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5ª Lista de Exercícios – Geometria Analítica e Álgebra Linear 1. Determine os valores de x e y que satisfazem: ቀ 1 x − 2yx + 18 4 ቁ = ൬ 1 y + 1 y − 3x 4 ൰ 2. Dadas as seguintes matrizes: A = ቀ1 23 −4ቁ B = ቀ 5 0 −6 7ቁ C = ቀ 1 −3 4 3 6 −5ቁ D = ቀ 1 2 3 4ቁ E = ቀ 5 4 6 11ቁ a) Calcule 5A – 2B e 2A + 3B b) Calcule A2 e AC c) Mostre que D e E comutam 3. Considere as matrizes A2x2 = (aij) ⇒ a୧୨ = ൜ i + j, i = j 0, i ≠ j e B2x2 = (bij) = 2i – 3j . Calcule A+B. 4. Determine, se possível x para que a matriz ൭ 0 2x 1 xଶ 0 −4x x + 1 xଷ 0 ൱ seja simétrica. 5. Seja A–1 = ቀ1 30 1ቁ e B = ቀ −1 0 2 −1ቁ. Determine, se possível, a matriz X tal que: (ATX)–1 = (B–1)–1. 6. Sejam A = ቀ−1 −2−3 −5ቁ , B = ቀ 2 −1ቁ e C = ቀ 1 4 −4 −8ቁ. Determine, se possível, a matriz X tal que A + BX = C. 7. Considere a operação a seguir entre matrizes e calcule a soma de todos os elementos da matriz K. ቀ6 24 3ቁ ∙ K = ቀ −6 1ቁ 8. Sendo A = ቀ1 23 4ቁ e B = ቀ 1 0 2 1ቁ, determine a matriz M = (A + B) t. 9. Escreva a matriz 2x3 tal que a୧୨ = ൜ i + j, i = j 2i − j, i ≠ j . 10. Calcule a matriz inversa de A = ቀ 4 3−1 −1ቁ. 11. Determine a matriz inversa de A dada por a୧୨ = ൜ sen(i + j)π, i = j cos (j − i)π, i ≠ j 12. Sejam A = ቀ1 21 4ቁ e B = ൬ 2 −1 x y൰, duas matrizes. Se B é a inversa de A, calcule x + y. 13. Seja A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ൩. Determine A2, A3 e A4. Encontre uma expressão geral para An, onde n é qualquer número natural. 14. Seja A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 ൩. Determine A2, A3 e A4. Encontre uma expressão geral para An, onde n é qualquer número natural. 15. Seja B = 4 − x −4 −4 2 −2 −x − 4 3 −3 −4 − x ൩. Determine todos os valores de x que satisfazem det(B) =0. 16. A matriz que representa rotações no plano xy é A(θ) = ቂcosθ −senθsenθ cosθቃ. a) Verifique que A(θ1)∙ A(θ2) = A(θ1 + θ2). Explique o que isto significa geometricamente. b) Calcule A(θ)∙A(−θ). Explique geometricamente esse resultado.
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