Convergência de Séries Infinitas

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Convergência de Séries Infinitas 
 
 
Contrapositiva: 
Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒖𝒏 ≠ 𝟎 então a série ∑ 𝒖𝒏
∞
𝒏=𝟏 é divergente. 
 
A recíproca do teorema nem sempre é verdadeira. Se lim
𝒏→∞
𝒖𝒏 = 𝟎 não implica que a 
série seja convergente, isto é, pode ocorrer que 
0lim 

n
n
u
, mas a série seja divergente. 
Como exemplo desse fato temos a série harmônica, que veremos a seguir, na qual 
0lim 

n
n
u
 e no entanto é uma série divergente. 
 
Exemplo: 
∑ 𝑛2∞𝑛=1 diverge porque n
2  . 
 
Exemplo: 
 ∑ 
𝑛2
5 𝑛2+4
∞
𝑛=1 é divergente. 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛2
5 𝑛2+4
= lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑛2
⁄
5 𝑛2
𝑛2
⁄ +4
𝑛2⁄
= lim
𝑛→∞
1
5+4
𝑛2⁄
=
1
5
≠ 0. 
 
Portanto, a série diverge.