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Unidade I 
 
 
 
MATEMÁTICA INTEGRADA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. MSc. Elvis Pontes 
Agenda 
 Apresentação 
 Introdução 
 Amostragem 
 Correlação linear 
 Regressão linear 
 Estimativa de parâmetros 
Apresentação 
 Doutorando – USP / Escola Politécnica. 
 CNPq. 
 DoD (USA). 
 MSc – USP / IPT – Instituto de Pesquisas 
Tecnológicas de São Paulo (USP). 
 MBA – USP / IPEN – Instituto de 
Pesquisas Energéticas e Nucleares. 
 BSc – FAC-FITO – Fac. Ciências da FITO. 
 Técnico – Processamento de Dados – 
ITB. 
 
 
Apresentação 
 Publicações internacionais: 
 Universidade de Michigan (EUA); 
 Universidade Lakehead (Canadá); 
 East London University (UK); 
 Parque Tecnológico Itaipu (PTI) – Foz 
do Iguaçu, Brasil; 
 Risk Management – Book 2 (Áustria); 
 Earthquake (Áustria). 
 Editor-chefe do livro E-learning 
(Áustria). 
 Universidade de Melbourne (Austrália). 
 Área de pesquisa: 
Cyber-security. 
Introdução 
 A estatística apresenta um referencial 
teórico para a coleta, a organização e o 
tratamento de informações no âmbito da 
Ciência, dos processos industriais e 
comerciais, bem como de situações 
cotidianas. 
Amostragem 
 A escolha do método a ser utilizado na 
amostragem deve garantir uma amostra 
representativa da população em relação 
ao interesse que se tem sobre ela, tanto 
em gênero como em número. 
 A utilização de amostras na realização de 
pesquisas é justificada pelo fato de que 
as populações (universo) nem sempre 
são totalmente acessíveis. 
 Tempo e custo são fatores decisivos na 
opção pela amostragem. 
Tipos de amostragem 
Amostragem probabilística: 
 Neste caso, cada elemento da população 
tem probabilidade conhecida e diferente 
de zero de pertencer à amostra. 
Amostragem não probabilística: 
 Neste método, é feita uma escolha 
deliberada dos elementos que irão 
compô-la. 
 Os resultados dessa amostra não podem 
ser generalizados para a população; a 
confiabilidade diminui. 
Técnicas de amostragem (I) 
Amostragem aleatória simples: 
 Todos os elementos da população têm a 
mesma probabilidade de pertencer à 
amostra. 
 A determinação dos elementos pode ser 
feita por tabela de números aleatórios e 
sorteios. 
 Seja N o número de elementos da 
população Ω e n o no de elementos de 
uma amostra A = {a1, a2,..., an}. Cada 
elemento da população tem 
probabilidade n/N de pertencer à 
amostra. 
 Assim, p(an) = n/N. 
 Por definição, 0 < p(A) < 1. 
Técnicas de amostragem (II) 
Amostragem aleatória estratificada: 
 Utilizada quando a população em 
questão é heterogênea. Ela se divide em 
subpopulações homogêneas, chamadas 
de estratos. Dessa forma, a variável em 
estudo pode apresentar comportamento 
homogêneo dentro de cada estrato. 
 Exemplo: selecionar uma amostra com 
números de homens e mulheres 
proporcionais à composição de homens 
e mulheres existentes na população, por 
classe social. 
Técnicas de amostragem (III) 
Amostragem por conglomerados: 
 Existem alguns casos em que pode ser 
muito fácil a identificação dos elementos 
em alguns subgrupos (conglomerados) 
dessa população. Pode ser realizada 
nessa situação uma amostra aleatória 
simples desses conglomerados. Em 
cada conglomerado sorteado, faz-se a 
contagem completa dos elementos. 
 Exemplos comuns de conglomerados: 
turmas de escolas, quarteirões de 
bairros etc. 
 O IBGE utiliza muito esse tipo de 
amostragem. 
Técnicas de amostragem (IV) 
Amostragem sistemática: 
 Utilizada quando os elementos da 
população se apresentam ordenados de 
acordo com algum critério. Um exemplo 
seria a retirada de elementos de uma 
amostra, periodicamente, a partir de 
listas. 
Amostragem em múltiplas etapas: 
 Técnica utilizada para produzir uma 
amostra representativa de uma 
população muito espalhada. Similar à 
técnica por conglomerados, mas nesse 
caso, o processo só é finalizado quando 
há seleção de unidades individuais de 
amostragem. 
Dados de uma amostra 
 As formas que os dados de uma amostra 
são explorados podem mudar 
completamente um estudo. 
 Em um estudo, o cuidado na escolha da 
amostra é importante para o emprego 
adequado dos métodos estatísticos. 
 Existem várias técnicas de amostragem 
que podem ser utilizadas para facilitar o 
trabalho de pesquisa, evitando, dessa 
forma, um custo excessivo e 
desnecessário na caracterização de 
todos os elementos de uma população. 
Interatividade 
A Secretaria de Educação de um município 
deseja investigar os casos de fraude e burla 
da fila de espera para matrícula de alunos 
na rede municipal de ensino. Assim, 
analisam-se (1) as listas de espera com 
ordenação por data de inserção dos 
candidatos; (2) listas de alunos 
matriculados, ordenados por data de 
matrícula. A técnica de amostragem 
adotada é: 
a) Amostragem aleatória simples. 
b) Amostragem aleatória estratificada. 
c) Amostragem sistemática. 
d) Amostragem em múltiplas etapas. 
e) Amostragem não probabilística. 
Correlação linear 
 O significado do termo “correlação” é a 
existência da relação em dois sentidos 
(co + relação). O termo é usado em 
estatística para demonstrar a força da 
relação entre dois conjuntos de dados. 
 Verificar se a possível existência e o 
grau de relação entre as variáveis são 
objetos de estudo da correlação. 
 Exemplo: a estatura de uma pessoa e o 
seu peso. Para uma estatura maior, 
corresponde, em geral, a um peso maior. 
Dizemos, por isso, que entre as variáveis 
peso e estatura existe correlação. 
Coeficiente de correlação de 
Pearson 
 O coeficiente de correlação linear, ou 
coeficiente de Pearson, indica se existe 
correlação entre as variáveis analisadas. 
 Existirá correlação linear se esse 
coeficiente estiver entre -1 e + 1, o que 
em porcentagem representa um valor 
entre -100% e + 100%. 
Coeficiente de correlação de 
Pearson: cálculo 
Esse coeficiente é calculado assim: 
 r = coeficiente de correlação 
x = variável independente 
y = variável dependente 
n = número de possíveis correlações 
 entre as variáveis 
r = – – 
Tipo de correlação, segundo o 
coeficiente de correlação r 
Correlação positiva 
 Dizemos que existe uma correlação 
positiva entre duas variáveis quando o 
aumento da variável independente 
resulta no aumento da variável 
dependente. 
Exemplo: 
 Se o aumento de horas extras (variável 
independente) corresponder ao 
crescimento da produtividade de uma 
empresa (variável dependente), então 
ocorre correlação positiva. 
Diagrama de dispersão 
 Os diagramas de dispersão mostram o 
comportamento da relação entre 
variáveis em decorrência do coeficiente 
de correlação linear. 
 
 
Correlação negativa 
 Dizemos que existe uma correlação 
negativa entre duas variáveis quando o 
aumento da variável independente 
resulta no decréscimo da variável 
dependente. 
Exemplo: 
 Se o aumento das horas de atividades 
físicas (variável independente) 
corresponder à diminuição do peso dos 
pacientes (variável dependente), então 
ocorre correlação negativa. 
 
Diagrama de dispersão 
Exemplo de aplicação 
 Deseja-se estudar as despesas com 
investimentos em treinamento de 
pessoal e a produtividade (toneladas) 
durante certo período de uma empresa. 
Pede-se: 
a) Verificar se existe correlação entre as 
variáveis. 
b) Em caso afirmativo, que tipo de 
correlação: positiva ou negativa? 
Fraca, forte ou moderada? Justifique. 
Tabela: investimento (R$) x 
produtividade (toneladas) 
Cálculo das somatórias 
Primeiro passo, calcular as somatórias: 
Σ x, Σ y, Σ x², Σ y² e Σ x.yCálculo do coeficiente de 
correlação r 
r = – – 
r = – – 
r = = = = 0,95 
r = – – 
Conclusão 
a) Existe correlação entre as variáveis. 
b) A correlação linear é forte e positiva, 
uma vez que o coeficiente r se encontra 
dentro do intervalo 0,8 ≤ r < 1, conforme 
classificação. 
Pode-se concluir que: 
 o aumento do investimento em 
treinamento de pessoal aumenta a 
produtividade. 
Interatividade 
Um empresário analisou 6 registros dos 
gastos com manutenção e o número de 
lotes produzidos de determinado 
componente de uma fábrica. Depois de 
tabulados os dados, obteve-se Σx = 33, 
Σy = 152, Σxy = 714, Σx² = 199, Σy² = 5386. O 
coeficiente de correlação entre as variáveis 
é: 
a) r = 0,75 
b) r = 0,70 
c) r = -0,74 
d) r = -0,75 
e) r = 0,80 
Regressão linear 
 O uso da análise de regressão tem como 
prioridade fazer previsões, estimativas 
ou projeções. 
 O objetivo é desenvolver um modelo 
estatístico que será usado para estimar 
valores de uma variável dependente y em 
função de uma variável independente x. 
Conceito de regressão linear 
 A regressão linear é um método para se 
estimar valores da variável y, dados 
outros valores das variáveis x, ou seja, 
trata-se de uma técnica estatística em 
que se deseja estimar um valor 
condicional esperado. 
 O modelo de regressão linear é chamado 
linear porque levamos em consideração 
que a relação entre as variáveis é uma 
função linear de alguns parâmetros. 
Diagrama de dispersão 
 Um instituto de pesquisa administra o 
desenvolvimento de seus pesquisadores 
de acordo com o número de entrevistas 
realizadas por eles e com os respectivos 
tempos de experiência. 
 Sendo assim, esse instituto de pesquisa 
deseja desenvolver um modelo para 
prever o número de entrevistas em um 
certo dia. Acredita-se que a experiência 
do entrevistador (medida em semanas 
trabalhadas) é determinante em relação 
ao número de entrevistas realizadas. 
Uma amostra de 10 entrevistadores 
revelou os seguintes dados: 
Tabela e diagrama de dispersão 
 
 
 
 Sendo y = número de entrevistas 
realizadas e x = semanas de experiência, 
inicialmente construímos o diagrama de 
dispersão. 
 
 
 
Diagrama de dispersão 
 
 
 
 
 
 
 A análise do gráfico indica uma relação 
entre as variáveis. Quando o número de 
semanas trabalhadas aumenta 
(aumentando a experiência do 
entrevistador), o número de entrevistas 
realizadas também aumenta. 
Determinação da equação de 
regressão linear simples 
 
 
 y = a + bx: 
 
 
 Sendo: 
Em que: 
y = valor previsto para um valor dado de x 
b = inclinação da reta 
x = valor dado 
a = - b 
 = 
 = 
b = – 
n= número de possíveis 
correlações entre x e y 
Aplicação prática 
 Em um exemplo já estudado, calculamos 
o coeficiente de correlação entre as 
despesas com investimentos em 
treinamento de pessoal e a produtividade 
(toneladas) investigada durante certo 
período de uma empresa. Obter a 
equação da reta para o investimento em 
treinamento de pessoal e a produtividade 
da empresa. 
Vamos usar as somatórias calculadas: 
 n = 10; Σx = 80; 
 Σx2 = 756; Σy2 = 7097; 
 Σy = 255; Σx.y = 2289. 
Solução da aplicação prática 
 Equação da reta de regressão: y = a + bx 
 Cálculo da inclinação da reta: b 
 
 b = – = – 
b = – = 
b = b = 2,15 
Cálculo das médias x e y e a: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a e b na equação da reta: 
 y = a + bx 
Logo: 
 y = 8,3 + 2,15x 
 
 = = 
 = = 
 = 8 = 25,5 
a = - b 
a = 25,5 – 2,15.8 
a = 25,5 – 17,2 
a = 8,3 
Estimativa de parâmetros 
 O método de “estimação de parâmetros” 
é utilizado para se obter estimadores em 
casos específicos, por exemplo, quando 
fazemos alguma hipótese sobre algum 
parâmetro relativo à distribuição da 
população. Esse processo utiliza dados 
da amostra para fazer a estimativa de 
valores de parâmetros populacionais. 
 Estimativa e o valor numérico assumido 
pelo estimador, ou seja, valor 
aproximado do parâmetro, calculado 
com base na amostra. 
Parâmetros (população) e 
estatísticas (amostra) 
Entre os estimadores mais comuns estão: 
 Amostras 
 Média amostral: 
 Desvio padrão amostral: s 
 População 
 Média populacional: μ 
 Desvio padrão populacional: σ 
 
Teorema do limite central 
 Para entender o Teorema do Limite 
Central, é preciso ter claros os conceitos 
de distribuição amostral e de 
distribuição amostral de médias das 
amostras. 
Assim: 
 Distribuição amostral pode ser definida 
como a distribuição de probabilidade de 
uma estatística qualquer da amostra, 
formada a partir de repetidas amostras 
de tamanho n coletadas de uma 
população. 
 Distribuição amostral de médias 
das amostras é quando a estatística da 
amostra é sua média. 
Distribuição amostral 
 Considere todas as amostras possíveis 
de tamanho n que podem ser retiradas 
de uma população de tamanho N (com 
ou sem reposição). 
 Para cada amostra, é possível calcular 
uma grandeza estatística, como a média, 
mediana, variância, desvio padrão etc.; 
que irá sofrer uma variação de uma 
amostra para outra. 
 Assim, obtém-se uma distribuição da 
grandeza calculada de cada amostra 
possível de ser extraída, denominada 
distribuição amostral. 
Propriedades das distribuições 
amostrais de médias das amostras 
 A média das médias das amostras (μx) 
é considerada igual à média 
populacional μ. 
 O desvio padrão das médias das 
amostras (σx) é igual à razão do desvio 
padrão populacional σ pela raiz 
quadrada de N. 
 
 
 
 O desvio padrão da distribuição amostral 
de médias das amostras é chamado de 
erro padrão da média. 
 = 
Interatividade 
Um empresário analisou 6 registros de 
gastos com manutenção e o número de 
lotes produzidos de determinado 
componente de uma fábrica. Depois de 
tabulados os dados, obteve-se Σx = 33, 
Σy = 152, Σxy = 714, Σx² = 199, Σy² = 5386. A 
equação da reta de regressão linear é: 
a) y = 63,67x – 6,97 
b) y = -38,67x – 6,97 
c) y = -63,67x – 6,97 
d) y = -6,97 x – 38,67 
e) y = -6,97x + 63,68 
Intervalo de confiança para a média 
populacional (n≥30) 
 A distribuição das médias amostrais se 
aproxima de uma distribuição normal. 
 α = nível de significância populacional: 
(mais usados são 1% e 5%). 
Diagrama: região de aceitação e 
região crítica 
 - Zc e + Zc são valores críticos obtidos a 
partir da tabela de distribuição normal. 
 
 
 
 1 - α = nível de confiança do intervalo. 
Zc = 
Intervalo de confiança para a média 
populacional (n≥30) 
Para amostras grandes, temos: 
 P( -ZC < Z < +ZC ) = (1 - α) 
Se o desvio padrão populacional for 
conhecido: 
 
 
Amostragem de população infinita ou 
amostragem de população finita com 
reposição: 
P ( - z . < μ < + z . ) = (1 – α) 
P ( – zc . σ < μ < + zc . σ = (1 – α) 
Intervalo de confiança para a média 
populacional (n≥30) 
Se o desvio padrão populacional for 
desconhecido e n ≥ 30: 
 Normalmente, o desvio padrão da 
população σ não é conhecido e é 
necessário, então, em substituição a σ, 
usar a estimativa do desvio padrão S 
obtida da amostra, com a condição de 
que n ≥ 30. 
Intervalo de confiança para média 
populacional (n<30) 
 Caso n < 30, a aproximação pela curva 
normal não será suficiente, devendo ser 
feita uma correção usando-se a variável t 
de Student. 
Cálculo de tc: distribuição t-Student 
 Temos a variável com distribuição t de 
Student (tc), com Ø grau de liberdade. 
 
 
 
 
O grau de liberdade é definido como: 
g.l = n – 1. 
 
tc = 
P ( - tc . ≤ μ ≤ + tc . )= (1 – α) 
Exemplo 
Uma amostra de 10 medidas do diâmetro de 
uma esfera apresenta média de 4,38 e 
desvio padrão de 0,06. Determine os limites 
de confiança de 99% para o diâmetro 
efetivo (população infinita). 
Solução: 
 x = 4,38 
 n = 10 (n < 30) (Distribuição t-Student) 
 S = 0,06 
 g.l. = n - 1 = 10 -1 = 9 
 1 - α = 0,99, então α = 0,01 
 
Consulta tabela (Distr. T-Student) 
Consultando a tabela de distribuição t 
Student com α = 0,01 e g.l. = 9: 
 
 
 
 
 
 
 
 Valor tabelado encontrado é: tc = 3,250 
Solução (continuação) 
Cálculo do intervalo de confiança: 
 
 
 
 
Resposta: 
 Pelo resultado encontrado, com 99% de 
confiança, podemos admitir que a 
verdadeira média populacional (μ) esteja 
contida no intervalo 4,32 ≤ μ ≤ 4,44. 
 
P ( - tc . < μ < + tc . ) = (1 – α) 
P (4,38 – 3,25 . < μ < 4,38 + 3,25. ) = (1 - 0,01) 
P (4,32 < μ < 4,44) = 0,99 
Intervalo de confiança para a 
variância e o desvio padrão 
A construção do intervalo de confiança 
para a variância é feita utilizando-se a 
distribuição de X² (lê-se “qui-quadrado”), 
sendo definido por: 
 
 
 
O valor de X² é tabelado sendo: 
 
 
 
P = (1 – α) 
 com ; ( n- 1) graus de liberdade (g.l.) e 
 com 1- ; ( n- 1) g.l. 
Exemplo de aplicação 
 A amostra a seguir refere-se às vendas 
em kg de uma amostra de produtos 
hortigranjeiros de certo estabelecimento. 
Construa um intervalo de confiança para 
o desvio padrão populacional das 
vendas, com nível de confiança de 90%. 
 Vendas - xi: 2, 2, 4, 4, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9 
Solução: 
 Média aritmética das vendas. 
 = = = 
 = 6,0 kg 
Solução (continuação) 
 Determinação do desvio padrão amostral 
das vendas. 
 
 
 
 
s² = 6,8 
 
 = 
s² = = 
Cálculo do intervalo de confiança 
 
 
 
P = (1 – α) 
 com = = 5% = 0,05 e 
g.l.: ( n- 1) = (11 – 1) = 10 
 = 18,307 
 com 1- = 1 - = 95% = 0,95 e 
g.l. ( n- 1) = (11-1) = 10 
 = 3,940 
Cálculo do intervalo de confiança 
P ( ) < σ² < ) = (1- 0,10) 
P ( < σ² < ) = 0,90 
P ( < σ² < ) = 0,90 
 
P = (1 – α) 
Solução (continuação) 
 
 
 
 
 
Resposta 
 O desvio padrão populacional está 
situado no intervalo 1,927 e 4,154, com 
uma confiança de 90%. 
Intervalo de confiança para a variância: 
P ( < σ² < ) = 0,90 
Intervalo de confiança para o desvio padrão: 
P ( < σ < ) = 0,90 
Conclusão 
 Um Intervalo de Confiança (IC) é um 
intervalo estimado a respeito de um 
parâmetro estatístico. 
 Em vez de fazermos a estimativa do 
parâmetro por apenas um valor, é dado 
um intervalo de estimativas prováveis. 
 O quanto serão prováveis essas 
estimativas, ou seja, o quanto podemos 
confiar nelas, é determinado pelo 
coeficiente de confiança (α). 
Interatividade 
Sabe que a vida útil de uma peça de 
equipamento tem σ = 5h. Uma amostra de 
100 unidades dessas peças forneceu 
x = 500h. O intervalo de confiança com nível 
de 95% para média μ é: 
a) 499,42 < μ < 500,98 
b) 498,32 < μ < 499,98 
c) 499,12 < μ < 500,78 
d) 499,02 < μ < 500,98 
e) 501,02 < μ < 501,98 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Agenda
	Apresentação
	Apresentação
	Introdução
	Amostragem
	Tipos de amostragem
	Técnicas de amostragem (I)
	Técnicas de amostragem (II)
	Técnicas de amostragem (III)
	Técnicas de amostragem (IV)
	Dados de uma amostra
	Interatividade 
	Resposta
	Correlação linear
	Coeficiente de correlação de Pearson
	Coeficiente de correlação de Pearson: cálculo
	Tipo de correlação, segundo o coeficiente de correlação r
	Correlação positiva 
	Diagrama de dispersão
	Correlação negativa
	Diagrama de dispersão
	Exemplo de aplicação
	Tabela: investimento (R$) x produtividade (toneladas)
	Cálculo das somatórias
	Cálculo do coeficiente de correlação r
	Conclusão 
	Interatividade 
	Resposta
	Regressão linear
	Conceito de regressão linear
	Diagrama de dispersão
	Tabela e diagrama de dispersão
	Diagrama de dispersão
	Determinação da equação de regressão linear simples
	Aplicação prática
	Solução da aplicação prática
	Slide Number 38
	Estimativa de parâmetros
	Parâmetros (população) e estatísticas (amostra)
	Teorema do limite central
	Distribuição amostral
	Propriedades das distribuições amostrais de médias das amostras
	Interatividade 
	Resposta
	Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
	Diagrama: região de aceitação e região crítica
	Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
	Intervalo de confiança para a média populacional (n≥30)
	Intervalo de confiança para média populacional (n<30)
	Cálculo de tc: distribuição t-Student
	Exemplo
	Consulta tabela (Distr. T-Student)
	Solução (continuação)
	Intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão
	Exemplo de aplicação
	Solução (continuação)
	Cálculo do intervalo de confiança
	Cálculo do intervalo de confiança
	Solução (continuação)
	Conclusão
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 64