Engenharia Economica - Hirschfeld

Prévia do material em texto

PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Engenharia Econômica 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
Hirschfeld H., Engenharia Econômica, Ed. Atlas 
Ehrlich P.J., Engenharia Econômica, Ed. Atlas 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 2 
 
1. Conceitos básicos 
 
1.1 Introdução 
 
A escassez de recursos frente às necessidades ilimitadas das empresas faz com que cada vez 
mais se procure otimizar a utilização de tais recursos. 
 
Um desses recursos é o capital. Na estrutura sócio-econômica em que vivemos, o dinheiro tem 
não somente a função de facilitar o processo de transações entre os elementos da sociedade, 
mas também de servir de elemento importante no processo de produção dos bens e serviços 
sendo transacionados, assim como na distribuição destes produtos entre a população. Esta ação 
de participar do processo de produção se dá através do investimento. 
 
Assim, um investimento pode ser definido como sendo uma aplicação de dinheiro em projetos de 
implantação de novas atividades, expansão, modernização, etc., da qual se espera obter uma boa 
rentabilidade. Portanto, torna-se necessário analisar as alternativas para garantir um bom retorno 
do investimento. 
 
Se dispuséssemos de recursos ilimitados de capital, não haveria necessidade de aplicação das 
técnicas que serão apresentadas a seguir. Todas as propostas de aplicação de fundos seriam 
aceitáveis, desde que obedecessem a um simples critério : a renda total deve exceder o total dos 
gastos. Entretanto, no mundo real os recursos são limitados. A oferta de capital disponível não é 
suficiente para satisfazer toda a demanda imaginável, não sendo possível aproveitar todas as 
oportunidades de investimentos. 
 
Análises envolvendo a escolha entre processos produtivos alternativos, de substituição de 
equipamentos, de escolha entre a compra e o aluguel de um dado imóvel industrial ou de uma 
máquina, são alguns dos exemplos de questões tratadas pelos engenheiros e administradores 
cujas decisões serão tomadas com base, entre outras, nas técnicas de Engenharia Econômica. 
 
A análise prévia dos investimentos permite que se racionalize a utilização dos recursos de capital. 
Para a solução de um problema de análise de investimentos, dentro da complexidade do mundo 
atual, é necessário o conhecimento de técnicas especiais estudadas em uma disciplina conhecida 
por Engenharia Econômica. 
 
As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência exata chamada Matemática 
Financeira, que por sua vez descreve as relações do binômio Tempo e Dinheiro. 
 
 
1.2 Premissas e princípios 
 
Todas as decisões são tomadas a partir de alternativas. Não havendo alternativas não há decisão 
a tomar. 
É necessário um denominador comum, (a rentabilidade comum, por exemplo) a fim de tornar as 
consequências mensuráveis. Não é possível misturar ordens. 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 3 
Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes. As alternativas competem entre si. São 
mutuamente excludentes. 
Os critérios para decisões de investimento devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e os 
problemas relativos ao racionamento de capital. 
As avaliações de engenharia econômica servem para decisões voltadas para o futuro. 
 
 
1.3 Custo de oportunidade 
 
A diferença de valores entre duas taxas de juros, provindas de alternativas econômicas diferentes 
de investimento, constitui, para a alternativa aceita e de menor valor, uma taxa de juros chamada 
de custo de oportunidade. Admitindo que os bancos pagam 20% ao ano juros, manter uma 
quantia qualquer de dinheiro sem investí-lo incorre-se num custo de oportunidade de 20% ao ano 
que este dinheiro deixa de render. 
Se existir uma outra oportunidade de investimento que renda 50% ao ano, o custo de 
oportunidade de manter o dinheiro sem investí-lo será de 50%, e de por o dinheiro no banco será 
de 30%. 
O custo de oportunidade é um conceito relativo e depende das possibilidades de investimentos 
existentes. Constitui o que se “paga” por não se preferir a oportunidade de maior rendimento. 
 
 
1.4 Juros : conceito e modalidades 
 
Diferentes fatores de produção e respectivas formas de remuneração 
Trabalho  Salário 
Terra  Aluguel 
Capacidade administrativa  Lucro 
Tecnologia  Royalties 
Capital  Juros 
 
 
Os juros são portanto o custo do capital, mais especificamente os juros correspondem ao 
pagamento pela oportunidade de dispor de um capital durante um determinado tempo. 
Exemplos de algumas transações que envolvem juros : 
- compras à crédito 
- cheques especiais 
- compra de casa própria 
 
Todas as transações que envolvem dinheiro devem ser analisadas considerando-se juros 
envolvidos explicitamente ou implicitamente. Uma compra à vista também é analisada 
considerando-se juros. 
 
O juro, que representa o rendimento em troca do uso do dinheiro por certo tempo, é o elemento 
básico para a ligação entre valores em um ponto de tempo e outro. A taxa de juros representa o 
percentual do capital inicial a ser pago na forma de juros no final do período do qual a taxa se 
refere. 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 4 
 
 
1.5 A variável tempo 
 
Quando situações econômicas são investigadas, as quantidades de dinheiro envolvidas são 
sempre relacionadas com um fator indispensável e incontrolável, o tempo. 
 
Todas as quantias de dinheiro serão referidas à uma data e somente poderão ser transferidas 
para uma outra data considerando os juros envolvidos nesta transferência. 
Assim, será impossível somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referirem à mesma 
data. 
 
 
2. Taxa de Juros 
 
O capital inicialmente investido, denominado principal, pode crescer devido aos juros segundo 
duas modalidades: juros simples ou juros compostos. 
 
2.1. Juros simples 
 
Quando são cobrados juros simples apenas o principal rende juros. Os juros são diretamente 
proporcionais ao capital (emprestado ou aplicado). 
 
 J = i P n 
 
onde : 
 P = principal ou capital na data de hoje; (Va ou Vo) 
 i = taxa de juros 
 n = número de períodos de juros 
 
Os juros obtidos aumentam linearmente. 
 
O montante F (Vf ) que uma pessoa que obtenha um empréstimo deverá devolver, ao fim de n 
períodos será : 
 
 F = P + J = P + iPn  F = P ( 1 + in) 
 
 
2.2. Juros compostos 
 
Após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal e passam a render 
juros também. 
 
Após cada mês (período de capitalização) os juros são somados à divida anterior, e passam a 
render juros no mês seguinte. Tudo se passa como se cada mês o empréstimo fosse renovado ( 
no valor do principal mais os juros relativos ao mês anterior. 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 5 
 
Após o 1° período : F1 = P ( 1 + i ) 
Após o 2° período : F2 = F1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2 
Após o 3° período : F3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )3 
Após o n-ésimo período Fn = P ( 1 + i )n 
 
 
2.3. Comparação entre juros simples e juros compostos 
 
Exemplo : Supondo R$100 emprestados a uma taxa de 5% ao mês. 
 
O quadro a seguir mostra a evolução de R$100 a juros de 5% ao mês durante um ano. 
 
No caso de jurossimples 5% ao mês correspondem a 60% ao ano (a.a.), ou seja taxas 
proporcionais. Em juros compostos temos 5% ao mês correspondendo a 79,5856% ao ano. 
 
Mês Montante juros simples Montante juros compostos 
0 100 100 
1 100+0,05x100 = 105 100+0,05x100 = 105 
2 105+0,05x100 = 110 105+0,05x105 = 110,25 
3 110+0,05x100 = 115 110,25+0,05x110,25 = 115,76 
. 
. 
12 = 160 = 179,5856 
 
 
3. Fluxo de caixa e simbologia 
 
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes 
diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica simples chamada 
diagrama de fluxo de caixa. 
 
 2000 2000 
 
 
 0 1 2 3 4 5 
 
 3000 
 
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste em uma escala 
horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são 
representadas com setas para cima os recebimentos e com setas para baixo 
os desembolsos de capital. A unidade de tempo deve coincidir com o período 
de capitalização de juros considerado. 
 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 6 
4. Relações de equivalência 
 
Conforme visto anteriormente, pode-se definir juros como o dinheiro pago pelo uso de dinheiro 
emprestado ou como a remuneração do capital empregado em investimentos ou em atividade 
produtivas. A noção de equivalência está intimamente relacionada à taxa de juros. 
 
Considere o plano de empréstimo tomado de um banco que cobra 3% de juros ao mês. Nessas 
condições, um empréstimo de R$100 pode ser pago em dois meses por um dos seguintes planos: 
 
Plano Valor pago 
período 0 
Valor pago 
período 1 (R$) 
Valor pago 
período 2 (R$) 
I 0,00 3,00 103,00 
II 0,00 0,00 106,09 
III 0,00 52,261 52,261 
IV 5,74 0,00 100,00 
 
Todos os planos baseiam-se em juros compostos de 3% ao mês. 
Apesar de envolverem pagamentos de magnitude diferente em instantes de tempo diferentes, os 
planos possuem dois pontos em comum: juros de 3% ao mês, débito igual a zero no fim do 
segundo período. 
Conclui-se que os planos são equivalentes a R$100,00 na data inicial (t = 0), a juros de 3% ao 
mês, porque pagam exatamente o empréstimo feito. 
 
O exemplo acima mostra que quando se lida com quantias monetárias, alem do valor numérico, 
interessa também o instante em que tais quantias serão pagas ou recebidas. 
 
4.1. Relação entre valor presente P(Vp, Vo ou Va) e valor futuro F (Vf) 
 
A transformação de um valor presente em um montante e vice e versa permite resolver problemas 
do tipo : 
- qual valor que deverá ser investido hoje a uma determinada taxa de juros para se obter uma 
quantia F após um certo tempo ? 
- investindo hoje uma quantia P a uma taxa de juros, qual a quantia F obtida após n períodos ? 
 
Admitindo que uma quantia P tenha sido emprestada. Após o primeiro período de capitalização, a 
dívida será : 
 
principal + juros = P + i P = P( 1 + i ) 
 
ao final do segundo período teremos : 
 
dívida anterior + juros = P( 1 + i ) + i P( 1 + i ) = P( 1 + i )2 
 
ao final do terceiro período teremos : 
 
dívida anterior + juros = P( 1 + i )2 + iP( 1 + i )2 = P( 1 + i )3 
 
generalizando temos : 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 7 
 
F = P( 1 + i )n 
 
Se for desejado achar P a partir de F : P = F 
!n
1+i( ) 
 
 
4.2. Série uniforme 
 
A série uniforme é definida como sendo uma série de valores constantes (desembolsos ou 
recebimentos) que se inicia no período 1 e termina no período n. 
 
- Relação entre valor atual e série uniforme 
 
Achar o valor presente de uma série uniforme e vice-versa. Isto permitirá resolver problemas de 
determinação de prestações mensais 
 
P = U + U + U + ... + U , 
 (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n 
 
 
P = U 
n
1+i( ) !1
i
n
1+i( )
 ou P = U ( P/U ; i ; n) 
 
 U = P
i
n
1+i( )
n
1+i( ) !1[ ]
 
 
- Relação entre valor futuro e série uniforme 
 
Obtenção de um montante a partir de uma série uniforme de pagamentos, e vice-versa. Um 
exemplo é o caso de depósitos programados para uma retirada futura. 
 
 
F = U(1+ i)n-1 + U(1+ i)n-2 + U(1+ i)n- 3 + ... + U(1+i) + U 
F = U [ 1 + (1+i) + ... + (1+i)n-2 + (1+i)n-1] 
 
F = U 
n
1+i( ) !1
i
 
 
 U = F i
n
1+i( ) !1[ ]
 
 
 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 8 
4.3. Série gradiente uniforme 
 
A série gradiente uniforme G é definida como sendo uma série de pagamentos (ou recebimentos) 
G, 2G, ....( n - 1)G, que se inicia no período 2 e termina no período n. 
 
Relaçôes de equivalência envolvendo séries gradiente uniforme 
 
U = G 
n
1+i( ) !1 ! ni[ ]
i
n
1+i( ) !1[ ]
 P = G 
n
1+i( ) !1 ! ni[ ]
2
i
n
1+i( )[ ]
 
 
 
 
F = G 
n
1+i( ) !1 ! ni[ ]
2
i
 
 
5. Considerações sobre taxas de juros 
 
5.1. Taxa nominal e taxa efetiva 
 
A taxa de juros contratada em uma operação financeira chama-se taxa nominal. Essa taxa nem 
sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona 
efetivamente. 
 
Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem 
os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros 
também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como por exemplo juros cobrados 
antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. 
 
Esses e outros artifícios às vêzes são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e 
fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência. 
 
Seja uma taxa de juros de 1% ao mês. Ao se determinar a correspondente taxa anual, pode-se 
chegar a resultados distintos conforme se considere juros simples ou compostos. Tomando-se 
juros simples, seria 12% a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1%. Esta taxa anual é 
chamada de taxa nominal de juros. Tomando-se agora juros compostos, a taxa anual seria 12,7%, 
chamada de taxa efetiva de juros. 
 
No primeiro caso, foi feita uma soma simples da taxa mensal, não incidindo portanto juros sobre 
juros, enquanto que, no segundo caso, a taxa mensal foi capitalizada, isto é, a cada mês a taxa 
mensal incide sobre a do mês anterior. Matematicamente, chamando de i a taxa efetiva anual e r a 
taxa nominal anual, a partir de uma taxa i’ por período de capitalização e m períodos de 
capitalização durante o ano : 
r = i’ x m ou i’ = r/m 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 9 
Portanto a taxa nominal é obtida pela simples multiplicação da taxa por período pelo número de 
períodos. Cada capitalização se dá a uma taxa i’ = r/m e há m capitalizações ao ano. Supondo um 
capital inicial de $ 1,00 teremos 
 
Período Capital no início 
do período 
Juros durante o período Capital no final do 
período 
1 1 1xr/m 1 + r/m 
2 1 + r/m (1 + r/m) x r/m (1 + r/m)2 
3 (1 + r/m)2 (1 + r/m)2 x r/m (1 + r/m)3 
m (1 + r/m)m-1 (1 + r/m)m-1 x r/m (1 + r/m)m 
 
Portanto a taxa efetiva anual i é obtida por: 
 
1 + i = (1 + r/m)m 
 
i = (1 + r/m)m - 1 
 
Se um título rende 36% ao ano é dito que o mesmo rende 3% ao mês, o que é incorreto. 
Para quea taxa de juros seja considerada efetiva é necessário que o período referido na taxa 
coincida com o período de capitalização, caso contrário a taxa será dita nominal. Até aqui foram 
consideradas apenas taxas efetivas. 
Exemplos de taxas nominais : 
 40% ao ano com capitalização mensal 
 5% ao mês com capitalização anual 
 
5.2. Conversão de uma taxa Nominal em Efetiva 
 
Seja uma taxa nominal r capitalizada m vezes por período. Será determinada a taxa equivalente i 
por período. Seja ainda P uma quantia emprestada a taxa r. O montante F formado após um 
período é : 
 
F = P( 1 + r/m )m = P ( 1 + i )1 , donde, ( 1 + i )1 = ( 1 + r/m )m 
ou seja, o montante poderá ser calculado por qualquer uma das taxas, nominal ou efetiva; 
Simplificando tem-se : 
i = ( 1 + r/m )m - 1 
 
 
6. Taxa mínima de atratividade 
(taxa de expectativa; taxa de equivalência) 
 
• Ao fazer um investimento, comparamos os prováveis dividendos por ele proporcionados com 
os de outros investimentos disponíveis. 
 
• A taxa de juros que o dinheiro investido irá proporcionar deverá ser superior a uma taxa 
prefixada, com a qual fazemos a comparação. 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 10 
 
Tal taxa de juros comparativa e prefixada é chamada : TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 
 
Exemplo 
Um investimento de $50.000 proporciona por 10 anos, valores uniformes de $15.000; podemos 
examinar tal oferta sob a seguinte questão : 
 
Qual seria a mínima taxa de juros comparativa para considerarmos interessante o investimento 
proposto ? 
 
Imaginemos que tal taxa seja de 20% a.a. 
Esta taxa passaria a ser a Taxa Mínima de Atratividade 
 
O investimento analisado daria os seguintes valores uniformes : 
 
U = 50.000 (U/P; 20%; 10) 
U = 50.000 x 0,239 
U = 11.950 
 
Como os dividendos oferecidos são de $15.000, maiores que $12.000 concluímos ser interessante 
o investimento proposto por oferecer dividendos maiores que os da taxa mínima de atratividade. 
 
 
 
7. Taxa interna de retorno - TIR 
 
A TIR de um fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor presente é nulo. 
 
Exemplo : É feito um investimento de $1.000 que renderá $200 por ano durante 6 anos. Qual a 
TIR deste investimento ? 
 
P = -1.000 + 200(P/U; i%; n) 
(P/U; i%; n) = 5 
Verificando nas tabelas, os valores mais próximos a 5 para (P/A; i%; 6) correspondem às taxas de 
5,4 e 5,5% 
 
Frequentemente, a taxa TIR só pode ser encontrada por tentativas. Como regra geral : 
 
1) arbitra-se uma taxa e calcula-se o valor presente do fluxo de caixa; 
2) sendo o valor presente positivo, aumenta-se o valor da taxa e recalcula-se; sendo negativo, 
diminui-se o valor da taxa 
3) repete-se o passo anterior até que se chegue a um valor 
próximo de zero. 
 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 11 
8. Inflação 
 
Não abordaremos nenhuma análise sobre a inflação nem qualquer teoria objetivando seu 
combate. Trataremos apenas de assuntos resultantes de sua existência. 
 
De uma forma geral, nos estudos apresentados, foram considerados condições estáveis da 
moeda. Geralmente, os estudos são feitos em condições estáveis da moeda, por não ser possível 
prever com exatidão, condições futuras das contribuições de um Fluxo de Caixa, sob influência da 
inflação. 
 
Os acertos reais dos valores, relativos a duas épocas, referidos em condições estáveis da moeda, 
são realizados com o auxílio de índices de referência. Tais índices expressam situações em várias 
épocas relacionadas a uma espécie enunciada, por meio dos quais pode-se atualizar os valores 
das épocas de espécie referida. Conforme a espécie referida, poderíamos ter : índices de preços 
ao consumidor, índices de preços por atacado, índice geral de preços, etc.. 
 
 
 
8.1. Inflação e Juros 
 
Quando um compromisso está sujeito à inflação (correção monetária, que visa tornar o valor do 
compromisso, corrigido monetariamente, de acordo com determinado índice. 
 
Um investimento de $1.000 por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e mais a 
correção monetária devido a inflação. Se ao fim de um ano a inflação for de f = 35%, $1.000 ao 
fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo), vale : 
 
 $1.000/(1+0,35) 
 
o empreendimento paga ao fim de um ano $1.000(1+0,06)(1+0,35), inclui a correção monetária o 
poder aquisitivo é : 
 
 1.000 (1+0,06)(1+0,35) = 1.000(1+0,06) 
 (1+0,35) 
 
É possível raciocinar com o dinheiro a valor constante (em termos de poder aquisitivo) 
 
Pressuposto : todos os preços, custos, contratos, etc., sejam reajustados no fim de cada período 
de exatamente o valor da correção monetária que compensa a inflação. 
Caso contrário : proceder às análises com juros totais (inclusive a inflação) j e valores monetários. 
 
Ao comprar um imóvel com parcelas de dinheiro com correção monetária significa que as 
mudanças nas parcelas consideradas entre os períodos t e t-1 são tais que 
 
 Pt = Pt-1 ( 1 + f ) , onde f é o valor de correção monetária 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 12 
considerando um processo que paga juros i mais correção monetária f sobre um capital K, o 
montante correspondente (juros + correção monetária) ao fim de um período é : 
 
 K( 1 + j ) = K ( 1 + i ) ( 1 + f ) = K ( 1+ i + f + i f ) 
 
Ao considerar o fator j = ( i + f ) estaremos cometendo um erro, principalmente se i e f forem 
valores elevados. 
 
 
9. Amortização : Cálculo do Saldo Devedor 
 
 
Análise de sistemas de pagamento 
 
 pagamento uniforme (sistema PRICE) 
 
 amortização constante (sistema SAC) 
 
 
9.1. Pagamento Uniforme – Sistema Price 
 
Pagamento uniforme ou método dos equivalentes uniformes anuais 
 
Ao pagar uma parcela de uma dívida, é interessante saber : 
 
- quanto corresponde aos juros sobre o saldo devedor 
 
- quanto corresponde à reposição do principal (capital inicial) 
 
 
Quando pagamos uma unuidade Am, a mesma se compõe de : 
- uma parcela correspondente aos juros Km sobre o saldo devedor 
- outra Km de reposição do capital 
 
 Am = Km + Km para o período seguinte tem-se : 
 
 Am+1 = Km+1 + Km+1 
 
mas os pagamentos são uniformes Am = Am+1 
 
Desta forma : 
 Km - Km+1 = Km+1 - Km 
 
a diferença Km - Km+1 é igual ao juro da parcela do capital principal, reposta entre os tempos 
m e m+1 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 13 
ou seja, Km - Km+1 = i Km (onde i é a taxa de juros) 
 
Assim, 
 Km+1 = Km + i Km = Km ( 1 + i ) 
 
As cotas de reposição do capital inicial aumentam em progressão geométrica, com razão ( 1 + i ) 
 
 
9.2. Sistema de Amortização Constante 
 
A parcela de reposição do capital é constante 
 
Os juros são pagos no fim do período sobre o total do saldo devedor correspondente ao período 
 
 
As parcelas globais a pagar são decrescentes (não uniformes) 
 
 
 
10. Análise de alternativas 
 
 
10.1. Critérios econômicos para seleção de alternativas 
 
A Engenharia Econômica fornece critérios para tomada de decisão entre alternativas de 
investimentos. Os critérios levam em consideração fatores econômicos e o objetivo é a escolha da 
alternativa de maior rentabilidade, embora a meta do investidor possa não ser apenas esta. 
 
É importante destacar que a questão econômica não é o único fator a ser considerado na decisão 
final. Nem sempre as propostasde investimento mais rentáveis podem ser realizadas, 
normalmente devido as limitações dos recursos. A análise da disponibilidade destes, dos encargos 
financeiros assumidos, etc., deve ser feita paralelamente, o que é denominado análise Financeira 
dos Investimentos. 
 
Além disso, existem outros fatores que podem influir na avaliação final e que não podem ser 
reduzidos a valores monetários. São os chamados fatores imponderáveis. Sua avaliação tem 
caráter subjetivo e depende daqueles que têm a responsabilidade da decisão. 
 
Os métodos de comparação de alternativas de investimentobaseiam-se no princípio de 
equivalência. Isto pressupõe uma taxa de juros que será aplicada na avaliação de cada uma das 
alternativas. Resumidamente, serão apresentados três métodos de avaliação: método do valor 
atual, método do equivalente uniforme e da taxa de retorno. 
 
 
 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 14 
10.2. Método do Valor Atual ou Valor Presente 
 
No método do Valor Atual calcula-se o valor do fluxo de caixa, com o uso de uma taxa de juros, 
normalmente a taxa minima de atratividade. Sendo o valor atual positivo, a proposta de 
investimento é atrativa. No caso de duas ou mais propostas, escolhe-se a de maior valor atual. 
 
Sejam as alternativas I e II 
 
 
 500 600 500 550 400 550 450 550 
 
 
 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 
 
 1000 1200 
 
 alternativa I alternativa II 
 
A alternativa I da figura acima é sempre melhor que a alternativa II; a cada período seus valores 
são sempre superiores. 
 
 
Vejamos agora as alternativas III e IV 
 
 200 500 300 1000 200 300 600 1000 
 
 
 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 
 
1000 1000 
 
 alternativa III alternativa IV 
 
 
No segundo caso (alternativas III e IV), a análise entre as alternativas já não é tão simples. A 
simples somatória das parcelas é inviável. 
 $ 500 no período 2 vale mais ou menos que uma parcela de $ 600 no período 3 ? 
 
O método do Valor Atual consiste em « transportar » todos os valores para o ponto t = 0. 
 
Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes, às séries 
correspondentes e compará-los para decidir qual a melhor. 
 
É importante observar que ao se investir uma quantia exatamente a taxa de atratividade, o valor 
presente do projeto sera nulo. Um valor atual positivo indica que está investindo a uma taxa 
PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 15 
superior à taxa de atratividade. Ou seja, as quantias futuras, descontadas à taxa mínima de 
atratividade, superam o investimento inicial necessário. O inverso ocorre para valores presentes 
negativos o que significa que se está investindo mais do que se irá obter. 
 
 
10.3. Alternativas com durações desiguais 
 
A engenharia econômica compara sempre alternativas que devem apresentar durações iguais, o 
que nem sempre ocorre na realidade. Para transpor essa dificuldade podemos empregar um 
artifício para que seja possível a comparação das alternativas com durações diferentes. 
 
Trata-se da adoção de uma duração final comum a todas as alternativas. Adota-se o Mínimo 
múltiplo comum das duas (ou mais) durações e emprega-se o Método do Valor Atual 
normalmente, comparando-se as diferentes alternativas para chegar à melhor escolha em termos 
econômicos. 
 
 
10.4. Método do Equivalente Uniforme Periodico ou Anual 
 
A comparação entre as alternativas de investimento pelo método do Equivalente Uniforme 
Periódico ou Anual é feita reduzindo-se o fluxo de caixa de cada alternativa a uma série uniforme, 
com o uso de uma taxa de juros específica (taxa mínima de atratividade). Os valores obtidos são 
confrontados, permitindo a tomada de decisão. 
Seja um investimento no qual obtemos uma série de valores diferentes. Podemos transformar 
estes valores diferentes em valores uniformes iguais. 
 
 Facilidade de análise 
 
transformar todos os valores de cada alternativa em uma série equivalente uniforme de mesma 
duração e comparar os elementos das séries 
 
em princípio, para cada alternativa uma duração igual ao mínimo múltiplo comum (repetição dos 
ciclos) 
 
Observa-se : o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual ao m.m.c. conincidirá 
com o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual a apenas um ciclo 
 
Neste caso não há necessidade de determinar o mínimo múltiplo comum das duas alternativas. 
 
Resolve-se diretamente, calculando-se o equivalente uniforme, mesmo com durações desiguais 
 
O princípio da Engenharia Econômica de comparar sempre alternativas com durações desiguais 
continua sendo respeitado. 
 
Continua em vigor a consideração da repetitividade dos ciclos.