Apostila de Estatística 1 -Prof. Edson Diniz

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 AULAS DE ESTATÍSTICA: 
 
 Edson Diniz Ferreira Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
Sobre a Estatística................................................................................................................5 
1. Introdução à Estatística Descritiva....................................................................................6 
1.1 Alguns Conceitos Básicos...............................................................................................6 
1.2 Variáveis .........................................................................................................................7 
1.3 Indicadores......................................................................................................................8 
1.3.1 Dados Absolutos ..........................................................................................................9 
1.3.2 Dados Relativos............................................................................................................9 
1.3.2.1 Coeficientes................................................................................................................9 
1.3.2.2 Taxas..........................................................................................................................9 
1.3.2.3 Índices.......................................................................................................................10 
1.4 Apresentação Tabular de Dados....................................................................................11 
1.4.1 Elementos Essenciais..................................................................................................11 
1.4.2 Elementos Complementares........................................................................................11 
 
1.4.3 Sinais Convencionais...................................................................................................12 
1.5 Séries Estatísticas e Gráficos.........................................................................................13 
1.5.1 Série Temporal ou Cronológica...................................................................................13 
1.5.2 Série Geográfica ou de Localização............................................................................14 
1.5.3 Série Especificativa ou Categórica..............................................................................15 
1.5.4 Gráfico em Setores......................................................................................................16 
 
1.5.5 Séries Estatísticas Conjugadas...................................................................................17 
1.5.6 Atividade......................................................................................................................20 
1.6 Medidas de Tendência Central.......................................................................................22 
1.6.1 Introdução....................................................................................................................22 
1.6.2 Média Aritmética..........................................................................................................22 
1.6.2.1 Média Aritmética de Valores Isolados Simples.........................................................22 
1.6.2.2 Média Aritmética de Valores Isolados Ponderados ou com Frequência...................22 
1.6.2.3 Média Aritmética de Valores Agrupados em Classe.................................................24 
1.6.2.4 Propriedade da Média Aritmética..............................................................................25 
1.6.3 Mediana...................................................................................................................... 26 
1.6.3.1 Mediana de Valores Isolados................................................................................... 27 
3 
 
1.6.3.2 Mediana de Valores Agrupados em Classe.............................................................28 
1.6.4 Moda ..........................................................................................................................29 
1.6.4.1 Moda de Valores Isolados........................................................................................29 
1.6.4.2 Moda de Valores Agrupados em Classe..................................................................30 
1.6.5 Atividade......................................................................................................................30 
1.7 Medidas de Dispersão ou Variabilidade ........................................................................33 
1.7.1 Introdução ...................................................................................................................33 
1.7.2 Variância......................................................................................................................33 
1.7.2.1 Variância de Valores Isolados Simples.....................................................................34 
1.7.2.2 Variância de Valores Isolados com Frequência ou Ponderados..............................35 
1.7.2.3 Variância de Valores Agrupados em Classe............................................................36 
1.7.3 Desvio Padrão.............................................................................................................36 
1.7.4 Coeficiente de Variação de Pearson...........................................................................37 
1.7.5 Atividade......................................................................................................................39 
2. Introdução à Probabilidade..............................................................................................41 
2.1 Modelos Matemáticos.....................................................................................................41 
2.1.1 Modelos Matemáticos Determinísticos .......................................................................41 
2.1.2 Modelos Matemáticos Não Determinísticos (ou Probabilísticos) ................................41 
2.1.3 Atividade......................................................................................................................44 
2.2 Distribuições de Probabilidade ......................................................................................45 
2.2.1 Introdução....................................................................................................................45 
2.2.2 A Distribuição Binomial de Probabilidade....................................................................45 
2.2.2.1 Introdução.................................................................................................................45 
2.2.2.2 Características da Distribuição Binomial...................................................................45 
 
2.2.2.3 Cálculo da Probabilidade de Sucessos.....................................................................46 
2.2.2.4 Cálculo da Esperança e Variância ...........................................................................46 
2.2.2.5 Atividade..... ..............................................................................................................47 
2.2.3 Distribuição de Poisson................................................................................................50 
2.2.3.1 Introdução.................................................................................................................50 
2.2.3.2 Calculo da Probabilidade do Número de Ocorrências..............................................512.2.3.3 Cálculo da Esperança e Variância............................................................................51 
4 
 
2.2.3.4 Atividade...................................................................................................................52 
2.2.4 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson..........................54 
2.2.5 Distribuição Normal de Probabilidade..........................................................................55 
2.2.5.1 Introdução.................................................................................................................55 
2.2.5.2 A Curva Normal de Probabilidade.............................................................................55 
2.2.5.3 A Curva Normal Padrão – a variável Z......................................................................58 
 
2.2.5.4 Atividade...................................................................................................................67 
3. Introdução à Inferência Estatística..................................................................................74 
3.1 Introdução.......................................................................................................................74 
3.2 Noções sobre Amostragem.............................................................................................74 
3.3 Distribuições Amostrais...................................................................................................74 
3.3.1 Distribuição de Médias Amostrais................................................................................75 
3.3.1.1 Teorema do Limite Central........................................................................................76 
3.4 Estimação da Média de uma População.........................................................................77 
3.4.1 Introdução....................................................................................................................77 
3.4.2 Intervalo de Confiança para a Média Populacional – ........................................77 
3.4.2.1 Intervalo de confiança para média populacional , quando o desvio padrão 
 populacional, é conhecido...................................................................................77 
3.4.2.2 Intervalo de confiança para média populacional , quando o desvio padrão 
 populacional, é desconhecido: A distribuição t (Student)....................................81 
3.4.3 Atividade......................................................................................................................87 
4. Correlação e Regressão Linear .......................................................................................90 
4.1 Introdução.......................................................................................................................90 
4.2 Regressão Linear Simples..............................................................................................90 
4.3 O Gráfico de Dispersão...................................................................................................91 
4.4 Estimação dos Parâmetros da Equação de Regressão.................................................92 
4.5 O Coeficiente de Correlação Linear de Pearson – r.......................................................95 
4.6 O Coeficiente de Determinação ou Explicação – R².......................................................97 
4.7 Atividade.........................................................................................................................98 
Bibliografia...........................................................................................................................99 
 
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Sobre a Estatística 
 
Estatística: Conceito e Divisão 
 
A necessidade de tratar e interpretar dados culminou com a origem da 
Estatística. 
 
Estatística 
Pode-se dizer sinteticamente que Estatística é a ciência dos dados. Ela 
envolve coleta, classificação, síntese, organização, análise, inferência e interpretação de 
dados. 
 
Estatística Descritiva 
 
A coleta, a organização, a sumarização e a descrição dos dados são tratadas 
pela estatística descritiva. 
Assim: a apresentação de dados através de uma tabela, a representação de 
dados através de um gráfico, o resumo de um conjunto de dados através de uma medida, 
são realizações da estatística descritiva. 
 
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística 
 
A parte da estatística que tem como finalidade tirar conclusões (Inferir) sobre 
as características de uma população, tomando por base os dados de uma amostra, dela 
extraída, é chamada estatística inferencial ou estatística Indutiva. 
Logo, afirmar que 25% dos eleitores do país têm a intenção de votar em certo 
candidato, tomando por base uma amostra de 2500 eleitores, é realização da inferência 
estatística. Concluir baseado em uma amostra de 120 universitários, que a renda média de 
todos os 5320 estudantes da universidade está compreendida entre R$1800,00 e 
R$2400,00, com certo grau de certeza, é papel da estatística inferencial. 
 
O estudo dos dados da área da saúde usando a ciência estatística é, por 
muitos, chamado de Bioestatística. 
 
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1. Introdução a Estatística Descritiva 
 
1.1 Alguns Conceitos Básicos 
 
População - O conjunto de todos os elementos que possuem pelo menos uma 
característica em comum, que possa ser contada, medida, pesada ou ordenada de algum 
modo e que sirva de base para as propriedades que se deseja investigar. 
Amostra – Subconjunto de uma população em estudo. 
Amostra representativa - Aquela que apresenta as mesmas características gerais da 
população da qual foi extraída 
Amostra probabilística – Aquela em que cada elemento da população tem probabilidade 
de ser escolhido para a mesma (amostra) 
Parâmetro - Uma característica numérica estabelecida para toda população 
Estatística ou um estimador - Uma característica numérica estabelecida para a amostra. 
Censo - Tipo de levantamento em que são investigados todos os elementos da população. 
Amostragem - Conjunto de técnicas utilizadas para extração de amostras de uma 
população. 
Variáveis - São características, propriedades ou atributos que podem ser observados ou 
(medidos) em cada elemento de uma população ou de uma amostra e deverá produzir um 
e apenas um resultado. Uma variável pode ser quantitativa ou qualitativa. 
Variável quantitativa – Aquela cujo resultado da observação gera uma quantidade, um 
número. Exemplo: A idade de uma pessoa. 
Variável qualitativa - Aquela cujo resultado da observação gera um atributo, uma 
qualidade. Exemplos: A cor dos olhos de uma pessoa; o sexo; o nível de escolaridade. 
Dados absolutos - São valores obtidos através de uma medida ou contagem sem 
qualquer manipulação. 
Dados relativos - São valores obtidos através da transformação de dados absolutos, 
geralmente através de razões (divisões). São dados relativos os coeficientes, as taxas e os 
índices. 
Rol – Conjunto de dados sob alguma ordenação (crescente ou decrescente). 
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1.2 Variáveis 
 
Variáveis são características, propriedades ou atributos que podem ser observados (ou 
medidos) em cada elemento de uma população ou de uma amostra e deve gerar um e 
apenas um resultado (dado). 
Exemplo: Para a população de professores de uma escola, podem-se definir, para cada 
um de seus elementos, variáveis como: 
- Tempo de serviço na profissão: cinco anos e dois meses; quatro anos e conco5 
meses. 
- Idade: 25 anos e 3 meses; 28 anos e 1mês. 
- Estado civil: Casado, solteiro, viúvo. 
- Religião: católica, protestante, budista. 
- Sexo:masculino, feminino. 
- Número de filhos: 3, 2, 1. 
- Cor dos olhos: verde, preto. 
- Nível de escolaridade: Ensino Fundamental; Ensino médio; Ensino Superior 
- Classe social: classe A, classe B, classe C 
- Renda: R$1835,28 
Uma variável pode ser classificada em: Qualitativa (que pode ser nominal ou ordinal) ou 
Quantitativa (que pode ser discreta ou contínua) 
 
 Nominal 
 Qualitativa 
 
 Ordinal 
 
 Variável 
 Discreta 
 
 Quantitativa 
 
 Contínua 
 
 
1.2.1 A Variável é Qualitativa – Quando a característica observada é um atributo, Isto é, 
quando o dado se apresenta sob o aspecto qualitativo. 
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Exemplos: Na população de professores acima referida, as variáveis: cor dos olhos, 
estado civil, religião, sexo, nível de escolaridade e a classe social são variáveis 
qualitativas por que exprimem ou uma qualidade, ou um atributo, ou uma categoria. 
1.2.1.1 A variável qualitativa é nominal - Quando a característica é uma qualidade sem 
expressar nenhuma ordem hierárquica de classificação. 
Exemplos: Na população de professores acima referida, as variáveis, cor dos olhos, 
estado civil, religião e sexo são exemplos de variáveis qualitativas nominais. 
1.2.1.2 A variável qualitativa é ordinal – Quando as características observadas denotam 
uma ordenação natural. 
Exemplos: Na população de professores acima referida, a classe social, e o nível de 
escolaridade são variáveis qualitativas ordinais. 
1.2.2 A variável é Quantitativa – Quando a característica observada é uma quantidade. 
Exemplos: As variáveis: Número de filhos, tempo de serviço na profissão, Idade e renda, 
na população de professores acima referida, são variáveis quantitativas. 
1.2.2.1 A variável quantitativa é discreta – Quando assume determinados valores no 
intervalo de observação. De certa forma, pode-se dizer que são todas as variáveis 
quantitativas cujos valores são obtidos a partir do procedimento de contagem. (são 
números inteiros). 
Exemplo: A variável, número de filhos, na população de professores acima referida, é uma 
variável quantitativa discreta. 
1.2.2.2 A variável é quantitativa contínua – Quando pode assumir qualquer valor em um 
intervalo de observação. Nesse caso os valores assumidos pela variável são obtidos 
através, do procedimento de mensuração, de forma que os resultados são capazes de 
variações, as mínimas possíveis (contínuas). (são números fracionários). 
Exemplos: As variáveis: tempo de serviço na profissão, Idade e renda, na população de 
professores acima referida, são variáveis quantitativas contínuas. 
 
1.3 Indicadores 
 
Em qualquer planejamento ou na tomada de decisão é indispensável que 
exista um sistema de informação, alimentado com dados absolutos que posteriormente 
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devem ser transformados em dados (valores) relativos. Dados absolutos ou relativos são 
costumeiramente chamados de indicadores. 
Os indicadores são classificados da seguinte forma: 
 
 a) Dados Absolutos 
Indicadores 
 Coeficientes 
 b) Dados Relativos Taxas 
 Índices 
 
1.3.1 Dados Absolutos - São valores obtidos através de uma medida ou contagem, sem 
qualquer manipulação. 
Exemplo: A empresa Alfa possui 102 empregados, dos quais 50 são homens e 52 
mulheres. Esses dados são resultados de simples contagem, são dados absolutos 
1.3.2 Dados Relativos - São valores obtidos através da transformação de dados 
absolutos, geralmente através de razões (divisões). São dados relativos os coeficientes, 
as taxas e os índices. 
Quando há necessidade de se fazer comparações entre duas grandezas, 
pode-se obter tanto um índice quanto um coeficiente ou mesmo uma taxa. Esses termos 
apresentam significados diferentes, embora, na pratica, muitas vezes sejam utilizados 
erradamente como sinônimos. 
1.3.2.1 Coeficientes – São razões entre valores de variáveis da mesma espécie numa 
relação de parte para o todo. 
No caso da empresa Alfa referida anteriormente, o coeficiente de 
empregados do sexo feminino é 52/102 = 0,51; enquanto que o coeficiente de 
empregados do sexo masculino é 50/102 = 0,49. 
1.3.2.2 Taxas – São coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (em geral 100 ou 
1000) (por cento ou por mil), para facilitar a interpretação dos resultados. 
Logo a taxa de empregados do sexo feminino da empresa Alfa é 0,51x100 = 
51% e a taxa de empregados do sexo masculino é 0,49x100 = 49%. 
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Alguns coeficientes são multiplicados por mil para se transformarem em taxa, 
é o caso da taxa de mortalidade. Lê-se, nesse caso, por exemplo, 11‰ (11 por mil). (Isto é: 
11 mortos em cada 1000 habitantes). 
1.3.2.3 Índices - São razões entre valores de variáveis de espécies ou características 
diferentes, portanto não existe relação de parte para o todo. 
Exemplos: 
 
 Índice de renda per capita = Renda (R$) / População (hab) = 
 15200000,00 = R$1169,2 / cabeça, (1169,20 reais por pessoa). 
 13000 
 
 Índice de densidade demográfica = População(hab) / Área(km²) = 
1254871 = habitantes = 924,0 hab / km² 
 1358 km² 
 
 Índice de aluno por professor = N° de alunos / N° de professores 
 
12354 = __Alunos__ = 42 alunos /professor 
 294 Professores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Apresentação Tabular de Dados 
 
As tabelas estatísticas são formas resumidas de apresentar dados. Possuem 
elementos essenciais e complementares. 
1.4.1 Elementos Essenciais – São elementos fundamentais para a existência da tabela 
 Título: Refere-se à parte escrita que precede a tabela e que contém o fenômeno 
observado, o local e a época em que foi registrado. 
 Corpo: Conjunto de colunas e linhas que contém em ordem vertical e horizontal os 
dados sobre o fenômeno observado. 
 Cabeçalho: Parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
 Coluna indicadora: Parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas. 
 
 
 
1.4.2 Elementos Complementares – São elementos que apenas complementam a tabela. 
 Fonte: Entidade responsável pelo levantamento dos dados e/ou pela sua 
elaboração. 
 Nota: Observação de natureza geral, sobre todos os dados da tabela, tendo por 
finalidade esclarecer os dados, ou indicar a metodologia usada no levantamento, 
ou na sua elaboração. 
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 Chamada: Observação de natureza específica, sobre determinada parte da tabela, 
destinada a esclarecer o dado. As chamadas são indicadas em algarismos 
arábicos, em ordem crescente, à esquerda das casas e à direita da coluna 
indicadora. 
 
1.4.3 Sinais Convencionais– Os sinais convencionais são aqueles cuja presença já 
indica a razão de sua utilização. 
Convencionaram os órgãos responsáveis pelo fornecimento de dados 
estatísticos que toda casa, em uma tabela estatística, deve ter um dado, ainda que seja um 
sinal convencional. (convenção regulamentada pelo IBGE). Com essa exigência, alguns 
sinais foram convencionados. 
Exemplos: 
- (traço): usado quando não existir o dado pelo fato de o fenômeno não ter ocorrido. (Na 
tabela acima se não tivesse havido exportação em 1988, no lugar de 169666 seria 
colocado um traço) 
... (três pontos): Neste caso sabe-se que o dado existe, isto é, o fenômeno ocorreu, porém 
não foi possível obter a informação até o momento da apresentação dos dados. 
0 (zero): Quando o dado for menor que a metade da unidade de medida usada para 
expressão dos dados. (Se a unidade de medida é tonelada e o dado a ser apresentado em 
dada casa é de apenas 450 kg, pode-se neste caso usar o sinal convencional 0(zero) em 
lugar de 450 kg). 
x (letra x): Quando o dado for confidencial ou sua divulgação implicar em individualização 
da informação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5 Séries Estatísticas e Gráficos 
 
No título de uma tabela estatística três informações são fundamentais: O 
fenômeno observado, o local de referência e a época de registro dos dados (fenômeno, 
local e tempo). 
As tabelas estatísticas foram classificadas em séries de acordo com a 
variação de cada um desses elementos. 
 
1.5.1 Série Temporal ou Cronológica – quando os dados variam de acordo com o tempo, 
permanecendo fixos o fenômeno e o local. Exemplo: 
 
 
Fonte: IBGE
52
70
93
119
156
170
1950
1960
1970
1980
1991
2000
População do Brasil registrada nos
censos demográficos: 1940 - 2000
Ano População
(em milhões)
1940 41
 
Um gráfico que se adéqua bem a uma série cronológica com cinco ou mais dados é o 
gráfico linear. A partir de cinco informações o gráfico começa dá ideia da tendência. 
 
 
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 Se houver, entretanto, menos de cinco informações na série temporal, um gráfico que 
melhor se adéqua é o de colunas, fazendo bem a comparação dos dados. Poucas 
informações ainda não dão ideia da tendência. Exemplo: 
 
 
 
1.5.2 Série Geográfica ou de Localização – quando os dados variam de acordo com o 
local, permanecendo fixos o fenômeno e o tempo. Exemplo: 
 
País
China
Índia 
EUA
Indonésia
Brasil
Fonte: IBGE
População dos países mais populosos 
275
225
170
do mundo - 1999
População(milhões)
1280
1010
 
 
 O importante, neste caso, é estabelecer comparações, portanto um gráfico bem 
adequado para esse fim é o de colunas. 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
1.5.3 Série Especificativa ou Categórica - quando os dados variam de acordo com a 
espécie do fenômeno, permanecendo fixos o local e o tempo. Exemplo: 
 
 
Observa-se, também neste caso, que os dados são comparativos, adequando-se bem um 
gráfico de colunas. 
 
16 
 
 
 
1.5.4 Gráfico em Setores 
Quando se deseja comparar as partes entre si ou as partes com o todo, um 
gráfico que se enquadra bem é o de setores circulares, que mostra as proporções 
relativas. Entretanto, muitas informações podem congestionar demais o gráfico, dificultando 
a sua interpretação. 
Os dados da tabela a seguir totalizam a matrícula do Maranhão por nível e 
modalidade de ensino permirindo, assim, representa-los, também, por um gráfico em 
setores. 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
1.5.5 Séries Estatísticas Conjugadas – quando os dados apresentam mais de uma 
variação: tempo e local - tempo e fenômeno – local e fenômeno, ou local, tempo e 
fenômeno. As séries conjugadas são geralmente representadas por gráficos lineares ou de 
colunas. Os gráficos de setores só representam uma variável. 
Exemplo 1: 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
1.5.6 Atividade (Use o a opção de gráfico do programa Excel para esta atividade) 
 
1. Um estudo com 80 passageiros que desembarcaram no aeroporto de Brasília revelou as 
origens apresentadas na tabela seguinte. Pede-se construir um gráfico de colunas e um de 
setores. 
 
Estado Número de passageiros 
São Paulo 23 
Rio de janeiro 22 
Bahia 14 
Rio Grande do Sul 12 
Paraná 7 
Mato Grosso do Sul 2 
Soma 80 
 
2. Um grupo formado por 78 turistas estrangeiros passou o último verão em um hotel de 
Maceió- Alagoas. As nacionalidades dos turistas estão apresentadas na tabela seguinte. 
Pede-se construir um gráfico de barras e um de colunas. 
 
País Número de turistas 
Argentina 26 
França 14 
Inglaterra 8 
Estados Unidos 26 
Alemanha 7 
 
3. As indústrias de Engrenagens Ltda., verificaram que uma amostra formada por 385 
funcionários, apresentava a distribuição de escolaridade indicada na tabela a seguir. 
Construa um gráfico de colunas e um de setores. 
 
Escolaridade Número funcionários 
Superior 36 
Médio 79 
Fundamental 108 
Outra 162 
21 
 
Soma 385 
 
4. As vendas de um dia do mês de abril da lanchonete Quentão estão apresentadas na 
tabela seguinte por produto. Pede-se construir gráficos de barra, de coluna e de setores. 
 
Produto Número de turistas 
Sanduíches 15 
Pizzas 65 
Refrigerante 84 
Salgado 48 
Doce 13 
 
5. A tabela seguinte mostra a relação existente entre altura (x) e peso (y) de uma amostra 
de indivíduos. Pede-se construir um gráfico de dispersão para os dados. 
 
Altura 1,72 1,83 1,56 1,65 1,74 1,75 1,68 1,70 1,88 
Peso 65 79 54 62 84 70 62 65 78 
 
6. A tabela seguinte mostra a relação existente entre o nível de colesterol, em mmol/l, (x), e 
o nível de triglicerídeos, mmol/l, (y), de uma amostra de nove pacientes em estudo na 
Itália.Pede-se construir um gráfico de dispersão para os dados. 
 
Colesterol 5,12 6,18 6,77 6,65 6,36 5,90 5,48 6,02 10,34 
Triglicerídeos 2,30 2,54 2,95 3,77 4,18 5,31 5,53 8,83 9,48 
 
7. A Associação Nacional de Produtores de Veículo de certo país apresentou os seguinte 
dados sobre a produção de veículos daquele país no período de 1987/99. (1000 veículos). 
Pede-se construir um gráfico linear. 
 
Ano 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 
Produção 31 61 96 133 146 191 174 184 185 189 192 192 
 
 
22 
 
1.6 Medidas de Tendência Central 
 
1.6.1 Introdução 
Até o momento observou-se que os valores de uma variável podem ser 
apresentados através de tabelas, representados sob a forma de gráficos, que são de 
extrema importância para análise e interpretação de dados. Entretanto, em muitas 
ocasiões, há a necessidade de representá-los por apenas um número. Esse número pode 
ser uma medida de tendência central. Estudaremos aqui três dessas importantes medidas: 
a média aritmética, a mediana e a moda. 
 
1.6.2 Média Aritmética 
 
De forma bem simples pode-se conceituar a média aritmética de um conjunto 
de valores, como sendo a divisão entre: a soma de todos os valores e o número deles. 
Como os valores de uma variável podem- se apresentar de várias formas, 
para cada uma dessas formas há um procedimento de cálculo diferente, ainda que seja 
respeitado o conceito geral. 
 
1.6.2.1Média Aritmética de Valores Isolados Simples 
 
Neste caso é possível observar os valores da variável individualmente isto é: 
x1, x2, x3, . . . , xn. Ademais os valores tem o mesmo grau de importância. 
 Usando o conceito geral de média aritmética, denotada por , tem-se 
 = = . 
Se os salários dos cinco diretores de certa empresa são: 5200,00; 5200; 
6300,00; 6300,00; 7500,00 então, a média dos salários ou o salário médio dos diretores é: 
 = = 6100,00 
1.6.2.2. Média Aritmética de Valores Isolados Ponderados (ou com Frequência) 
 
Neste caso, os valores x1, x2, x3, . . . , xn, não têm o mesmo grau de 
importância, isto é, cada um tem o seu respectivo peso p1, p2, p3, . . . , pn ou freqüência de 
ocorrência, f1, f2, f3, . . . , fn. 
23 
 
Para o cálculo da média aritmética, neste caso, há que se levar em 
consideração o grau de importância de cada valor, ou seja, o seu peso ou sua freqüência. 
Dessa forma a média aritmética passa a ser calculada pela seguinte expressão: 
 ou 
Exemplo 1: As notas abaixo foram obtidas por um candidato em um concurso para analista 
de certa instituição. Determinar a nota média do candidato, considerando que as disciplinas 
avaliadas apresentam os pesos considerados. 
 
 
 
Usando a expressão , obtém-se = = 8,1 
 
Exemplo 2: Considere os salários dos empregados da empresa de Cosméticos Lívia Ltda, 
onde fi significa a freqüência de ocorrência do salário xi. 
 
 
 
24 
 
Usando a expressão , tem-se = = 2549,76 
 
Ou seja, em média, cada empregado da empresa tem salário em torno de 2549,76. 
 
1.6.2.3 Média Aritmética de Valores Agrupados em Classe 
 
Neste caso os valores não se encontram isolados, mas agrupados em classe 
do tipo: 20 |---- 30 com freqüência de ocorrência na classe igual a 5, por exemplo. 
Os valores extremos da classe são chamados respectivamente limite inferior 
(Li) e limite superior (Ls). A frequência com que ocorrem valores na classe é chamada de fi. 
No exemplo mencionado tem-se: Li = 20, Ls = 30 e fi = 5. 
 
Exemplo: Suponha que os empregados de certa empresa tenham as idades distribuídas de 
acordo com a tabela abaixo: 
 
 
 
Como os dados já se apresentam dessa forma, isto é, não apresenta as 
idades individuais, precise-se escolher em cada classe, uma idade que represente todas as 
idades nela contidas. O valor que melhor representa todas as idades da classe é seu ponto 
médio, PM, muitas vezes apelidado de x’i, que é a média aritmética dos limites da classe. 
Isto é: x’i = (Li +Ls)/2. Assim, na tabela acima tem-se x’1 = (18+22)/2 = 20 é o primeiro 
ponto médio; x’2 = (22+26)/2 = 24 é o segundo ponto médio, ... , x’6 = (40+47)/2 = 43,5 é o 
último ponto médio. 
Agora, há um representante de cada classe, com sua respectiva freqüência, o 
que permite utilizar a fórmula de valores isolados com frequência para o cálculo da média 
25 
 
neste caso, bastando para isso substituir o xi por x’i. Assim, a expressão para o cálculo da 
média de valores agrupados em classe toma a seguinte forma: 
 
 
 Logo, a média das idades é: = 32,07 anos 
 
Obs: Como o ponto médio da classe, x’i, é apenas um representante dos valores, a média 
de valores agrupados em classe embute certa quantidade de erro. Uma forma de minimizar 
esse tipo de erro é usar pequenos intervalos nas classes. 
 
1.6.2.4 Propriedade da Média Aritmética 
 
Propriedade: A soma algébrica dos desvios calculado em relação à média aritmética é 
igual 
 a zero. Isto é: 
Demonstração: 
 = 0 
 
Um exemplo de funcionamento dessa propriedade: 
 
Considere os valores: 1320; 1350; 1500; 1580; 1750. Observa-se na tabela abaixo que a 
propriedade se verifica, isto é, a soma dos desvios calculados em relação à média é igual a 
zero. 
 
 
 
26 
 
1.6.3 Mediana 
 
Ordenados os valores de forma crescente, pode-se dizer que a mediana é a 
medida que separa o conjunto em dois subconjuntos, de igual quantidade de valores, de 
modo que o seu valor seja igual ou superior aos valores do 1° subconjunto e igual ou 
inferior aos valores do 2° subconjunto. 
Graficamente: 
 
 
1.6.3.1 Mediana de Valores Isolados 
 
a) Se n, o número de elementos, for ímpar, a mediana será o elemento que ocupa a 
posição central e terá ordem (n+1)/2 
b) Se n, o número de elementos, for par, a mediana será a média aritmética dos dois 
elementos centrais de ordem: n/2 e n/2 +1 
 
Exemplo 1. Determinar a mediana do seguinte conjunto de valores: 
85 ; 88 ; 95 ; 105 ; 110 ; 112 ; 118. 
Sendo n = 7, a mediana é o número que ocupa a posição central de ordem (7+1)/2 = 4°. 
Como os valores já estão ordenados a mediana, Md = 105. 
 
Exemplo 2. Determinar o salário mediano dos 61 empregados da empresa Alfa Consórcios, 
apresentados a seguir: 
 
 
 
Neste caso, n = 61 também é ímpar, portanto, o salário mediano é aquele que ocupa a 
posição central de ordem (61+1)/2 = 31°.Como os salários estão apresentados com 
Md 
Menor Maior 
valor valor 
0 50 % 100 % 
27 
 
freqüência, precisa-se do auxílio da freqüência acumulada crescente(fac) para localizar o 
salário que ocupa a posição 31. Os valores estão ordenados, é fácil verificar. A freqüência 
acumulada fornece as posições de todos 61 valores. Há quatro salários iguais a 1200 que 
ocupam as 4 primeiras posições(veja a fac); há 12 salários iguais a 1350 que ocupam as 
12 posições seguintes(da 5ª a 16ª posição, veja a fac); há 18 salários iguais a 1520 que 
ocupam as 18 posições seguintes(da 17ª a 34ª, veja a fac), este intervalo 17ª a 34ª inclui a 
posição 31 que é a posição da mediana, logo Md = 1520. 
Exemplo 3. Os dados a seguir são reativos às idades, em anos, dos oito empregados de 
certa micro-empresa: 18 ; 20 ; 21 ; 25 ; 28 ; 32 ; 36 ; 41. Determine a idade mediana. 
Agora há uma quantidade par de elementos, n = 8. Neste caso a mediana será a média 
aritmética das duas idades centrais de ordem 8/2 = 4ª e 8/2 + 1 = 5ª. Logo a mediana é Md 
= (25 + 28)/2 = 26,5 anos. 
Exemplo 4. Os pesos, em kg, dos 72 empregados de certa empresa estão apresentados a 
seguir. Determine o peso mediano. 
 
 
 
Como n = 72, um número par, a mediana será novamente a média aritmética dos dois 
valores de posições centrais, de ordem 72/2 = 36° e 72/2 +1 = 37°. 
Observando a freqüência acumulada, verifica-se que o peso 63 com freqüência simples 
19 ocupa as posições de 18ª a 36ª, portanto, é o primeiro elemento central. E o peso 68 
com freqüência de ocorrência 15 ocupa as posições de 37ª a 51ª é o segundo central. 
Então a Md = (63 + 68)/2 = 65,5 kg. 
 
 
 
28 
 
1.6.3.2 Mediana de Valores Agrupados em Classe 
Suponha que as informações que se dispõe sobre as alturas de um grupo de 
71 estudantes, candidatos ao treinamento de basquete, estejam dispostas em classes de 
valores, como na tabela a seguir: 
 
 
Como não se dispõe das alturas individuais dos alunos, não há como utilizar os 
procedimentos vistos anteriormente para calcular a mediana. Neste caso, deve-se usar a 
seguinte expressão: 
 
Onde: 
Md = mediana 
Li = limite inferior da classe que contém a mediana 
n = número de elementos, tamanho da amostra, soma dasfreqüências simples 
h = amplitude ou intervalo da classe que contém a mediana 
fi = freqüência simples da classe que contém a mediana 
facant = freqüência acumulada na classe anterior à da mediana. 
Observa-se que a aplicação dessa fórmula requer a identificação imediata da 
classe onde se encontra a mediana, o que é feita usando a ordem ou posição da mediana 
n/2 e a freqüência acumulada (fac). 
 
Cálculo da mediana 
 
1° Passo: Calcular a posição ou ordem da mediana 
29 
 
 Sendo os valores agrupados em classe, a posição ou ordem da mediana 
será n/2, independente de n ser par ou ímpar, isto é, 71/2 = 35,5°. 
2° Passo: Identificar a classe que contém a mediana, pela freqüência acumulada fac. 
Na primeira classe encontram-se os elementos de ordem 1ª a 5ª (fac), são 
os cinco primeiros números. Na segunda classe encontram-se os 9 elementos seguintes, 
de ordem 6ª a 14ª (fac). Na terceira classe estão os 12 elementos que se seguem, de 
ordem 15ª a 26ª (fac). Na quarta classe estão os 25 elementos seguintes, de ordem 27ª 
ao 51ª(fac). Entre estas ordens, 27ª e 51ª, está a 35,5ª que é a ordem da mediana, logo a 
Md está na 4ª classe, 165 |---- 175, indicada na tabela. Ou seja, a mediana é uma altura 
entre 165 e 175 cm. 
3° Passo: Calcular a mediana usando a fórmula indicada 
 
 
1.6.4 Moda 
A moda é definida como sendo o valor que apresenta a maior freqüência de 
ocorrência dentre todos do conjunto. 
 
1.6.4.1 Moda de Valores Isolados 
Se 18 ; 19 ; 22 ; 22 ; 22 ; 22 ; 22 ; 23 ; 24 ; 26 ; 28 ; 32 ; 32 ; 32 ; 35 ; 35 ; 36 ; 
37 ; 38 ; 38 ; 40 ; 41 e 42 são as idades, em anos, dos alunos de uma turma do curso de 
Administração, pode-se dizer que a idade modal ou a moda das idades é 22 anos, uma vez 
que a idade 22 anos ocorreu o maior número de vezes (f22 = 5), (isto é, a freqüência do 
número 22 é igual a 5), enquanto que f32 = 3, f35 = 2, f38 = 2 e a freqüência dos demais é 
igual a 1. 
De acordo com a definição acima, um conjunto de valores pode apresentar 
mais de uma moda e, neste caso, é chamado de bimodal, tri-modal, tetra-modal, etc. 
Considere os salários, em reais, dos empregados de uma pequena empresa a seguir: 800 ; 
850 ; 900 ; 900 ; 900 ; 1200 ; 1300 ; 1450 ; 1520 ; 1750 ; 1750 ; 1800 ; 1800 e 1800. Como 
os salários 900 e 1800 apresentam as maiores freqüências (f900 = 3 e f1800 = 3), tem-se 
um conjunto bimodal em que Mo1 = 900, 00 e Mo2 = 1800, 00. 
 
30 
 
1.6.4.2 Moda de Valores Agrupados em Classe 
Se os valores estão agrupados em classe, não há com identificar o valor que 
ocorreu com maior freqüência. A priori, só é possível identificar a classe de maior 
freqüência que é a que contém a moda, Istoé: a classe modal. Naturalmente, pode haver 
mais de uma classe modal. 
Há várias fórmulas de cálculo da moda de valores agrupados. Daremos 
ênfase à fórmula de Czuber a seguir: 
 
 Onde: 
 
Mo = moda; Li = limite inferior da classe modal; fmáx = maior freqüência simples 
fant = freqüência simples anterior à máxima; fpost = freqüência simples posterior à máxima; h 
= Amplitude ou intervalo da classe modal 
Exemplo: Considere os dados abaixo, relativos ao quociente de inteligência (QI), dos 
empregados de certa empresa. Determinar a moda dos QIs desses empregados ou o QI 
modal. 
 
 
 
 
 
 
31 
 
1.6.5 Atividade 
1. Um gerente de lanchonete calculou a média aritmética de suas 
vendas mensais no primeiro semestre deste ano. Obteve um 
valor igual a R$1100,00. Sabendo que nos cinco primeiros 
meses as vendas foram iguais a R$880,00; R$660,00; 
R$625,00; R$1210,00; R$1540,00, calcule o valor das vendas 
no mês de junho. Resposta = R$1685,00 
2. Um estudante da Faculdade de Administração de São 
Lourenço obteve as seguintes notas de acordo com a matéria. 
Calcule a média aritmética desse aluno considerando os pesos. 
Resposta = 8,2 
Matéria Nota Peso 
Estatística 7,5 4 
Cálculo 8,0 2 
Mat. Financeira 8,5 1 
TGA 9,0 3 
 
3. Uma fábrica tem 100 operários. 50 recebem R$60,00; 20 recebem 
R$40,00; e 30 recebem R$50,00, por hora. Determine o salário médio 
por hora. Resposta = R$53,00 
 
 
 
32 
 
4. A direção de uma empresa pensa em instalar uma nova filial no Rio de 
Janeiro ou em São Paulo. Para escolha do local alguns critérios se 
destacam: Proximidade do centro consumidor, com peso 7; Benefícios 
fiscais oferecidos, com peso 9, e Custo das instalações, com peso 4. Ao 
passar pela avaliação as duas cidades obtiveram as seguintes notas nos 
critérios acima definidos. Com base na média ponderada, qual deveria 
ser a cidade escolhida? Resposta = Rio de Janeiro, que tem maior 
média ponderada: 7,1 
Notas: 
Critério São Paulo Rio de Janeiro 
Proximidade do Centro 
Consumidor 
9,0 6,0 
Benefícios Fiscais Oferecidos 2,0 8,0 
Custo das Instalações 8,0 7,0 
 
5. Os valores referentes a sinistros ocorridos e, posteriormente, pagos por 
uma seguradora no mês passado foram: R$880,00; R$1540,00; 
R$2090,00; R$2860,00 e R$17600,00. Calcule a média aritmética e a 
mediana. Que comentários podem ser feitos sobre os valores 
encontrados. 
Resposta: Média aritmética = R$4994,00 Mediana = R$2090,00 
Comentários: Ao usar a média como representante do conjunto, interpreta-se que em média 
cada sinistro custou em torno de R$4994,00. Neste caso estaríamos fazendo uma interpretação 
bastante longe da realidade uma vez que a média está muito distante de todos os valores que 
ela deveria representar. Isso corre por que a média aritmética é afetada pelos valores 
extremos, neste caso, notadamente pelo valor 17600,00 muito dispare em relação aos outros. 
Observe-se que, ao retirar o valor 17600,00, a média passa ser 1842,50, muito mais próxima 
dos seus representados. 
33 
 
Usando a mediana, a interpretação é que, aproximadamente, metade dos sinistros tem valor 
inferior 2090,00 e metade tem valor superior a 2090,00. Isso é extremamente verdadeiro. A 
mediana não é afetada pelos valores extremos. 
 
 
 
 
6. A tabela abaixo apresenta a distribuição das importações de 50 
empresas de plástico em toneladas. Pede-se calcular a média aritmética 
a mediana e moda. 
Quantidade importada - xi Nº de empresas - fi 
50000 |----- 60000 5 
60000 |----- 70000 10 
70000 |----- 80000 20 
80000 |----- 90000 10 
90000 |----- 100000 5 
Soma 50 
 Resposta: 75000; 75000; 75000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
7. Os dados abaixo são relativos ao peso ao nascer de 77 recém- nascidos 
vivos em certa maternidade pública, em kg. Determine o peso médio, o 
peso mediano e o peso modal, dando suas respectivas interpretações. 
Classes de peso - xi fi 
1,50 |------2,00 8 
2,00 |------2,50 12 
2,50 |------3,00 25 
3,00 |------3,50 22 
3,50 |------4,00 6 
4,00 |------5,00 4 
Soma 77 
Resposta: a) média = 2,88 kg (Em média cada recém nascido nessa maternidade 
 pesou em torno de 2,88kg) 
 b) mediana = 2,87kg (aproximadamente 50% das crianças recém-nascidas 
 tiveram peso ≤ 2,87 kg) 
 c) moda = 2,91 (o peso mais freqüente das crianças recém nascidas está 
 em torno de 2,91 kg) 
1.7 Medidas de Dispersão ou Variabilidade 
 
1.7.1 Introdução 
Considere os dados abaixo relativos a quatro conjuntos de dados: 
 
 
 
Observa-se que: 
No conjunto A, não há diferença entre os valores e a média que os representa, isto é, a 
dispersão é zero, a variabilidadeé zero. 
No conjunto B, existe diferença entre os valores e a média, mas são pequenas diferenças, 
isto é, a dispersão ou a variabilidade é próxima de zero. 
35 
 
No conjunto C, existe diferença entre os valores e a média, e essas diferenças já não são 
pequenas, são bastante consideráveis. 
No conjunto D, já se verifica que há grande diferença entre os valores e a média que os 
representa. Neste caso, há alta dispersão ou variabilidade entre os valores. 
Se o que se deseja medir é a variabilidade dos valores em relação à média, 
nada melhor que analisar os desvios de cada valor i em relação à média , isto é, 
 = i - . 
Uma medida de dispersão ou variabilidade serve, exatamente, para 
determinar, de forma geral, o tamanho dessa variabilidade ou dispersão, isto é, o grau de 
homogeneidade ou heterogeneidade de um conjunto de valores. 
São várias as medidas de dispersão, absolutas e relativas, estudaremos as 
de maior utilização: Absolutas - Variância e Desvio padrão; Relativa – Coeficiente de 
variação. 
1.7.2 Variância 
Como a soma dos desvios calculados em relação à média é zero, a variância 
é calculada levando em consideração à soma dos quadrados dos desvios. 
 
1.7.2.1 Variância de Valores Isolados Simples 
 Sejam x1, x2, x3, . . . xn e a sua média aritmética. 
a) Se os dados em referência são relativos a uma população, a variância 
populacional das n medidas é definida pela seguinte expressão: 
 σ² = 
Obs: demonstra-se que: 
σ² = = , que simplifica as contas 
b) Se os dados em referência são relativos a uma amostra, a variância amostral das 
n medidas é definida pela seguinte expressão: 
 s² = , 
Obs: demonstra-se que: 
36 
 
 s² = , que simplifica as contas 
 
Exemplo1: Considere os dados a seguir: 25 ; 28 ; 32 ; 38 ; 41, relativos às idades, em anos, 
de cinco empregados de certa empresa. 
a) Se a empresa só tem cinco empregados, esses dados são relativos à população 
das idades dos empregados. Nesse caso usa-se a fórmula relativa à população. 
 
 
xi x²i 
 25 625 
 28 784 
 32 1024 
 
38 1444 
 
41 1681 
Soma 164 5558 
 
σ²= unidades 
quadradas. 
b) Se a empresa tem mais de cinco empregados, esses dados são relativos apenas 
à uma amostra das idades dos empregados. Nesse caso usa-se a fórmula 
relativa à uma amostra. 
s²= 
unidades quadradas. 
 
1.7.2.2 Variância de Valores Isolados com Freqüência ou Ponderados 
Aqui os valores se apresentam da seguinte forma: 
 
Xi X1 X2 X3 , . . . , Xn 
fi f1 f2 f3 , . . . , fn 
 
Onde, fi é a freqüência de ocorrência do valor xi: 
37 
 
Neste caso, as fórmulas são adaptadas para utilização das freqüências de 
ocorrência e passam a ter as seguintes expressões: 
 
a) Se os dados em referência são relativos a uma população, a variância 
populacional das n medidas é definida pela seguinte expressão: 
 , Onde, n = . 
Obs: demonstra-se que: 
, que simplifica as contas. Onde, n = . 
 
b) Se os dados em referência são relativos a uma amostra, a variância amostral das 
n medidas é definida pela seguinte expressão: 
 , Onde, n = . 
Obs: demonstra-se que: 
 
 , que simplifica as contas 
Onde, n = . 
 
Exemplo2: Considere os dados abaixo, relativos ao número de horas extras trabalhadas 
em dezembro, por 46 empregados de certa empresa. Calcular a variância, considerando 
que os dados são: a) de uma população b) de uma amostra. 
 
 
a) Considerando que os dados são de uma população: 
 
38 
 
 unidades quadradas 
 
b) Considerando que os dados são de uma amostra 
 
 = 
= unidades 
quadradas. 
 
1.7.2.3 Variância de Agrupados em Classe 
 
Observação: para o cálculo da variância de valores agrupados em classe, usam-se as 
mesmas expressões utilizadas para valores isolados com freqüência, tanto no cálculo 
populacional como no cálculo amostral, basta usar o ponto médio da classe, x’i, no lugar 
de xi. 
1.7.3 Desvio Padrão 
Viu-se no cálculo da variância que, todas as suas fórmulas levam em 
consideração a soma dos quadrados dos desvios, uma vez que a soma simples desses 
desvios é igual a zero. Isso significa que o resultado da variância está em unidade 
quadrada de medida. 
Para que se tenha uma medida de dispersão na mesma unidade original, 
resolveu-se extrair a raiz quadrada da variância, dando origem ao desvio padrão. 
Portanto, o desvio padrão (σ ou s) é igual à raiz quadrada da variância. Assim: 
a) No caso de desvio padrão de dados referentes a uma população tem-se: 
 σ = 
b) No caso de desvio padrão de dados referentes a uma amostra tem-se 
 s = 
Exemplo: No cálculo da variância dos exemplos 1 e 2 acima, tem-se: 
Exemplo 1: 
 σ² = 35,76 unidades quadradas, então o desvio padrão é: 
 σ = unidades. 
39 
 
 s² = 44,7 unidades quadradas, então o desvio padrão é: 
 s = = unidades 
Exemplo 2: 
 σ² = 37,07 unidades quadradas, então o desvio padrão é: 
 σ = unidades 
 s² = 37,66 unidades quadradas, então o desvio padrão é: 
 s = = unidades 
 
1.7.4 Coeficiente de Variação de Pearson 
 
O desvio padrão é reconhecido como uma das medidas mais importantes de 
dispersão absoluta. Entretanto, por varias razões, não é possível comparar dispersão de 
grupos usando as medidas absolutas. Uma dessas razões é que as variáveis em estudo 
podem estar em unidades de medidas diferentes (não se pode comparar o desvio padrão 
das alturas (cm) de uma amostra de estudantes, com o desvio padrão dos pesos (kg) de 
outra amostra de estudantes, ou da mesma amostra. 
As medidas relativas de dispersão resolvem esse problema. Essa é uma das 
razões principais para priorizá-las. Estudaremos aqui uma das principais: O coeficiente de 
variação de Pearson (CV). Esse coeficiente é definido como a divisão entre o desvio 
padrão e a média, tanto em uma amostra como em uma população. No caso amostral 
tem-se: 
 
Onde: s = desvio padrão amostral e é a média da amostral 
 
Ao multiplicar essa relação por 100 (o que não é rigorosamente necessário), o 
coeficiente de variação toma conotação porcentual, o que facilita comparações, mesmo 
que as variáveis originais a comparar estejam em unidades de media diferentes. É evidente 
que menor coeficiente de variação significa menor dispersão entre os valores. 
Alguns autores sugerem regras empíricas para interpretação do coeficiente de 
variação. Exemplo: 
 Se: CV < 15 %, tem-se baixa dispersão; 
 Se: 15 % ≤ CV < 30 %, tem-se média dispersão; 
 Se: CV ≥ 30%, há elevada dispersão 
40 
 
Exemplo: 
Considere os dados abaixo relativos às variáveis: Salário, Idade e Quociente de 
Inteligência (QI), de uma amostra de empregados de certa empresa. Analisemos o grau de 
dispersão das variáveis. 
 
 
 
Observe que a variável que apresenta a maior dispersão absoluta é o salário 
dos empregados (220), enquanto que a variável idade apresenta a menor (8), medidas pelo 
desvio padrão. Entretanto, não podemos comparar o desvio padrão do salário com o desvio 
padrão da idade. Ao analisar as variáveis através da dispersão relativa, verifica-se que o 
salário apresenta a menor dispersão (12,2%) enquanto que a idade apresenta a maior 
(25,0%) e, agora, pode-se comparar: O salário apresenta a menor dispersão(12,2%),seguido pelo QI(15,8%) e pela Idade(25,0%). Daí a importância do coeficiente de variação 
nesse tipo de análise. 
 
1.7.5 Atividade 
41 
 
1) Os dados abaixo são relativos aos salários nuais, em R$1000,00, de empregados 
de empresas.
a) Calcule a variância e o desvio padrão considerando que os dados são populacionais.
b) Calcule a variância e o desvio padrão considerando que os dados são amostrais.
c) Calcule o coeficiente de variação considerando que os dados são populacionais e 
amostrais.
Dados: 25 - 28 - 29 - 30 - 32 - 35 - 37 Resposta: a) 14,52 e 3,81
Resposta: b) 17,14 e 4,14
Resposta: c) 12,35% e 13,42%
2) Os dados abaixo são relativos à quatidade de horas extras semanais trabalhadas
 pelos empregados de certa empresa:
Horas extras Número de a) Calcule a variância e o desvio padrão 
xi empregados (fi) considerando que os dados são populacionais
10 8 Resposta = 3,52 e 1,88
11 12
12 15 b) Calcule a variância e o desvio padrão 
14 10 considerando que os dados são amostrais
16 6 Resposta = 3,50 e 1,87
soma 51
3) Os dados abaixo são referentes aos salários dos empregados de certa empresa.
Calcule a variância e o desvio padrão considerando que os dados são amostrais.
Classes de fi x'i x'i.fi x'i².fi
X (mil)
1,2 |----- 1,8 3 1,5 4,50 6,75
1,8 |----- 2,4 7 2,0 14,00 28,00
2,4 |----- 3,0 10 2,7 27,00 72,90
3,0 |----- 3,6 15 3,3 49,50 163,35
3,6 |----- 4,2 8 3,9 31,20 121,68
4,2 |----- 4,8 4 4,5 18,00 81,00
Soma 47 - 144,2 473,68
x'i = ponto médio da classe = (Li+ Ls)/2 Resposta = 0,68 e 0,82
 
42 
 
Para as questões 4 a 6 assinale a alternativa correta
4) Ocoeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
a) Desvio padrão e a média ( ) c) Amplitude total e média ( )
b) Média e desvio padrão ( ) d) Desvio padrão e a variãncia ( x )
5) O cálculo da variância supõe o conhecimento de :
a) Desvio médio ( ) c) média ( x )
b) Desvio interqurtílico ( ) d) Intervalo total ( )
6) Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão e a variância são :
a) Negativos ( ) c) Positivos ( )
b) Iguais à unidade ( ) d) Iguais zero ( x )
7) Realizou-se uma prova de Matemática para duas turmas. Os resultados foram 
os seguintes :
Turma A : média = 5 e desvio padrão = 2,5 CV = 50%
Turma B : média = 4 e desvio padrão = 2,0 CV = 50%
Com esses resulttados podemos afirmar que : V OU F
a) A turma B apresentou a maior dispersão absoluta ( F )
b) A dispersão relativa é igual à dispersão absoluta ( F )
c) Tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B ( F )
d) A dispersão absoluta de A é maior que a de B, mas em termos relativos as ( V )
 duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas
 
 
 
 
 
Aqui 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
2. Introdução à Probabilidade 
2.1 Modelos Matemáticos 
Os modelos matemáticos são classificados em duas categorias: 
Determinísticos e não determinísticos ou probabilísticos. 
 
2.1.1 Modelos Matemáticos Determinísticos - são modelos através dos quais, conhecido 
o valor de uma ou mais variáveis é possível determinar o valor de outra, ou de outras, que 
das primeiras sejam dependentes. Por essa razão são chamados de determinísticos. São, 
normalmente, as funções do cálculo diferencial e integral como, y = f (x) ou y = f (x, z) etc. 
A função f(x) = 2x + 1 é um modelo determinístico. Atribuindo o valor 1 à variável x, é 
possível determinar o valor de f(1) = 2.(1)+3 = 5. Esses experimentos não serão estudados 
aqui. 
 
2.1.2 Modelos Matemáticos Não Determinísticos (ou Probabilísticos) - São modelos 
para os quais os determinísticos não se adaptam. Esses experimentos constituem o alvo 
do estudo de introdução à probabilidade. Para facilidade do entendimento alguns conceitos 
básicos são dados a seguir: 
 
1) Exemplos de experimentos (E) para os quais os modelos determinísticos 
não se adaptam. Experimentos probabilísticos 
E1 - Lance um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
E2 - Jogue uma moeda três vezes e observe o número de caras que aparece. 
E3 - Jogue uma moeda três vezes e observe a sequência de caras e coroas, obtida. 
E4 - Em uma linha de produção fabrique peças em série. Conte o número de peças 
defeituosas produzidas em um período de 24 horas. 
E5 - Peças são fabricadas até que 10 perfeitas sejam produzidas. Conte o número total de 
peças fabricadas. 
E6 - Um lote é formado de 10 peças das quais três são defeituosas. As peças são 
retiradas, uma a uma, sem reposição da peça retirada, até que a última defeituosa seja 
encontrada. Conte o número total de peças retiradas do lote. 
 
Características dos experimentos não determinísticos ou probabilísticos 
 
44 
 
a) Todo experimento aleatório poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas 
condições. 
b) Não é possível prever a priori que resultado particular ocorrerá ao se realizar o 
experimento, mas é possível descrever o conjunto de todos os seus resultados 
possíveis. 
c) Ao realizar-se o experimento, os resultados individuais parecerão ocorrer de forma 
acidental. 
 
2) Espaço Amostral (S) 
 
Definição: Um espaço amostral associado a um particular experimento E, é definido como: 
"O conjunto de todos os resultados possíveis de E". 
Exemplos: Como exemplos, serão determinados os espaços amostrais dos experimentos 
dados anteriormente. (a cada experimento Ei associaremos o espaço amostral Si). 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } S2 = { 0, 1, 2, 3 } 
S3 = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk } 
S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ,N }, onde N é o número máximo de peças que podem ser 
produzidas em um período de 24 horas. 
S5 = {10, 11, 12, 13, 14, 15, ... }. Este é um conjunto infinito 
S6 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. 
 
3) Evento 
 
Definição: Um evento A, relativo a um particular espaço amostral S associado a um 
experimento E, é definido como "Um conjunto de resultados possíveis de E". Isto é, A é 
subconjunto de S. 
Observação: De acordo com essa definição podemos afirmar que: 
a) O conjunto vazio é um evento, chamado evento impossível e 
b) O espaço amostral S é um evento, chamado evento certo. 
Exemplos de eventos: 
A1 = {Em E1, um número par ocorre } = { 2, 4, 6 } S 
A2 = {Em E2, pelo menos duas caras ocorrem } = { 2, 3 } S 
A3 = {Em E3 exatamente, duas caras ou duas coroas, seguidas, ocorrem } 
= { cck,kcc,kkc,ckk } S 
45 
 
 
 
4) Eventos Mutuamente Excludentes 
 
Definição: Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes quando eles não 
puderem ocorrer juntos. Isto é, 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado equilibrado, seu espaço amostral S e os 
seguintes eventos A = {Um número par ocorre } e B = { Um número ímpar ocorre }. 
Observe que: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; A = { 2, 4, 6 } e B = { 1, 3, 5 } . Como 
 , então A e B são mutuamente excludentes. 
Por outro lado, os eventos C = {1, 2, 5} e D = { 2, 4, 3, 6 } , não são mutuamente 
excludentes pois, C = { 2 } ≠ ∅. 
 
5) Frequência Relativa de um Evento 
 
Definição: Suponha que um experimento E seja repetido n vezes. Sejam A e B dois 
eventos relativos a esse experimento. Sejam, ainda, e o número de vezes que 
os eventos A e B ocorreram, respectivamente, nas n experimentações, então: 
é definida como a frequência relativa do evento A nas n experimentações de E. 
 
 
Propriedades da Frequência relativa: 
 
 
 
 
 
 
 
6) Probabilidade 
 
Definição: Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a esse experimento. 
A cada evento A é associado um número real P(A), denominadoprobabilidade de A, que 
deve satisfazer às seguintes condições: 
a) 
b) P(S) = 1 
A BÇ =f
A BÇ =f
nA nB
f
n
n
A
A=
0 1£ £P A( )
46 
 
c) Se A e B forem dois eventos mutuamente excludentes, então: 
 
 
Teorema 1: Se for o evento vazio, então : P( ) = 0 
 Teorema 2: Se for o evento complementar de A, então : 
 Teorema 3: Se A e B forem dois eventos quaisquer, então : 
 
 
 Teorema 4 : Se , então : 
 
7) Leis de Morgann e Consequências 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação dos teoremas e leis de Morgann: 
 
Sejam A e B eventos tais que P(A) = 1/3, P(B) = 1/5 e P(A B) = 1/15 Determine: 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.3 Atividade 
1) Sejam A e B eventos tais que: = 1/7, 4/5 e = 34/35. Determine: 
 
P A B P A P B( ) ( ) ( )È = +
A
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )È = + - Ç
A BÌ P A P B( ) ( )£
47 
 
 
respostas: (a) 6/7 (b)1/5 (c)34/35 (d)1/35 (e)11/35 (f)24/35 (g)24/35 (h)6/35 (i)4/35 (j)31/35 (k)29/35 
2.2 Distribuições de Probabilidade 
 
2.2.1 Introdução 
 Viu-se nos cálculos de probabilidade realizados anteriormente, que todos 
foram feitos para eventos bastante genéricos: P(A), P(B), P(C), . . ., etc, isto é, A, B, C 
eram eventos quaisquer. 
Para determinar probabilidade de ocorrência de eventos específicos, desses 
fenômenos que ocorrem no cotidiano, foram desenvolvidos modelos, também específicos, 
de cálculo de probabilidade, identificados como “Distribuições de probabilidade”. As 
distribuições podem ser discretas e contínuas. Trabalharemos aqui duas discretas 
(Binomial e Poisson) e uma contínua (A distribuição normal). 
 
2.2.2 A Distribuição Binomial de Probabilidade 
 
2.2.2.1 Introdução 
Usa-se o termo "binomial" para caracterizar situações em que os resultados 
de uma variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. 
 Exemplos: 
a) Respostas a um teste do tipo Verdadeiro ou Falso, 
b) Respostas do tipo Sim ou Não a um questionário 
c) Classificação de produtos manufaturados como: defeituosos e não defeituosos. 
d) Classificação de pacientes em uma clínica como: psicóticos e não psicóticos. 
e) Resultado de classificação de remessas de peças produzidas como: Aceitas e 
não aceitas, . . . , etc. 
 
2.2.2.2 Características da Distribuição Binomial 
 
1) Há n experimentações, observações ou provas, idênticas 
2) Cada experimentação ou prova tem apenas dois resultados possíveis: um 
chamado "sucesso" e o outro "insucesso ou falha". 
3) As probabilidades p de sucesso e 1- p = q de falha, permanecem constantes 
 em todas as provas. 
4) Os resultados das experimentações ou provas são independentes uns dos 
48 
 
outros. 
 
2.2.2.3 Cálculo da Probabilidade de Sucessos 
O cálculo da probabilidade da ocorrência de uma quantidade x = k 
sucessos, é realizado através do seguinte teorema: 
Teorema1: Seja X uma variável aleatória binomial, com parâmetro p, baseado em n 
repetições de um experimento. Então: 
 
Onde: p, na expressão, é considerada a probabilidade de sucesso, a probabilidade que 
está sendo pedida. Logo a outra q = 1 – p é a probabilidade contrária. 
 
2.2.2.4 Cálculo da Esperança e Variância 
Os cálculos, da esperança matemática de sucessos (média de sucessos) e da 
variância de sucessos, são realizados através do seguinte teorema: 
Teorema2: Se X tiver distribuição binomial com parâmetro p, baseado em n 
 Experimentações, então: 
 E(X) = np e V(X) =npq. 
Exemplo 
Suponha que 5% das peças que saiam de uma linha de produção sejam defeituosas. Se10 
dessas peças forem escolhidas e inspecionadas: a) Qual a probabilidade de que no 
máximo 2 defeituosas sejam encontradas? b) Quantas se esperam sejam defeituosas? 
c) Qual a variância e o desvio padrão do número de peças defeituosas? 
 
Solução 
 
 Sabe-se que: 
 
1) A probabilidade de peças defeituosas é: (Pd = 5% = 5/100 = 0,05), isto é, Pd = 
0,05. Logo a probabilidade de peças não defeituosas é: (Pnd = 1- 0,05 = 0,95), 
ou seja, Pnd = 0,95. 
 
2) Temos, então, duas probabilidades. Uma que será usada como de sucesso e a 
outra como de insucesso ou falha. 
3) O número de experimentações é n = 10 
49 
 
a) Qual a probabilidade de que no máximo 2 defeituosas sejam encontradas? 
Obs: Como se quer calcular a probabilidade de peças defeituosas, ser peça defeituosa 
passou a ser o sucesso, enquanto que ser peça não defeituosa passou a ser insucesso. 
Tem-se, então: p = Pd =0,05 e q = Pnd = 0,95. Logo: 
P(x ≤ 3d ) = P( x = 0d ) + P( x = 1d ) + P( x = 2d ) = 
 = P(x = 0 ) + P( x = 1 ) + P( x = 2 ) 
 
Usando o teorema binomial para cada caso, obtem-se: 
 
 
 
b) Quantas se esperam sejam defeituosas? 
 
A pergunta se refere à esperança matemática de peças defeituosas, a média esperada de 
peças defeituosas, isto é: 
 E(x) = n.p = 10.(0,05) = 0,5 
 
c) Qual a variância e o desvio padrão do número de peças defeituosas? 
A variância é dada pela expressão: V(x) = n.p.q 
 Logo, V(x) = n.p.q = 10(0,05)(0,95) = 0,475 
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, Portanto, 
 s = = 
 
2.2.2.5 Atividade 
 
1) Uma firma exploradora de petróleo acha que 7% dos poços que perfura acusam 
depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, determine a probabilidade de ao 
menos um dar resultado positivo. 
Dica: P(x ≥ 1) = 1 – P(x < 1) = 1 – P(x = 0) 
n= 6 ; p = 0,07 ; q = 0,93 resposta = 0,5160 
 
 
2) Pesquisa recente indica que apenas 15% dos médicos de certa localidade são 
fumantes. Escolhidos dois médicos de um grupo de 8 constantes de uma relação 
fornecida pelo conselho de medicina, constatou-se serem fumantes. Admitindo 
correta a pesquisa, qual a probabilidade de chegar ao resultado acima? 
50 
 
 Dica: P(x = 2) =? n= 8 ; p = 0,15 ; q = 0,85 resposta = 0,2376 
3) Remessas de 500 buchas cada são aceitas se uma amostra aleatória de 10 
acusa menos de 2 defeituosas. Se uma remessa tem na realidade 6% de buchas 
defeituosas, qual a probabilidade de ser aceita? E de não ser aceita? 
Dica: P(x < 2) = P(x =0) + P(x =1) 
n= 10 ; p = 0,06 ; q = 0,94 resposta = 0,8824 
 
4) Doze por cento dos que reservam lugar num vôo sistematicamente faltam ao 
embarque. O avião comporta 15 passageiros. 
a) Determine a probabilidade de que todos os 15 que reservaram lugar compareçam 
ao embarque. 
b) Se houve 16 pedidos de reserva, determine a probabilidade: 
b1) de uma pessoa ficar de fora. 
b2) de nenhuma ficar de fora. 
b3) de mais de uma ficar de fora. 
 
Dica: P(faltar) =12% = 12/100 = 0,12 ; P(Comparecer) = 0,88 
 
a) N° de experimentações = n° de reservas = 15 ; p =0,88 ; q=0,12, 
 P(x = 15 comparecimentos) = resposta = 0,14697 
b) b1) n = 16, só há 15 vagas. p=0,88 ; q=0,12 ; P(x=16) = ? resposta = 0,12933 
b2) n = 16, P( 15) = 1 - P(x>15) = 1 - P(x=16) = 1 – 0,12933 = 0,87067b3) n = 16, há 15 vagas. Evento impossível = , logo P ( ) = 0 
 
4) A probabilidade de um homem acertar um alvo é 1/4. Se ele atira 7 vezes: 
a) Qual a probabilidade de acertar o alvo pelo menos 2 vezes? 
b) Qual o número médio esperado de acertos? E a variância? 
c) Qual a probabilidade de não acertar o alvo no mínimo 1 vez? 
Dica: n = 7, Prob. acertar o alvo = Pa = ¼ = 0,25 , Prob. não acertar o alvo = Pna = 0,75. 
a) P(x ≥ 2) = 1 - P(x < 2) = 1 
– { P(x=0) + P(x=1)}; p = 0,25 e q = 0,75 resposta =055505 
b) E(x) = np e V(x) = npq resposta =1,75 e 1,31 
c) P(x ≥ 1) = 1 - P(x < 1) = 1 – P(x=0) ; p = 0,75 e q = 0,25 resposta =0,999938 
 
5) Um órgão governamental credencia a firma A para fazer vistorias em carros 
recuperados ou construídos particularmente e dar aprovação ou não para que o 
51 
 
determinado carro possa ser lacrado no DETRAN. O órgão resolve testar se a 
firma A está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 
carros vistoriados e aprovados por A, escolhe 15 e faz novas vistorias. Se 
encontrar no mínimo 2 que não mereçam a aprovação, descredencia A . 
Sabendo-se que no lote de 250 há 10 carros que foram aprovados irregularmente, 
qual a probabilidade do descredenciamento? 
Dica: 
 - Probabilidade de um carro ser aprovado irregularmente = Pair = 10/250 = 0,04 
 - Probabilidade de um carro ser aprovado regularmente = Pare = 1 - 0,04 = 0,96 
 - Probabilidade do descredenciamento = P(x ≥ 2) = 1 - P(x < 2) = 1 – { P(x=0) + P(x=1)}, 
 onde: n = 15, p = 0,04 e q = 0,96 resposta = 0,119109 
 
6) Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial. Se E(x) = 12 e V(x) = 3 
determine P(x < 2). 
Dica: 
 , resolva esse sistema e determine: q=0,25, p = 0,75 e n = 16. 
 Calcule P(x < 2) = P(x = 0) + P(x = 1). resposta = 0,0000000114 
 
7) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças 
conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a 
experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% de 
peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa não satisfaça a 
garantia? 
Dica 
Pd = 0,05 (prob. uma peça ser defeituosa) = 0,05, (prob. uma peça ser não defeituosa) =0,95 
 P(caixa satisfaça a garantia) = P(x ≤ 2d) 
 P(caixa não satisfaça a garantia) = P(x>2d) = 1 - P(x ≤ 2d) = 1 – { P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) }, 
 com, p = 0,05, q = 0,95 e n = 18. resposta = 0,0581289 
 
8) Um técnico visita os clientes que compraram assinatura de um canal de TV para 
verificar o decodificador. Sabe-se, por experiência, que 90% desses aparelhos 
não apresentam defeitos. 
a) Determine a probabilidade de que em 12 aparelhos visitados no máximo 2 
apresentem defeitos. 
b) Em 80 aparelhos visitados quantos se esperam sejam defeituosos? 
52 
 
Dica: 
a) Probabilidade de o aparelho não apresentar defeito, Pnd = 0,90 
Probabilidade de o aparelho apresentar defeito, Pd = 1 - 0,90 = 0,10 
 n = 12 ; p = 0,10 ; q = 0,90 ; P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) resposta = 0,88913 
b) E(x) = n.p resposta = 8 
 
9) A probabilidade de que um cliente seja atendido imediatamente ao chegar em 
uma loja de departamento é de 20%. A loja aguarda para a próxima hora a 
chegada de 80 clientes. 
a) Determine a média e o desvio padrão do número de clientes que deverão ser 
imediatamente atendidos. 
b) Em média, qual é o percentual de clientes que a loja deixa de atender se 25% dos 
clientes que não são imediatamente atendidos, se aborrecem e procuram outra loja? 
Dica: 
a) Probabilidade de um cliente ser atendido imediatamente = Pai = 0,20 
Probabilidade de um cliente não ser atendido imediatamente = Pnai = 0,80 
n=80 ; E(x) = np e desvio padrão = raiz de V(x) . V(x) = npq resposta = 16 e 3,58 
b) Número de clientes não imediatamente atendidos = 80 – 16 = 64 
Média dos que se aborrecem = 64(0,25) = 16 (se aborrecem) 
Percentual = 16/80x100 = 20%. resposta = 20% 
 
2.2.3 Distribuição de Poisson 
 
2.2.3.1 Introdução 
A distribuição de Poisson é útil para descrever as probabilidades do número 
de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). 
Exemplos de variáveis que podem ter como modelo a distribuição de Poisson: 
a) Número de defeitos por centímetro quadrado. 
b) Número de acidentes por dia 
c) Número de clientes por hora 
d) Número de chamadas telefônicas por minuto 
e) Número de erros por página em um livro, etc. 
Observa-se que a unidade de medida (tempo, área) é contínua, mas a 
variável aleatória (número de ocorrências) é discreta. Além do mais as falhas não são 
53 
 
contáveis. Isto é, não é possível contar o número de acidentes por dia que não ocorreram; 
nem o número de chamadas telefônicas por minuto que não foram feitas; nem o número de 
defeitos por centímetro quadrado que não ocorreram; nem o número de clientes por hora 
que deixaram de comparecer; nem o número de erros que deixaram de ocorrer em uma 
pagina de livro, etc. 
 
2.2.3.2 Calculo da Probabilidade do Número de Ocorrências 
 
Teorema1: Seja X uma variável aleatória discreta, tomando os valores: 0, 1, 2, 3, ... , n..., 
Se X tiver distribuição de Poisson com parâmetro , então: 
 
 , onde: X = k = 0, 1, 2, 3,..., n..., é o número de ocorrências; 
 e = base do logaritmo neperiano e 
 = número médio de ocorrências, como explicado no teorema 2 
 
2.2.3.3 Cálculo da Esperança e Variância 
 
Teorema 2: Se X tiver distribuição de Poisson com parâmetro ,então : 
 
 . Onde: 
 = número médio de ocorrência e 
 = variância do número de ocorrências 
Exemplo 
Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia.Calcular a probabilidade 
de: 
a) receber 4 chamadas num dia 
b) receber 3 ou mais chamadas num dia 
c) receber exatamente 2 chamadas em 12 horas 
d) receber no máximo 1 chamada em 12 horas 
Solução 
54 
 
a) Já se sabe a média do número de ocorrências no espaço pedido de um dia. Isto 
é, . Logo, basta aplicar a fórmula de cálculo: ,onde x = 4 
e . Então: 
 P(X = 4) = 
b) Aqui também já sabemos a média do número de ocorrências no espaço pedido de 
um dia. Isto é, . Logo basta calcular P(x ≥ 3) usando a mesma expressão. 
 P(x ≥ 3) = 1 – P(x < 3) = 1 - { P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) } 
 = 1- { + + } 
 = 1- { + + } 
 = 1- { + + } 
 = 1- = 0,5768099 
 
c) Neste item deseja-se calcular P(x = 2), mas em um período de 12 horas. Não se 
sabe a média de ocorrências em 12 horas. Se, em 24 horas a média é 3, então, 
proporcionalmente, em 12 horas a média será 1,5 ( ). Aplicando a mesma 
fórmula de cálculo: 
 P(x = 2) = = = 0,25102 
 
d) Neste caso pede-se P(x ≤ 1), também em um período de 12 horas ( ). 
Logo: 
 
 P(x ≤ 1) = P(x = 0) + P(x = 1) 
 =