Convergência de séries de potência

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Convergência de séries de potência 
 
Exemplo. 
Quando utilizamos a definição de série de potência 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛∞
𝑛=0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +
 𝑎2𝑥
2 + … + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 para x = 0, obtemos a série 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎10 + 𝑎2(0)
2 + … +
 𝑎𝑛(0)
𝑛 = 𝑎0, que converge. 
 
Exemplo. 
Analise a convergência da série ∑ 𝑛! 𝑥𝑛∞𝑛=0 
 
Utilizaremos neste caso o teste da razão para determinar os valores de x para os quais 
a série de potência converge ou não. 
- Se x  0 temos lim
𝑛→∞
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim
𝑛→∞
|
(𝑛+1)! 𝑥𝑛+1
𝑛! 𝑥𝑛
| = lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)|𝑥| = ∞ portanto diverge 
- Se x = 0 a série converge. 
 
Exemplo. 
Analise a convergência da série de potência 1 −
1
2
(𝑥 − 2) +
1
4
(𝑥 − 2)2 + ⋯ + (−
1
2
)
𝑛
(𝑥 −
2)𝑛 + ⋯ 
 
A série de potência 1 −
1
2
(𝑥 − 2) +
1
4
(𝑥 − 2)2 + ⋯ + (−
1
2
)
𝑛
(𝑥 − 2)𝑛 + … está centrada 
em a = 2 com coeficientes c0 = 1 , c1 = -12 , c2 = 14, ..., cn = (−
1
2
)
𝑛
. 
 
Observe que essa série geométrica com termo inicial 1 e razão 𝑟 = −
𝑥−2
2
. 
A série converge para |
𝑥−2
2
| < 1 ou 0 < x < 4 e sua soma será 
1
1−𝑟
= 
1
1+ 
𝑥−2
2
=
2
𝑥
. 
Observe que a série gera aproximações polinomiais 
P0(x) =1 
P1(x) = 1- 
1
2
(𝑥 − 2) = 2 −
𝑥
2
 
 
 
 
 2 
E assim por diante. 
 
Até então trabalhamos a convergência das series de potência que são séries 
geométricas. A partir de agora, nosso estudo sobre convergência das séries de potência 
tratará de séries de potência que não são séries geométricas.