Estruturas Algebricas e Teoria de Numeros

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Índice
1.	Introdução	4
2.	Metodologia	4
3.	Resolução de Exercícios	5
4.	Conclusão	15
5.	Referencias Bibliográficas	16
1. Introdução 
O presente trabalho enquadra-se na cadeira de Estruturas Algébricas e Teoria de Números. Salientar que o trabalho tem como foco a recolocação de exercícios, com intuído de consolidar os conhecimentos apreendidos ao longo da cadeira, bem como, desenvolver a capacidade de pesquisa e síntese.
Todavia, a resolução exercícios são enquadrados em duas componentes. Sendo a, questões teóricas-argumentativas, na qual, visa compreender no que diz respeito do conteúdos teóricos da cadeira de Estruturas Algébricas e Teoria de Números.
Outrora, a segunda parte é composta pela componente prática, com intuito de aplicar os conhecimentos adquiridos em problemas concretos. 
2. Metodologia 
Para realizar qualquer pesquisa, o investigador tem de se apoiar num conjunto de princípios ou métodos para se orientar e garantir assim a validade da informação encontrada, ou seja, é necessário aplicar determinada metodologia, dado que, como opinam Pardal & Correia (1995), para toda a investigação é necessária um método que não é mais que uma caracterização do percurso adequado ao objecto de estudo. Entretanto, para essa pesquisa foi usada a análise documental.
3. Resolução de Exercícios
Resposta: 
1. 
a) É uma operação binária;
b) É uma operação binária;
c) É uma operação binária;
d) Não é uma operação binária;
e) É uma operação binária;
f) Não é uma operação binária.
Em caso afirmativo, diga se a operação é associativa ou comutativa e verifique se existe elemento neutro (direito, esquerdo ou bilateral) e elementos invertíveis no respectivo grupoide. 
1. Verificação da comutatividade, associatividade, da existência de elemento neutro e elementos invertível.
a) (x; y) x + y
Comutatividade:
(x; y) x + y
(y; x) y + x 
Como (x; y) = (y; x) então, é comutativa.
Associativa:
(x; (y; z)) x + (y; z) = x + y + z
((x; y); z) (x; y) + z = x + y + z
Como (x; (y; z)) = ((x; y); z) então é associativa.
Elemento neutro
A esquerda
(x; e) x 
x + e = x
e = 0
A direita
(e; x) x
e + x = x
e = 0
Logo e = 0 é um elemento neutro bilateral.
Elemento invertível:
(x; x') = e
x + x' = 0
x' = x
1. b) (x; y) xy
Comutatividade:
 (x; y) xy
 (y; x) yx
Como x-y ≠ yx então não é comutativa.
Associatividade:
((x; y); z) (x; y) z = x y z
(x;(y; z)) x - (y; z) = x (yz) = x y + z
Como ((x; y); z) ≠ (x; (y; z)), então, não é associativa.
Elemento neutro:
A esquerda:
(e; x) ex = x
e = 2x
A direita: 
(x; e) = x
xe = x
em = 0.	
Logo, o elemento neutro não é bilateral.
Nesta ordem de ideia, teremos:
 = (x, y) + 4z = x + 4y + 4z
 = x + 4 (y, z) = x + 4(4 + 4z) = x + 4y + 16z
Como ≠, então não é associativa.
· e = 0 é elemento neutro a direita
· Não tem elemento inverso porque não é comutativa e não tem elemento inverso ao bilateral.
b) (x,y) xy
· (x,y) xy = yx = (y,x) é comutativa
· = x, y) z = xyz = x(y, z) = é associativa
· e = 1 é elemento neutro 
· ; é elemento inverso de x. 
2. Exemplo de: 
a) Grupóide que não seja associativo: (SS, *); (-)
b) Semigrupo que não seja comutativo: (, +), (, +), (, +), (, +), (, ), (, ), 
(, ) e (, ) 
c) Grupóide que não seja associativo nem comutativo: (); x y = x2y
d) Semigrupo comutativo sem elemento neutro: (, +), ( +), (, +), (, +), (, ), 
( ), (, ·) e (, )
e) Monóide com elementos invertíveis: (P(S), ∪)
f) Grupo: são grupos relativamente a adição;
g) Grupóide não associativo com elemento neutro e os elementos invertíveis: (, +), (, +), (, +), (, +), (, ), (, ), (, ) e (, )
3. Estude o grupóide onde o conjunto {a, b, c, d} cuja operação é definida pela tabela seguinte:
Resposta: 
· Não é comutativa, pois temos:	
 a b ≠ b a
· Não é associativa, pois temos:
 (b c) d ≠ b (cd)
· Não tem elemento neutro, pois nenhum elemento ou linha dos resultados aparecem os elementos a, b, c, d nessa ordem.
· Não tem elemento inverso porque não tem elemento neutro.
4. Dadas as funções f(x) = 2x + m e g(x) = ax + 2, qual a relação que a e m devem satisfazer
para que se tenha a igualdade fog(x) = gof(x)?
Resolução: 
Perceba que: fog(x) = f(g(x)) = f(ax+2) = 2(ax+2) + m
 => fog(x) = 2ax + 4 + m, logo, temos:
=> gof(x) = g(f(x)) = g(2x+m) = a(2x+m) + 2 
=> 2ax + 4 + m = 2ax + a.m + 2 
 => 4 + m = a.m + 2 => am - m = 4 - 2 
=> a.m - m = 2 
=> a.m = m + 2. Portanto, temos: a = 
Verificação:
Partindo da solução do problema:
a = ; Se a = -3 => m = = = => f(x) = 2x => g(x) = -3x + 2
f(g(x)) = 2(-3x+2) = -6x + e g(f(x)) = -3(2x ) +2 => f(x) = -6x + c.q.d.
5. Verificação da comutatividade, associatividade, da existência de elemento neutro e elementos invertível.
(x; y) x + y
Comutatividade:
(x; y) x + y
(y; x) y + x 
Como (x; y) = (y; x) então, é comutativa.
Associativa:
(x; (y; z)) x + (y; z) = x + y + z
((x; y); z) (x; y) + z = x + y + z
Como (x; (y; z)) = ((x; y); z) então é associativa.
Elemento neutro
A esquerda
(x; e) x x + e = x e = 0
A direita
(e; x) x e + x = x e = 0
Logo e = 0 é um elemento neutro bilateral.
Elemento invertível:
(x; x') = e x + x' = 0 x' = x(x; y) xy
Comutatividade:
 (x; y) xy (y; x) yx
Como x-y ≠ yx então não é comutativa.
Associatividade:
((x; y); z) (x; y) z = x y z (x;(y; z)) x - (y; z) = x (yz) = x y + z
Como ((x; y); z) ≠ (x; (y; z)), então, não é associativa.
Elemento neutro:
A esquerda:
(e; x) ex = xe = 2x
A direita: 
(x; e) = xxe = xem = 0.	
Logo, o elemento neutro não é bilateral.
6. = (x, y) + 4z = x + 4y + 4z
 = x + 4 (y, z) = x + 4(4 + 4z) = x + 4y + 16z
Como ≠, então não é associativa.
· e = 0 é elemento neutro a direita
· Não tem elemento inverso porque não é comutativa e não tem elemento inverso ao bilateral.
 7. (x,y) xy
· (x,y) xy = yx = (y,x) é comutativa
· = x, y) z = xyz = x(y, z) = é associativa
· e = 1 é elemento neutro 
· ; é elemento inverso de x. 
8. Mostre que cada grupo Zn é abeliano.
Resposta: 
Zn, se considerarmos ()
Sabe-se que a,b a + b = b + a, logo Zn é abeliano se munido com a operacao +.
Resposta: 
Com base nas tabelas vê-se que (A, ) e (B, ) são grupóides comutativos, associativos e admitem elemento inverso, ou seja, (A, ) e (B, ) são grupos.
O que significa que f(x): f(x y) = f(x) f(y), ou seja, existe homomorfismo de (A, ) e (B, ).
10. Estude o grupóide onde o conjunto {a, b, c, d} cuja operação é definida pela tabela seguinte:
Resposta: 
· Não é comutativa, pois temos:	
 a b ≠ b a
· Não é associativa, pois temos:
 (b c) d ≠ b (cd)
· Não tem elemento neutro, pois nenhum elemento ou linha dos resultados aparecem os elementos a, b, c, d nessa ordem.
· Não tem elemento inverso porque não tem elemento neutro.
11. Sejam as funções reais f(x) = 3x – 5 e fog(x) = x² – 3. Determine a lei da função de g.
Resolução: 
que comparar está função com a do 2º grau, tendo em vista que temos fog(x) = x²-3; como se fosse na verdade, fog(x) = ax² + bx +c. 
Sendo, b = 0, tendo f(x)= 3x -5, se pegarmos a função do 2º grau e pô-la como x, teremos:
fog(x) = 3. (ax² + bx +c) -5 
=> fog(x) = 3ax² + 3bx + 3c – 5
=> fog(x) = x²-3 x² -3 = 3a.x² + 3bx + 3c – 5.
Agora temos que ver o que colocar do lado esquerdo para ficar igual ao direito, pois é como se tivéssemos resolvido um lado, daí vamos fazer o inverso:
 3a = 1 => a = , b = 0, 3c – 5 = – 3 => c = 2/3 
=> g(x)= ax² + bx +c 
=> g(x) = + 0.x + .
 => g(x) = + .
Em forma de síntese, temos: 
f(x)= 3x -5 e fog(x) = x² – 3
fog(x) = 3(g(x)) - 5
x² - 3 = 3(g(x)) – 5
x² - 3 + 5= 3(g(x)) 
x² + 2= 3(g(x)) 
g(x) = 
12. Determine os subgrupos de Z6.
Resposta: 
Z6 = 
Se G é subgrupo de Z6, então, , portanto, os subgrupos de Z6 são:
H1 = ; 
H2 = ; 
H3 = ;
 H4 = ;
 H5 = ;
 H6 = ;
 H7 = ;
 H8 = ;
 H9 = ;
 H10 = ;
 H11 = ;
 H12 = ;
 H13 = ;
 H14 = ;
 H15 = ;
 H16 = ;
 H17 = ; 
H18 = ;
 H19 = ;
 H20 = ;
 H21 = ;
 H20 = .
4. Conclusão 
Chegado ao fim do trabalho, e em jeito de conclusão, é de salientar que o trabalho foi executado segundo os padrões recomendado pela instituição,no que diz respeito aos trabalhos de cálculo.
Entretanto, foram várias as dificuldades enfrentadas longo da resolução dos exercícios propostos pelo docente, porem, houve muito aprendizado ao longo da execução do trabalho acima supracitado, através das pesquisas e consultas feita para o alcance do almejado.
5. Referencias Bibliográficas
Andrews, G. E. (1971), Number Theory. Dover Publicactions, Inc, New York;
Ayres, F. (1965), Álgebra Moderna. McGraw-Hill;
Castruci, B. (1974), Elementos de Teoria dos Conjuntos. GEEM, São Paulo; 
De Amio, W. (2007), Fundamentos de Matemática. Álgebra. Estruturas Algébricas Básicas e Fundamentos da Teoria de Números, LTC Editora, Rio de Janeiro; 
Domingues, T. H., H. H. e Iezzi, G. (1982), Álgebra Moderna, Actual Editora, São Paulo; 
Garcia, A.; Lequain, Y. (2002), Elementos de álgebra. IMPA – Projecto Euclides, Rio de Janeiro;
 Gonçalves, A. G. (1979), Introdução à álgebra. IMPA – Projecto Euclides, Rio de Janeiro;
Jacobson, N. (1985), Basic Algebra I. W. H. Freeman;
Kostrikin, A. (1996), Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers;
Lang, S. (2008), Álgebra para Graduação, Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro;
Monteiro, L. H. J. (1969), Elementos de Álgebra, LTC; 
P. Cameron, (1998), Introduction to Algebra. Oxford University Press;
Sobral. M. (1996), Álgebra. Universidade Aberta.