Estruturas Algébricas Teoria dos Grupos

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Cap´ıtulo 5
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos
Grupos
Neste cap´ıtulo, faremos uma primeira introduc¸a˜o ao estudo dos grupos e de suas
propriedades gerais, estudo esse conhecido pelo nome de Teoria dos Grupos. No
preaˆmbulo, faremos contato com os conceitos de semi-grupos e mono´ides.
5.1 Semi-grupos, mono´ides e grupos
Definic¸a˜o 5.1 Seja A um conjunto na˜o vazio e seja ∗ uma operac¸a˜o em A. A
estrutura alge´brica (A, ∗) e´ denominada um
1. semi-grupo se ∗ e´ uma operac¸a˜o associativa;
2. mono´ide se ∗ e´ uma operac¸a˜o associativa e tem um elemento neutro e ∈ A;
3. grupo se ∗ e´ associativa, tem um elemento neutro e ∈ A, e cada elemento
a ∈ A e´ invert´ıvel na operac¸a˜o ∗.
Ale´m disso, em cada um dos casos 1, 2 e 3 acima, acrescenta-se o adjetivo comu-
tativo se ∗ e´ tambe´m comutativa. Assim, por exemplo, um semi-grupo comutativo
e´ um semi-grupo com operac¸a˜o comutativa.
Um grupo abeliano e´ um grupo comutativo.
Note que um grupo e´ tambe´m um mono´ide e que um mono´ide e´ tambe´m
um semi-grupo.
Exemplo 5.1 (N,+) e´ um mono´ide comutativo, mas na˜o e´ um grupo, ja´ que
nenhum nu´mero natural n ≥ 1 e´ invert´ıvel na adic¸a˜o em N.
Exemplo 5.2 (Z,+) e´ um grupo abeliano, de elemento neutro 0, sendo o ele-
mento inverso (inverso aditivo) de cada inteiro a ∈ Z o seu oposto −a.
78
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 79
Exemplo 5.3 (O mono´ide das transformac¸o˜es de um conjunto A)
Seja A um conjunto na˜o vazio. Uma transformac¸a˜o de A (ou em A) e´ uma func¸a˜o
f :A→ A.
Seja M(A) o conjunto de todas as transformac¸o˜es em A, e seja ◦ a operac¸a˜o
composic¸a˜o de func¸o˜es, restrita a M(A).
Recordemo-nos que dadas duas func¸o˜es quaisquer g:X → Y e h:Y → Z, a
func¸a˜o composta de h e g (atenc¸a˜o para a ordem em que sa˜o tomadas!) e´ definida
como sendo a func¸a˜o
ϕ = h ◦ g:X → Z
definida por
ϕ(x) = (h ◦ g)(x) = h(g(x)), ∀x ∈ X
Assim sendo, e´ fa´cil ver que o conjunto M(A) e´ fechado na operac¸a˜o com-
posic¸a˜o de func¸o˜es, e portanto podemos restringir a operac¸a˜o ◦ ao conjunto M(A).
Veremos a seguir que ((M(A), ◦) e´ um mono´ide, na˜o comutativo quando A
tem ao menos dois elementos distintos. Veremos tambe´m que os elementos in-
vert´ıveis de M(A) sa˜o as func¸o˜es bijetoras de A em A (e que portanto, ((M(A), ◦)
na˜o e´ um grupo quando A possui (ao menos) dois elementos distintos).
Existeˆncia de elemento neutro da operac¸a˜o ◦ em M(A).
Considere a aplicac¸a˜o identidade em A, IA:A→ A, definida por
IA(x) = x, ∀x ∈ A
IA e´ o elemento neutro da operac¸a˜o composic¸a˜o em M(A):
Para cada f ∈M(A),
(IA ◦ f)(x) = IA(f(x)) = f(x) e (f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x), ∀x ∈ A
logo
IA ◦ f = f ◦ IA = f
Associatividade da composic¸a˜o em M(A).
Dadas treˆs func¸o˜es quaisquer
f :X → Y, g:Y → Z e h:Z → W
temos
((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x)))
e
(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x)))
∀x ∈ X, e portanto
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)
80 Estruturas Alge´bricas
Assim, a associatividade da composic¸a˜o de func¸o˜es e´ uma propriedade geral
que se aplica tambe´m para as func¸o˜es pertencentes a M(A).
Se A possui dois elementos distintos, ◦ na˜o e´ comutativa.
De fato, sejam a e b dois elementos distintos de A. Considere as transfor-
mac¸o˜es constantes ca:A→ A e cb:A→ A, definidas por
ca(x) = a e cb(x) = b, ∀x ∈ A
Enta˜o, para cada x ∈ A,
(ca ◦ cb)(x) = ca(cb(x)) = ca(b) = a
e
(cb ◦ ca)(x) = cb(ca(x)) = cb(a) = b
ou seja,
ca ◦ cb = ca e cb ◦ ca = cb
e portanto ◦ na˜o e´ comutativa em M(A).
Observac¸a˜o 5.1 Para que se tenha f ◦g 6= g◦f , sendo f, g ∈M(A), e´ suficiente
que se tenha (f◦g)(x0) 6= (g◦f)(x0) para algum elemento x0 ∈ A. No entanto, no
caso das func¸o˜es ca e cb definidas acima, verificamos que (ca◦cb)(x) 6= (cb◦ca)(x),
para cada x ∈ A.
Proposic¸a˜o 5.1 Uma transformac¸a˜o f ∈ M(A) e´ invert´ıvel se e somente se f e´
bijetora.
Demonstrac¸a˜o..
(somente se ou “⇒”) Seja f ∈ M(A) uma transformac¸a˜o invert´ıvel. Enta˜o
existe uma func¸a˜o g ∈M(A) tal que
f ◦ g = g ◦ f = IA
(g e´ chamada transformac¸a˜o inversa de A e e´ denotada por g = f−1).
Veremos enta˜o que a existeˆncia de g acarreta que f e´ injetora e sobrejetora.
De fato,
∀x, y ∈ A, f(x) = f(y) ⇒ g(f(x)) = g(f(y))
⇒ (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y)
⇒ IA(x) = IA(y)
⇒ x = y
Logo, f e´ injetora.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 81
Ale´m disso, para cada y0 ∈ A,
y0 = IA(y0) = (f ◦ g)(y0) = f(g(y0)) = f(x0)
sendo x0 = g(y0).
Ou seja, para cada y0 ∈ A, existe x0 ∈ A tal que f(x0) = y0, e portanto f
e´ tambe´m sobrejetora.
Assim sendo, se f ∈ M(A) e´ invert´ıvel enta˜o f e´ injetora e sobrejetora,
portanto bijetora.
(se ou “⇐”) Seja f ∈ M(A) uma aplicac¸a˜o bijetora, isto e´, injetora e sobreje-
tora.
Definamos uma transformac¸a˜o g ∈M(A) (candidata a func¸a˜o inversa de f)
do seguinte modo:
Para cada a ∈ A, existe b ∈ A tal que f(b) = a (pois f e´ sobrejetora). Ale´m
disso, um tal elemento b e´ u´nico, pois f e´ injetora: se b′ ∈ A e f(b′) = a
enta˜o f(b) = f(b′)⇒ b = b′. Definimos a func¸a˜o g no ponto a por:
g(a) = b
Notemos enta˜o que, uma vez definida a func¸a˜o g, para cada a ∈ A e cada
b ∈ A, sa˜o equivalentes as igualdades f(a) = b e g(b) = a, ou seja
f(a) = b⇔ g(b) = a
Temos enta˜o que f ◦ g = g ◦ f = IA. De fato:
Para cada x ∈ A, sejam f(x) = α e g(x) = β. Enta˜o teremos g(α) = x e
f(β) = x. Logo,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(β) = x = IA(x)
e
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(α) = x = IA(x)
Se A tem ao menos dois elementos, (M(A), ◦) na˜o e´ um grupo.
De fato, se A tem ao menos dois elementos distintos a e b, as func¸o˜es ca e
cb definidas acima na˜o sa˜o sobrejetoras, portanto na˜o sa˜o invert´ıveis na operac¸a˜o
composic¸a˜o em M(A).
Sendo assim a estrutura alge´brica (M(A), ◦), com A tendo ao menos dois
elementos distintos, e´ um mono´ide na˜o comutativo e na˜o e´ um grupo.
82 Estruturas Alge´bricas
5.1.1 Problemas complementares
1. ©^. . Seja A um conjunto na˜o vazio e seja ∗ uma operac¸a˜o em A, com
elemento neutro e. Sendo a um elemento de A,
(a) dizemos que um elemento x ∈ A e´ um inverso a` direita de a, na
operac¸a˜o ∗, se a ∗ x = e;
(b) dizemos que um elemento y ∈ A e´ um inverso a` esquerda de a, na
operac¸a˜o ∗, se y ∗ a = e.
Prove que se ∗ e´ associativa e a ∈ A possui um inverso a` direita x e um
inverso a` esquerda y, enta˜o x = y, e portanto a e´ invert´ıvel na operac¸a˜o ∗.
2. Sejam f, g ∈ M(A), sendo M(A) o mono´ide das transformac¸o˜es de um
conjunto na˜o vazio A (veja exemplo 5.3).
(a) ©. . Mostre que se f ◦ g = IA enta˜o g e´ injetora e f e´ sobrejetora.
(b) ©_. . Mostre que se g e´ injetora entao existe uma transformac¸a˜o ϕ ∈
M(A) que e´ inversa a` esquerda de g.
(c) ©_. . Mostre que se f e´ sobrejetora entao existe uma transformac¸a˜o
ψ ∈M(A) que e´ inversa a` direita de f .
3. Considere o mono´ide das transformac¸o˜es do conjunto N dos nu´meros nat-
urais, M(N), munido da operac¸a˜o composic¸a˜o (refira-se ao exemplo 5.3).
Considere as transformac¸o˜es f, g ∈M(N), definidas por
f(x) = x+ 1
e
g(x) =
{
0, se x = 0
x− 1, se x ≥ 1
(a) ©. . Mostre que g ◦ f = IN, e portanto f e´ uma transformac¸a˜o inversa
a` direita de g (e g e´ uma transformac¸a˜o inversa a` esquerda de f).
(b) ©^. . Verifique que f e g sa˜o transformac¸o˜es na˜o invert´ıveis e que, por-
tanto, nem f possui uma transformac¸a˜o inversa a` direita, nem g possui
uma transformac¸a˜o inversa a` esquerda.
(c) ©. . Mostre que f tem uma infinidade de transformac¸o˜es inversas a`
esquerda. [Sugesta˜o: Altere g, redefinindo g(0).]
(d) ©. . Mostre que g tem (exatamente) duas transformac¸o˜es inversas a`
direita. [Sugesta˜o: Mostre que se h e´ uma inversa a` direita de g,
enta˜o: (a) h(0) = 0 ou h(0) = 1; (b) para cada x ∈ N, x ≥ 1, tem-se
h(x) ≥ 1 e portanto h(x) = x+ 1.]
4. ©^. . Mostre que o conjunto constitu´ıdodas treˆs permutac¸o˜es
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
, σ =
(
1 2 3
2 3 1
)
e τ =
(
1 2 3
3 1 2
)
munido da operac¸a˜o de composic¸a˜o, constitui um grupo.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 83
5. ©^. . Dadas as permutac¸o˜es
f1 =
(
1 2 3 4 5
3 4 2 1 5
)
e f2 =
(
1 2 3 4 5
4 2 5 1 3
)
calcule
(a) f 21 = f1 ◦ f1 (b) f 31 = f 21 ◦ f1 (c) f 41 = f 31 ◦ f1
(d) f−12 (e) f1 ◦ f−12 (f) f 22
6. ©. . Seja (A, ∗) um mono´ide no qual a equac¸a˜o a ∗ x = b tem soluc¸a˜o,
∀a, b ∈ A. Mostre que (A, ∗) e´ um grupo.
5.2 Grupos e suas Propriedades Elementares
Abrimos esta sec¸a˜o, redefinindo o conceito de grupo.
Definic¸a˜o 5.2 Uma estrutura alge´brica (G, ∗) e´ um grupo se satisfaz as seguin-
tes propriedades:
(G1) ∗ e´ uma operac¸a˜o associativa, isto e´, ∀x, y, z ∈ G, tem-se
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
(G2) ∗ tem elemento neutro, isto e´, existe e ∈ G tal que
x ∗ e = e ∗ x = x
para cada x ∈ G.
(G3) cada elemento de G e´ invert´ıvel na operac¸a˜o ∗, ou seja, para cada x ∈ G,
existe x′ ∈ G (chamado inverso de x na operac¸a˜o ∗), tal que
x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
Observac¸a˜o 5.2 Recordamos que, conforme os teoremas 3.1 e 3.2 do cap´ıtulo 4,
sendo (G, ∗) um grupo,
1. Existe um u´nico elemento e ∈ G, elemento neutro da operac¸a˜o ∗ em G.
2. Para cada x ∈ G, existe um u´nico elemento x′ ∈ G, elemento inverso de x
relativamente a` operac¸a˜o ∗.
3. Se x e y sa˜o elementos de G, de inversos x′ e y′, respectivamente, enta˜o
y′ ∗ x′ e´ o inverso de x ∗ y em G.
Recordamos tambe´m que se ∗ e´ uma operac¸a˜o comutativa, o grupo (G, ∗) e´
chamado de grupo abeliano.
84 Estruturas Alge´bricas
Observac¸a˜o 5.3 Recordamos tambe´m que, sendo (G, ∗) um grupo, as seguintes
convenc¸o˜es notacionais sa˜o habitualmente adotadas:
operac¸a˜o ∗ denominac¸a˜o especial elemento neutro elemento inverso
do grupo de x ∈ G
+ grupo aditivo 0 (zero) −x (oposto de x)
· grupo multiplicativo 1G ou 1 ou e x−1
Lembramos ainda que, convencionalmente, grupos aditivos sa˜o sempre abe-
lianos. Em outras palavras, na˜o e´ de bom senso denotar por + uma operac¸a˜o na˜o
comutativa.
Proposic¸a˜o 5.2 Sendo (G, ∗) um grupo
1. Valem em G as leis do cancelamento: ∀a, b, c ∈ G,
a ∗ b = a ∗ c⇒ b = c
b ∗ a = c ∗ a⇒ b = c
2. Sendo a e b elementos de G, as equac¸o˜es
a ∗ x = b e y ∗ a = b
tem, cada uma delas, uma u´nica soluc¸a˜o em G.
Demonstrac¸a˜o.. Sejam a, b e c elementos de G, seja e ∈ G o elemento neutro de
∗, e seja a′ ∈ G o elemento inverso de a na operac¸a˜o ∗.
1. Se a ∗ b = a ∗ c enta˜o
a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c)⇒
(a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c⇒
e ∗ b = e ∗ c
logo b = c.
Analogamente, b ∗ a = c ∗ a⇒ b = c.
2.
a ∗ x = b ⇔ a′ ∗ (a ∗ x) = a′ ∗ b
⇔ (a′ ∗ a) ∗ x = a′ ∗ b
⇔ e ∗ x = a′ ∗ b
⇔ x = a′ ∗ b
o que demonstra a existeˆncia (x = a′ ∗ b) e unicidade da soluc¸a˜o da equac¸a˜o
a ∗ x = b.
Analogamente, a equac¸a˜o y ∗ a = b possui uma u´nica soluc¸a˜o, a saber
y = b ∗ a′.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 85
Observac¸a˜o 5.4 No monoide multiplicativo (Z12, ·) na˜o sa˜o va´lidas as leis do
cancelamento: 3 · 2 = 3 · 6 = 6, mas 2 6= 6.
Ale´m disso, a equac¸a˜o 3 · x = 6 tem 3 soluc¸o˜es em Z12, a saber 2, 6 e 10.
Por outro lado, a equac¸a˜o 3 · x = 2 na˜o tem soluc¸a˜o em Z12.
5.2.1 Bons exemplos de grupos
Como primeiros exemplos de grupos, lembremo-nos de que se (A,+, ·) e´ um anel,
enta˜o (A,+) e´ um grupo abeliano, chamado o grupo aditivo do anel A.
Alem disso, se (K,+, ·) e´ um corpo, temos o grupo multiplicativo (K∗, ·)
dos elementos na˜o nulos do corpo K.
O grupo S(A) das permutac¸o˜es de um conjunto A
Definic¸a˜o 5.3 Sendo A um conjunto na˜o vazio, chama-se permutac¸a˜o em A (ou
de A) toda func¸a˜o bijetora f :A→ A.
Denotaremos o conjunto das permutac¸o˜es em A por S(A). Note que S(A)
e´ um subconjunto de M(A), o conjunto das transformac¸o˜es de A, explorado no
exemplo 5.3.
Ale´m disso, S(A) e´ fechado na operac¸a˜o composic¸a˜o de func¸o˜es, isto e´,
dadas duas transformac¸o˜es f, g ∈ S(A) tem-se f ◦ g ∈ S(A), pois a composic¸a˜o
de func¸o˜es bijetoras e´ uma func¸a˜o bijetora. De fato,
f, g ∈ S(A) ⇒ f e g sa˜o func¸o˜es bijetoras de A em A
⇒ f e g sa˜o func¸o˜es invert´ıveis na operac¸a˜o ◦ em M(A)
⇒ f ◦ g e´ func¸a˜o invert´ıvel na operac¸a˜o ◦ em M(A)
⇒ f ◦ g e´ func¸a˜o bijetora de A em A
⇒ f ◦ g ∈ S(A)
Assim, a operac¸a˜o ◦ de M(A) pode ser restringida ao conjunto S(A). Como
a aplicac¸a˜o identidade IA esta´ em S(A), e como ◦ e´ associativa, (S(A), ◦) e´ um
mono´ide.
Ale´m disso, se f ∈ S(A) e g e´ a transformac¸a˜o inversa de f , enta˜o g e´
tambe´m invert´ıvel, com inversa g−1 = f , e portanto g e´ bijetora, ou seja g ∈ S(A).
Logo, cada elemento de S(A) e´ invert´ıvel em S(A) na operac¸a˜o composic¸a˜o.
Portanto (S(A), ◦) e´ um grupo, denominado grupo das permutac¸o˜es de A
ou grupo sime´trico de A.
86 Estruturas Alge´bricas
Finalmente, chamamos a atenc¸a˜o para o fato de que se A tem ao menos
treˆs elementos distintos, entao (S(A), ◦) na˜o e´ um grupo abeliano.
De fato, suponhamos que A possui treˆs elementos a, b e c, distintos dois a
dois. Considere as transformac¸o˜es f e g de A em A definidas por
f(x) =

a, se x = b
b, se x = a
x, se x 6= a e x 6= b
g(x) =

a, se x = c
c, se x = a
x, se x 6= a e x 6= c
Como f ◦ f = IA e g ◦ g = IA, temos que f, g ∈ S(A).
Agora,
(f ◦ g)(a) = f(g(a)) = f(c) = c
e
(g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = b
e portanto f ◦ g 6= g ◦ f .
Como visto no cap´ıtulo 3, se A e´ um conjunto com 3 ou mais elementos,
enta˜o o grupo S(A), das permutac¸o˜es de A, e´ na˜o abeliano. Assim Sn e´ na˜o
comutativo se n ≥ 3.
Definic¸a˜o 5.4 (Ordem de um grupo) Sendo (G, ∗) um grupo, dizemos que a
ordem de G e´ igual a n, e denotamos
|G| = n
se G e´ um conjunto finito de n elementos. Por exemplo, |Sn| = n!.
Se G e´ um conjunto infinito, dizemos que G tem ordem infinita e denotamos
|G| =∞. Por exemplo, a ordem do grupo aditivo (Z,+) e´ infinita.
O grupo Sn das permutac¸o˜es de n elementos
Considere o grupo S(A) do exemplo 5.2.1, no caso em que A = {x1, . . . , xn},
com n ≥ 1.
Neste caso particular, denotamos S(A) = Sn e o grupo (Sn, ◦) passa a ser
chamado grupo das permutac¸o˜es de n elementos ou grupo sime´trico de grau n.
Para cada func¸a˜o f ∈ Sn, isto e´, para cada func¸a˜o bijetora
f : {x1, . . . , xn} → {x1, . . . , xn}
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 87
temos
f(x1) = xi1 , f(x2) = xi2 , . . . , f(xn) = xin
para certos ı´ndices i1, . . . , in dentre 1, . . . , n, sendo {i1, . . . , in} = {1, . . . , n}.
Denotamos uma tal permutac¸a˜o f por
f =
(
x1 x2 . . . xn
xi1 xi2 . . . xin
)
O nu´mero de permutac¸o˜es de n elementos, ou seja, o nu´mero de elementos
de Sn, e´ precisamente n! (leia-se “n fatorial”), sendo
n! =
{
1, se n = 0
n · (n− 1)!, se n ≥ 1
Para n ≥ 2, n! = n · (n− 1) · · · 2 · 1.
A ta´bua do grupo (S3, ◦)
Para simplificar as notac¸o˜es, em lugar de treˆs elementos gene´ricos x1, x2 e x3,
tomaremos os nu´meros 1, 2 e 3, e assim olharemos o grupo S3 como sendo o
grupo das permutac¸o˜es de {1, 2, 3}.
|S3| = 3! = 3 ·2 ·1 = 6, sendo S3 constitu´ıdo das seguintes seis permutac¸o˜es
I =
(
1 2 3
1 2 3
)
, f1 =
(
1 2 3
2 1 3
)
, f2 =
(
1 2 3
3 2 1
)
f3 =
(
1 2 3
1 3 2
)
, f4 =
(
1 2 3
2 3 1
)
, f5 =
(
1 2 3
3 1 2
)
A ta´bua do grupo S3, isto e´, a ta´bua da operac¸a˜o ◦ em S3, e´ dada abaixo:
◦ I f1 f2 f3 f4 f5
I I f1 f2 f3 f4 f5
f1 f1 I f5 f4 f3 f2
f2 f2 f4 I f5 f1 f3
f3 f3 f5 f4 I f2 f1
f4 f4 f3 f1 f2 f5 I
f5 f5 f2 f3 f1 I f4
Para calcular a permutac¸a˜o composta de duas permutac¸o˜es de S3, podemos
proceder como nos exemplos abaixo:
f1 ◦ f3 =
(
1 2 3
2 1 3
)
◦
(©1 2 3
1 3 2
)
=
(©1 2 3
2 3 1
)
= f4
88 Estruturas Alge´bricas
f4 ◦ f5 =
(1 2 3
2 3 1
)
◦
(
1 2 ©3
3 1 2
)
=
(
1 2 ©3
1 2 3
)
= I = f5 ◦ f4
em que, como exemplo, na composic¸a˜o f4 ◦ f5, observamos que
(f4 ◦ f5)(©3 ) = f4(f5(©3 ) = f4(2) = 3 .
Justificaremos o procedimento usado acima para compor as permutac¸o˜es
apenas observando que
escrevendo f1 =
(
1 2 3
2 1 3
)
queremos dizer
f1(1) = 2
f1(2) = 1
f1(3) = 3
e
escrevendo f3 =
(
1 2 3
1 3 2
)
queremos dizer
f3(1) = 1
f3(2) = 3
f3(3) = 2
e assim, conforme assinalado acima, indicando elementos por c´ırculos, sublinhados
e quadrados,
(f1 ◦ f3)(©1 ) = f1(f3(©1 ) = f1(1) = 2
bem como tambe´m
(f4 ◦ f5)(©3 ) = f4(f5(©3 ) = f4(2) = 3
Observe tambe´m que para inverter uma permutac¸a˜o, dada na forma tabular,
basta permutar suas duas linhas, isto e´, copia´-la de “cabec¸a para baixo”, e enta˜o
reordenar as colunas segundo a reordenac¸a˜o dos elementos da primeira linha, como
nos seguintes exemplos em S3:
f−14 =
(
1 2 3
2 3 1
)−1
=
(
2 3 1
1 2 3
)
=
(
1 2 3
3 1 2
)
= f5
bem como
f−13 =
(
1 2 3
1 3 2
)−1
=
(
1 3 2
1 2 3
)
=
(
1 2 3
1 3 2
)
= f3
Certifique-se de que voceˆ sabe calcular as entradas da ta´bua do grupo S3
dada acima!
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 89
5.2.2 Problemas Complementares
1. Seja G = {a1, a2, . . . , an} um grupo abeliano. Mostre que sendo x =
a1 · a2 · · · an, enta˜o x2 = e.
2. Sejam (G, ∗) e (G′,unionsqu) dois grupos. Define-se o produto direto dos grupos
G e G′ como sendo o grupo (G × G′, ◦), sendo ◦ a operac¸a˜o em G × G′
definida por (a, b) ◦ (c, d) = (a ∗ c, bunionsqu d), ∀(a, b), (c, d) ∈ G×G′.
Mostre que (G × G′, ◦) e´ de fato um grupo, de elemento neutro (e, e′),
sendo e e e′ os elementos neutros de G e G′, respectivamente. Note que se
|G| = m e |G′| = n enta˜o |G×G′| = mn = |G| · |G′|.
3. Mostre que cada uma das estruturas alge´bricas dadas abaixo e´ um grupo.
Classifique cada grupo como sendo abeliano ou na˜o.
Nota. Em cada um dos itens abaixo voceˆ devera´ mostrar:
(1o) que · (ou ◦) e´ de fato uma operac¸a˜o no conjunto G dado, isto e´, que
x ∈ G e y ∈ G⇒ x · y( ou x ◦ y) ∈ G
(2o) que a operac¸a˜o definida em G e´ associativa e possui elemento neutro
em G;
(3o) que cada elemento x ∈ G possui um elemento inverso na operac¸a˜o
dada e que esse inverso e´ um elemento de G.
(a) ©^. . (G, ·), sendo
G = {X ∈M(2,R) | detX 6= 0}
e · e´ a operac¸a˜o multiplicac¸a˜o de matrizes.
[Sugesta˜o simplificadora: Admita, a priori, que a multiplicac¸a˜o de ma-
trizes e´ associativa].
(b) ©. . (G, ◦), sendo
G = {fa,b | a, b ∈ R e a 6= 0}
em que, para cada a ∈ R, a 6= 0, e cada b ∈ R, fa,b e´ a func¸a˜o R→ R
definida por
fa,b(x) = ax+ b
e ◦ e´ a operac¸a˜o composic¸a˜o de func¸o˜es.
[Sugesta˜o simplificadora: Admita, a priori, que a composic¸a˜o de func¸o˜es
e´ associativa].
(c) ©. . (S1, ·), sendo
S1 = {z ∈ C | z = cos θ + isen θ, θ ∈ R}
e · e´ a multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos.
[Sugesta˜o simplificadora: Admita, a priori, que a multiplicac¸a˜o de
nu´meros complexos (veja sec¸a˜o 4.5.2) e´ associativa].
90 Estruturas Alge´bricas
(d) ©. . (G, ·), sendo
G = {a+ b
√
2 | a, b ∈ Q, a 6= 0 ou b 6= 0}
sendo · a multiplicac¸a˜o de nu´meros reais.
[Sugesta˜o simplificadora: Use o fato de que a multiplicac¸a˜o de nu´meros
reais e´ comutativa e associativa].
5.3 Subgrupos
Definic¸a˜o 5.5 Sejam (G, ∗) um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que
H e´ um subgrupo de G se
1. H e´ fechado na operac¸a˜o ∗, isto e´,
∀a, b ∈ G, a ∈ H e b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H
2. A estrutura algebrica (H, ∗) e´ um grupo.
Exemplo 5.4 Considere (Z12,+), o grupo aditivo do anel dos inteiros mo´dulo 12,
e seu subconjunto H = {0, 3, 6, 9}. Enta˜o H e´ fechado na adic¸a˜o de Z12, como
se pode constatar pela seguinte ta´bua:
+ 0 3 6 9
0 0 3 6 9
3 3 6 9 0
6 6 9 0 3
9 9 0 3 6
Como se veˆ, se a, b ∈ H enta˜o a+ b = a+ b esta´ em H. Ale´m disso, e´ fa´cil
ver que (H,+) e´ tambe´m um grupo — a adic¸a˜o de H e´ associativa, visto que e´
restric¸a˜o da adic¸a˜o em Z12 —, de elemento neutro 0, sendo os opostos (inversos
aditivos) de 3, 6 e 9 iguais a 9, 6 e 3, respectivamente.
Proposic¸a˜o 5.3 Sejam (G, ∗) um grupo e H um subgrupo de G.
1. Se eG e eH sa˜o os elementos neutros de ∗ em G e em H, respectivamente,
enta˜o eG = eH .
2. Para cada x ∈ H, sejam x′ e x̂ os elementos inversos de x em G e em H,
respectivamente. Enta˜o x′ = x̂.
Demonstrac¸a˜o.. Sejam eG, eH , x
′ e x̂ como no enunciado.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 91
1. Como eG e´ o elemento neutro de ∗ em G, e eH ∈ G, temos
eG ∗ eH = eH
Por outro lado, sendo eH o elemento neutro de ∗ em H,
eH ∗ eH = eH
Logo, eG ∗ eH = eH ∗ eH . Pelas leis do cancelamento em G (proposic¸a˜o
5.2), eG = eH .
2. Por hipo´tese,
x ∗ x′ = eG e x ∗ x̂ = eH
Pelo item 1, demonstrado acima, eG = eH , logo
x ∗ x′ = x ∗ x̂
de onde, pelas leis do cancelamento em G, x′ = x̂, .
Observac¸a˜o 5.5 As propriedades enunciadas na proposic¸a˜o 5.3 podem na˜o ser
va´lidas se a estrutura (G, ∗) na˜o e´ um grupo. Por exemplo, podemos definir o
conceito de sub-mono´ide de um mono´ide (M, ∗), como sendo um subconjunto S
de M , tal que S e´ fechado na operac¸a˜o ∗ e (S, ∗) e´ tambe´m um mono´ide. Nesse
caso, o elemento neutro de ∗ em S pode na˜o coincidir com o elemento neutro de
∗ em M .
Para ver isto, consideremos o mono´ide multiplicativo (Z20, ·), sendo · a mul-
tiplicac¸a˜o do anel (Z20,+, ·). Como sabemos, Z20 = {0, 1, 2, . . . , 18, 19}, sendo 1
o elemento neutro da multiplicac¸a˜o em Z20.
Consideremos agora o subconjunto de Z20, S = {0, 5, 10, 15}. Pela tabela
de multiplicac¸a˜o
· 0 5 10 15
0 0 0 0 0
5 0 5 10 15
10 0 10 0 10
15 0 15 10 5
observamos que
1. S e´ fechado na operac¸a˜o multiplicac¸a˜o, “herdada” de Z20.
2. eS = 5 e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜o de S.
Como a multiplicac¸a˜o de Z20 e´ associativa, (S, ·) e´ um mono´ide. Embora sub-
conjunto do mono´ide Z20, S tem elemento neutro eS = 5, diferente do elemento
neutro de · em Z20.
Notamos ainda que 15 e´ invert´ıvel em S, pois 15 · 15 = 5 = eS, na˜o sendo
pore´m invert´ıvel em Z20, ja´ que mdc (20, 15) 6= 1.
92 Estruturas Alge´bricas
Proposic¸a˜o 5.4 Sejam (G, ∗) um grupo e H um subgrupo de G. Seja e ∈ G o
elemento neutro de ∗. Para cada a ∈ G, seja a′ o inverso de a na operac¸a˜o ∗.
Enta˜o
H e´ um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz a`s seguintes condic¸o˜es:
1. e ∈ H
2. ∀a, b ∈ G, se a ∈ H e b ∈ H enta˜o a ∗ b ∈ H
3. ∀a ∈ G, se a ∈ H enta˜o a′ ∈ H.
Demonstrac¸a˜o.. Suponhamos que H e´ subgrupo de G. Enta˜o, pela definic¸a˜o de
subgrupo, definic¸a˜o 5.5, H e´ fechado na operac¸a˜o ∗ de G. Logo, o item 2 acima
e´ satisfeito. Pela proposic¸a˜o 5.3, o elemento neutro e de ∗ em G esta´ em H, pois
eH = eG = e, logo temos o item 1.
Ale´m disso, se a ∈ H e â e´ seu inverso em H, na operac¸a˜o ∗, enta˜o, pela
proposic¸a˜o 5.3, â = a′, logo a′ ∈ H, e assim temos o item 3.
Logo, se H e´ subgrupo de G enta˜o valem as condic¸o˜es 1, 2 e 3.
Reciprocamente, suponhamos que H ⊂ G satisfaz 1, 2 e 3. Enta˜o, pelo
item 2, ∗ e´ uma operac¸a˜o em H, associativa pois ja´ o era em G. Como e ∈ H
(item 1), ∗ possui elemento neutro em H. Pelo item 3, cada elemento a ∈ H tem
um inverso a′, tambe´m em H, relativamente a` operac¸a˜o ∗.
Logo, pelas condic¸o˜es 1, 2 e 3, H e´ subgrupo de G.
Proposic¸a˜o 5.5 Seja (G, ∗) um grupo de elemento neutro e. Para cada a ∈ G,
seja a′ ∈ G seu inverso na operac¸a˜o ∗. Seja H um subconjunto de G. Enta˜o
H e´ subgrupo de G ⇔
{
(1) H 6= ø, e
(2) Se a, b ∈ H enta˜o a ∗ b′ ∈ H
Demonstrac¸a˜o..
(⇒) Se H e´ um subgrupo de G, enta˜o e ∈ H, logo H 6= ø. Ale´m disso, se
a, b ∈ H, enta˜o, pela proposic¸a˜o 5.4, b′ ∈ H. Logo a, b′ ∈ H, e como H e´
fechado na operac¸a˜o ∗, temos a ∗ b′ ∈ H.
(⇐) Suponhamos agoraque H e´ um subconjunto de G, satisfazendo (1) e (2).
Sendo H 6= ø, tome um elemento x ∈ H. Por (2), temos x ∗ x′ ∈ H, logo
e ∈ H.
Sendo a um elemento qualquer de H, como e ∈ H, temos, por (2), e ∗ a′ ∈
H, logo a′ ∈ H.
Finalmente, se a, b ∈ H, enta˜o b′ ∈ H, conforme acabamos de demonstrar,
e enta˜o, novamente por (2), a ∗ (b′)′ ∈ H (sendo (b′)′ o elemento inverso de
b′ em G, que e´ b), logo a ∗ b ∈ H.
Assim, H satisfaz as condic¸o˜es 1, 2 e 3 da proposic¸a˜o 5.4, e portanto e´
subgrupo de G.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 93
Em vista da observac¸a˜o 5.3, para a proposic¸a˜o 5.5, temos as seguintes adap-
tac¸o˜es notacionais para grupos aditivos e para grupos multiplicativos:
1. Sejam (G,+) um grupo (abeliano) e H um subconjunto na˜o vazio de G.
Enta˜o, H e´ um subgrupo de G se, e somente se, ∀a, b ∈ H, tem-se a−b ∈ H
(a− b significa a+ (−b)).
2. Sejam (G, ·) um grupo e H um subconjunto na˜o vazio de G. Enta˜o, H e´
um subgrupo de G se, e somente se, ∀a, b ∈ H, tem-se ab−1 ∈ H.
Exemplo 5.5 (O grupo dos elementos invert´ıveis de um anel)
Se (A,+, ·) e´ um anel com unidade 1A, o conjunto UA dos seus elementos in-
vert´ıveis formam um grupo multiplicativo:
1. 1A ∈ UA
2. Se a e b sa˜o elementos invert´ıveis do anel A, enta˜o b−1 tambe´m e´ invert´ıvel e,
como o produto de elementos invert´ıveis e´ invert´ıvel, temos que ab−1 ∈ UA
Logo, pela proposic¸a˜o 5.5, UA e´ de fato um grupo.
Exemplo 5.6 No caso do anel (Zm,+, ·), denotamos por Um o grupo UZm dos
seus elementos invert´ıveis. Pela proposic¸a˜o 4.6, temos
Um = {a | mdc (a,m) = 1}
Assim, por exemplo, o grupo multiplicativo dos elementos invert´ıveis de Z20 e´ o
grupo de ordem 8, U20 = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
Exemplo 5.7 Consideremos agora o grupo multiplicativo UM(2,R) das matrizes
invert´ıveis do anel M(2,R), exemplo 4.3.
UM(2,R) e´ habitualmente denotado por GL(2,R).
Conforme vimos no exemplo 4.3,
UM(2,R) = GL(2,R) = {X ∈M(2,R) | detX 6= 0}
Consideremos agora o subconjunto de GL(2,R),
H =
{(
a b
−b a
) ∣∣∣∣ a 6= 0 ou b 6= 0}
Mostraremos que H e´ subgrupo de GL(2,R), aplicando a proposic¸a˜o 5.5.
Notemos primeiramente que se X =
(
a b
−b a
)
, com a, b ∈ R, e com a 6= 0 ou
b 6= 0, enta˜o detX = a2 + b2 > 0, e portanto X e´ invert´ıvel, logo X ∈ GL(2,R).
Portanto, H ⊂ GL(2,R) e, obviamente, H 6= ø, pois, por exemplo, ( 1 1−1 1) ∈ H.
94 Estruturas Alge´bricas
Tomemos agora, X =
(
a b
−b a
)
e Y =
(
c d
−d c
)
, ambos em H (isto e´, com
a2 + b2 6= 0 e c2 + d2 6= 0).
Um ca´lculo simples nos da´
Y −1 =
(
c/(c2 + d2) −d/(c2 + d2)
d/(c2 + d2) c/(c2 + d2)
)
Logo,
XY −1 =
(
a b
−b a
)(
c/(c2 + d2) −d/(c2 + d2)
d/(c2 + d2) c/(c2 + d2)
)
=
(
(ac+ bd)/(c2 + d2) (−ad+ bc)/(c2 + d2)
(−bc+ ad)/(c2 + d2) (bd+ ac)/(c2 + d2)
)
=
(
α β
−β α
)
sendo α = (ad+ bc)/(c2 + d2) e β = (−ad+ bc)/(c2 + d2).
Ale´m disso, α 6= 0 ou β 6= 0, pois
α2 + β2 = det(XY −1)
= (detX)(detY −1)
= (detX)(detY )−1
=
a2 + b2
c2 + d2
> 0
Portanto, se X ∈ H e Y ∈ H enta˜o XY −1 ∈ H.
Logo, pela proposic¸a˜o 5.5, H e´ subgrupo de GL(2,R).
5.3.1 Problemas Complementares
1. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se H e´ subgrupo de G.
(a) H =
{(
cos θ sen θ
−sen θ cos θ
) ∣∣∣ θ ∈ R}, (G, ∗) = (GL(2,R), ·).
(b) H = {z ∈ C | |z| = 1}, (G, ∗) = (C∗, ·), sendo C∗ = C − {0} e · a
multiplicac¸a˜o em C.
(c) H = {0, 3, 6, 9, 12}, (G, ∗) = (Z15,+).
(d) H = {a + b√2 | a, b ∈ Q, e a + b√2 6= 0}, (G, ∗) = (R∗, ·), sendo
R∗ = R− {0}.
(e) H = {a + b 3√2 | a, b ∈ Q, e a + b 3√2 6= 0}, (G, ∗) = (R∗, ·), sendo
R∗ = R− {0}.
2. Sejam G um grupo e H1 e H2 dois subgrupos de G. Mostre que
(a) H1 ∩H2 e´ subgrupo de G
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 95
(b) H1 ∪H2 e´ subgrupo de G ⇔ H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1
3. Seja G um grupo finito e seja H um subconjunto na˜o vazio de G. Mostre
que H e´ subgrupo de G se e somente se H e´ fechado na operac¸a˜o de
G. [Sugesta˜o: Mostre que, para cada elemento a ∈ H, existe um inteiro
positivo n tal que an = e.] Mostre que esta propriedade na˜o se mante´m se
G e´ infinito.
4. Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo de G. Mostre que
se x ∈ G, enta˜o xHx−1 e´ tambe´m um subgrupo de G, sendo xHx−1 =
{xhx−1 | h ∈ H}.
5.4 Grupos C´ıclicos e seus Subgrupos
Definic¸a˜o 5.6 (Poteˆncias de elementos de um grupo) Seja (G, ∗) um
grupo, de elemento neutro e. Para cada x ∈ G, denotemos por x−1 o inverso de
x em G.
Sendo a ∈ G e n ∈ Z, define-se a poteˆncia de base a e expoente n,
denotada por an, como sendo o elemento de G definido por:
1. Se n = 0, an = a0 = e;
2. Para cada n ∈ N, an+1 = an ∗ a;
3. Para cada n ∈ N, a−n = (an)−1.
Note que, de acordo com a definic¸a˜o 5.6, an esta´ definido para cada n natural,
pois esta´ definido para n = 0 e, uma vez definido para n = k, pelo item 2 esta´
tambe´m definido para n = k+ 1. O item 3 estende a definic¸a˜o de an para valores
inteiros negativos de n.
Assim, por exemplo, sendo (G, ∗) um grupo de elemento neutro e, e sendo
a um elemento de G, pela definic¸a˜o 5.6,
a1 = a0 ∗ a = e ∗ a = a;
a2 = a1 ∗ a = a ∗ a;
a3 = a2 ∗ a = (a ∗ a) ∗ a (e denotamos a3 = a ∗ a ∗ a pois ∗ e´ associativa)
Note tambe´m que a−1 tem duplo significado notacional, podendo ser tanto o
inverso de a, como a poteˆncia de base a e expoente −1 — sendo tudo a mesma
coisa pois, interpretado como poteˆncia, a−1 e´ o elemento inverso de a1 e a1 = a.
a−2 = (a2)−1 = (a ∗ a)−1 = a−1 ∗ a−1
a−3 = a−1 ∗ a−1 ∗ a−1
96 Estruturas Alge´bricas
Proposic¸a˜o 5.6 Sejam (G, ∗) um grupo de elemento neutro e. Para cada x ∈ G,
denotemos por x−1 o inverso de x em G. Enta˜o, para quaisquer a, b ∈ G, e
quaisquer m,n ∈ Z, temos:
1. am ∗ an = am+n
2. (an)−1 = a−n
3. (am)n = amn
4. Se G e´ um grupo comutativo, (a ∗ b)n = an ∗ bn
Demonstrac¸a˜o.. A demonstrac¸a˜o dos quatro itens e´ deixada como exerc´ıcio. Sug-
esta˜o: Prove cada item, primeiramente para n ∈ N, por induc¸a˜o sobre n (con-
siderando um valor fixo e gene´rico para m, quando for o caso). Em seguida, prove
cada item para n < 0 fazendo, neste caso, n = − |n|. Para isto, sera´ necessa´rio
ainda provar o item 1, para m ∈ N, por induc¸a˜o sobre m.
Definic¸a˜o 5.7 (Mu´ltiplos de elementos de um grupo aditivo) Seja
(G,+) um grupo, de elemento neutro 0. Sendo a ∈ G e n ∈ Z, define-se o
mu´ltiplo de a com coeficiente n, denotado por na, como sendo o elemento
de G definido por:
1. Se n = 0, na = 0a = 0;
2. Para cada n ∈ N, (n+ 1)a = na+ a;
3. Para cada n ∈ N, (−n)a = −(na).
Assim, por exemplo, sendo G um grupo aditivo, se a ∈ G, pela definic¸a˜o 5.7,
1a = (0 + 1)a = 0a+ a = 0 + a = a;
2a = (1 + 1)a = 1a+ a = a+ a;
3a = (2 + 1)a = 2a+ a = (a+ a) + a (e denotamos 3a = a+ a+ a pela
associatividade de +)
(−1)a = −(1a) = −a
(−2)a = −(2a) = −(a+ a) = −a+ (−a) = −a− a
Abaixo enunciamos a versa˜o “aditiva” da proposic¸a˜o 5.6.
Proposic¸a˜o 5.7 Seja G um grupo aditivo. Para quaisquer a, b ∈ G, e quaisquer
m,n ∈ Z, temos:
1. (m+ n)a = ma+ na
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 97
2. −(na) = (−n)a
3. (mn)a = m(na)
4. n(a+ b) = na+ nb
98 Estruturas Alge´bricas
Proposic¸a˜o 5.8
1. Seja (G, ∗) um grupo e seja a um elemento de G. O conjunto das poteˆncias
de base a e expoentes inteiros,
H = {an | n ∈ Z}
e´ um subgrupo de G.
2. Seja G um grupo aditivo e seja a ∈ G. O conjunto dos mu´ltiplos inteiros de
a,
K = {na | n ∈ Z}
e´ um subgrupo de G.
Demonstrac¸a˜o.. Provamos o item 1 e deixamos o caso aditivo, item 2, como
exerc´ıcio. Sendo e o elemento neutro de G, temos que a0 = e, logo e ∈ H.
Dados x, y ∈ H, temos x = am e y = an, para certos inteiros m e n. Enta˜o,
pela proposic¸a˜o 5.6,
x ∗ y−1 = am ∗ (an)−1 = am ∗ a−n = am+(−n) = am−n
logo x ∗ y−1 ∈ H.
Pela proposic¸a˜o 5.5, H e´ subgrupo de G.
Definic¸a˜o 5.8 (Grupo c´ıclico)Seja (G, ∗) (ou (G,+)) um grupo e seja a ∈ G.
O subgrupo de G,
H = {an | n ∈ Z} (ou, respectivamente, H = {na | n ∈ Z})
e´ chamado grupo c´ıclico gerado por a. Tal grupo e´ denotado por
H = 〈a〉
Assim,
〈a〉 = {am | m ∈ Z}
ou, caso o grupo seja aditivo,
〈a〉 = {ma | m ∈ Z}
(Se existe b ∈ G tal que G = 〈b〉, G e´ ele pro´prio um grupo c´ıclico, gerado por b).
Exemplo 5.8
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 99
1. (Z,+) e´ um grupo c´ıclico pois, para cada n ∈ Z, n = n · 1, logo Z =
{n · 1 | n ∈ Z} = 〈1〉.
2. (Zm,+) tambe´m e´ um grupo c´ıclico gerado por 1: se ∀n ∈ Zm, (n ∈ Z),
n = n · 1.
Proposic¸a˜o 5.9 Seja G = 〈a〉 um grupo c´ıclico finito de ordem |G| = n. Enta˜o,
se G e´ multiplicativo, teremos
G = {e, a, a2, . . . , an−1}
sendo aj 6= e para j = 1, . . . , n− 1, e an = e.
No caso em que G e´ um grupo aditivo, G = {0, a, 2a, . . . , (n− 1)a}, sendo
(n− 1)a 6= 0 e na = 0.
Demonstrac¸a˜o.. Sendo G = 〈a〉 finito, temos que o conjunto
P = {a, a2, a3, a4, . . .} = {am |m ∈ Z,m > 0}
e´ finito, por ser subconjunto de G.
Assim, existem expoentes inteiros positivos m1 e m2, com m1 < m2 e
am1 = am2 .
Logo, am2−m1 = am2 · a−m1 = am2 · (am1)−1 = am1 · (am1)−1 = e.
Como m2 − m1 > 0, conclu´ımos que existe um inteiro positivo k tal que
ak = e.
Seja s o menor dos inteiros positivos k satisfazendo ak = e. Enta˜o as = e e
aj 6= e para j = 1, . . . , s− 1. Mostraremos que G = {e, a, a2, . . . , as−1}.
De fato, seja x um elemento qualquer de G. Como G = 〈a〉, temos x = am,
para algum inteiro m.
Pelo teorema do algoritmo da divisa˜o em Z, teorema 2.1, m = sq + r, para
certos inteiros q e r, com 0 ≤ r < s. Logo
x = am = asq+r = (as)q · ar = eq · ar = e · ar = ar
Como 0 ≤ r ≤ s− 1, temos x ∈ {e, a, a2, . . . , as−1}.
Logo, G ⊂ {e, a, a2, . . . , as−1} e portanto, G = {e, a, a2, . . . , as−1}.
Os elementos do conjunto {e, a, . . . , as−1} sa˜o distintos entre si, pois caso
contra´rio teremos aλ = e para algum inteiro positivo λ, com λ < s.
Logo, |G| = s e portanto n = s. Assim sendo, G = {e, a, . . . , an−1}, sendo
an = e. Ale´m disso, aj 6= e para j = 1, . . . , n− 1.
Proposic¸a˜o 5.10 Todo subgrupo de um grupo c´ıclico e´ tambe´m c´ıclico. Mais
precisamente, se (G, ∗) e´ um grupo c´ıclico gerado por a, e H e´ um subgrupo de
100 Estruturas Alge´bricas
G, enta˜o H = {e} = 〈e〉 (sendo e o elemento neutro de ∗) ou H = 〈as〉, sendo s
o menor dos expoentes positivos n satisfazendo an ∈ H.
No caso aditivo, isto e´, se ∗ = +, temos H = {0} = 〈0〉 ou H = 〈sa〉,
sendo s = min{n ∈ Z | n > 0 e an ∈ H}.
Demonstrac¸a˜o.. (O caso aditivo e´ deixado como exerc´ıcio)
Como G = 〈a〉 = {am | m ∈ Z}, temos que os elementos de H sa˜o certas
poteˆncias de a.
Sendo H um subgrupo de G, podemos ter H = {e}, caso em que H = 〈e〉.
Se H 6= {e}, existe um expoente inteiro `, ` 6= 0, tal que a` ∈ H. Nesse
caso a` e a−` (= (a`)−1) esta˜o ambos em H. Logo, a|`| ∈ H, e assim existe um
expoente positivo n tal que an ∈ H.
Consideremos o conjunto
S = {n ∈ Z | n > 0 e an ∈ H}
S 6= ø (|`| ∈ S) e S ⊂ N. Pelo princ´ıpio do menor inteiro, S possui um menor
elemento s. Mostraremos que H e´ um grupo c´ıclico gerado por as.
Dado x ∈ H, temos x = am para algum inteiro m. Sendo s > 0, pelo
algoritmo da divisa˜o em Z, existem q, r ∈ Z, tal que
m = sq + r, sendo 0 ≤ r < s
Da´ı, r = m− sq, e enta˜o
ar = am−sq = am ∗ a−sq = am ∗ ((as)q)−1
Como x = am ∈ H e y = as ∈ H, temos que ar = x ∗ y−1 ∈ H. Logo,
r = 0, pois 0 ≤ r < s e s e´ o menor dos expoentes positivos n tal que an ∈ H.
Assim, m = sq e enta˜o x = am = asq = (as)q ∈ 〈as〉.
Logo, H ⊂ 〈as〉.
A inclusa˜o contra´ria tambe´m se verifica: como as ∈ H, temos que (as)q ∈
H, para cada q ∈ Z, logo 〈as〉 ⊂ H.
Portanto H = 〈as〉.
Corola´rio 5.1
1. Todo subgrupo de (Z,+) e´ c´ıclico. Ademais, se H e´ subgrupo de Z, enta˜o
H = {0} = 〈0〉 ou H = 〈a〉 = {ma | m ∈ Z}, sendo a o menor inteiro
positivo em H.
2. Todo subgrupo de (Zm,+) e´ c´ıclico. Se H e´ subgrupo de Zm, enta˜o H =
{0} = 〈0〉 ou H = 〈a〉, sendo a o menor dos inteiros positivos n tal que
n ∈ H.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 101
Exemplo 5.9 Em vista do corola´rio 5.1, podemos fazer uma lista completa dos
subgrupos de Z, sendo eles
H0 = 〈0〉 = {0},
H1 = 〈1〉 = Z,
H2 = 〈2〉 = 2Z = {2m | m ∈ Z} = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .},
H3 = 〈3〉 = 3Z = {3m | m ∈ Z} = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, 9, . . .}, etc.
Tambe´m podemos fazer uma lista dos subgrupos de (Z12,+), os quais sa˜o
H0 = 〈0〉 = {0},
H1 = 〈1〉 = Z12,
H2 = 〈2〉 = {0, 2, 4, 6, 8, 10},
H3 = 〈3〉 = {0, 3, 6, 9},
H4 = 〈4〉 = {0, 4, 8}, e
H6 = 〈6〉 = {0, 6}.
O leitor podera´ verificar que 〈5〉 = 〈7〉 = 〈11〉 = 〈1〉 = Z12, 〈8〉 = 〈4〉, e
que 〈9〉 = 〈3〉. Portanto, (Z12,+) tem exatamente 6 subgrupos.
5.4.1 Problemas Complementares
1. Demonstre a proposic¸a˜o 5.6.
2. Determine os 4 subgrupos de (Z6,+). Determine tambe´m os 6 subgrupos
de grupo (S3, ◦). Note que |Z6| = |S3| = 6. (|G| denota a ordem (nu´mero
de elementos) do grupo G, conforme estabelecido no cap´ıtulo 3.)
3. Determine os subgrupos do grupo multiplicativo U20 (exemplo 5.6).
4. Sejam a e b inteiros, e considere os subgrupos 〈a〉 e 〈b〉 de (Z,+). Mostre
que
〈a〉 ⊂ 〈b〉 ⇔ b|a
5. Mostre que, sendo a, b e m inteiros, (m ≥ 2),
(a) se a|b enta˜o, como subgrupos de Zm, 〈b〉 ⊂ 〈a〉;
(b) se mdc (a,m) = 1, enta˜o 〈a〉 = Zm;
(c) se mdc (a,m) = d, enta˜o 〈a〉 = 〈d〉.
(d) De posse das informac¸o˜es acima, determine todos os subgrupos de
(Z36,+).
(e) Mostre que se (G, ·) e´ um grupo de ordem 2, enta˜o G e´ c´ıclico.
(f) Mostre que se (G, ·) e´ um grupo de ordem 3, enta˜o G e´ c´ıclico. [Sug-
esta˜o: Sendo G = {e, a, b}, e o elemento neutro de G, pense sobre o
que poderia ser o elemento ab.]
102 Estruturas Alge´bricas
(g) Sendo (G, ·) um grupo de elemento neutro e, mostre que se x2 = e,
para cada x em G, enta˜o G e´ abeliano.
[Sugesta˜o: Note que x2 = e ⇒ x−1 = x. Tome dois elementos quais-
quer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)−1 = . . .]
5.5 Homomorfismos de Grupos
Frequ¨entemente dois grupos, aparentemente diferentes, comportam-se como se
fossem um mesmo grupo. Considere por exemplo, os grupos aditivos G = Z3 =
{[0], [1], [2]}, e o subgrupo G′ = {0, 2, 4} de Z6. Neste exemplo, para a ∈ Z,
denotamos por [a] e a as classes de congrueˆncia de a, mo´dulo 3 e mo´dulo 6,
respectivamente, para evitar confusa˜o.
Estabelecendo-se a seguinte correspondeˆncia biun´ıvoca entre G e G′,
[0] ↔ 0
[1] ↔ 4
[2] ↔ 2
notamos que tal correspondeˆncia preserva somas, ou seja, [1] + [1] = [2] corre-
sponde a 4 + 4 = 2, [1] + [2] = [0] corresponde a 4 + 2 = 0, [2] + [2] = [1]
corresponde a 2 + 2 = 4, etc., ou seja, a soma de elementos de G corresponde a`
soma dos elementos correspondentes em G′.
Neste caso, dizemos que G e G′ sa˜o grupos isomorfos pois, embora com
“roupagens” diferentes, comportam-se como se fossem um so´ grupo.
Definic¸a˜o 5.9 Sejam (G, ∗) e (G′,unionsqu) dois grupos. Uma func¸a˜o f :G → G′ e´
chamada um isomorfismo entre G e G′, se:
1. f e´ uma func¸a˜o bijetora, e
2. ∀x, y ∈ G, f(x ∗ y) = f(x)unionsqu f(y)
Um conceito ba´sico menos exigente que o de isomorfismo e´ o de homomor-
fismo de grupos.
Definic¸a˜o 5.10 Sejam (G, ∗) e (G′,unionsqu). Uma func¸a˜o f :G → G′ e´ chamada um
homomorfismo de grupos, se:
f(x ∗ y) = f(x)unionsqu f(y),∀x, y ∈ G
Definic¸a˜o 5.11 Sendo f :G→ G′ um homomorfismo de grupos, dizemos que
1. f e´ um monomorfismo se f e´ func¸a˜o injetora;
2. f e´ um epimorfismo se f e´ func¸a˜o sobrejetora;
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 103
3. f e´ um automorfismo se f e´ um isomorfismo e (G, ∗) = (G′,unionsqu).
(Obviamente, um isomorfismo e´ simultaneamente um monomorfismo e um epi-
morfismo).
Definic¸a˜o 5.12 Sendo f : (G, ∗)→ (G′,unionsqu) um homomorfismo de grupos, define-
se o nu´cleo ou kernel do homomorfismo f como sendo o conjunto
K = Ker(f)= {x ∈ G | f(x) = e′}
sendo e′ o elemento neutro de G′.
Proposic¸a˜o 5.11 Seja f : (G, ∗) → (G′,unionsqu) um homomorfismo de grupos, e seja
e o elemento neutro de G. Enta˜o
f e´ um monomorfismo se, e somente se, Ker(f) = {e}
Observac¸a˜o 5.6 Se dois grupos (G, ∗) e (G′,unionsqu) sa˜o isomorfos, ou seja, se existe
um isomorfismo de grupos f :G→ G′, denotamos
(G, ∗) ∼= (G′,unionsqu)
A`s vezes, denotamos simplesmente G ∼= G′.
Se queremos deixar expl´ıcito o isomorfismo f entre G e G′, podemos denotar
G
f∼= G′ ou (G, ∗)
f∼= (G,unionsqu)
Proposic¸a˜o 5.12 Seja f : (G, ∗)→ (G′,unionsqu) um homomorfismo de grupos.
1. Sendo eG e eG′ os elementos neutros de G e G
′, respectivamente, tem-se
f(eG) = eG′ ;
2. ∀x ∈ G, f(x−1) = [f(x)]−1;
3. Ker(f) e´ subgrupo de G;
4. O conjunto Im(f) = f(G) = {f(x) | x ∈ G} e´ subgrupo de G′;
5. Se H e´ subgrupo de G enta˜o f(H) = {f(x) | x ∈ H} e´ subgrupo de G′;
6. Se H = 〈a〉, enta˜o f(H) = 〈f(a)〉.
Demonstrac¸a˜o..
104 Estruturas Alge´bricas
1. Sendo a = f(eG), temos que
aunionsqu a = f(eG)unionsqu f(eG) = f(eG ∗ eG) = f(eG) = a
Assim, aunionsqu a = a = aunionsqu eG′ , logo a = eG′ , ou seja, f(eG) = eG′ .
2. Para x ∈ G, f(x)unionsqu f(x−1) = f(x ∗ x−1) = f(eG) = eG′ . Logo, em G′, o
elemento inverso de f(x) e´ f(x−1), ou seja, [f(x)]−1 = f(x−1).
3. Primeiramente, observamos que eG ∈ Ker(f), pois f(eG) = eG′ .
Em seguida, tomando x, y ∈ Ker(f), temos f(x) = f(y) = eG′ . Logo,
f(x ∗ y−1) = f(x)unionsqu f(y−1) = f(x)unionsqu [f(y)]−1 = eG′ unionsqu (eG′)−1 = eG′
logo x ∗ y−1 ∈ Ker(f). Pela proposic¸a˜o 5.5, Ker(f) e´ subgrupo de G.
4. Primeiramente, observamos que eG′ ∈ Im(f), pois eG′ = f(eG).
Em seguida, tomando z, w ∈ Im(f), temos z = f(a) e w = f(b) para
certos elementos a e b de G. Logo,
z unionsquw−1 = f(a)unionsqu [f(b)]−1 = f(a)unionsqu f(b−1) = f(a ∗ b−1)
e assim z unionsquw−1 ∈ Im(f). Pela proposic¸a˜o 5.5, Im(f) e´ subgrupo de G′.
A prova dos demais itens e´ deixada para o leitor.
Exemplo 5.10 Seja i a unidade imagina´ria dos nu´meros complexos e seja
G = {1, i,−1,−i}
E´ fa´cil ver que, sendo · a multiplicac¸a˜o de nu´meros complexos, (G, ·) e´ um grupo,
sendo i−1 = −i.
Considere o grupo aditivo (Z4,+) dos inteiros mo´dulo 4, e a func¸a˜o
f :Z4 → G
definida por f(m) = im, ∀m ∈ Z.
Notemos primeiramente que f e´ bem definida, isto e´, m = n ⇒ im = in.
De fato:
m = n ⇒ m ≡
4
n
⇒ 4|(m− n)
⇒ m− n = 4q, para algum q ∈ Z
⇒ m = n+ 4q
logo,
im = in+4q = in · i4q = in · (i4)q = in · 1q = in · 1 = in
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 105
E´ fa´cil ver que f e´ bijetora, pois f(0) = i0 = 1, f(1) = i1 = i, f(2) = i2 =
−1 e f(3) = i3 = −i.
Ale´m disso, f e´ um homomorfismo de grupos, pois
f(m+ n) = f(m+ n) = im+n = im · in = f(m) · f(n)
Portanto, f e´ um isomorfismo entre (Z4,+) e (G, ·).
Teorema 5.1 Sejam (G, ∗), (G′,unionsqu) e (G′′, ◦) treˆs grupos. Enta˜o
1. A aplicac¸a˜o (func¸a˜o) identidade idG:G→ G e´ um isomorfismo. Ou seja,
G
id∼= G
2. Se f :G → G′ e´ um isomorfismo enta˜o a aplicac¸a˜o inversa f−1:G′ → G e´
tambe´m um isomorfismo. Ou seja,
G
f∼= G′ ⇒ G′
f−1∼= G
3. Se f :G → G′ e h:G′ → G′′ sa˜o isomorfismos, enta˜o h ◦ f :G → G′′ e´
tambe´m um isomorfismo. Ou seja,
G
f∼= G′ e G′
h∼= G′′ ⇒ G
h◦f∼= G′′
5.5.1 Problemas Complementares
1. Verifique, em cada caso, se f e´ um homomorfismo de grupos:
(a) f :Z→ Z, f(m) = km, (k ∈ Z, k 6= 0), sendo Z = (Z,+).
(b) f : (R∗, ·)→ (R,+), f(x) = x+ 1.
(c) f : (R∗, ·)→ (R,+), f(x) = log |x|.
(d) f :Z→ Z× Z, f(n) = (n, 0), sendo Z e Z× Z grupos aditivos.
(e) f :Z× Z→ Z, f(m,n) = m− n, sendo Z e Z× Z grupos aditivos.
(f) f : (Z,+)→ (Q∗, ·), f(x) = 2x.
2. Determine o kernel (nu´cleo) e a imagem de cada homomorfismo do problema
1.
3. Seja a um elemento (fixado) de um grupo (G, ·). Mostre que a aplicac¸a˜o
f :G→ G, definida por f(x) = a · x · a−1, ∀x ∈ G, e´ um isomomorfismo.
4. Neste problema, estabeleceremos o Teorema de Cayley: Todo grupo G e´
isomorfo a um subgrupo do grupo das permutac¸o˜es do conjunto G.
Sendo (G, ∗) um grupo, considere o conjunto
T (G) = {Tg:G→ G | g ∈ G;Tg(x) = g ∗ x, ∀x ∈ G}
A aplicac¸a˜o Tg e´ uma translac¸a˜o a` esquerda, em G, determinada pelo
elemento g.
106 Estruturas Alge´bricas
(a) Mostre que (T (G), ◦) e´ um grupo (o grupo das translac¸o˜es esquerdas
em G). Verifique que T (G) e´ subgrupo do grupo S(G) das permu-
tac¸o˜es do conjunto G.
(b) Considere a aplicac¸a˜o f : (G, ∗) → (S(G), ◦), definida por f(g) = Tg,
∀g ∈ G.
i. Mostre que f e´ um monomorfismo.
ii. Mostre que (G, ∗) ∼= (T (G), ◦). Logo, todo grupo G e´ isomorfo a
um subgrupo do grupo das permutac¸o˜es do conjunto G.
iii. Ilustre o resultado do teorema de Cayley tomando como exemplo
o grupo aditivo Z4. Determine as permutac¸o˜es do conjunto Z4
que constituem os elementos do grupo de translac¸o˜es esquerdas
T (Z4).
iv. Mostre que se G e´ um grupo finito de n elementos, enta˜o G e´
isomorfo a um certo subgrupo do grupo Sn.
5. Seja G um grupo e seja Aut(G) o conjunto dos automorfismos de G (iso-
morfismos de G em G).
(a) Mostre que (Aut(G), ◦) e´ um grupo (o grupo dos automorfismos de
G).
(b) Mostre que Aut(Z) ∼= Z2. [Sugesta˜o:Como grupo aditivo Z = 〈1〉.
Note inicialmente que, sendo f :Z → Z um automorfismo, teremos
f(〈1〉) = 〈f(1)〉 = Z, logo f(1) tambe´m e´ gerador do grupo c´ıclico Z.
Deduza que enta˜o f(1) = ±1 e que enta˜o f(m) = m (∀m ∈ Z) ou
f(m) = −m (∀m ∈ Z)].]
(c) Mostre que, sendo n ≥ 2, |Aut(Zn)| = ϕ(n), sendo ϕ:N∗ → N∗ a
func¸a˜o fi de Euler, definida por
ϕ(n) = nu´mero de inteiros positivos na˜o excedendo n, primos com
n
[Sugesta˜o:Vale aqui sugesta˜o ana´loga a` do problema 5b, sendo que aqui
teremos f(1) gerador de Zn. Mostre enta˜o que sendo a um inteiro, a
e´ gerador do grupo c´ıclico Zn se e somente se a e n sa˜o primos entre
si.] (por exemplo ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4,
ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4).
6. Seja G um grupo. Mostre que a aplicac¸a˜o f :G → G, definida por f(x) =
x−1 (∀x ∈ G), e´ um homomorfismo se e somente se G e´ abeliano.
5.6 Classes Laterais de um Subgrupo e o Teo-
rema de Lagrange
Um dos objetivos desta sec¸a˜o e´ mostrar que se G e´ um grupo finito e H e´ um sub-
grupo de G, enta˜o |H| divide |G|, resultado conhecido com teorema de Lagrange.
Assim, por exemplo, um grupo G de 10 elementos so´ podera´ vir a ter subgrupos
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 107
de 1, 2, 5 ou 10 elementos (sendo poss´ıvel que G tenha va´rios subgrupos de 2
elementos).
Para demonstrar o teorema de Lagrange, sa˜o introduzidas as classes laterais
do subgrupo H. No caso especial em que H e´ subgrupo normal, assunto da
pro´xima sec¸a˜o, veremos que as classes laterais de H constituem os elementos do
grupo quociente de G por H.
Definic¸a˜o 5.13 Sejam (G, ∗) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada
elemento a ∈ G, define-se a classe lateral direita de H, determinada por a,
como sendo o conjunto
H ∗ a = {h ∗ a |h ∈ H}
Analogamente, definimos
a ∗H = {a ∗ h |h ∈ H}
como sendo a classe lateral esquerda de H, determinada por a.
Observac¸a˜o 5.7 Se G e´ um grupo abeliano, enta˜o H ∗ a = a ∗ H, ∀a ∈ G.
Pore´m, se G na˜o for abeliano, e´ natural que possamos ter H ∗ a 6= a ∗ H, para
certos elementos a de G.
No caso em que H ∗a = a∗H, para todo a ∈ G, H e´ chamado um subgrupo
normal de G.
Exemplo 5.11 Seja (G, ∗) = (Z12,+) e seja H = 〈3〉 = {0, 3, 6, 9}.
Quais sa˜o as classes laterais direitas do subgrupo H? Para cada elemento
a ∈ Z12 (a ∈ Z), a classe lateral direita de H, determinada por a, e´ definida como
sendo o conjunto H + a = {h+ a |h ∈ H}.
Enta˜o temos:
H + 0 = H = {0, 3, 6, 9}
H + 1 = {1, 4, 7, 10}
H + 2 = {2, 5, 8, 11}
Verifica-se tambe´m que
H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9
H + 1 = H + 4 = H + 7 = H + 10
H + 2 = H + 5 = H + 8 = H + 11
Assim, existemapenas treˆs classes laterais direitas de H em Z12, que sa˜o as
classes H + 0, H + 1 e H + 2.
108 Estruturas Alge´bricas
Observac¸a˜o 5.8 Se G e´ um grupo e H e´ um subgrupo de G, denotaremos por
G/H o conjunto das classes laterais direitas de H.
No exemplo acima,
G/H = Z12/H = {H,H + 1, H + 2}
ou seja,
G/H = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 6, 8, 11}}
Alguns fatos observados no exemplo dado acima, bem como outros fatos
ainda na˜o claramente observados, sa˜o enunciados no pro´ximo
Teorema 5.2 Sejam (G, ∗) um grupo e H um subgrupo de G. Enta˜o
1. ∀a, b ∈ G, tem-se
H ∗ a = H ∗ b⇔ a ∗ b−1 ∈ H
Se G e´ um grupo aditivo, temos: H + a = H + b⇔ a− b ∈ H.
2. ∀a, b ∈ G, se b ∈ H ∗ a enta˜o H ∗ b = H ∗ a.
3. Duas classes laterais direitas de H sa˜o iguais ou disjuntas. Isto e´,
∀a, b ∈ G,H ∗ a = H ∗ b ou H ∗ a ∩ H ∗ b = ø
Em particular, H ∗ a = H ⇔ a ∈ H.
4. Se H e´ um subgrupo finito, enta˜o, para cada a ∈ G, o nu´mero de elementos
da classe lateral direita H ∗ a (que denotaremos tambe´m por |H ∗ a|) e´
precisamente o nu´mero de elementos de H. Ou seja, |H ∗a| = |H|, ∀a ∈ G.
5. A reunia˜o de todas as classes laterais direitas de H e´ igual a G. Simbolica-
mente, ⋃
a∈G
H ∗ a = G
Demonstrac¸a˜o.. Sejam a e b elementos de G.
1. (⇒) Sendo e o elemento neutro de G, temos que a = e ∗ a ∈ H ∗ a
Se H ∗ a = H ∗ b enta˜o como a ∈ H ∗ a, temos a ∈ H ∗ b, logo
a = h ∗ b, para algum h ∈ H, e enta˜o a ∗ b−1 = h ∈ H.
(⇐) Suponhamos agora que a ∗ b−1 ∈ H. Enta˜o temos:
i. H ∗ a ⊂ H ∗ b:
Tome x ∈ H ∗ a. Temos x = h ∗ a, para algum h ∈ H.
Da´ı,
x = h∗a = (h∗a)∗ e = (h∗a)∗ (b−1 ∗ b) = (h∗ (a∗ b−1))∗ b
Como h ∗ (a ∗ b−1) ∈ H, deduzimos que x ∈ H ∗ b.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 109
ii. H ∗ b ⊂ H ∗ a:
Como a∗b−1 ∈ H, temos tambe´m b∗a−1 ∈ H, pois b∗a−1 =
(a ∗ b−1)−1.
Tome agora x ∈ H ∗ b. Enta˜o x = h ∗ b, para algum h ∈ H.
Da´ı,
x = h∗ b = (h∗ b)∗ e = (h∗ b)∗ (a−1 ∗a) = (h∗ (b∗a−1))∗a
Logo, como h ∗ (b ∗ a−1) ∈ H, temos x ∈ H ∗ a.
2. Suponhamos que b ∈ H ∗ a. Enta˜o b = h ∗ a, para algum h ∈ H, e
portanto h = b ∗ a−1, de onde deduzimos que b ∗ a−1 ∈ H. Da´ı, pelo item
1, H ∗ a = H ∗ b.
3. Para provar que H ∗a e H ∗b sa˜o iguais ou disjuntas, suponhamos que H ∗a
e H ∗ b na˜o sa˜o disjuntas.
Enta˜o existe x ∈ G tal que x ∈ H ∗ a ∩ H ∗ b. Enta˜o x = h ∗ a = h′ ∗ b,
para certos elementos h, h′ ∈ H.
Da´ı, a∗b−1 = h−1∗h′. Logo, a∗b−1 ∈ H e enta˜o, pelo item 1, H∗a = H∗b.
4. Considere a aplicac¸a˜o f :H → H ∗ a, definida por f(h) = h ∗ a, ∀h ∈ H.
Provemos que f e´ bijetora.
f e´ claramente sobrejetora, pois cada elemento de H ∗ a e´ da forma h ∗ a,
para algum h ∈ H, logo da forma f(h) para algum h ∈ H.
f e´ injetora, pois se f(h1) = f(h2) enta˜o h1 ∗ a = h2 ∗ a e enta˜o, pelo
cancelamento em G, h1 = h2.
Assim, f estabelece uma correspondeˆncia biun´ıvoca (func¸a˜o bijetora) entre
H e H ∗ a. Se H for finito, teremos enta˜o |H| = |H ∗ a|.
5. Para cada elemento x ∈ G, temos x ∈ H∗x, logo x ∈ ⋃x∈GH∗x. Portanto
G ⊂ ⋃x∈GH ∗ x
Por outro lado, x ∗H ⊂ G, para cada x ∈ G. Logo ⋃x∈GH ∗ x ⊂ G.
Assim, G =
⋃
x∈GH ∗ x.
Observac¸a˜o 5.9 Observemos novamente as classes laterais do exemplo 5.11, em
que (G, ∗) = (Z12,+) e H = 〈3〉 = {0, 3, 6, 9}.
Observa-se imediatamente que |H + a| = |H| = 4, ∀a ∈ Z12, e que duas
classes laterais H + a e H + b, com a e b em Z12, sa˜o iguais ou disjuntas.
Observe por exemplo, que H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9 = H, ja´ que
0, 3, 6 e 9 sa˜o os elementos de H.
Por outro lado, ja´ teria sido poss´ıvel prever que H + 1 = H + 4, pois
1 − 4 = −3 = 9 ∈ H. Igualmente, podemos afirmar que H + 11 = H + 5, pois
11− 5 = 6 ∈ H.
Note ainda que, como H + 1 = {1, 4, 7, 10}, temos enta˜o H + 1 = H + 4 =
H + 7 = H + 10.
110 Estruturas Alge´bricas
Teorema 5.3 (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo finito, H um sub-
grupo de G e G/H o conjunto das classes laterais direitas de H em G.
Enta˜o |H| divide |G|. Mais precisamente,
|G/H| = |G||H|
Demonstrac¸a˜o.. Sendo G um grupo finito, temos que existe um nu´mero finito
de classes laterais direitas de H, ja´ que a reunia˜o de todas elas e´ igual a G.
Suponhamos enta˜o que existem s classes laterais direitas de H, s ≥ 1, duas a
duas distintas, ou seja,
G/H = {H ∗ x1, . . . , H ∗ xs}
para certos elementos x1, . . . , xs de G, sendo as classes H ∗x1, . . . , H ∗xs distintas
entre si.
Como classes laterais distintas sa˜o tambe´m disjuntas, teremos
G = H ∗ x1 ∪ · · · ∪ H ∗ xs
e, ale´m disso,
|G| = |H ∗ x1|+ · · ·+ |H ∗ xs|
Sendo pore´m |H ∗ xk| = |H|, para cada k, 1 ≤ k ≤ s, temos
|G| = |H|+ · · ·+ |H|︸ ︷︷ ︸
s termos
= s · |H|
Logo,
|G|
|H| = s = |G/H|
Teorema 5.4 (Rec´ıproca do teorema 5.3 para grupos c´ıclicos)
Seja G = 〈a〉 um grupo c´ıclico finito de ordem n. Enta˜o para cada inteiro positivo
d, divisor de n, existe um (u´nico) subgrupo Hd de G, com |Hd| = d. Explicita-
mente, Hd = 〈an/d〉.
No caso aditivo, sendo n/d = m, Hd = 〈ma〉.
Exemplo 5.12 Seja G = 〈a〉 um grupo c´ıclico multiplicativo e suponhamos |G| =
12.
Enta˜o, pelo teorema 5.9, G = {e, a, a2, a3, . . . , a10, a11}, sendo a12 = e.
Os divisores de 12 sa˜o 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Introduc¸a˜o Enxuta a` Teoria dos Grupos 111
Os subgrupos cujas ordens sa˜o tais divisores sa˜o, respectivamente
H1 = 〈a12/1〉 = 〈e〉 = {e}
H2 = 〈a12/2〉 = 〈a6〉 = {e, a6}
H3 = 〈a12/3〉 = 〈a4〉 = {e, a4, a8}
H4 = 〈a12/4〉 = 〈a3〉 = {e, a3, a6, a9}
H6 = 〈a12/6〉 = 〈a2〉 = {e, a2, a4, a6, a8, a10}
H12 = 〈a12/12〉 = 〈a〉 = G
5.6.1 Problemas Complementares
1. Determine as classes laterais de H = 〈5〉 em (Z15,+).
2. Considere o grupo S3 das permutac¸o˜es de A = {1, 2, 3}. Sendo
H =
{(
1 2 3
1 2 3
)
,
(
1 2 3
2 3 1
)
,
(
1 2 3
3 1 2
)}
,
verifique que H e´ subgrupo de S3 e determine suas classes laterais direitas
em S3.
3. Determine as classes laterais de H = 4Z = 〈4〉 em (Z,+).
4. Mostre que se (G, ∗) e´ um grupo finito e |G| = p, com p primo, enta˜o
(a) os u´nicos subgrupos de G sa˜o G e {e}.
(b) G e´ um grupo c´ıclico.
5. Mostre que se G e´ um grupo que possui exatamente dois subgrupos enta˜o
|G| e´ um nu´mero primo. [Sugesta˜o:Se G possui exatamente dois subgrupos,
eles sa˜o G e {e}, sendo G 6= {e}. Considere a ∈ G, a 6= e e o subgrupo
H = 〈a〉. Como H 6= {e}, temos H = G, logo G e´ c´ıclico. Pelo teorema
5.4, pa´gina 110, para cada inteiro positivo d, divisor de |G|, existe um
subgrupo de G de ordem d. Agora use o fato de que G possui apenas dois
subgrupos.]
6. Mostre que todo grupo de ordem 4 e´ abeliano. [Sugesta˜o:Para cada elemento
a ∈ G, a 6= e, tem-se, pelo resultado do problema 9, o(a) | 4, logo o(a) = 2
ou 4. Considere as duas possibilidades: (1a) existe a ∈ G tal que o(a) = 4;
(2a) ∀a ∈ G, a 6= e, tem-se o(a) = 2.]
7. Mostre que todo grupo de ordem 4 e´ isomorfo a Z4 ou a Z2 × Z2. [Sug-
esta˜o:Seja (G, ·) um grupo de ordem 4. Se G e´ c´ıclico, G = 〈a〉, enta˜o
G = {e, a, a2, a3}, sendo a4 = e. Neste caso, a aplicac¸a˜o f :G → Z4,
f(an) = n, e´ um isomorfismo. Se G na˜o e´ c´ıclico, pelo resultado do proble-
ma 6, G = {e, a, b, c}, sendo a2 = b2 = c2 = e, e neste caso G e´ tambe´m
abeliano. Construa as ta´buas dos grupos (G, ·) e (Z2 × Z2,+). Mostre
enta˜o que (G, ·) ∼= (Z2 × Z2,+), comparando as ta´buas dos dois grupos.]
112 Estruturas Alge´bricas
8. Mostre que todo grupo G de ordem |G| ≤ 5 e´ abeliano.
9. Seja G um grupo finito de elemento neutro e. Enta˜o
(a) ∀a ∈ G, o(a) divide |G|
(b) ∀a ∈ G, a|G| = e.
(c) ∀a ∈ G, a 6= e, am = e⇒ |G| |m.