Slides de Aula (44) - unidade II

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Unidade II
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Profa. Isabel Espinosa
Integral indefinidaIntegral indefinida
Integrais por partes
  
Exemplos:
 f . g dx =  u dv = u . v –  v du
Exemplos:
1.  x. e2x dx
u dv
Integral indefinidaIntegral indefinida
 x . e2x dx
u = x
du = 1  2 d d
e2x dx
=
dv =
dx
du = dx
 e2x dx dv
=
=
v e2x1
2du = dx 2
Substituindo na fórmula:
Integral indefinidaIntegral indefinida
x . e2x dx =
= x . e2x –  e2x dx =1
2
1
2
u . v –  v du
= x . e2x – e2x dx =1 1
x e2x – . e2x + c1 1 x e2x dx = 1
 x . e e dx 
2 2
x . e . e + c
2 2
 x . e dx =
2
+x.e2x  2x d e2x– + cx.e2 x . e2x dx = e4
Integral indefinidaIntegral indefinida
Outra escolha possível para u e dv:
 x e2x dx x . e2x dx
u = e2x x dx=dvu e
du
dx  x dx dv =
x dxdv
e2x2=
du =

v = x2
2e
2x2 dx
Substituindo na fórmula:
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 x . e2x dx = e2x . –  . dxx2
2
x2 e2x
2
u . V –  v du
2 2 2
A integral agora é mais complexa que a original.
Integral indefinidaIntegral indefinida 
2.  x2 . sen x dx
u = x2 sen x dx=dv

u dv
u = x
du
dx = 2x  sen x dx dv =
sen x dx=dv
du = 2x dx 

v = –cos x
Substituindo na fórmula:
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 x2 . senx dx = x2 .(–cosx) –  (–cosx).2x dx =
u . v –  v du
= –x2 . cosx + 2  cosx . x dx =
= –x2 . cosx + 2 x . cosx dx
partespartes 
novamente
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Resolvendo a integral, temos:
x . cosx dx
u = x cos x dx=dvdu
dx = 1  cos x dx dv =
cos x dxdv
du = 1 dx 

v = sen x
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 x . cos x dx = x . sen x –  sen x dx =
= x . sen x – (–cos x) =
 x . cos x dx = x . sen x + cos x
Integral indefinidaIntegral indefinida 
Substituindo no enunciado:
 x2 . senx dx =
= x2 .(–cosx) + 2 (x . sen x + cos x ) =
= –x2 . cosx + 2 x . sen x + 2 cos x + c
Integral indefinidaIntegral indefinida 
3.  x . Ln x dx
ddv u
u = Lnx
du 1
x dx=dv
du 1
dx x=  x dxdv =
2
du dx
x 
v = x2
2 =
Substituindo na fórmula:
Integral indefinidaIntegral indefinida 
 x . Lnx dx = Lnx . –  =x2 x2 dx
u . v –  v du
2 2 x
= Lnx . –  x dx =x2
2
1
22 2
= Lnx . – . + cx
2 1 x2
2 2 2
Interatividade 
Resolvendo a integral temos: x . e3x dx,
a) – + cx.e
3x 
3
e3x
3
3 3
+ + cx.e
3x 
3
e3x
9
b)
x e3x) – + cx3
e3x
3
c)
x e3x e3xd) – + cx.e3
e
9
d)
– + cx.e
3x exe) – + c3 9
)
Integral indefinida 
Integrais de algumas funções trigonométricas
Exemplos:
1.  3 ( í ) cos3x dx (expoente ímpar)
Artifício, cos3x = cos2x . cosxArtifício, cos x cos x . cosx
Integral indefinida 
 cos3x dx =  cos2x . cosx dx 
cos2x = 1 – sen2x
 cos2x . cosx dx = 
= (1 – sen2x) . cosx dx =
 cosx – sen2x . cosx dx =
Integral indefinida 
 cosx – sen2x . cosx dx = 
 cosx dx –  sen2x . cosx dx = =
imediata substituição
 
1a parte1a parte
 cosx dx = sen x cosx dx sen x 
Integral indefinida 
 2 d
2a parte
 sen2x . cosx dx 
u = sen xu = sen x
du
dx = cos x ou du = cos x dx
Substituindo na integral
Integral indefinida 
 sen2x . cosx dx =  u2 du = + c u33  3
Voltando à variável x
 sen2x . cosx dx = + c sen3x3
Integral indefinida 
Voltando à integral inicial:
 cosx sen2x cosx dx = cosx – sen2x . cosx dx = 
 cosx dx –  sen2x . cosx dx ==  cosx dx  sen x . cosx dx 
+ c sen
3x
3
= sen x –
3
Integral indefinida 
2.  sen4x dx (expoente par)
sen4x = sen2x . sen2x
Integral indefinida 
 sen4x dx =  sen2x . sen2x dx 
sen2x = 1 – cos 2x
22
 sen2x . sen2x dx = 
=  dx = 1 – cos 2x2 1 – cos 2x2 2 2
Integral indefinida 
 1 – 2 cos2x + cos22x dx = 1 4=
 dx –1 4=  cos22xdx = 1 4 cos2x dx +1 24 42
= x 
4
sen2x +1 
4
- 1 
8
x 
8
+ sen4x 
4
=
4 4 88 4
= 3x 
8
sen2x +1 
4
- sen4x 
32
+ c
8 4 32 
Integral indefinida 
3.  sen2x . cos3x dx
 sen2x . cos2x . cosx dx = 
cos2x = 1 – sen2x
 sen2x (1- sen2x) cosx dx sen2x . (1- sen2x) . cosx dx
Integral indefinida 
 sen2x . (1 – sen2x) . cosx dx
u = sen x
du = cos x ou du = cos x dxdx = cos x ou du = cos x dx 
Substituindo na integral 
Integral indefinida 
 sen2x . (1 – sen2x) . cosx dx =
 u2 . (1 – u2) du == 
 u2 – u4 du == 
= u
3
3
u5
5
– + c
= - + c sen
3 x
3
sen5x 
5
3 5
3 5
InteratividadeInteratividade
Resolvendo a integral 
temos:
 sen2x . cosx dx,
a) + csen
3x
3
2
+ csen
2x
2
b) 
+ ccos
3xc) + ccos x
3
c) 
– + csen3x
3
d) 
3
+ ccos
2x
2
e) 
2
Integral definidaIntegral definida 
y = f(x)
Partição: divisão de um intervalo em partes.
B
y = f(x)
B
AA A
é a área sob a curva no intervalo [a,b].A
a b
é a área sob a curva no intervalo [a,b].A
Integral definidaIntegral definida 
Aproximação por soma das áreas retangulares. 
BB
A
3 subintervalos
a = x1 x2 x3 b = x4
Integral definidaIntegral definida 
Refinando a partição.
B
A
a = x1 x2 x3 x4 x5 b = x6
5 subintervalos
Integral definidaIntegral definida 
Refinando ainda mais a partição.
B
A
a = x1 b = x11
10 subintervalos
Integral definidaIntegral definida
Refinando ainda mais a partição.
B
A
a = x1 b = x21
20 subintervalos
Integral definidaIntegral definida 
Área do 1o retângulo: A1 = f(x1) . Δx
B
AA
ba = x1 x2 x3 b = x4
ΔxΔx
Integral definidaIntegral definida 
Área do 1o retângulo: A1 = f(x2) . Δx
B
AA
ba = x1 x2 x3 b = x4
ΔxΔx
Integral definidaIntegral definida 
Quanto mais refinada a partição, melhor será a aproximação, 
assim:
A = Lim [f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn)] xn ∞
isto é:
A = Lim Sn xn ∞
Integral definidaIntegral definida 
Exemplo:
 Seja R a região sob a curva da função f(x), f(x) = 2 x + 1 no 
intervalo [1, 3]. Esboçar o gráfico da função, da região e 
calcular sua área. 
Integral definidaIntegral definida 
f(x) = 2 x + 1 
em [1, 3]7 [ , ]
3 A
x1 31/2 x1 3-1/2
Integral definidaIntegral definida 
Dividiremos o intervalo [1, 3] em 6 partes, isto é:
 (3 1) 1/3x = (3 – 1) = 1/3
6
xj 1 4/3 5/3 2 7/3 8/3
f(xj) 3 11/3 13/3 5 17/3 19/3
Integral definidaIntegral definida 
f(x) = 2 x + 1 
em [1, 3]7 em [1, 3]
3 A
x1 31/2 x1 3-1/2
Integral indefinidaIntegral indefinida 
A área da região A é dada, aproximadamente, pela soma da área 
dos retângulos:
S = 3 + 11 + 13 + 5 + 17 + 19 . 1 = 9,333
3 3 3 3 3
Integral definidaIntegral definida 
Soma de Riemann:
f( )
n
S xi . f(xi)i= 1Sn =
InteratividadeInteratividade
A área exata da figura geométrica é:
7a) 10
3
7
A
b) 21
x1 3-1/2
3 A
c) 9
1 31/2
d) 8
e) 14
Integral definidaIntegral definida 
b n
Integral de a até b de f(x) dx:
f(x) dx = 
a
 xi . f(xi)
i= 1
Limxi 0
a
Integral definidaIntegral definida 
Limite superior
f(x) dx
b
a
Limite inferior
Integral definidaIntegral definida 
Teorema fundamentaldo cálculo integral:
b f( ) d F(b) F( )a f(x) dx = F(b) – F(a)
b
a f(x) dx = F(x) ba
em que F(x) é a primitiva de f(x).
Integral definidaIntegral definida 
Exemplos:
1. Calcular a integral definida: 
2 x dx
2
- 1
Integral definidaIntegral definida 
F(x) = x2, pois F’(x) = 2x 
F( 1) = ( 1)2 = 1F(–1) = (–1)2 = 1
F(2) = 22 = 4
2x dx = F(2) – F(–1) = 4 – 1 = 3 
2
-1-1
2x dx = 3 
2-1
Integral definidaIntegral definida 
2. Calcular a integral definida:
3 –3x dx1
F( ) 3 2F(x) = –3 x2
2
F(1) = –3 12 = –3
2 2
F(3) = –3 32 = –27
2 2
Integral definidaIntegral definida 
– 3x dx = F(3) – F(1) = –
3
1 –272 –32
– 3x dx = = – 12 
3 –242
1
1 2
Integral definidaIntegral definida 
3. Calcular a integral definida:
4 x2 – 2 x dx2
Integral definidaIntegral definida 
f(x) = x2 – 2 x
F( ) 2x
3
F(x) = – x2x
3
F(2) = 22 = 42
3 8F(2) = – 22 = – 42
3
8
3
F(4) 42 164
3 64F(4) = - 42 = - 164
3
64
3
4 20x2 – 2 x dx = F(4) – F(2) = 2 203
Integral definidaIntegral definida 
4. Calcular a integral definida:
/2

2 sen 2x dx
0
por substituição2 sen 2x dx
u = 2xu
du
dx = 2 ou du = 2 dx
2 sen 2x dx = sen u du =  
= –cos u = –cos 2x + c 

Integral definidaIntegral definida 
2 sen 2x dx = 
/2
0
/2
= – cos 2x = 
= –cos 2/2 – (–cos 2 .0) = 
0 
= –cos  + cos 0 = –(–1) + 1 = 2
Integral definidaIntegral definida 
5. Calcular a integral definida:
5 (x – 4)5 dx4
Integral definidaIntegral definida 
por substituição(x – 4)5 dx
u = (x – 4)
du = 1 ou du = dx

dx = 1 ou du = dx
(x 4)5 dx = u 5 du = (x – 4)5 dx = u 5 du =  
u6= + c 
(x – 4)5 dx = + c  (x – 4)66
6
 6
Integral definidaIntegral definida 
5
4 (x - 4)66(x – 4)5 dx = = 544 6 4
(5 – 4)6 (4 – 4)6= - =6 6= - =
(1)6 06= - = 1( )
6 6
= - =
6
InteratividadeInteratividade
O valor da integral definida 
( 5) 3 d é
6
a) 1,5
(x – 5) 3 dx é:
5
b) 0
c) 0 25c) 0,25
d) 0,5
e) 1 
ATÉ A PRÓXIMA!