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Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 1 RLM Teoria Dos Conjuntos Teoria dos conjuntos A teoria dos conjuntos na matemática denota o estudo de agrupamentos de números ou elementos, em que usamos cotidianamente e não percebemos. Quando o professor solicita que se divida uma sala de 30 alunos em grupos de 6 integrantes está-se formando subconjuntos de um conjunto maior. Muito utilizado também em pesquisas quando nos é informado que 15% gosta do chocolate A e 20% gosta do chocolate B e 40% gostam das duas marcas e queremos descobrir quantos não gostam de chocolates se o total de entrevistados foram 400 pessoas. Como visto, as aplicações são muitas e vamos agora fazer a representação de um conjunto: Seja um conjunto A qualquer que demonstra os números positivos inteiros menores que 6: A = {1,2,3,4,5} representamos o conjunto com as chaves e cada elemento separado por vírgula. Outro modo de representação é pelo diagrama de Venn: Ou ainda por um modo de formulação matemática: 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁* 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ≤ 6} Pode-se criar qualquer conjunto. Por exemplo: Conjunto de todos os alunos da sala que começam com M: 𝑀𝑀 = {𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒,𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀… } Existe também um conjunto especial chamado conjunto vazio e denotado por: ∅. Relações entre conjuntos -Conjunto Unitário: É chamado conjunto unitário um conjunto com apenas um elemento. Exemplo: A = {3} é conjunto unitário, pois o único elemento é o 3. B = {{2,3,4}} é conjunto unitário também pois o único elemento é o {2,3,4}. -Subconjuntos: Um conjunto A que está contido em outro conjunto B, ou seja, todos os elementos de A também são elementos de B, é chamado de subconjunto de B. Exemplos: A = {2,3,4} Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 2 RLM Teoria Dos Conjuntos B = {2,3,4,6,7,8} O conjunto A é um subconjunto do conjunto B e formulamos da seguinte da forma: 𝐴𝐴 ∁ 𝐵𝐵 (A está contido em B ou ainda A é um subconjunto de B) E 𝐵𝐵 𝐴𝐴 (B não está contido em A) Dado: A = {3,4,5} B = {3,4} Então: 𝐵𝐵 ∁ 𝐴𝐴 (B está contido em A ou ainda B é um subconjunto de A) Observação: O conjunto vazio (∅) é SUBCONJUNTO de todos os conjuntos. Observação: Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. -Relação de pertinência: Para sabermos se um elemento pertence ou não a um conjunto utilizaremos a simbologia: 𝑀𝑀 ∈ 𝐴𝐴 (“a” pertence ao conjunto A) 𝑏𝑏 ∉ 𝐴𝐴 (“b” não pertence ao conjunto A) Para identificarmos a pertinência do elemento basta apenas OLHARMOS para o conjunto, se estiver no conjunto exatamente como nos pede então pertence, caso contrário, não pertence. Exemplo: 𝐴𝐴 = {2,3,4,7} 2 ∈ 𝐴𝐴 5 ∉ 𝐴𝐴 {2} ∉ 𝐴𝐴 (Pois apenas vemos o 2) Agora se o conjunto A = {1,{2},3,4} Podemos dizer que {2} ∈ 𝐴𝐴. -Conjunto das partes: Todos os conjuntos que são subconjuntos de um outro conjunto é chamado de conjunto das partes. Por exemplo: A = {2,4} Então o {2} é um subconjunto. {4} é um subconjunto. {2,4} é um subconjunto. Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 3 RLM Teoria Dos Conjuntos ∅ é um subconjunto. Portanto o C.P. = {{2},{4},{2,4},∅}. O número de elementos do conjunto das partes segue a fórmula: 𝑛𝑛 𝐶𝐶.𝑃𝑃. = 2𝑛𝑛 Sendo n o número de elementos do conjunto. Operações entre conjuntos -União de conjuntos: Chama-se união de conjuntos, o conjunto de todos os elementos de A ou de B, e simbolizado por ∪. A formulação correspondente é a seguinte: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} Se temos por exemplo: A = {2,3,4} B = {3,4,5} 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {2,3,4,5} O número 4 não se repete, é contabilizado apenas uma vez. -Intersecção de conjuntos: Chama-se intersecção de conjuntos, o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo e simbolizado por ∩. Exemplo: Dado o conjunto A = {3,5,6,7} e B = {2,3,5,9,10}. Podemos perceber que os elementos 3 e 5 são comuns aos dois, portanto: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {3,5} A formulação correspondente é a seguinte: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} E ainda podemos relacionar com o diagrama de Venn: Nesse caso o conjunto A = {a,c}, o conjunto B = {b,c} e o conjunto 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑀𝑀}. Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 4 RLM Teoria Dos Conjuntos Da união e intersecção podemos retirar uma propriedade importante que usaremos nos exercícios. O número de elementos da união de dois conjuntos é o número de elementos do primeiro somado com o número de elementos do segundo e subtraído a intersecção dos dois (pois conta-se apenas uma vez). 𝑛𝑛 (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴) + 𝑛𝑛(𝐵𝐵) − 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) -Diferença entre conjuntos: Chama-se diferença de dois conjuntos, o conjunto que representa todos os elementos que estão contidos no primeiro conjunto e que não estão contidos no segundo, e representa o conjunto complementar. Exemplo: A = {2,5,7,8} B = {2,4,5,6} A – B = {7,8} (Tudo que tem em A e não tem em B, é chamado de conjunto complementar de A em B) B – A = {4,6} (Tudo que tem em B e não tem em A) A formulação geral é a seguinte: 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵} Exemplo: Dado o conjunto A = {3,4,5,6,8} e B = {3,6,5} Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 5 RLM Teoria Dos Conjuntos O conjunto {4,8} é chamado de complementar de A em B ou denotado por A – B. -Conjuntos iguais: Se os elementos dos conjuntos forem os mesmos independentes da ordem, então são iguais. Exemplo: A = {M,T,R,A} B = (R,M,T,A} A e B são iguais. EXERCÍCIOS: 1) A união entre três conjuntos A, B e C é o conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sendo A o conjunto dos números naturais ímpares menores que 10 e maiores que 2, e B o conjunto dos números naturais divisores de 10, quais elementos pertencem necessariamente ao conjunto C? a) 2, 4, 6, 8 b) 4, 6, 8 c) 2, 4, 6, 8, 10 d) 1, 6, 8, 10 e) 1, 4, 6, 8 2) Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 5}; B = {x ∈ N / x < 3} e C = {x ∈ Z / – 5 ≤ x < 3}. Qual dos números a seguir NÃO pertence ao conjunto (A ∩ B) U (A ∩ C)? a) 0 b) – 2 c) – 4 d) 2 e) – 1 3) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5},determine o conjunto A – B. a) { } b) {1, 5} c) {5} d) {1} e) {2, 3} Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 6 RLM Teoria Dos Conjuntos 4) Sejam os conjuntos A = {2, 4, 7, 9, 10, 12, 15}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 13} e C = {0, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 15}. O conjunto (A ∩ C) ∪ (B – A) é igual a: a) {0, 3, 4, 7, 10, 12, 15} b) {1, 3, 4, 5, 10, 13, 15} c) {2, 3, 4, 9, 10, 11, 12} d) {1, 2, 4, 7, 8, 9, 12} e) {1, 4, 5, 8, 9, 10, 13} 5) Considere o conjunto A representado pelo diagrama da figura abaixo e o conjunto B = (x é natural / x ≠ múltiplo de 3}. Determine o conjunto A-B. a) {1950,1962,1974,1986,1998,2010} b) {1954,1958,1970,1982,1990,2002,2014} c) {1950,1958,1974,1982,1998,2010} d) {1950,1962,1978,1986,1998,2006,2010 } e) {1954,1974,1982,1994,2002,2014} 6) Sejam os conjuntos A = {1, 3, 4, 6, 8, 9}, B = {2, 4,6, 7, 9, 10} e C = {3, 5, 6, 7, 8, 9}. Quantos elementos do conjunto B NÃO pertencem ao conjunto (C – A) U (A ∩ B)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Prof. Jhoni www.focusconcursos.com.br 7 RLM Teoria Dos Conjuntos 7) Dado os conjuntos A = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7}, B = { x ϵ N | x ≤ 4 } e C = { x ϵ Z+ | x ≤ 2 } , afirma- se que I. (A – B) ∩ (B U C) = Ø. II. (B – A) ∩ C é um conjunto unitário. III. (C – A) ∩ C é um subconjunto de B. Quais estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e III. d) Apenas II e III. e) I, II e III. 8) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 0 < S(A) < 55. ( ) certo ( ) errado 9) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. Se A ⊂ Ω, e se Ω\A é o complementar de A em Ω, então S(Ω\A) = S(Ω) – S(A). ( ) certo ( ) errado GABARITO: 1) B, 2) C, 3) D, 4) B, 5) A, 6) B, 7) E, 8) C, 9) C
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