemplo de parafuso sem-fim, consideremos um sem-fim de três entradas 
comandando uma coroa de 60 dentes; o ângulo dos eixos é 90° como mostra a Fig. 6.23. O passo 
frontal da coroa é 1.1/4 pol, e o diâmetro primitivo do sem-fim é 3,80 pol. Determine o ângulo de 
avanço do sem-fim, o ângulo de hélice da coroa e a distância entre eixos. 
 
Figura 6.23 
O ângulo de avanço do sem-fim pode ser determinado por 
1zpl x= e tx pp = 
75,3325,1 =×=l pol 
314,0
80,3
75,3
1
=×== ππλ d
ltg 
Logo 
°= 4,17λ 
O ângulo de hélice da coroa = ângulo de avanço do sem-fim. 
Logo, 
°= 4,172β 
A distância entre eixos é determinada por 
( )( ) 9,236025,122 === ππ
zpd pol 
85,13
2
9,238,3
2
21 =+=+= dda pol 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
149 
Problemas 
6.1 Um par de engrenagens cônicas de dentes retos tem uma relação de velocidade ω1/ω2 e 
as linhas de centro de seus eixos se interceptam segundo um ângulo Σ. Se considerarmos as 
distâncias x e y a partir do ponto de interseção, ao longo dos eixos, prove que a diagonal de um 
paralelogramo com lados x e y será a geratriz comum dos cones primitivos das engrenagens. 
6.2 Uma coroa cônica de dentes retos tipo Gleason, com 24 dentes, diametral pitch 5, é 
acionada por um pinhão de 16 dentes. Calcule o diâmetro e o ângulo primitivos do pinhão, a 
saliência e a profundidade, a largura do denteado e o diâmetro primitivo da engrenagem. Faça um 
corte axial, em verdadeira grandeza, do pinhão e engrenagem acoplados, usando dimensões 
adequadas para os cubos e nervuras como mostra a Fig. 6.7a. 
6.3 Uma coroa cônica de dentes retos tipo Gleason, com 48 dentes, diametral pitch 12, é 
impelida por um pinhão de 24 dentes. (a) calcule o ângulo primitivo do pinhão e o ângulo entre 
eixos. (b) faça um esboço (em escala) dos cones primitivos das duas engrenagens acopladas. 
Mostre o cone complementar de cada engrenagem e assinale-os, bem como os cones primitivos. 
6.4 Um par de engrenagens cônicas com eixos ortogonais, iguais, tipo Gleason, tem 20 
dentes e um diametral pitch 4. Calcule o diâmetro primitivo, a saliência e a profundidade, a largura 
do denteado, o comprimento da geratriz, o ângulo de cabeça, o ângulo de pé e o diâmetro de 
cabeça. Faça um esboço do corte axial, em verdadeira grandeza, das engrenagens acopladas, 
usando proporções razoáveis para o cubo e a nervura como mostra a Fig. 6.7a. Faça o desenho 
com os valores calculados. 
6.5 Um pinhão cônico de dentes retos, tipo Gleason, com 21 dentes, diametral pitch 6, 
impele uma engrenagem de 27 dentes. O ângulo entre eixos é 90°. Calcule o ângulo primitivo, a 
saliência e a profundidade e a largura do denteado para cada engrenagem. Faça um esboço do 
corte axial, em verdadeira grandeza, das engrenagens acopladas usando dimensões adequadas 
para o cubo e a nervura como mostra a Fig. 6.7a. 
6.6 Um pinhão cônico de dentes retos, tipo Gleason, com 14 dentes, diametral pitch 4, 
impele uma engrenagem de 20 dentes. O ângulo entre eixos é 90°. Calcule a saliência e a 
profundidade e espessura do dente para cada engrenagem, e ainda os raios primitivos e de base 
das engrenagens cilíndricas retas equivalentes. Faça um esboço das engrenagens equivalentes, 
em verdadeira grandeza, mostrando dois dentes em contato como na Fig. 6.7b. 
6.7 Um pinhão cônico de dentes retos, tipo Gleason, com 16 dentes, diametral pitch 5, 
aciona uma engrenagem de 24 dentes. O ângulo entre eixos é 45°. Depois de fazer os cálculos 
necessários, esboce um corte axial, em verdadeira grandeza, do pinhão e da engrenagem 
acoplados usando proporções razoáveis para o cubo e as nervuras como mostra a Fig. 6.7a. 
6.8 Um par de engrenagens cônicas de dentes retos, tipo Gleason, acopla-se com ângulo 
entre eixos de 75°. O diametral pitch é 10 e os números de dentes do pinhão e da engrenagem 
são, respectivamente, 30 e 40. (a) calcule os ângulos primitivos, as saliências e as profundidades 
do pinhão e da engrenagem. (b) faça um esboço, em verdadeira grandeza, dos cones primitivos e 
complementares das duas engrenagens em contato; assinale os cones primitivos, os cones 
complementares e os ângulos primitivos de ambas engrenagens. (c) destaque, no esboço, a 
saliência e a profundidade do pinhão, assinalando-os claramente. 
6.9 Prove, com a ajuda de um esboço adequado, que em uma engrenagem cônica de 
dentes retos, tipo Gleason, o ângulo de cabeça do pinhão é igual ao ângulo de pé da engrenagem 
e que δa = δ + θa. 
6.10 Uma engrenagem helicoidal de 14 dentes deve ser cortada por uma fresa de dentes 
normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10. Calcule: (a) o ângulo mínimo de hélice que 
esta engrenagem deve ter a fim de ser cortada, com montagem padronizada, sem 
adelgaçamento; (b) quanto terá que ser afastada a fresa para evitar o adelgaçamento se o ângulo 
de hélice for 20°. 
6.11 Um pinhão helicoidal de 12 dentes deve ser cortado com uma fresa de dentes normais, 
ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8. Se o ângulo de hélice for 20°, calcule quanto a fresa 
deve ser afastada para evitar o adelgaçamento. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
150 
6.12 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, iguais, com 48 dentes, largura do 
denteado de 1 pol e diametral pitch 6, acoplam-se no acionamento de uma máquina de fadiga. 
Calcule o ângulo de hélice de um par de engrenagens helicoidais para substituir as engrenagens 
cilíndricas se a largura do denteado, distância entre centros e relação de velocidades devem 
permanecer as mesmas. Use as seguintes ferramentas: (a) pinhão com diametral pitch 6, (b) fresa 
com diametral pitch 16. 
6.13 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos normalizadas foram cortadas com uma 
fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 10, para terem uma relação de 
velocidades de 3,5:1 e distância entre eixos de 6,75 pol. Deve-se usinar engrenagens helicoidais 
com a mesma ferramenta para substituírem as cilíndricas, mantendo-se a mesma distância entre 
eixos e mesma relação de velocidades. Determine o ângulo de hélice, número de dentes e largura 
do denteado das novas engrenagens, mantendo o ângulo de hélice em um valor mínimo. 
6.14 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos devem ser substituídas por engrenagens 
helicoidais. As de dentes retos foram cortadas por uma fresa de dentes normais, ângulo de 
pressão 20°, diametral pitch 8, têm relação de velocidades de 1,75:1 e a distância entre eixos é de 
5,5 pol. As engrenagens helicoidais devem ser cortadas com a mesma fresa e manter a mesmadistância entre eixos. O ângulo de hélice deve ficar entre 15° e 20° e a relação de velocidades 
entre 1,70 e 1,75. Determine os números de dentes, ângulo da hélice e relação de velocidades. 
6.15 Em uma caixa de engrenagens, duas engrenagens cilíndricas de dentes retos 
padronizadas (diametral pitch 16 e ângulo de pressão 20°, dentes normais) com 36 e 100 dentes 
são acopladas à distância entre eixos padronizada. Decide-se substituí-Ias por engrenagens 
helicoidais com ângulo de hélice de 22° e os mesmos números de dentes. Determine a variação 
necessária na distância entre eixos se as engrenagens são cortadas (a) com uma fresa de dentes 
normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 16, (b) com uma ferramenta pinhão (Fellows) de 
20°, diametral pitch 16. 
6.16 Um par de engrenagens helicoidais para eixos paralelos deve ser cortado com uma 
fresa, de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 8. A relação de velocidades 
angulares deve aproximar-se tanto quanto possível de 2:1. Calcule o passo frontal e o diametral 
pitch no plano de rotação. Determine os números de dentes, diâmetros primitivos e distância entre 
eixos para satisfazerem às condições acima. 
6.17 Um pinhão cilíndrico de dentes retos com 20 dentes, diametral pitch 10, aciona duas 
engrenagens, uma com 36 e outra com 48 dentes. Deseja-se substituir as três engrenagens por 
engrenagens helicoidais e mudar a relação de velocidades entre os eixos das engrenagens de 20 
e de 48 dentes para 2:1. A relação de velocidades e a distância de centros entre os eixos das 
engrenagens de 20 e de 36 dentes devem permanecer as mesmas. Usando uma fresa de dentes 
rebaixados, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 16, e mantendo o ângulo de hélice tão 
pequeno quanto possível, determine o número de dentes, ângulo de hélice e seu sentido, largura 
do denteado e diâmetro de cabeça para cada engrenagem. Calcule a variação na distância de 
centros entre os eixos onde originalmente estão montadas as engrenagens de 20 e 48 dentes. 
6.18 Um pinhão cilíndrico de dentes retos, diametral pitch 12, impele duas engrenagens, uma 
com 36 e a outra com 60 dentes. É necessário substituir as três engrenagens por helicoidais, 
mantendo as mesmas relações de velocidades e distância entre eixos. Usando uma fresa de 
dentes rebaixados, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 16 e mantendo o ângulo de hélice tão 
baixo quanto possível, determine o número de dentes, ângulo de hélice e seu sentido, largura do 
denteado e diâmetro de cabeça para cada engrenagem. 
6.19 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais 
(engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1,25:1 e a distância entre 
eixos, 5,5 pol. A engrenagem 2 deve impelir uma engrenagem helicoidal 3 cujo eixo faz um ângulo 
reto com o da 2. A relação de velocidades angulares entre as engrenagens 2 e 3 deve ser 2:1. 
Usando uma fresa, dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 9, determine o número 
de dentes, ângulo de hélice e diametral pitch de cada engrenagem e a distância entre eixos a23. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
151 
6.20 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais 
(engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1,75:1 e a distância entre eixos 
2,75 pol. A engrenagem 2 deve impelir uma terceira engrenagem helicoidal (engrenagem 3) com 
uma relação de velocidades angulares 2:1. Três fresas estão disponíveis para cortar as 
engrenagens: fresa A (diametral pitch 7, ângulo de pressão 20°, dentes normais), fresa B 
(diametral pitch 9, ângulo de pressão 20°, dentes normais) e fresa C (diametral pitch 12, ângulo de 
pressão 20°, dentes normais). (a) escolha a fresa que resulte no menor ângulo de hélice β. (b) que 
fresa permitirá a menor distância entre eixos a23, entre os eixos 2 e 3, mantendo um ângulo de 
hélice menor do que 35°? 
6.21 A fórmula para a distância entre eixos de duas engrenagens cilíndricas de dentes retos 
ou helicoidais é dada por a = (z1 + z2) 2p, onde a depende dos números de dentes das 
engrenagens z1 e z2 e do diametral pitch p. Mostre que a23 independe de p para três engrenagens 
(dentes retos, paralelas e helicoidais) acopladas, cujas distância entre eixos a12 e relações de 
velocidades angulares ω1/ω2 e ω2/ω3 são conhecidas. 
6.22 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°, dentes normais, 
diametral pitch 18, com 36 e 90 dentes, devem ser substituídas por engrenagens helicoidais. A 
distância entre eixos e a relação de velocidades angulares devem permanecer as mesmas. Se a 
largura das engrenagens não pode exceder 1/2 pol devido às limitações de espaço, determine um 
par de engrenagens helicoidais que mantenha o ângulo de hélice tão pequeno quanto possível. 
Use uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 18 e determine os 
números de dentes, ângulo de hélice, largura de denteado e diâmetros de cabeça. 
6.23 Duas engrenagens cilíndricas de dentes retos, ângulo de pressão 20°, diametral pitch 
18, com 32 e 64 dentes normais, devem ser substituídas por engrenagens helicoidais. A distância 
entre eixos e a relação de velocidades angulares devem permanecer as mesmas. Se a largura 
das engrenagens não pode ultrapassar 7/16 pol devido a limitações de espaço, determine qual 
das seguintes fresas deve ser usada, mantendo o ângulo de hélice tão pequeno quanto possível: 
fresa A (diametral pitch 18, ângulo de pressão 20°, dentes normais) ou fresa B (diametral pitch 20, 
ângulo de pressão 20°, dentes normais). Determine ainda os números de dentes, ângulo de 
hélice, largura do denteado e diâmetros de cabeça. 
6.24 Dois eixos paralelos devem ser conectados por um par de engrenagens helicoidais 
(engrenagens 1 e 2). A relação de velocidades angulares deve ser 1.1/3:1 e a distância entre 
eixos 3,50 pol. Considerando que há disponibilidade de fresas com diametral pitch de 6 a 12 
(inclusive), tabule os números de dentes, ângulo de hélice e largura do denteado para as várias 
combinações (de z1 e z2) que satisfaçam as condições dadas. Qual é o melhor conjunto para este 
acionamento? Por quê? Faça o menor número de dentes 15 para a menor engrenagem quando pn 
= 6. 
6.25 Dois eixos reversos, com ângulo de 90°, devem ser conectados por engrenagens 
helicoidais. A relação das velocidades angulares deve ser 1,5:1 e a distância entre eixos 5,00 pol. 
Supondo que as engrenagens tenham ângulo de hélice iguais, calcule o diametral pitch de uma 
ferramenta para gerar 20 dentes no pinhão se ela for (a) uma fresa e (b) uma ferramenta pinhão 
(Fellows). 
6.26 As engrenagens helicoidais abaixo, cortadas com uma fresa de dentes normais, ângulo 
de pressão 20°, diametral pitch 12, são acopladas sem jogo primitivo. 
Engrenagem 1 - 36 dentes, hélice à direita, ângulo de hélice 30°. 
Engrenagem 2 - 72 dentes, hélice à esquerda, ângulo de hélice 40°. 
Determine o ângulo dos eixos, a relação das velocidades angulares e a distância entre eixos. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
152 
6.27 Dois eixos reversos, com ângulo de 90° são conectados por engrenagens helicoidais 
(engrenagens 1 e 2), cortadas com fresa de dentes normais, ângulo de pressão 20°, diametral 
pitch 12. Ambas têm hélice à direita e a relação de velocidades angulares é 15:1, d2 = 5,196 pol e 
β1= 60°. Uma modificação de projeto requer uma redução do diâmetro de cabeça da engrenagem 
1 de 0,25 pol para propiciar folga no fundo do dente para um novo componente. Supondo que a 
mesma fresa deva ser usada para cortar qualquer novaengrenagem, mostre que o diâmetro de 
cabeça da engrenagem 1 pode ser reduzido sem modificar a relação de velocidades, o ângulo 
entre eixos e os números de dentes das engrenagens z1 e z2. O diâmetro de cabeça da 
engrenagem 2 e a distância entre eixos podem ser alterados se necessário. Na análise, calcule e 
compare os seguintes dados para as engrenagens originais e novas: a12, d1, d2, z1, z2, β1, β2. 
6.28 Uma engrenagem helicoidal com diametral pitch normal 6 deve impelir uma engrenagem 
cilíndrica de dentes retos. A relação das velocidades angulares deve ser 2:1 e o ângulo entre 
eixos 45°. Determine os diâmetros primitivos para as duas engrenagens e o ângulo de hélice para 
a engrenagem helicoidal. Faça um esboço, em verdadeira grandeza, das duas engrenagens 
(cilindros primitivos) em contato, semelhante ao da Fig. 6.20, com o pinhão acima da engrenagem: 
a largura das engrenagens deve ser 1 pol. Mostre as geratrizes dos dentes em contato e também 
uma geratriz no cone de cabeça do pinhão. Assinale e dimensione os ângulos de hélice e entre 
eixos. 
6.29 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação das 
velocidades angulares deve ser 1,5:1 e a distância entre centros, de 8,50 pol. Se está disponível 
uma engrenagem de um trabalho anterior, com 30 dentes, ângulo de hélice 30° e diametral pitch 
normal 5, calcule o ângulo entre eixos que deve ser usado. Ambas as engrenagens podem ter o 
mesmo sentido de hélice e a de 30 dentes pode ser o pinhão. 
6.30 Dois eixos reversos são conectados por engrenagens helicoidais. A relação de 
velocidades é 1,8:1 e o ângulo entre eixos 45°. Se d1 = 2,31 pol e d2 = 3,73 pol, calcule os ângulos 
de hélice sabendo que ambas as engrenagens têm o mesmo sentido de hélice. 
6.31 Dois eixos reversos, com ângulo de 90°, devem ser conectados por engrenagens 
helicoidais. A relação de velocidades angulares deve ser 1,5:1 e a distância entre centros de 5,00 
pol. Selecione um par de engrenagens cortados por ferramenta pinhão (Fellows). 
6.32 Dois eixos reversos devem ser conectados por engrenagens helicoidais. A relação de 
velocidades é 3:1, o ângulo entre eixos 60° e a distância entre centros, 10,00 pol. Se o pinhão tem 
35 dentes e um diametral pitch normal 8, calcule os ângulos de hélice e diâmetros primitivos 
sabendo que as engrenagens têm o mesmo sentido de hélice. 
6.33 Um pinhão helicoidal, com diâmetro primitivo de 2 pol, impele uma engrenagem 
helicoidal de 3,25 pol como mostra a Fig. 6.20, Σ = 30°. A velocidade do ponto primitivo da 
engrenagem 1 deve ser representada por um vetor com 2 pol de comprimento e a da engrenagem 
2, por um com 3 pol. Usando uma largura do denteado de 1 pol para as engrenagens, determine 
graficamente a geratriz do dente no cone de cabeça de cada engrenagem, o ângulo de hélice, o 
sentido da hélice e a velocidade de deslizamento. 
6.34 Uma fresa de dentes normais, ângulo de pressão 14,5°, diametral pitch 8, é usada para 
cortar uma engrenagem helicoidal. A fresa tem hélice à direita com um ângulo de avanço de 2°40', 
um comprimento de 3,00 pol e um diâmetro externo de 3,00 pol. Faça um esboço, em verdadeira 
grandeza, da fresa cortando uma engrenagem helicoidal, hélice à direita, 47 dentes e ângulo de 
hélice de 20°. O disco de engrenagem tem 1,5 pol de largura. Mostre o cilindro primitivo da fresa 
sobre o disco da engrenagem, com a hélice da ferramenta em posição correta com os dentes da 
engrenagem. Mostre três dentes da engrenagem e 1,5 voltas do filete da fresa: posicione estes 
elementos através do passo frontal normal. Assinale os eixos da fresa e do disco da engrenagem, 
o ângulo de avanço da fresa, o ângulo de hélice da engrenagem e a direção de rotação da 
ferramenta e do disco da engrenagem. 
6.35 Repita o problema 6.34 para uma engrenagem helicoidal com hélice à esquerda. 
6.36 Um parafuso sem-fim de duas entradas, com avanço de 2,00 pol, impele uma coroa com 
relação de velocidades de 20:1 e ângulo entre eixos de 90°. Se a distância entre eixos é 9,00 pol, 
determine os diâmetros primitivos do sem-fim e da coroa. 
MECANISMOS CAPÍTULO 6 
153 
6.37 Um parafuso sem-fim e coroa, com eixos a 90° e distância entre centros de 7,00 pol, 
devem ter uma relação de velocidades de 18:1. Se o passo axial do sem-fim deve ser 1/2 pol, 
determine o número máximo de dentes no sem-fim e na coroa e seus diâmetros primitivos 
correspondentes. 
6.38 Um parafuso sem-fim e coroa conectam eixos a 90°. Deduza equações para os 
diâmetros do sem-fim e coroa em termos da distância de centros a, relação de velocidades ω1/ω2 
e ângulo de avanço λ. 
6.39 Um parafuso sem-fim e coroa com eixos a 90° e distância entre centros de 6,00 pol 
devem ter uma relação de velocidades de 20:1. Se o passo axial do sem-fim deve ser 1/2 pol, 
determine o menor diâmetro para o sem-fim que pode ser usado na transmissão. 
6.40 Um parafuso sem-fim com quatro entradas aciona uma coroa de 60 dentes com ângulo 
entre eixos de 90°. Se a distância entre centros é 8,00 pol e o ângulo de avanço do sem-fim 20°, 
calcule o passo axial do sem-fim e os diâmetros primitivos das duas engrenagens. 
6.41 Um parafuso sem-fim com quatro entradas comanda uma coroa de 48 dentes, ângulo de 
hélice 20° e diâmetro primitivo 7,64 poI. Se os eixos estão em ângulo reto, calcule o ângulo de 
avanço e o diâmetro primitivo do sem-fim. 
6.42 Um parafuso sem-fim de 6 entradas aciona uma coroa com uma relação de velocidades 
angulares de 8:1 e ângulo entre eixos de 80°. O passo axial do sem-fim é 1/2 pol e o ângulo de 
avanço 20°. Calcule os diâmetros primitivos do sem-fim e da coroa e o passo frontal da coroa. 
6.43 Um parafuso sem-fim de cinco entradas aciona uma coroa de 33 dentes com um ângulo 
entre eixos de 90°. A distância entre eixos é 2,75 pol e o ângulo de avanço 20°. Calcule os 
diâmetros primitivos, o avanço e o passo axial do sem-fim. 
6.44 Um parafuso sem-fim e uma coroa com eixos a 90° e distância entre centros de 3,10 pol 
devem ter uma relação de velocidades de 7:1. Usando um ângulo de avanço de 20°, determine os 
diâmetros primitivos e os números de dentes para as engrenagens. Adote uma fração simples 
para o passo axial. 
6.45 Um parafuso sem-fim e uma coroa com eixos a 90° e distância entre centros de 3,00 pol 
devem ter uma relação de velocidades de 30:1. Determine um par de engrenagens e especifique 
os números de dentes, diâmetros primitivos e ângulo de avanço. Adote uma fração simples para o 
passo axial.