Aula 09 Calculo com Derivadas II Funcoes Trigonometricas ALUNO

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Suma´rio
1 Ca´lculo de derivadas II 3
1.1 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
2 SUMA´RIO
Capı´tulo 1
Ca´lculo de derivadas II
Nesta sec¸a˜o, vamos encontrar as derivadas das func¸o˜es sen x e cos x. As outras
func¸o˜es trigonome´tricas podem ser obtidas a partir destas duas utilizando as regras de
derivac¸a˜o ja´ estudadas. Lembremos o limite trigonome´trico fundamental estudado em
unidades anteriores.
1.1 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Lembremos o limite trigonome´trico fundamental estudado anteriormente:
lim
x→0
sen x
x
= 1
Bem como:
lim
x→0
1 − cos x
x
= 0
Usaremos estes dois limites para determinar a derivada da func¸a˜o sen x.
Demonstrac¸a˜o 1 Calculando diretamente a derivada de f (x) = sen x, obtemos:
(sen x)′ = lim
h→0
sen (x + h) − sen x
h
= lim
h→0
sen x . cos h + sen h cos x − sen x
h
= lim
h→0
cos x
(
sen h
h
)
+ sen x
(
cos h − 1
h
)
= lim
h→0
cos x . 1 + sen x . 0
= lim
h→0
cos x
= cos x
3
4 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE DERIVADAS II
Concluı´mos assim:
Proposic¸a˜o 1 Derivada do seno: Se f (x) = sen x enta˜o f ′(x) = cos x.
Exemplo 1 Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = sen x no ponto (pi, 0).
Soluc¸a˜o:
(i) A inclinac¸a˜o da reta tangente e´ f ′(pi) = cos(pi) = −1.
(ii) Segue que, a reta tangente tem equac¸a˜o y = −x + b.
(iii) Como passa pelo ponto (pi, 0), temos:
y = −x + b
0 = −pi + b
b = pi
(iv) Assim, a equac¸a˜o da reta e´ y = −x + pi.
(v) Por fim, o gra´fico e´ dado por:
Figura 1.1: Reta y = −x + pi, tangente a y = sen x no ponto (pi, 0)
Passamos agora a` derivada da func¸a˜o cosseno. O desenvolvimento e´ ana´logo ao que
foi feito para a func¸a˜o seno.
1.1. DERIVADAS DAS FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS 5
Demonstrac¸a˜o 2 Para a func¸a˜o f (x) = cos x, temos:
(cos x)′ = lim
h→0
cos (x + h) − cos x
h
= lim
h→0
cos x . cos h − sen x . sen h − cos x
h
= lim
h→0
cos x
(
cos h − 1
h
)
− sen x
(
sen h
h
)
= lim
h→0
(cos x . 0 − sen x . 1)
= lim
h→0
(−sen x)
= −sen x
Portanto,
Proposic¸a˜o 2 Derivada da func¸a˜o cosseno: Se f (x) = cos x enta˜o f ′(x) = −sen x.
Exemplo 2 Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = cos x no ponto
(
pi
4 ,
√
2
2
)
Soluc¸a˜o:
(i) A inclinac¸a˜o da reta tangente e´
f ′(pi/4) = −sen (pi/4) = −
√
2
2
;
(ii) Assim, a reta tangente tem equac¸a˜o
y = ax + b√
2
2
= −
√
2
2
.
pi
4
+ b
b =
√
2
2
.
(
1 +
pi
4
)
(iii) Assim, a equac¸a˜o da reta e´
y = −
√
2
2
x +
√
2
2
.
(
1 +
pi
4
)
6 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE DERIVADAS II
Exemplo 3 Encontre a derivada de y = tan x.
1.2. EXERCI´CIOS 7
1.2 Exercı´cios