Aula Teoria das Estruturas II parte 1 turma

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Teoria das Estruturas II 
Prof Marco Antonio de Sena Pereira 
Teoria das Estruturas II 
• Objetivo do curso 
 
Teoria das Estruturas II 
• Deformações em Estruturas Isostáticas 
• Nas estruturas de barras, as forças externas 
geram forças internas (N,M,V,T), que por sua 
vez, provocam deslocamentos nas estruturas. 
• Considerando um elemento infinitesimal (dx), 
o mesmo estará sujeito a deslocamentos 
relativos gerados pelos esforços internos da 
barra (N,M,V,T) 
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Estes deslocamentos relativos, estão relacionados 
as deformações e tensões que surgem na estrutura. 
A Resistência dos materiais fornece relações, ou 
seja, leis que relacionam forças reais internas de 
uma estrutura e seus respectivos deslocamentos 
reais. 
Teoria das Estruturas 
• N dδ(delta) 
• M dϕ(phi) 
• V dλ(lambida) 
• T dθ(teta) 
 
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• Deformações Elementares causadas por Esforços 
• a) Deformação axial, causada por força N 
 
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• b) Deformação transversal devido ao esforço cortante 
 
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• c) Deformações angulares causadas por M 
 
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• d) Deformação causada por T 
 
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• Para um material trabalhando em regime 
linear-elástico, pode –se aplicar a lei de 
Hook(σ = E.e), para obter a relação entre as 
forças internas reais e seus respectivos 
deslocamentos nas seções transversais do 
elemento infinitesimal 
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• 1) Deslocamento axial interno provocado por(N) 
 σ = Ee ; σ = N/A ; N/A=E.dδ/dx 
 dδ=N/EA.dx ( em metros,centimetros,milimetros) 
• 2) Rotação relativa interna provocada por (M) 
 dϕ = M/ET.dx (adimensional: rad) 
• 3) Deslocamento transversal relativo interno 
provocado por cortante (Q) 
 dλ = χ Q/GA.dx (χ/G – Módulo de Elasticidade Transversal) 
• 4) Rotação relativa interna provocada por (T) 
 dθ = T/GЈ .dx ( J – Momento de inercia referente a torção) 
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• Principio dos Trabalhos Virtuais (PVT) 
 
• Trabalho virtual: Pode ser gerado por 2 formas: 
• Quando se aplica um deslocamento virtual nas 
estruturas sujeitas a forças reais; 
• Quando se aplica a força virtual nas estruturas 
sujeitas a deslocamentos reais. 
• “O trabalho virtual externo é igual ao interno” 
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• I – Principio dos Deslocamentos Virtuais: 
• Aplicam-se forças virtuais externas em uma 
estrutura sujeita a deslocamentos reais. 
• II - O principio das forças virtuais é uma das 
principais ferramentas para determinação dos 
deslocamentos em estruturas isostáticas. 
 O principio das forças virtuais é conhecido 
como método da força virtual unitária ou 
método da carga unitária. 
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• Método da força virtual unitária(MFVU) 
• Objetivo: Determinar os deslocamentos de uma 
seção “S” qualquer em uma estrutura 
• As estruturas em geral estão sob a ação de 3(três) 
tipos de solicitação externas(Fe) 
• Fe1=Peso próprio, cargas concentradas ou 
distribuidas e momentos aplicados 
• Fe2=Variação de temperatura 
• Fe3=Deslocamento prescrito 
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• Forças Externas: Solicitações externas e reações de apoio 
• Forças internas: N,M,V,T 
• Estas forças externas geram forças internas que por sua vez, 
provocam deslocamentos ou deformações nas estruturas. 
• No dia a dia, as estruturas estão sob ação simultânea 
destas solicitações externas, então, para determinar o 
deslocamento de uma seção “S” é necessário calcular o 
deslocamento provocado por cada agente separadamente 
e em seguida realizar o somatório. 
• Por exemplo: Para calcular um deslocamento (δ), por 
exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma 
estrutura isostática, sujeita a forças externas, adotamos os 
seguintes passos: 
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• 1º Passo 
• Considera-se a mesma estrutura submetida 
apenas a força virtual (F1), atuando sobre o 
ponto C da estrutura e na direção do 
correspondente deslocamento a ser calculado 
• No caso do exemplo: Deslocamento Vertical 
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• 2º Passo: Considerar a mesma estrutura 
submetida a ação das forças externas 
 
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• 3º Passo: Substituem-se os valores das forças 
obtidas nos passos 1, e 2, na expressão do 
MFVU, em seguida, somam-se os valores 
obtidos pela integração para cada uma das 
forças internas ao longo da estrutura, de 
modo a obter o δ. 
• A equação pode ser descrita: 
• 
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• Inserindo na equação acima, as relações entre 
deslocamento e forças internas, obtidas 
anteriormente, temos: 
 
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• Para estruturas usuais as parcelas devido ao 
esforço normal e ao cortante podem ser 
desprezadas, simplificando a equação. 
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• A parcela de esforço normal, não pode ser 
desprezada nas estruturas que trabalhem 
fundamentalmente ao esforço ao esforço 
normal. P.Ex: Peças Protendidas 
• A parcela do esforço cortante não pode ser 
desprezada nas estruturas com cortantes 
elevados p.Ex: Muros de Contenção 
• Em caso de dúvida, todas as parcelas devem 
ser consideradas. 
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• Analise Dimensional 
 
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Exemplo 
Atenção com as 
Unidades 
 
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• Exercício em grupo