MF_-_Juros_Compostos_2

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Profa. Fabrícia de Farias 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
• Mecanismo de remuneração que computa juros sobre o capital 
inicial e sobre os juros previamente auferidos; 
• Há o cálculo de “juros sobre juros”; 
• Capital cresce exponencialmente em progressão geométrica; 
• Regime mais comum no dia-a-dia, no sistema financeiro e no 
cálculo econômico. 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Considerações sobre as Taxas de Juros 
 
2. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes 
 
No regime de juros compostos os conceitos para taxas 
proporcionais e taxas equivalentes são os mesmos de juros 
simples, porém, no regime de juros compostos as taxas 
proporcionais não são equivalentes, pois produzem montantes 
diferentes para capitais iguais em prazos iguais. 
Considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo 
intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas produzirão um 
mesmo montante se forem equivalentes. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Exemplo: 
1) Determinar as taxas mensais proporcional e equivalente a 36% a.s. 
 
Solução: 
Taxa Proporcional = (36% / sem) (1 sem / 6 meses) 
Taxa Proporcional = 6% / mês (cap. semestralmente) 
 
Taxa Equivalente: P (1 + im)
6 = P (1 + is) - > (1 + im)
6 = (1 + 0,36)1 
 (1 + im)
6/6 = (1 + 0,36) 1/6 
 im = (1 + 0,36)
1/6 − 1 - > im = (1,36)
1/6 − 1 
Taxa Equivalente: im = 0,0526 a.m. = 5,26% a.m. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
2) Se a taxa de juros é 24% a.a. com capitalização trimestral, qual será a taxa 
de juros equivalente a anual com capitalização semestral. 
 taxa nominal = 24% a.a. (capitalização trimestral) 
 equivalente à = ? (ao ano com capitalização semestral) 
 
Solução: 
1 – achar a taxa efetiva correspondente a taxa nominal (taxa declarada) - 
(taxas proporcionais) 
taxa efetiva = it = (24% / ano) (1 ano / 4 trim) = 6% a.t 
 
2 – achar a taxa semestral equivalente a taxa trimestral 
P (1 + it)
2 = P (1 + is) - > P (1 + 0,06)
2 = P (1 + is) 
1,1236 = (1 + is) - > is = 1,1236 − 1 = 0,1236 a.s. = 12,36% a.s. 
 
3 – achar a taxa nominal anual correspondente a taxa efetiva semestral - 
através de taxas proporcionais 
Taxa a.a. capitalização semestral = (12,36% / sem) (2 sem / 1 ano) 
= 24,72% a.a. capitalizado semestralmente 
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Profa. Fabrícia de Farias 
Matemática Financeira – Juros Compostos 
Usa-se sempre taxas proporcionais quando não queremos mudar o 
período de capitalização. Usa-se sempre taxas equivalentes 
quando queremos mudar o período de capitalização. 
 
3) Em uma aplicação de 25 dias a taxa foi de 46%, qual será a taxa mensal 
equivalente desta mesma aplicação? 
 taxa efetiva = i25d 46% / (25 dias) 
 equivalente à = ? (a.m.) 
Solução: Mudar a capitalização de 25 dias para uma capitalização de 30 dias, 
então temos que usar taxas equivalentes. Para o prazo de 1 ano que é igual a 
360 dias (ano comercial) fica: 
P (1 + i25)
360/25= P (1 + i30)
360/30 dividindo os expoentes por 360 fica: 
(1 + i25)
(360/25) (1/360) = (1 + i30)
(360/30) (1/360) 
(1 + i25)
(1/25) = (1 + i30)
(1/30) multiplicando expoentes por 30 fica: 
(1 + i25)
(1/25) (30) = (1 + i)(1/30) (30) 
(1 + 0,46)30/25 = (1 + i30d) - > 1,5748 = (1 + i30d) 
i30d = 1,5748 − 1 = 0,5748 a.m. = 57,48% a.m. 
Profa. Fabrícia de Farias 
Juros Compostos – Exercícios 
7. Determinar as taxas anuais proporcional e equivalente a 30% a.m. 
Taxa Proporcional = 360% a.a. cap. mensalmente 
Taxa Equivalente: ia = 22,2981 a.a = 2.229,81% a.a. 
 
8. Determinar as taxas semestrais proporcional e equivalente a 66% a.a. 
Taxa proporcional: (66%/ano) (1 ano/2 sem) = 33% a.s. (cap. anualmente) 
Taxa equivalente: is = 0,2884 a.s. = 28,84% a.s. (=> ao semestre capitalizado 
semestralmente) 
 
9. Calcule a taxa semestral equivalente a taxa de 60% a.q. nos seguintes 
regimes: a) simples; e b) composto. 
(a) No regime de capitalização simples, quando duas taxas são equivalentes elas 
também são proporcionais. Taxa = 90% a.s. 
(b) No regime de capitalização composto, quando duas taxas são equivalentes elas 
não são proporcionais e vice-versa. 
Taxa Equivalente: is = 1,0239 = 102,39% a.s. 
 
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Juros Compostos – Exercícios 
10. Se aplicarmos $ 4.500,00 à taxa de 3,0% a.m. capitalizado 
trimestralmente, qual o montante obtido ao final de quatro semestres e meio? 
 S = $ 11.052,82 
 
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Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cálculo dos Juros 
Como: J = S − P e S = P (1 + i)n 
Então: J = P (1 + i)n − P 
Colocando “P” em evidência fica: J = P [(1 + i)n − 1] 
 
Exemplo: Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado por um ano e meio, a 
uma taxa de juros compostos de 8% a.m. Calcular o rendimento. 
P = $ 3.000,00 J = ? i = 8% a.m. (8% a.m. capitalizados mensalmente) 
prazo = 1,5 anos n = 18 meses 
Solução 1: J = P [(1 + i)n − 1] 
J = 3.000,00 [(1 + 0,08)18 − 1] J = 3.000,00 (3,99602 − 1) 
J = 3.000,00 (2,99602) J = $ 8.988,06 
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Matemática Financeira – Juros Compostos 
Cont... Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado por um ano e meio, a 
uma taxa de juros compostos de 8% a.m. Calcular o rendimento. 
P = $ 3.000,00 J = ? i = 8% a.m. (8% a.m. capitalizados mensalmente) 
prazo = 1,5 anos n = 18 meses 
Solução 2: 
Usar taxas equivalentes: 
P(1 + im)
12 = P (1 + i)1 (1 + 0,08)12= (1 + i)1 
(1,08)12 − 1 = i i = 151,817% a.a 
 J = P [(1 + i)n − 1] 
J = 3.000,00 [(1 + 1,51817)1,5 − 1] = 3.000,00 [(2,51817)1,5 − 1] 
J = 3.000,00 (3,99602 − 1) = 3.000,00 (2,99602) 
J = $ 8.988,06 
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Juros Compostos – Exercícios 
11. Foi aplicada uma certa quantia a uma taxa de 8% a.t. capitalizado 
anualmente por 8 trimestres. Determinar os juros sabendo-se que o valor 
resgatado foi $ 35.700,00? 
P = $ 20.488,98 
J = $ 15.211,02 
 
12. Se o valor de resgate for $ 55.000,00, o prazo dois anos e a taxa de juros 
de 24% ao ano acumulado trimestralmente, de quanto foi o rendimento? 
P = $ 34.507,68 
J = $ 20.492,32 
 
 
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Dúvidas?