Listas Calculo I - Todos os tópicos

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise Matemática
Listas de Cálculo I
Professor João Caminada
29 de novembro de 2016
Sumário
1 Funções 2
2 Limites e Continuidade 4
3 Derivada 8
4 Derivadas de Ordem Superior 12
5 A Derivada como Taxa de Variação 13
6 Regra de L'Hôspital 14
7 Valores Máximos e Mínimos; Variação das Funções 15
8 Integral Indefinida 16
9 Integral Definida 18
10 Integral Imprópria 20
1
1 Funções
1. Determine o domínio das funções:
(a) f(x) =
9x2 − 4
3x− 2
(b) g(x) =
1√
(x− 1)(x+ 2)
(c) f(x) =
x
x2 − 1
(d) h(x) = 3
√
x3 − x
(e) f(x) =
√
4− x2
x
(f) h(x) =
1
e2x − 1
(g) g(s) = ln(s2 − 1)
(h) v(t) = arcsen(3x+ 1)
(i) f(x) =
√
arctg(x)
2. Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = 2x+ 3
(b) g(x) = −x+ 1
(c) f(x) = |x+ 2|
(d) f(x) = |x− 1|
(e) h(x) =
{
2x se x ≤ −1
−x+ 1 se x > −1.
(f) f(x) =
 −2x+ 2 se x ≤ 0x2 + 1 se 0 < x ≤ 2
ex se x > 2
(g) g(x) =
x2 − 1
x− 1
(h) f(x) =
x2 − 2x+ 1
x− 1
3. Encontre a equação e esboce a reta que:
(a) Passa pelos pontos (−2, 1) e (1, 3)
(b) Possui coeficiente angular −2 e passa pelo ponto ( 12 , 1)
4. Encontre f + g, f − g, fg e f/g e determine seus domínios
(a) f(x) = x3 + 2x2 e g(x) = 3x2 − 1
(b) f(x) =
√
1 + x e g(x) =
√
1− x
5. Encontre f ◦ g e g ◦ f
(a) f(x) = 2x2 − x e g(x) = 3x+ 2
(b) f(x) = sen(x) e g(x) = 1−√x
(c) f(x) =
1
x
e g(x) =
x− 1
x+ 1
(d) f(x) = x+ 1 e g(x) =
{
x2 se x ≤ 0
e2x se x > 0.
2
6. Expresse as seguintes funções como a composta de duas funções
(a) F (x) = (x− 9)5
(b) u(t) =
√
cos(t)
(c) G(x) =
x2
x2 + 4
(d) h(x) = 4
√
x2 − 5
[Obs: Cada item possui mais de uma resposta correta].
7. A função f possui domínio [−4, 4] e porção do gráfico está mostrada abaixo. Complete o gráfico
caso:
(a) A função f seja par.
(b) A função f seja ímpar.
8. Mostre que dada qualquer função f vale que
g(x) =
1
2
(f(x) + f(−x))
é par,
h(x) =
1
2
(f(x)− f(−x))
é ímpar e
f(x) = g(x) + h(x).
9. Calcule as inverse das funções abaixo e determine seus domínios.
a) f(x) =
1
x
b) f(x) =
x+ 2
x+ 1
c) f(x) = 1 + loga(x)
10. Seja f(x) =
√
log 1
2
(log10(x+ 1)). Determine o domínio de f e calcule f(9).
3
2 Limites e Continuidade
1. Suponha que
lim
x→a f(x) = −3 limx→a g(x) = 0 limx→ah(x) = 8.
Encontre os limites que existirem. Se o limite não existir explique o porquê.
(a) limx→a[f(x) + h(x)]
(b) limx→a[f(x)]2
(c) limx→a 3
√
h(x)
(d) limx→a
1
f(x)
(e) limx→a
f(x)
h(x)
(f) limx→a
g(x)
h(x)
(g) limx→a
f(x)
g(x)
(h) limx→a
2f(x)
h(x)− f(x)
2. (a) Qual o problema com a equação
x2 + x− 6
x− 2 = x+ 3?
(b) Em vista da parte (a), explique por que a equação
lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2(x+ 3)
está correta.
3. Calcule os limites abaixo:
(a) limx→2(4x+ 1)
(b) limx→3
x2 − 9
x+ 3
(c) limx→1
4x5 + 9x+ 7
3x6 + x3 + 1
(d) limu→−2
√
u4 + 3u+ 6
(e) limx→−2
x+ 2
x2 − x− 6
(f) limh→0
(h− 5)2 − 25
h
(g) limx→−3
x2 − x− 12
x+ 3
(h) limx→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2
(i) limx→1
2x2 − 3x+ 1
x− 1
(j) limx→1
x3 − 1
x− 1
(k) limx→2
x3 + 3x2 − 9x− 2
x3 − x− 6
(l) limh→0
(1 + h)4 − 1
h
(m) limx→−3 3
√
x− 1
(n) limt→0
√
2− t−√2
t
(o) limt→9
x2 − 81√
x− 3
(p) limx→0
√
9 + 5x+ 4x2 − 3
x
(q) limx→−2
x+ 2√
x+ 2
(r) limx→2
√
x− 1√
2x+ 3−√5
(s) limx→1
[
1
x− 1 −
2
x2 − 1
]
(t) limt→0
[
1
t
√
1 + t
− 1
t
]
(u) limh→0
(3 + h)−1 − (3)−1
h
4. Determine se os seguintes limites existem. Caso existam, calcule-os.
(a) limx→1 f(x) se
f(x) =
{
x2 − 2x+ 2 se x < 1
3− x se x ≥ 1
(b) limx→−3 g(x) se
g(x) =
{
(x+ 5)3 se x ≤ −3
x2 − 1 se x > −3
(c) limx→0 h(x) e limh→2 h(x) se
h(x) =
 x se x < 0x2 se 0 < x ≤ 2
8− x se x > 2
4
(d) limx→2
|x− 2|
x− 2
(e) limx→3/2
2x2 − 3x
|2x− 3|
(f) limx→1
f(x)− f(1)
x− 1 se
f(x) =
{
x+ 1 se x < 1
2x se x ≥ 1
5. Encontre as assíntota verticais da curva y = f(x) e esboce esses gráficos nas proximidades das
assíntotas encontradas. Justifique as repostas:
a) f(x) =
1
x+ 1
b) f(x) =
x
(x− 1)(x3 + 1) c) f(x) =
1
x2 + x− 2
6. Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2 determine
lim
x→1
f(x).
7. Mostre que
(a)
lim
x→0
x4 cos
(
2
x
)
= 0
(b)
lim
x→0+
√
x[1 + sin(2pi/x)] = 0.
8. Calcule os limites no infinito
(a)
lim
x→∞
2x3 + 5x+ 1
x4 + 5x3 + 3
(b)
lim
x→∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(c)
lim
x→∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(d)
lim
x→∞
3x4 − 2√
x8 + 3x+ 4
(e)
lim
x→−∞
2x+ 5√
x2 + x− 1
(f)
lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(g)
lim
x→∞(x−
√
x2 + 1)
(h)
lim
x→∞
√
x− 1√
x2 − 1
(i)
lim
x→∞
6− 7x
(2x+ 3)4
9. Calcule os seguintes limites infinitos:
(a) limx→2+
x2 + 3x
x2 − 4
(b) limx→1+
1− x3
x2 − 2x+ 1
(c) limx→1−
2x− 3
x2 − 1
(d) limx→2−
2x+ 3
x− 2
(e) limx→∞
x3 + 3x+ 1
2x2 + x+ 1
(f) limx→−∞
5x3 − 6x+ 1
6x2 + x+ 1
(g) limx→∞(5− 4x+ x2 − x5)
(h) limx→−∞
x4 − 2
x2 + 3x+ 1
5
10. Calcule os seguintes limites:
(a)
lim
x→pi2
e
1
sen x
(b)
lim
x→1
arctg x
(c)
lim
x→0
ln
(
cos(x)2 + 1√
2(x2 + 1)
)
11. Verifique se as funções são contínuas.
(a) f(x) = cos(2x)
(b) f(x) = sec(x2 + 1)
(c) g(x) = arcsen (5x+ 2)
(d)
f(x) =
{
2x se x < 1
1 se x ≥ 1
(e)
f(x) =
 x
2 − 4
x− 2 se x 6= 2
4 se x = 2
12. Encontre L para que a função seja contínua.
a)
f(x) =
 x
2 − x
x
se x 6= 0
L se x = 0
b)
f(x) =
{
4ex se x < 0
2L+ x se x ≥ 0
c)
f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1
L2 se x < −1
13. Determine os pontos onde a função é contínua.
(a)
f(x) =
ex
2
+ sen (x)
x2 + 6
(b)
f(x) = ln
(
x2 − 1
x2
)
14. Mostre que a função
f(x) =
x3
4
− sen(pix) + 3
atinge o valor
7
3
no intervalo [−2, 2].
6
15. Determine se as equações têm solução.
(a) x3 + x2 − 4x− 5 = 0
(b) x7 + x5 + 1 = 0
(c) 2x + x2 = 0
7
3 Derivada
1. Diferencie a função
(i) f(x) = 186, 5
(ii) f(x) = x2 + 3x− 4
(iii) f(t) =
1
4
(t4 + 8)
(iv) y = x−2/5
(v) V (r) =
4
3
pir3
(vi) Y (t) = 6t−9
(vii) G(x) =
√
x− 2ex
(viii) F (x) =
(
1
2
x
)5
(ix) y =
x2 + 4x+ 3√
x
(x) y = ax2 + bx+ c
(xi) v = t2 − 1
4
√
t3
(xii) z =
A
y10
+Bey
(xiii) f(x) = x2ex
(xiv) y =
ex
x2
(xv) g(x) =
3x− 1
2x+ 1
(xvi) V (x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x)
(xvii) F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3)
(xviii) R(t) = (t+ et)(3−√t)
(xix) y =
t2
3t2 − 2t+ 1
(xx) y = (r2 − 2r)er
(xxi) z = w3/2(w + cew)
(xxii)
ax+ b
cx+ d
(xxiii) y = sen x+ 10 tg x
(xxiv) g(t) = t3 cos t
(xxv) y =
x
cosx
(xxvi) g(t) = sec t
(xxvii) h(θ) = cossec θ + eθ cotg θ
(xxviii) y = eu(cosu+ cu)
(xxix) y =
1 + sen x
x+ cosx
(xxx) y =
tg x− 1
secx
(xxxi) f(x) = (x+ 1)8
(xxxii) F (x) = (x3 + 4x)7
(xxxiii) F (x) = 4
√
1 + 2x+ x3
(xxxiv) f(x) = (1 + x4)2/3
(xxxv) g(t) =
(
1
t4 + 1
)3
(xxxvi) f(t) = 3
√
1 + tg t
(xxxvii) y = e−mx
(xxxviii) h(t) = (t4 − 1)3(8x2 − 5)−3
(xxxix) g(x) = ( sen x)3
(xl) f(x) = sen 2x
(xli) y = ecos x
(xlii) f(x) = (1− x2)10000
(xliii) f(x) = tg ( sen x)
(xliv) y =
r√
r2 + 1
(xlv) y =
e2u
eu + e−u
(xlvi) y = tg 2(3θ)
(xlvii) y = ek tg
√
x
(xlviii) y = sen ( sen ( sen x))
(xlix) y =
√
x+
√
x
(l) y =
√
x+
√
x+
√
x
(li) y = sen ( tg
√
sen x)
(lii) y = 23
x2
(liii) f(x) = ln(x2 + 10)
(liv) f(θ) = ln(cos θ)
(lv) F (t) = ln (2t+1)
3(3t−1)4
(lvi) h(x) = ln(x+
√
x2 − 1)
(lvii) f(u) =
lnu
1 + ln 2u
(lviii) y = ln(e−x + xe−x)
(lix) y = [ln(1 + ex)]2
8
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto de abscissa dada:
(a) y = 1− x2, x = 3
(b) y = x3 − 5x+ 1, x = 1
(c) y = x+ 4 ln(x), x = 1
(d) y = 3x+ sen (x), x = 0
(e) y = x−2, x = −2
(f) y =
√
x+ x−1, x = 1
(g) y =
√
x2 + 2x, x = 1
(h) y =
x2 + 1
x2 − 1 , x = 0
(i) y = ln(x2), x = 1
(j) y = tg (x+ 1), x = −1
(k) y = sen (pi(x+ 1)), x = 0
(l) y =
3
√
e3, x = 0
(m) y =
x
x3 + 1
, x = 1
(n) y =
1√
x2 + 1
, x = 1
(o) y =
1
x2(x4 + 1)
, x = 1.
3. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 onde a tangente é horizontal.
4. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = x3 + 1 que são paralelas à reta 12x− y = 1.
5. Considere
f(x) =
{
x2 + 1 se x < 1
x+ 1 se x ≥ 1
f é derivável em 1?
6. Em quais números a função g é derivável?
g(x) =
 2x se x ≤ 02x− x2 se 0 ≤ x < 2
2− x se x ≥ 2
Dê uma fórmula para g′.
7. Calcule
lim
x→1
x1000 − 1
x− 1 .
8. Onde a função h(x) = |x− 1|+ |x+ 2| é diferenciável. Encontre uma fórmula para h′(x).
9. Onde a função h(x) = |x2 − 9| é diferenciável. Encontre uma fórmula para h′(x).
10. Encontre m e b que tornam a função
f(x) =
{
x2 se x ≥ 2
mx+ b se x < 2
diferenciável em toda parte.
11. Se h(2) = 4 e h′(2) = 4 encontre
d
dx
(
h(x)
x
)∣∣∣∣
x=2
.
12. Se f for uma função diferenciável encontre uma expressão para a derivada de cada função.
(a) y =
f(x)
x2
(b) y =
x2
f(x)
(c) y =
1 + xf(x)√
x
13. (a) Demonstre que se g é diferenciável então vale a Regra do Recíproco:
d
dx
[
1
g(x)
]
= − g
′(x)
[g(x)]2
9
(b) Use o item acima para mostar que, se n é um inteiro positivo, então
d
dx
(x−n) = −nx−n−1.
14. Demonstre que
(a)
d
dx
( cossec x) = − cossec x cotg x
(b)
d
dx
( cotg x) = − cossec 2x
15. Seja f uma função derivável.
(a) Seja g(x) = f(e2x). Calcule g′(0) se f ′(1) = 2.
(b) Seja g(x) = xf(x2). Calcule g′(x).
(c) Seja g(x) = exf(3x+ 1). Calcule g′(0) se f(1) = 2 e f ′(1) = 3.
16. Encontre o limite
(a)
lim
x→0
sen 3x
x
(b)
lim
x→0
sen 4x
sen 6x
(c)
lim
t→0
tg 6t
sen 2t
(d)
lim
θ→0
cos θ − 1
sen θ
(e)
lim
x→0
sen 3x
5x3 − 4x
(f)
lim
x→0
sen 3x sen 5x
x2
(g)
lim
θ→0
sen θ
θ + tg θ
(h)
lim
x→0
sen x2
x
(i)
lim
x→pi/4
1− tg x
sen x− cosx
(j)
lim
x→1
sen (x− 1)
x2 + x− 2
17. Calcule y′.
(a) y =
√
1 + tg 2x
(b) y =
1
cos 2x
(c) y = x cotg 2x
(d) y = sec3(x2)
(e) y = 3
√
sen (t2)
(f) y = ( arcsen x)2
(g) y = arctg ( 1x )
(h) y = arctg (x−1x+1 )
(i) y = arcsen ( xx2+1 )
18. Encontre dy/dx por derivação implícita.
(a) x2 + xy − y2 = 4
(b) 2x3 + x2y − xy3 = 2
(c) xey = x− y
(d) 1 + x = sen (xy2)
(e) ex/y = x− y
(f) 4 cosx sen y = 1
10
19. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado
(a) y sen 2x = x cos 2y, (pi/2, pi/4)
(b) x2 + xy + y2 = 3, (1, 1)
(c) x2/3 + y2/3 = 4, (−3√3, 1)
20. Encontre a derivada das funções.
(a) x sen x
(b)
√
x
x
(c) ( sen x)ln x
11
4 Derivadas de Ordem Superior
1. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n espicificada.
(a) y = 3x4 − 2x, n = 5
(b) y =
√
3− x2, n = 3
(c) y =
1
x− 1 , n = 4
(d) y = e2x+1, n = 3
(e) y = ln(2x), n = 4
(f) y = −2 cos
(
x
2
)
, n = 5
(g) y = sen (ax), n = 7; com a ∈ R
(h) y = xex, n = 7
(i) y = x(ln( sen x)− cos(lnx)), n = 3
(j) y = ln
(
1 + sen x
1− sen x
)
, n = 3
2. Encontre A, B e C tais que y = Ax2 +Bx+ C satisfaça a equação y′′ + y′ − 2y = x2.
3. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
4. Se f(2) = 10 e f ′(x) = x2f(x) para todo x, encontre f ′′(2).
5. Se F (x) = f(x)g(x), onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis, mostre que
F ′′ = f ′′ + 2f ′g′ + g′′.
Encontre uma expressão de F ′′′.
6. Encontre A e B de forma que a função y = A cosx+B sen x satisfaça a equação
y′′ + y′ − 2y = sen x.
7. Encontre y′ e y′′
(a) y = cos(x2)
(b) y = cos2 x
(c) y = eαx sen βx
(d) y = ee
x
8. Suponha que g seja uma função duas vezes diferenciável. Se f(x) = x2g(x2), encontre f ′′ em em
função de g, g′ e g′′.
9. Para quais valores de r a função y = erx satisfaz a equação y′′ − 4y′ + 13y = 0.
10. Encontre y′′ por derivação implícita.
(a) 9x2 + y2 = 9
(b)
√
x+
√
y = 1
(c) x3 + y3 = 1
(d) x4 + y4 = a4
12
5 A Derivada como Taxa de Variação
1. Influências externas produzem aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movi-
mento é y = 4t2 + t, onde y é o deslocamento e t é o tempo.
(a) Quais são as equações da velocidade e da aceleração da partícula num tempo t?
(b) Quando a partícula para de mover-se?
2. Um estoque de sangue é guardado num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,
em graus centígrados, é T (t) = 30 + (t+ 1)−1 − 3t2. Qual é a velocidade de resfriamento após 10
h?
3. Deve-se drenar uma piscina. Se Q é o número de listros de água na piscina t minutos após o início
da drenagem e Q(t) = 200(30− t)2, qual é a velocidade de escoamento da água após 10 min?
4. Uma partícula lançada verticalmente para cima com velocidade v m/s, atinge a altura de s(t) =
vt− 4, 9t2 após t segundos. Qual deve ser a velocidade inicial para que a altura máxima atingida
seja 44 m?
5. O lado de um triângulo equilátero mede a cm e cresce à razão de k cm/s. Com que velocidade
crescerá a área do triângulo?
6. O raio da base de um cone cresce à razão de 1 cm/min e sua altura descresce à razão de 2 cm/min.
Como variará o volume total do cone quando o raio é 4 cm.
7. O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 cm/s e sua largura está
aumentando numa taxa de 3 cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão
rápido a área do retângulo está aumentando?
8. Um tanque cilíndrico com raio 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m3/min. Quão
rápido a altura da água está aumentando?
9. Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy = 8. Quando atinge o ponto
(4, 2), a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3 cm/s. Quão rápido a coordenada x do
ponto está variando nesse momento?
10. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma
estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta
quando ele está a 3 km além da estação.
11. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de altura. Um homem com 2 m de
altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1,5 m/s ao longo de uma trajetória reta.
Com que velocidade se move a ponta se sua sombra quando ele está a 10 m do poste?
12. Ao meio-dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o leste
a 35 km/h e o navio B está navegando para o norte a 25 km/h. Quão rápido a distância entre os
navios está variando às 16 h?
13. Um holofote sobre o solo ilumina uma parede 12 m distante dele. Se um homem de 2 m de altura
anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6 m/s, quão rápido o comprimento
de sua sombra diminui sobre a parede quando ele está a 4 m dela?
14. Quando o ar se expande adiabaticamente (sem ganhar ou perder calor), sua pressão P e volume
V estão relacionadas pela equação PV 1,4 = C, onde C é uma constante. Suponha que em um
certo instante o volume seja de 40 cm3 e a pressão, 80 kPa, e esteja decrescendo a uma taxa de 10
kPa/min. A que taxa está crescendo o volume nesse momento?
15. Dois lados de um triângulo têm comprimento de 12 m e 15 m. O ângulo entre eles está aumentando
a uma taxa de2o/min. A que taxa o comprimento de um terceiro lado está aumentando quando
o ângulo entre os lados de comprimento fixo for 60o.
13
6 Regra de L'Hôspital
1. Encontre o limite (use o método apropriado):
(i) lim
x→1
x9 − 1
x5 − 1
(ii) lim
x→1
xa − 1
xb − 1
(iii) lim
x→(pi/2)+
cosx
1− sen x
(iv) lim
x→0
x+ tg x
sen x
(v) lim
t→0
et−1
t3
(vi) lim
x→0
tg px
tg qx
(vii) lim
x→∞
ln lnx
lnx
(viii) lim
x→1
lnx
sen pix
(ix) lim
x→0
x+ sen x
x+ cosx
(x) lim
x→∞
x
ln(1 + 2ex)
(xi) lim
x→0
x
arctg (4x)
(xii) lim
x→0
1− e2x
secx
(xiii) lim
x→0+
√
x lnx
(xiv) lim
x→−∞x
2ex
(xv) lim
x→0+
sen x lnx
(xvi) lim
x→∞x
3e−x
2
(xvii) lim
x→∞x tg (1/x)
(xviii) lim
x→1
(
1
lnx
− 1
x− 1
)
(xix) lim
x→∞(xe
x − x)
(xx) lim
x→0+
xx
2
(xxi) lim
x→0+
( tg 2x)x
(xxii) lim
x→0
(1− 2x)1/x
(xxiii) lim
x→−∞x
(ln 2)/(1+ln x)
(xxiv) limx→0+(cosx)1/x
2
.
2. Prove que
lim
x→∞
ex
xn
=∞
para todo n inteiro positivo.
3. Prove que
lim
x→∞
lnx
xp
= 0
para todo número p > 0.
4. Se um objeto de massa m é deixado cair a partir do repouso, um modelo para sua velocidade v
após t segundo, levando-se em conta a resitência do ar, é
v =
mg
c
(1− e−ct/m)
em que g é a aceleração devida à gravidade e c é uma constante positiva.
(a) Calcule limt→∞ v. Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de L'Hôspital para calcular limm→∞ v. O que você pode
concluir sobre a velocidade de um objeto muito pesado caindo?
14
7 Valores Máximos e Mínimos; Variação das Funções
1. Encontre e classifique os pontos c¯ticos das funções. Encontre os intervalos onde as funções são
crescentes ou decrescentes
(a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x
(b) g(x) = 200 + 8x3 + x4
(c) h(x) = (x2 − 1)3
(d) A(x) = x
√
x+ 3
(e) B(x) = 3x2/3 − x
(f) C(x) = x1/3(x+ 4)
(g) f(x) = ln(x4 + 27)
(h) f(θ) = 2 cos θ−cos 2θ, 0 ≤
θ ≤ 2pi
(i) f(t) = t+ cos t
2. Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
(a) f(x) = 3x2−12x+5, [0, 3]
(b) f(x) = x4−2x3+3, [−2, 3]
(c) f(x) = (x2 − 1)3, [−1, 2]
(d) f(x) =
x2 − 4
x2 + 1
, [−4, 4]
(e) f(x) = sen x + cosx,
[0, pi/3]
(f) f(x) = x− 2 cosx, [−pi, pi]
(g) f(x) = xe−x, x ∈ [0, 2]
(h) f(x) =
lnx
x
, [1, 4]
(i) f(x) = e−x + e−2x, [0, 1]
3. Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao
longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo θ com o plano, então a grandeza
da força é
F =
µW
µ sen θ + cos θ
onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de atrito e 0 ≤ θ ≤ pi/2. Mostre que F é
minimizada quando tg θ = µ.
4. (a) Prove que
t+
1
t
≥ 2 para todo t > 0.
[Dica: Defina a função f(t) = t+ 1/t e mostre que f é estritamente decrescente se 0 < t ≤ 1
e f é estritamente crescente se t ≥ 1].
(b) Sejam a e b dois números positivos. Prove que
ax+
b
x
≥ 2
√
ab para todo t > 0
5. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
(a) f ′(x) > 0 para todo x 6= 1; assíntota vertical x = 1; f ′′(x) > 0 se x < 1 ou x > 3; f ′′(x) < 0
se 1 < x < 3.
(b) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0; f ′(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4; f ′(x) < 0 se 0 < x < 2 ou x > 4;
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 3; f ′′(x) < 0 se x < 1 ou x > 3.
15
8 Integral Indefinida
1. Calcule as integrais indefinidas:
(i)
∫
xex
2
dx
(ii)
∫
x3e−x
4
dx
(iii)
∫
x2(1 + x3)dx
(iv)
∫
arcsen xdx
(v)
∫
e2x sen 3xdx
(vi)
∫
lnx
x
dx
(vii)
∫
e−4x cos 2xdx
(viii)
∫
(lnx)2dx
(ix)
∫
(lnx)3dx
(x)
∫
x2e−xdx
(xi)
∫
1
x(lnx)n
dx, n ∈ N
(xii)
∫
2x+ 1
x2 + x+ 1
dx
(xiii)
∫
x
x+ 1
dx
(xiv)
∫
sen 4xdx
(xv)
∫
cos3 xdx
(xvi)
∫
sen2x cos3 xdx
(xvii)
∫
x cosxdx
(xviii)
∫
x2 sen xdx
(xix)
∫
x2 cosxdx
(xx)
∫
x3 cosx2dx
(xxi)
∫
x2 lnxdx
(xxii)
∫
x2(lnx)2dx
(xxiii)
∫
x3e−x
2
dx
(xxiv)
∫
sen x cosxdx
(xxv)
∫
sen 2x cosxdx
(xxvi)
∫
sen 5x cosxdx
(xxvii)
∫
cos4 x sen xdx
(xxviii)
∫
sen x
1 + cos2 x
dx
(xxix)
∫
arctg x
1 + x2
dx
(xxx)
∫
x3
√
1− x2dx
(xxxi)
∫
x sen (2x2)dx
(xxxii)
∫
1
9− x2 dx
(xxxiii)
∫
1√
3− x2 dx
(xxxiv)
∫
1
2− 4x2 dx
(xxxv)
∫
1
a2 − b2x2 dx
(xxxvi)
∫
x7
(1− x4)2 dx
(xxxvii)
∫
x3
x4 + 2
dx
(xxxviii)
∫
√
3x+ 1dx
(xxxix)
∫
sen 4x cosxdx
(xl)
∫
ex − e−x
ex + e−x
dx
(xli)
∫
x√
x2 − 1dx
(xlii)
∫
x3
√
x4 + 1dx
(xliii)
∫
x
(3x2 + 5)2
dx
(xliv)
∫
(x2 + 3)4x3dx
(xlv)
∫
cosx
sen 3x
dx
(xlvi)
∫
ex
√
ex + 1dx
(xlvii)
∫
(x3 + 1)7/5x5dx
(xlviii)
∫
x
(x2 − 4)3/2 dx
(xlix)
∫
sen 3xdx
(l)
∫
cos 4xdx
(li)
∫
ex sen exdx
(lii)
∫
x2
√
x3 + 1dx
(liii)
∫
1
x lnx
dx
(liv)
∫
ex
ex + 1
dx
(lv)
∫
(lnx)4
x
dx
(lvi)
∫
1 + e2x
ex
dx
(lvii)
∫
x arctg xdx
(lviii)
∫
x arcsen 2xdx
(lix)
∫
√
x lnxdx
(lx)
∫
√
xe−
√
xdx
(lxi)
∫
cos3 x
sen x
dx
(lxii)
∫
sen 22x cos2 2xdx
(lxiii)
∫
cos4 xdx
(lxiv)
∫
tg 2xdx
(lxv)
∫
x2
√
1− x2dx
(lxvi)
∫
1
(x2 + 1)2
dx
(lxvii)
∫ √
1− x2
x2
dx
(lxviii)
∫
x3
1 + x2
dx
16
2. Calcule as integrais indefinidas por frações parciais:
(a)
∫
2x− 3
(x− 1)(x+ 7)dx
(b)
∫
x
(x2 − 3)2 dx
(c)
∫
1
x2 − 1dx
(d)
∫
x
(x+ 1)2
dx
(e)
∫
x2 + 2x− 1
x3 − x dx
(f)
∫
1
s2(s− 1)2 ds
(g)
∫
x2
(x+ 1)3
dx
(h)
∫
1
(x+ 5)2(x− 1)dx
(i)
∫
x
x2 + 4x+ 13
dx
17
9 Integral Definida
1. Ache a derivada da função:
(a)
g(x) =
∫ x
0
√
1 + 2tdt
(b)
g(u) =
∫ u
3
1
x+ x2
dx
(c)
F (x) =
∫ 2
x
cos(t2)dt
[Dica:
∫ 2
x
cos(t2)dt = − ∫ x
2
cos(t2)dt]
(d)
F (x) =
∫ 10
x
tg θdθ
(e)
h(x) =
∫ 1/x
2
arctg tdt
(f)
h(x) =
∫ x2
0
√
1 + r3dr
(g)
g(x) =
∫ 3x
2x
u2 − 1
u2 + 1
du
[Dica:
∫ 3x
2x
f(u)du =
∫ 3x
0
f(u)du+
∫ 0
2x
f(u)du]
(h)
g(x) =
∫ x2
tg x
1√
2 + t4
dt
(i)
F (x) =
∫ x2
√
x
√
t sen tdt
2. Calcule a integral
(a)
1∫
0
( 4
√
u+ 1)2du
(b)
9∫
1
√
x− 2x2
x
dx
(c)
1∫
0
sen (3pit)dt
(d)
1∫
0
v2 cos(v3)dv
(e)
(ln 3)2∫
(ln 2)2
e
√
x
√
x
dx
(f)
pi/2∫
pi/3
sec θ tg θ
1 + sec θ
dθ
3. Se f é contínua e g e h são funções diferenciáveis, encontre a fórmula para
d
dx
∫ h(x)
g(x)
f(t)dt
18
4. Seja
f(x) =

0 se x < 0
x se 0 ≤ x ≤ 1
2− x se 1 < x ≤ 2
0 se x > 2
e
g(x) =
∫ x
0
f(t)dt.
Expresse g(x) como uma função definida por partes em termos de funções elementares.
5. Ache uma função f e um número a tal que
6 +
∫ x
a
f(t)
t2
dt = 2
√
x
para todo x > 0.
19
10 Integral Imprópria
1. Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
∞∫
1
1
(3x+ 1)2
dx
(b)
infty∫
0
x
(x2 + 2)2
dx
(c)
0∫
−∞
1
2x− 5dx
(d)
∞∫
0
xe−x
2
(e)
∞∫
1
lnx
x
dx
(f)
6∫
−∞
rer/3dr
(g)
∞∫
−∞
x2
9 + x6
dx
(h)
∞∫
−∞
e−|x|dx
(i)
∞∫
0
x arctg x
(1 + x2)2
20
	Funções
	Limites e Continuidade
	Derivada
	Derivadas de Ordem Superior
	A Derivada como Taxa de Variação
	Regra de L'Hôspital
	Valores Máximos e Mínimos; Variação das Funções
	Integral Indefinida
	Integral Definida
	Integral Imprópria