Aula 8 Circuito RL paralelo

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Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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4.3 – Circuito RL-Paralelo 
 
4.3.1 – Considerações gerais 
Semelhantemente às associações de circuito RL série, as associações em paralelo tem muitas aplicações 
nas áreas de elétrica e eletrônica, sendo utilizadas em filtros de frequência passa-alta. Nesta associação a 
resistência ôhmica da bobina ganha significado, sendo seu efeito, abordado na análise do circuito. 
 
4.3.2 – O circuito 
O circuito RL associado em paralelo é ilustrado na Figura 4.17 . 
R
↓↓↓↓ ↓↓↓↓
E vθθθθ
LI
LjX
RI
→I
 
Figura 4.17 – Circuito RL em paralelo 
 
4.3.3 - Admitância 
A fonte enxerga no circuito uma admitância Y equivalente da associação em paralelo, conforme 
mostrado na Figura 4.18 . 
⇒Y G LjB−
 
Figura 4.18 – Ilustração da admitância de um circuito RL-Paralelo 
 
De forma semelhante a associação série, podemos calcular a associação de impedâncias do circuito da 
Figura 4.18, decompondo as componentes real e imaginária da admitância complexa equivalente, onde 
obtemos: 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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�� = 1� + 1��	 = 
 − ��	 
onde : 
 
Representação na forma retangular 
 = 1�				�℧�			é	�	������â����	����	��		�ℎ�� 
 
�	 = 1�	 		���			é	�	����� �â����	������!�	����	��	�������	 
 
Representação na forma polar 
� = 	
	�"#º	� �	� = �	�%&'#º	 �� = �	�&(º 
Diagrama de admitâncias 
Da equação da admitância complexa dada anteriormente , resulta : 
θθθθ
++++
Y
j+
j−
LB
G
 
Figura 7.19– Diagrama fasorial de admitâncias, 
para ))))				< 90° e G > BL . 
 
 
4.3.4 - Tensão 
Como podemos notar na Figura 4.18, a fonte de tensão CA que alimenta o circuito sofre um adiantamen-
to de um ângulo θv devido a presença do indutor no circuito. Este ângulo reflete o valor do ângulo da 
impedância que pode ser calculado a partir da admitância complexa. 
O módulo da tensão da fonte é geralmente conhecido na prática, sendo igual ao seu valor eficaz. 
 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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Representação fasorial da tensão 
 O ângulo da impedância é igual ao inverso da admitância, ou seja : 
*� = 	+,� 	= 		 +,	-%.)			 
sendo 
* =	+,	-/)� 
resulta: )0 = 	) 
e o fasor de tensão resulta em : 1� = 1	-.) 
Assim podemos afirmar que : 
Num circuito RL independentemente da associação, o ângulo da tensão da fonte é 
adiantado de um valor igual ao do ângulo da impedância equivalente do circuito. 
 
Como θ é positivo e só pode variar entre 0º e 90º, para circuitos que utilizam resistores, o ângulo da 
tensão				))))vvvv com a tensão da fonte inicialmente na referência, só poderá variar entre: 3° < )0 < 90° 
 
4.3.5 Correntes 
As correntes num circuito associado em paralelo, são calculadas aplicando-se a 1ª lei de Ohm em cada 
ramo. 
 
Fasor de corrente no resistor: 
8�9 = 1�9 = :1� = 	:1	-/)� 
onde podemos notar novamente que o ângulo da tensão é o mesmo da corrente no resistor. 
 
 Fasor de corrente no indutor 
8�; = 1�<� ; = 1	-/)<;	-/=3° = >;1		-/�)%=3°�	� 
onde 
>; =	 +<; =	 +?;	 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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Corrente total 
A corrente total no circuito RC paralelo é obtida aplicando-se a lei de Kirchhoff nos fasores de corrente. 8� = 	 8�9 +	8�;	� = 1� 	,� 
que resulta : 8� = 	1		-.)		,	-%.) 		= 1,	-.3°		 
 
Como podemos notar na equação anterior, tanto no circuito RL como no RC paralelo, independentemente 
do elemento, 
a corrente total resultante de uma associação em paralelo se encontra na referência. 
A soma fasorial das correntes e a tensão total, são expressas no diagrama fasorial da Figura 4.20. 
Eɺ
θθθθ
++++
j++++
j
−−−−
Iɺ
LIɺ
RIɺ
 
Figura 4.20 – Diagrama fasorial do circuito RL-Paralelo, 
para ))))				< 90° e G > BL . 
 
 
4.3.6 - Representação no domínio do tempo 
Transformando os módulos em valores de pico, e observando a defasagem angular obtemos : 
Tensão - = 	√A	1	B-C�?D + )� 
Corrente no resistor E9 = √A	:1	B-C�?D + )� 
Corrente no indutor E; = √A	>;1	B-C�?D + ) − =3°� 
Corrente total E = 	 E9 +	E; = 8F	B-C�?D� 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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Para um circuito RL-Paralelo onde : E = 5V, f =100KHz R=1KΩ, C=1mH, obtém-se : - = G, 3GB-CIAJ+3KD + 	KG. MKM°N		O E9 = G, +B-CIAJ+3KD + KG. MKM°N	FP E; = ++, Q	B-CIAJ+3KD − QA. +RA°N	FP E = 	+Q, QB-CIAJ+3KDN	FP 
As respectivas formas de onda computacionalmente simuladas, são ilustradas na Figura 4.21 e 4.22 . 
 
Figura 4.21 – Correntes instantâneas do circuito RL paralelo, 
para: E = 5V, f =100KHz R=1KΩ, L=1mH. 
 
 
Figura 4.22 – Tensão e corrente total do circuito RL-Paralelo, 
para: E = 5V, f =100KHz R=1KΩ, L=1mH. 
 
A Figura 4.22 ilustra a defasagem tensão x corrente, com a tensão total na referência, para efeito 
didático. 
 
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4.3.7 - Fator de potência RL-Paralelo 
 
O fator de potência facilita o cálculo do circuito na aplicação de projetos. No caso do circuito RL-Paralelo 
a potência ativa total é distribuída em duas componentes ativas: uma no resistor R e outra na resistência 
Rs da bobina. Em ambos os casos, o ângulo destas componentes ativas são considerados na referência. 
 
O fator de potência em um circuito RL-Paralelo é calculável através do cosseno do ângulo de sua 
impedância equivalente, quando são conhecidos seus componentes. Assim, sua potência ativa total pode 
ser facilmente obtida, uma vez conhecida a potência aparente ou a tensão. 
 
A admitância equivalente do circuito RL-Paralelo é dada por: 
,� 9; = +*� 9; = +9 + +*;	-.)*; 
onde ZL é o módulo da impedância no ramo da bobina, dado por: 
*; =	S9BA + <;BA 
sendo o ângulo desta impedância : 
)*; = TUVDW X<;B9 Y 
 
A componente real de YRL é a condutância equivalente, portanto: 
9-	{,� 9;} = :-\ = +9 + +*;	 V]B�−)*;� 
e a componente imaginária é a susceptância equivalente, onde: 
8F^,� 9;_ = >; = 	 1`		 ����−ab	� = − +*;	 B-C�)*;� 
 
sendo seu módulo determinado por: 
	,9; = cd+9 + +*;	 V]B�)*;�eA + d +*;	 B-C�)*;�eA 
e seu ângulo por: 
af	 = �g��h i− 1`		 ����ab	�1� + 1`		 ����ab	�j 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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Simplificando, obtemos 
),; = −TUVDW	 k B-C�)*;�*;	9 + V]B�)*;�l 
 
Sua impedância complexa equivalente, é portanto: 
*� 9; =	 +,9;� = +	,9; -%.),; 
onde 
)*; = −),; = TUVDWk B-C�)*;�*;	9 + V]B�)*;�l 
 
e o fator de potência é determinado por: mn = opq	�)*;� 
 
 
 
 
Conclusões 
Observando os diagramas das Figuras 4.19, 4.20, 4.21 e 4.22 podemos concluir que : 
 
• A corrente no circuito RL-Paralelo possui o mesmo ângulo da tensão no resistor, validando 
os fatos já demonstrados . 
 
• As correntes IL e IR estão em quadratura, onde IL está atrasada em relação a IR . 
 
• A corrente total no circuito RL-Paralelo está na referência e atrasada da tensão. 
 
• O ângulo da admitância é negativo e varia entre 0º e -90° em circuitos com resistores. 
 
• O ângulo da tensão é adiantado pelo ângulo da impedância. 
 
• O fator de potência está atrasado 
 
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4.3.9 – Respostas de frequência 
 
No estudo da resposta de frequência do circuito RL-Paralelo, abordaremos as correntes nos ramos da 
resistência e da indutância e a corrente total. São incluídas e comparadas as respectivas respostas para o 
modelo real aproximado. Um estudoé feito mostrando o impacto da indutância causado no fator de 
potência e na potência média. 
 
Resposta de frequência da admitância 
A resposta de frequência da admitância é dada pelo módulo da admitância em função da frequência 
ao longo de uma faixa ou banda, onde podemos escrever : 
,�r� = 	S:A + >;�r�A				 
que resulta em : 
,�r� =	c +9A + +�AJr;�A	 
Aplicando os limites da faixa de frequência na equação acima obtemos: 
Para f → 0 ∴	 → Y( f ) → ∞ 
Para f → ∞ ∴	 → Y( f ) → G 
Fisicamente, os circuitos equivalentes em tais limites são representados conforme as figuras 4.26 (a) 
e (b). 
 
0====f
E G ∞=LB
 
0 oE
++++
−−−−
∞∞∞∞====f
G 0=LB
 
(a) (b) 
Figura 4.26 – Circuitos equivalentes para os limites extremos da faixa de frequência. 
 
Análise matemática 
Comparando G e BL(f) na equação de Y(f) , teremos : 
Para f ≈ 0 ∴	 BL(f) >> 	G ∴		Y( f ) → BL(f) → assintoticamente decrescente 
Para f > 0 ∴	 → Y( f ) = S:A + >;�r�A				 → quadrática 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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Para f >> 0 ∴	 BL(f) → 0			∴				Y( f ) → G → constante 
Portanto, espera-se três comportamentos distintos da curva de Y(f) dependendo da faixa de frequên-
cia em que o circuito opera. 
 
Condutâncias iguais 
O ponto singular na faixa de freqüência que torna as condutâncias iguais é a frequência fR calculada 
para G = BL ou XL = R, onde obtemos : 
r9 = 	 9AJ; 
O valor correspondente a fr , pode ser calculado tornando G igual a BL na equação da admitância, 
resultando: ,�r9� =	t:A + :A = √A: 
O circuito equivalente para f = fR é mostrado na Figura 4.27 . 
G2
Rff ====
E o
++++
−−−−
θθθθ
 
Figura 4.27 – Circuitos equivalente RL paralelo 
para f = fR . 
As curvas simuladas num limite de 0 a 2fr são mostradas como exemplo na Figura 4.28, para um 
circuito RL-Paralelo conforme os valores de componentes e da fonte dados nesta figura. 
 
 
Figura 4.28 – Resposta de frequência das 
admitâncias para: E = 5V, R=10Ω,L=1H. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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Análise da curva 
Podemos notar a princípio podemos notar na figura 4.28 que : 
para: 0 < f < 1,59(Hz) → BL > G 
 f = 1,59(Hz) → BL = G 
 f >1,59(Hz) → BL < G 
A curva da admitância YL se confunde com a da susceptância BL para valores de frequência menores 
que 0,5(Hz). Em f igual a fr ,igual a 1,59(Hz), a curva da susceptância BL encontra a da condutância 
G para valor de 0,1(Mho), resultando para YL um valor de 0,141(S) nesta freqüência. Para valores 
situados no extremo da faixa, a curva de YL tende ao valor de G, enquanto BL tende a zero. Ambas 
estas curvas reduzem suas inclinações assumindo um comportamento resistivo nas altas freqüências. 
Portanto, os resultados numéricos obtidos e o aspecto das curvas comprovam o comportamento 
previsto nas equações anteriores. 
 
 
 
O módulo da admitância total equivalente é obtido por : 
,- = 	S:-A +	>;-A 
 
 
Resposta das correntes para o caso ideal 	 
Resposta de frequência da corrente no resistor 
 
O cálculo da resposta de frequência para a corrente IR(f) pode ser facilitado, considerando os 
módulos da condutância do ramo e da tensão, onde : 89�r� = :	1 
que resulta numa constante. 
 
Resposta de frequência da corrente no indutor 
Para a resposta de frequência para a corrente IL(f), considera-se os módulos da susceptância indutiva 
em função da frequência e da tensão, onde : 8;�r� = >;�r�	1 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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que resulta em : 
8;�r� = 1AJr; 
Aplicando os limites para a faixa de frequência, obtemos: 
Para f → 0 ∴	 IL ( f ) → ∞ 
Para f → ∞ ∴	 IL ( f ) → 0 
onde podemos observar que a corrente no indutor decresce com o aumento da frequência. 
 
 
Resposta de frequência da corrente total 
 
O módulo da corrente total do circuito, é dado por : 
8�r� = S89�r�A + 8;�r�A 		 
Substituindo os valores para IR(f) e IL(f) , encontramos: 
8�r� = c�:1�A +	X 1AJr;YA	 
que resulta na raiz quadrada da soma de dois termos, onde o primeiro é uma constante e o segundo 
expressa uma equação quadrática, cuja curva decresce assintoticamente com o quadrado da frequên-
cia. 
Portanto, para valores de frequência próximos de zero, o valor de I(f) tende ao infinito assim como o 
de IL(f). Para valores infinitos de frequência a curva se comporta como uma reta paralela ao eixo da 
frequência com um valor constante e igual a GE. Unindo os dois extremos de frequência, podemos 
imaginar uma curva de I(f) que decresce exponencialmente até chegar a um valor igual a GE situado 
em uma alta frequência. Daí então, permanecendo constante a direita da curva. Também podemos 
prever que em frequências muito baixas, IL(f) deverá se confundir com I(f) . 
Correntes iguais 
As correntes IR e IL serão iguais para uma determinada frequência fR. Assim teremos: 1AJr9; = :1 
resultando : 
r9 = +AJ;: 
O módulo da corrente total do circuito na frequência fR , é dado por : 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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8�r9� = S89�r9�A + 8;�r9�A 		 
que resulta em : 8�r9� = 	√A	89�r9� 
 
onde : 
89�r9� = 8√A = 	 8FA 
 
Isto significa que, quando as correntes estiverem igualmente distribuídas no resistor e no 
indutor, seus valores serão iguais a 70,7% do módulo da corrente total da fonte ou metade de 
sua amplitude. 
O comportamento da resposta das correntes no circuito RL paralelo, é mostrado na Figura 4.31 para 
uma simulação computacional, utilizando os componentes dados nesta figura. 
 As curvas de corrente são plotadas em um gráfico, observando uma faixa de frequências de 0 a 4fR. 
 
Figura 4.31 – Resposta de frequência das 
correntes para Erms= 5V, R = 10Ω e L =1H. 
 
 
Comportamento da resposta das correntes 
O comportamento anteriormente previsto para as curvas de admitâncias, bem como o cálculo da 
admitância para a frequência de 1.591(Hz) em que as condutâncias são iguais, atestam a análise feita 
que confere os valores numéricos obtidos nas curvas, conforme mostrado na Figura 3.26 . 
Podemos observar na Figura 4.31, cinco características marcantes para as curvas das correntes do 
circuito RL paralelo: 
 Capítulo 4 - Circuito RL-Paralelo 
 
 
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 para : 0 < f < fR → ( IL , I) > IR 
 f = fR → IL = IR , I = 1,414 IR 
 f > fR → IL < IR , I 
 f <<<<<<<<
 
fR → I ≅≅≅≅ IL , IL > IR 
 f >> fR → I ≅≅≅≅ IR , IL < IR 
 
Para frequências abaixo de fR as curvas I e IL tem um comportamento predominantemente indutivo 
com inclinação acentuada. Acima de 2fR as corrente I e IL reduzem bastante suas inclinações acen-
tuando um comportamento resistivo nas altas frequências. 
Comparando as curvas de admitância mostradas na Figura 4.29 com as de corrente da Figura 4.31, 
notamos uma grande semelhança. Com isto podemos tomar como referência para o circuito RL- 
Paralelo onde a curva muda de comportamento, aqueles valores de referência de frequência obtidos 
nas curvas de admitância. 
 
4.4 - Exercícios 
 
4.4.1 - Para um circuito RL-Paralelo, alimentado por uma tensão CA de 127V f=60(Hz), em paralelo com 
uma resistência de 1(KΩ) e uma indutância de 500(mH), considerando a resistência da bobina igual a 
2(Ω) : 
 
Representação em númeroscomplexos e fasores - Admitância 
a) Calcule a susceptância indutiva equivalente no M.R.A. do circuito. 
b) Calcule a admitância complexa no M.R.A do circuito na forma polar. 
c) Esboce o diagrama de admitâncias. 
Tensão 
d) Calcule o fasor de tensão. 
e) Calcule o fasor da componente ativa equivalente da corrente no resistor. 
f) Calcule o fasor da componente reativa equivalente da corrente no indutor. 
Corrente 
g) Calcule o fasor da corrente total no circuito. 
h) (h1) Calcule o fasor da corrente na bobina para o modelo ideal ; e (h2) compare com o valor 
calculado no item anterior. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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i) Esboce o diagrama fasorial completo do circuito. 
j) Descreva qual o impacto causado pela redução da resistência Rs da bobina : (j1) sobre a 
corrente no ramo da resistência equivalente paralela Rp : (j2) sobre a corrente no ramo da 
indutância equivalente paralela Lp ; (j3) No ângulo da tensão ; (j4) Nos ângulos das 
componentes equivalentes de corrente. 
k) Calcule a expressão da corrente instantânea na bobina. 
l) Calcule: (l1) a resistência Rs da bobina tornando XLs/Rs =7 ; (l2) a corrente 
m) máxima na bobina nestas condições ; (l3) compare com a corrente máxima 
calculada no item anterior e conclua o resultado. 
n) Calcule: (m1) a resistência Rs da bobina tornando Rs = XLs ; (m2) a corrente máxima na bobina 
nestas condições. Compare-a com a corrente máxima obtida para o modelo ideal equivalente e 
conclua o resultado. 
 
 
Respostas 
 
Representação em números complexos e fasores - Admitância 
4.4.1- a)- �	v� = −�5,3046���� ; b)- �� = 5,41�%&{|,{}º���� 
Tensão 
d)- ~� = 127�&{|,{}°��	; e)- ‚�ƒv = 	0,134,145�&{|,{}°��„� 
f)- ‚�	… = 	673,68	�%&‡‡,ˆ‰°	��„� 
Corrente 
g)- ‚�	v = 	686,90	�&#°	��„� h)- (h1)	‚	 = 673,756��„� ; (h2) 	Š‹Œ	Š‹ = 		0,9998 
k)- �	… ≅ 	952,73 cos�377�	 − 11,26°�	�„ 
l)- (l1) � = 0,03713�Ω� ; (l2) ‚	…’ = 	673,755��„�	; (l3) 	Š‹Œ“�”•–—,—˜™�	Š‹Œ“�”•–š� = 	0,707 = ‡√ˆ		 
m)- (m1) � = 188,49�Ω� ; (m2) ‚	…’ =	 476,417 ; (m3) 	Š‹Œ“�”•–›‹•�	Š‹“�”•–—� =	0,5