CfVV -revisão de integral 1

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Universidade Paulista – UNIP
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Profa. Isabel Espinosa
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Revisão de integral
Parte 3
Profa. Isabel Espinosa
Integral imediata
Integrais imediatas (utilizando a tabela de integral)
Calcular as integrais imediatas:
Exemplo 1:
න5 𝑑𝑥 න𝐾 𝑑𝑥 = 𝐾 𝑥 + 𝑐
න5 𝑑𝑥 = 5 𝑥 + 𝑐
Integral imediata
Exemplo 2:
න𝑥5 𝑑𝑥 න𝑥
𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1
න𝑥5 𝑑𝑥 =
𝑥5+1
5 + 1
+ 𝑐
න𝑥5 𝑑𝑥 =
𝑥6
6
+ 𝑐
Integral imediata
Exemplo 3:
Propriedade de potência:
ou
න𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1
න
1
𝑥4
𝑑𝑥
1
𝑎𝑛
= 𝑎−𝑛
න
1
𝑥4
𝑑𝑥 = න𝑥−4 𝑑𝑥 =
න𝑥−4 𝑑𝑥 =
𝑥−4+1
−4 + 1
+ 𝑐
න
1
𝑥4
𝑑𝑥 =
𝑥−3
−3
+ 𝑐 න
1
𝑥4
𝑑𝑥 =
−1
3𝑥3
+ 𝑐
Integral imediata
Exemplo 4 :
Propriedade de potência:
න𝑥 𝑥 𝑑𝑥
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
න𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑥 . 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = න𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
Integral imediata
ou
න𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
න𝑥 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
3
2+1
3
2 + 1
+ 𝑐
න𝑥 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
5
2
5
2
+ 𝑐 න𝑥 𝑥 𝑑𝑥 =
2 𝑥
5
2
5
+ 𝑐
Integral imediata
Exemplo 5:
න
1
𝑥
+ 𝑒𝑥 𝑑𝑥
න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න𝑒𝑥𝑑𝑥
න𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +න𝑔 𝑥 𝑑𝑥
න
1
𝑥
+ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 =
න
1
𝑥
+ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑐
Integral por substituição
Exemplo 6 :
1) න3 𝑒3 𝑥 𝑑𝑥
u
න𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐
u = 3x
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3
Integral por substituição
න3 𝑒3 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐
u = 3x
න3 𝑒𝑢
𝑑𝑢
3
= න 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝑐
න3 𝑒3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒3 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
Integral por substituição
Exemplo 7 :
න
2
1 + 2𝑥
𝑑𝑥
u
u = 1+ 2x
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
Integral por substituição
u = 1+ 2x
න
2
1 + 2𝑥
𝑑𝑥 = න
2
𝑢
𝑑𝑢
2
=
න
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝐿𝑛 𝑢 + 𝑐
න
2
1 + 2𝑥
𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 (1 + 2𝑥) + 𝑐
Integral por substituição
Exemplo 8 :
නcos 3𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥
Separando as integrais:
(1ª parte) (2ª parte)
නcos 3𝑥 𝑑𝑥
(substituição)
න 𝑥2𝑑𝑥
(imediata)
Integral por substituição
1ªparte u = 3x
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
න cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
(substituição)
නcos 𝑢
𝑑𝑢
3
=
=
1
3
නcos 𝑢 𝑑𝑢 =
=
1
3
නcos𝑢 𝑑𝑢 =
=
1
3
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥) + 𝑐
Integral por substituição
2ª parte:
න 𝑥2𝑑𝑥
(imediata)
න 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥2+1
2 + 1
+ 𝑐
න 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑐
Integral por substituição
1ª parte
2ª parte
නcos 3𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 (3𝑥) + 𝑐
න 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑐
නcos 3𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
𝑥3
3
+ 𝑐
Integral por substituição
Exemplo 9:
න 𝑥3 + 2𝑥 3. 3𝑥2 + 2 𝑑𝑥
u
u = 𝑥3 + 2𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2 + 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3𝑥2 + 2
න𝑢3. 3𝑥2 + 2
𝑑𝑢
3𝑥2 + 2
=
Integral por substituição
න𝑢3. 3𝑥2 + 2
𝑑𝑢
3𝑥2 + 2
=
= න𝑢3 𝑑𝑢 =
=
𝑢3+1
3 + 1
+ 𝑐 =
𝑢4
4
+ 𝑐
න 𝑥3 + 2𝑥 3. 3𝑥2 + 2 𝑑𝑥 =
𝑥3 + 2𝑥 4
4
+ 𝑐
Integral por substituição
Exemplo 9 :
න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥
u
u = 2𝑥 + 3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 = න(2𝑥 + 3)−
1
2 𝑑𝑥 =
= න(𝑢)−
1
2
𝑑𝑢
2
=
Integral por substituição
Logo,
u = 2𝑥 + 3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 =
= න(𝑢)−
1
2
𝑑𝑢
2
=
=
𝑢−
1
2+1
−
1
2 + 1
+ 𝑐 =
𝑢
1
2
1
2
+ 𝑐
Integral por substituição
න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 =
=
𝑢
1
2
1
2
+ 𝑐 =
(2𝑥 + 3)
1
2
1
2
+ 𝑐 =
2 (2𝑥 + 3)
1
2 + 𝑐න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 =
2 2𝑥 + 3 + 𝑐න
1
2𝑥 + 3
𝑑𝑥 =
Exercícios propostos
Resolva 1 dos 3 exercícios a seguir e entregue quando
solicitado
1) Resolva a integral
2) Resolva a integral
3) Resolva a integral
න
2𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥
𝑑𝑥
න
3
4 + 3𝑥
𝑑𝑥
නcos(3𝑥 + 1) 𝑑𝑥