CIRCUITOS TRIFÁSICOS+ALUNOS

Prévia do material em texto

1 
TRANSFORMADOR 
 
Seja o circuito abaixo, onde se tem uma indutância enrolada em torno de um núcleo de 
ferro, apresentando N espiras. Pela regra da mão direita: “se os dedos da mão direita 
fechada apontarem na direção da corrente, o polegar indica a direção do fluxo 
magnético”. 
 +
VL(t)
-
iL(t)
Φ(t)
N
 
 
A tensão nos terminais da indutância é dada por: 
 
   
id
d
NL
td
tid
id
d
N
td
d
N
td
tid
Ltv LLL







 ;
)( 
 
O valor de L depende das características magnéticas do núcleo no qual a bobina é 
enrolada. Admite-se que todo o fluxo está confinado ao núcleo, e, portanto, enlaça todas 
as espiras N. A densidade de fluxo magnético B e a intensidade magnética H são 
dadas por: 
 
 
mespirasampere
l
tiN
Hemwebers
A
B L // 2 

 
Onde l e A são o comprimento e a área da seção transversal do núcleo. Substituindo na 
equação acima tem-se: 
 
l
AN
Hd
Bd
l
AN
L
22 

 
 
Onde dB / dH é a inclinação de uma curva de B em função de H; μ é a permeabilidade 
magnética. Para núcleo de ar a indutância é um elemento linear, independente da 
corrente que atua. Já para núcleo de ferro, ela é um elemento não linear, pois depende 
do valor de H. 
 
 2 
H
B
Núcleo de ferro Núcleo de ar
B
H
 
L é denominada auto-indutancia do enrolamento. Acorrente iL(t) produz um fluxo 
magnético no núcleo, cuja direção depende do sentido de enrolamento da bobina. 
Seja agora o mesmo núcleo de ferro, onde temos enroladas duas indutâncias L1 e L2. 
Temos então um esboço de um transformador de dois enrolamentos, onde se admite que 
pelo menos parte do fluxo produzido por um enrolamento enlace as espiras do outro 
enrolamento. O enrolamento do lado esquerdo é denominado enrolamento “primário” e 
o do lado direito enrolamento “secundário”. 
 
Seja ɸ1(t) o fluxo total que enlaça o primário e ɸ2(t) o fluxo que enlaça o secundário. 
Como cada fluxo é completamente determinado pelas duas correntes, que, por sua vez, 
são funções de t, temos: 
+
V1(t)
-
+
V2(t)
-
i1(t) i2(t)
+
V1(t)
-
+
V2(t)
-
i1(t) i2(t)
 
 
   
   tid
di
id
di
iidd
tid
di
id
di
iidd
2
2
2
1
1
2
2122
2
2
1
1
1
1
2111
,
,












 
 
 
Portanto: 
 
 
 3 
     
     
td
tid
di
N
td
tid
di
N
td
d
Ntv
td
tid
di
N
td
tid
di
N
td
d
Ntv
2
2
2
2
1
1
2
2
2
22
2
2
1
1
1
1
1
1
1
11







 







 








 







 



 
 
Onde L1, L2 são as auto-índutancias ou indutâncias próprias dos enrolamentos, e M é 
denominada indutância mútua. 
 
L1 L2
M
i2(t)i1(t)
+
v1(t)
-
+
v2(t)
-
L1 L2
M
i2(t)i1(t)
+
v1(t)
-
+
v2(t)
-
 
 
     
     
td
tid
L
td
tid
Mtv
td
tid
M
td
tid
Ltv
2
2
1
2
21
11


 
 
Convenção dos pontos: 
 
Se ambas as referencias de corrente estiverem dirigidas para a (ou ambos saindo da) 
extremidade da bobina marcada com um ponto, os termos de auto-indutancia e de 
indutância mútua têm o mesmo sinal. Se uma das setas de referencia entra e a outra sai 
de um terminal marcado com um ponto, o termo de indutância mútua tem sinal 
negativo. 
 
L1, L2 e M são constantes não-negativas. A potência instantânea absorvida é: 
 
         titvtitvtp 2211 
 
 
A energia armazenada é dada por: 
 4 
           titiMtiLtiLtdtptw
t
2
2
22
22
2
1 11 2
1
2
1
 

 
Como se trata de elemento passivo (indutores acoplados), a energia armazenada deve 
ser maior ou igual a zero. O valor limite de M é atingido quando w = 0. Logo: 
 
          21
2
2
22
22
2
1 0
2
1
2
1
11
LLMtitiMtiLtiLtw 
 
 
Na expressão acima soma e subtrai o termo 
2121 LLii 
e teremos o limite de M. 
Define-se então um coeficiente de acoplamento k: 
 
10:21  kondeLLkM
 
No domínio da freqüência tem-se: 
L1 L2
M
i2(t)i1(t)
+
v1(t)
-
+
v2(t)
-
sL1 sL2
sM
I2(s)I1(s)
+
V1(s)
-
+
V2(s)
-
 
 
     
     sILssIMssV
sIMssILssV
2212
2111


 
 
jwL1 jwL2
jwM
I2I1
+
V1
-
+
V2
-
 
2212
2111
ILjIMjV
IMjILjV




 
 5 
 
Para os circuitos abaixo determine uma expressão para a indutância equivalente. 
 
L1 L2 L1 L2
+
v(t)
-
i(t)
MM
i(t)
+
v(t)
-
+
v2(t)
-
+
v1(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 6 
Para o circuito abaixo determine a tensão de saída v0(t) 
R: 3,17 cos ( 3 t + 1470 ) 
vs(t) = 5,94 cos ( 3 t + 1400 )
vs(t)
4 H
5 H
2 H
5 +
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 7 
Para o circuito abaixo determine a tensão de saída v0(t) 
R: 3,38 cos ( 3 t + 158,40 ) 
vs(t)
4 H
5 H
2 H
5 +
v0(t)
-
vs(t) = 5,94 cos ( 3 t + 1400 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 8 
Para o circuito abaixo determine a tensão de saída v0(t). 
 
10
4 H 6 H
20
50
 v1(t)
 v1(t) = 12 cos ( 5 t )
3 H
-
v2(t)
+
+
v1(t)
-
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 9 
Para o circuito abaixo determine a tensão de saída v0(t). 
R: v0(t) = 6 cos ( 2 t – 89,70) 
 
3 H
5
4 H
2 H
6
2
vs(t)
vs(t) = 10 cos ( 2 t )
1 / 10 F
+ 
 v0(t)
-
2 H
1 H
1 H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 10 
Determinar o valor de C que produzirá a maior tensão de saída de estado 
permanente. 0,2 H 0,5 H
0,2 H
v1(t)
v1(t) = 10 cos ( 100 t )
C 10 Ω
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 11 
Impedância Referida – Transformador com acoplamento unitário – 
Transformador ideal 
 
jwL1 jwL2
jwM I2
I1
+
V2
-
Z2V1
 
 
 
Escrevendo duas equações de malha tem-se: 
 
   
    221
2111
0 ILjIMj
IMjILjV



 
 
 
Resolvendo para I1 e I2, e lembrando que Z1, impedância vista pela fonte V1 é igual a 
V1/I1 e que Z2 = V2/I2 tem-se: 
 
 
A impedância total vista pela fonte Z1 é a soma da auto-impedancia ( j w L1 ) e da 
impedância refletida Zf dada por: 
 
22
22
ZLj
M
Z f



 
 
 
Um transformador unitariamente acoplado é um no qual 
21 LLM 
, neste caso tem-se: 
 
 
   
221
2
21
2
21
2
2
1
2
22
22
1
1
1
1
ZLj
Mj
I
IZLjMLL
ZMj
V
V
ZLj
M
Lj
I
V
Z













 12 
   
 
   22
2
2
22
221
22
21
2
11
2222
21
1
2
2
1
1
2
11
1
1
1
LjZ
NZ
LjZ
ZLL
ZLj
LL
LjZ
LjZ
N
LjZ
LL
I
I
N
L
L
V
V















 
 
 
O transformador ideal é uma ulterior idealização do transformador de acoplamento 
unitário, no qual todas as indutâncias próprias e mútua tendem para infinito. Estas 
características podem ser aproximadas fisicamente enrolando-se ambas as bobinas num 
núcleo comum construído de ferro de alta permeabilidade. Daí tem-se: 
 
2
21
12
221
1
2
1
2 ;
1
;
1
; N
IV
IV
N
ZZ
NI
I
N
V
V







 
 
 
+
v2(t)
-
1 : N
I2I1
(ideal)
Circuito (c)
Z2V1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Para o circuito abaixo determinar o valor da frequencia w que produzirá a maior 
tensão de saída v0(t) de estado permanente. Determine o valor desta tensão. 
 
+
v0(t)
-
1 : 2
(ideal)
1 / 8 F 121 / 8 H
i1(t) = cos ( w t )
i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 14 
CIRCUITOS EQUIVALENTES 
 
Nas equações anteriores somando e subtraindo um termo M ( di / dt ) teremos 
 
 
          
          
td
tid
ML
td
titid
Mtv
td
titid
M
td
tid
MLtv
2
2
21
2
211
11





 
 
E o transformador também poderá ser representado por: 
 
L1 L2
M
i2(t)i1(t)
+
v1(t)
-
+
v2(t)
-
L1 - M L2 - M
M
+
v1(t)
-
+
v2(t)
-
i2(t)i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Para o circuito abaixo determinar o valor de C que produzirá a máxima tensão de 
saída de estado permanente; 
 0,2 H 0,5 H
0,2 H
v1(t)
v1(t) = 10 cos ( 100 t )
C 10 Ω
+
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 16 
Para o circuito abaixo determinar a tensão de saída de estado permanente v0(t). 
R: 1,02 cos ( t – 78,60 ) 
1 H
2 H
1
2 / 5 
v1(t)
v1(t) = cos ( t )
i2(t) = 2 i1(t)
+
v0(t)
-
1 H
i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 17 
Para o circuito abaixo determinar a resistência R0 que resultará no máximo de 
potencia de saída. Determine o valor desta potencia em função do tempo, e 
determine também a potencia média consumida. 
R: R0 = 10 Ω ; p(t) = ( 5 / 8 ) cos2 ( w t ); P = 5 / 16 W. 
10 : 1
(ideal)
R0 
500
1 k
1 k
v1(t)
v1(t) = 100 cos ( w t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 18 
 
Para o circuito abaixo determinar a tensão de saída de estado permanente v0(t). 
 
 v1(t)
1 : 10
(ideal)
10 
0,001
v1(t) = 10 cos ( 10 t )
0,1 mH
0,1
0,1 
1 : 10
(ideal)
0,01 F + 
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 19 
Para o circuito abaixo determinar a tensão de saída V0 em função da relação de 
espiras N. (a) para que valor de N estará a tensão de saída em fase com a tensão 
de entrada; (b) para que valor de N ocorrerá o máximo valor de | V0 |. 
R: (a) 
CLN 22 
 ; (b) 
 222 LRCN   
 R 
+
v0(t)
-
1 : N
(ideal)
v1(t)
LC
v1(t) = cos ( w t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 20 
 
MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 
 
 
No circuito abaixo Z2 representa uma impedância de carga variável. Determinar 
R2 e X2 de tal modo que a potencia fornecida a carga seja máxima. 
 
Z1 = R1 + j X1
Z2 = R2 + j X2 V1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 21 
No circuito abaixo somente a resistência R2 pode ser variada. Determinar seu 
valor de tal modo que a potencia fornecida a ela seja máxima. 
 
Z1 = R1 + j X1
 V1 R2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 22 
No circuito abaixo somente a relação de espiras N do transformador ideal pode 
ser variada. Determinar seu valor de tal modo que a potencia fornecida a carga 
Z2 seja máxima. 
 
Z1 = R1 + j X1
 V1
1 : N
(ideal)
Z2 = R2 + j X2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 23 
 
No circuito abaixo determinar o valor da frequência w de tal modo que a 
potencia fornecida a carga de 12 Ω seja máxima. 
R: w = 16 rad / seg. 
 
 
1 : 2
(ideal)
1 / 8 H1 / 8 F 12
+
v0(t)
-
i1(t) = cos ( w t )
i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 24 
No circuito abaixo determine os valores de R0 e L0 para que um máximo de 
potencia seja fornecido à resistência R0 no estado permanente. 
 
L0
R0
1 / 2 F
4
+
v2(t)
-
i2(t)
i1(t) = 10 cos ( 2 t ) i2(t) = 2 . v2(t)
- j1
4
+
V2
-
I2
 I2 = 2 . V2
i1(t)
Vx
Ix
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 25 
No circuito abaixo determine o valor da relação de espiras N que resultará no 
máximo de potencia fornecida a resistência de 2 Ω, e determine o valor desta 
potencia. R: N = 1,59 ; P = 0,102 W 
2
2 H
1
1
v1(t)
1 : N
(ideal)
v1(t) = cos ( t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 26 
No circuito abaixo determine o valor de R0 tal que a potencia consumida seja 
Máxima. 
2 : 1
(ideal)
3 H
R0
8
v1(t)
v1(t) = 3 sen ( 2 t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 27 
No circuito abaixo determine o valor de C tal que a potencia consumida pela 
resistência de carga R0 seja máxima. 
1 H 2 H
2C
1 / 12 F
R0 = 2
v1(t)
1 H
V1(t) = 10 cos ( 2 t )20 
 28 
No circuito abaixo determine o valor R1 e C tal que a potencia consumida pela 
resistência de carga seja máxima. 
 
j 2
- j / C
3 / 2 
R1
V1
V3
 
1 : 2
8 H
C
6
R1
v1(t)
(ideal)
v1(t) = 20 sen ( t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 29 
No circuito abaixo determine o valor da impedância Z tal que a potencia 
consumida pela resistência de carga seja máxima. R: Z = - j 3 Ω 
j 36 j 4
k = 0,5
10 / 00 V
100
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 30 
No circuito abaixo determine os valores de R1 e L1 tal que a potencia consumida 
pela resistência de carga seja máxima. R: R1 → ∞ e L1 = 2 H 
0,01 F
R1 L1 10
i1(t)
i1(t) = 2 cos ( 10 t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 31 
No circuito abaixo determine o valor de C tal que a potencia consumida pela 
resistência de carga seja máxima. R: C = 1 / 4 F 
1 / 2 H1
C 1v1(t)
v1(t) = 10 cos ( 2 t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 32 
Determinar a leitura de cada medidor no circuito abaixo. Qual é o fator de 
potencia visto pela fonte? R: W = 19,5 Kw; A1 = 132 Amp; A2 = 44,1 Amp. 
 
1 : 3
(ideal)
W1 W2
A1 A2
j 10
10
208 V
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 33 
Quando o circuito abaixo é ligado a uma fonte d.c. a corrente de estado 
permanente é nula. Quando o circuito é ligado a uma fonte de 60 Hz, os 
voltímetros V2 e V3 indicam 40 e 100 V, respectivamente. As leituras no amperímetro e 
no vatímetro são, respectivamente, 2 A e 200 W. (a) se se sabe que o circuito N contém 
apenas dois elementos de circuito, determine os valores dos elementos; (b) calcule a 
leitura do voltímetro V1 quando o circuito for ligado à fonte de 60 Hz. 
R
A
W1
V1 V3N
V2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 34 
No circuito abaixo a fonte fornece 20 kW de potencia. Todas as leituras dos 
medidores são valores eficazes. Se Z1 e Z2 são de natureza capacitiva, determine 
X1, o componente reativo de Z1. R: X1 = - 95,5 Ω 
V1 V2
A
Z2
2.500 V
1.000 V
Z1 = 40 + j X1
+
-
15 A
Vs
Vs é um fonte de tensão senoidal
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 35 
Na frequencia de 200 rad/seg, o transformador do circuito abaixo pode ser 
considerado como um transformador ideal. Sua relação de espiras do primário 
para o secundário é 1:2. Determine i0(t) no estado permanente. 
i0(t)
0,05 H
3 
v1(t)
2 
2 V
6
v1(t) = 3 cos ( 200 t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 36 
Determinar o valor da resistência R0 para se obter potencia máxima de saída. 
Determine o valor desta potência. 
60
20
R0 V
 V = 840 / 00
4 : 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 37 
 
No circuito abaixo determine a potencia média dissipada em cada resistor 
 
4 
(ideal)
250 / 00
j 42 Ω
4
500 esp
250 esp - j 8 Ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 38 
No circuito abaixo uma fonte senoidal fornece uma tensão eficaz de 680 V. A 
carga de 80 Ω absorve 16 vezes mais potência ativa (média) do que a carga de 
320 Ω. As duas cargas estão casadas com a fonte senoidal cuja impedância interna vale 
136 k Ω. (a) determinar os valores numéricos de a1 e a2; (b) determinar a potência 
fornecida à carga de 80 Ω. (c) determinar o valor eficaz da tensão na carga de 320 Ω. 
136 kΩ
a1 : 1
320
80
a2 : 1
(ideal)
680 / 00
IG I1
I2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quebra aqui 
 
 
 
31 
 39 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
Seja: va(t) = Vm.sen ( wt), vb(t) = Vm.sen ( wt + 120
0), vc(t) = Vm.sen ( wt + 240
0), 
que representam três funções senoidais, defasadas de 1200. 
0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Seno fase 0
0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Seno fase 120
0 5 10
-1
-0.5
0
0.5
1
Seno fase 240
 
Seja: va(t) = Vm.cos ( wt), vb(t) = Vm.cos ( wt + 120
0), vc(t) = Vm.cos ( wt + 240
0), 
que representam três funções cosenos, defasadas de 1200, e plotadas num mesmo 
gráfico. 
 
 
 
 40 
 
Gerador monofásico: uma espira girando dentro de um campo magnético sob a ação de 
uma força externa, aparece em seus terminais uma tensão induzida. Anéis coletores 
fazem a ligação entre o circuito externo e a espira. 
 
x
V
V
N
S
W
B
W
 
 
 
A f.e.m. nos terminais da espira é dada por: v(t) = VM. cos (w t ), onde VM é a amplitude 
máxima da onda, proporcional ao campo magnético B, ao comprimento do condutor l e 
a velocidade angular w dada em rad/s. 
Para gerar a mesma f.e.m.: um campo magnético girante ao invés de girar a espira fará o 
mesmo efeito. 
 
Gerador trifásico: possui três enrolamentos defasados entre si por um ângulo de 
1200. O circuito abaixo mostra esquematicamente um gerador trifásico. No estator, 
estão os três enrolamentos com um mesmo número de espiras e separados fisicamente 
de 1200. Pontos A, B, C, representam uma das extremidades dos enrolamentos e os 
pontos R, S, T a outra extremidade. 
 
 
 
v1(t) = VM.cos(wt); v2(t) = VM.cos(wt - 120
0); v3(t) = VM.cos(wt +120
0); 
 
 
 
 41 
Tipos de ligação dos enrolamentos do gerador trifásico. 
 
LIGAÇÃO ESTRELA OU Y: 
 
Todos os finais dos enrolamentos são interligados, formando um ponto chamado neutro 
(n) o qual é ligado ao ponto neutro (N) da carga, que é um condutor de retorno, dando 
origem a um circuito a quatro fios. 
A
B
IL = IAZ
Z
Z
+
-
+
-+
-
VA
VBVC
C
n
IB
IC
INn
c
Z3
Z1
Z2
N
a
b
 
 
As tensões medidas entre os terminais do gerador (pontos A, B, C) e o ponto neutro (n) 
são denominadas tensões de fase (VA, VB. VC) ou simplesmente VF. As tensões medidas 
entre os terminais denominam-se tensões de linha (VAB = VA – VB: VBC, VCA) ou 
simplesmente VL. Colocando num diagrama fasorial temos: 
VAB
VBC
VCA VA
VBVC
0
A
BC
1200
BC VL = VBC
VF = VB
0
VC
 
VB
VC
VA
IB
IC
IA
 
 
 42 
Para uma ligação estrela equilibrada, com o auxilio da lei dos cosenos (observando o 
D.F a esquerda): 
 
VL/sen 120 = VF/sen 30 ou VL = (sen 120 ) / (sen 30) . VF = Ѵ3. VF 
 
 
 
A importância do fio neutro será melhor compreendida analisando o circuito abaixo, 
onde não há um condutor de retorno. A carga não é equilibrada. 
Se for equilibrada ( as três resistências são iguais)+
-
+ -
+
- 1020
30
a
b
c
A
B
C
IAa
IBb
VNn
ICc
+-
n N
 
 
VAB
VBC
VCA VA
VBVC
0
A
BC
VAB
VBC
VCA
V’A
V’BV’C
0
A
BC
0'
D
C Equilibraga
C Desequilibraga
 
Se RA = 0, o ponto neutro ( N) coincidirá com o ponto A, e a tensão nas outras fases 
crescerá Ѵ3 vezes (será igual à tensão de linha). 
+
-
+ -
+
- 20
30
a
b
c
A
B
C
IAa
IBb
VNn
ICc
+-
n N
 
 43 
 
N = a
bc
Vb’ = VabVc’ = Vca
 
 
Se RA for um circuito aberto, as resistências RB e RC serão conectadas em série, e o 
ponto neutro (N) coincidirá com o ponto D. 
 
+
-
+ -
+
- 20
30
a
b
c
A
B
C
IAa
IBb
VNn
ICc
+-
n N
 
 
B
A
C
O
O’ = D
V’C V’B
V’A
 
 
 
Variando RA de zero a infinito, o ponto neutro (N) se deslocará de A até D.Como as 
tensões VA, VB. VC representam as tensões na carga, concluímos que elas serão 
diferentes num sistema não equilibrado sem fio de retorno, sendo proporcional à 
resistência da respectiva fase. 
 
LIGAÇÃO EM TRIÂNGULO OU ∆ 
 
Na ligação triangulo, as tensões de linha são iguais as tensões de fase, Já as corrente de 
linha: IA = I2 – I1; IB = I3 – I2; IC = I1 –I3; IL = Ѵ3.IF. 
 
 
 
 
 44 
 
CARGAS DESEQUILIBRADAS 
Para o circuito abaixo determine as correntes de linha e as leituras de cada 
vatímetro. 
 
ZA
ZB
ZC
 VAB
 VBC
W1
W2
VAB = 480 / 600 ; VBC = 480 / - 600 
ZA = 16 / - 300 ; ZB = 14 / 500 ; ZC = 12 / - 400
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 45 
Para o circuito abaixo determine as correntes de linha e as leituras de cada 
vatímetro. 
 
ZA
ZB
ZC
 VAB
 VBC
W1 W2
VAB = 208 / 400 ; VBC = 208 / - 800 ZA = 15 / - 300 ; ZB = 13 / 250 ; ZC = 10 / 450
5
5
5
j 8
j 8
j 8
IB
IA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 46 
Determine a potencia complexa fornecida a carga trifásica ligada em estrela a 
quatro fios. As tensões de fase da fonte são: Va = 110 /0
0 , Vb = 110 / - 120
0 e 
Vc = 110 / 120
0. Carga: ZA = 50 + j 80, ZB = j 50, e ZC = 100 + j 25. 
 
+
-
+ -
+
- ZAZB
ZC
a b
c
A
B
C
IaA
IbB
InN
IcC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 47 
Determine a potencia complexa fornecida a carga trifásica ligada em estrela a 
três fios. As tensões de fase da fonte são: Va = 110 /0
0 , Vb = 110 / - 120
0 e Vc 
= 110 / 1200. Carga: ZA = 50 + j 80, ZB = j 50, e ZC = 100 + j 25. 
 
+
-
+ -
+
- ZAZB
ZC
a b
c
A
B
C
IaA
IbB
VNn
IcC
+-
n N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 48 
Para a carga ligada em estrela, as tensões de linha são iguais a 200 V eficazes e a 
sequencia de fases é a – b – c. Determinar a potencia total ativa (real) e reativa 
fornecida a carga e as leituras de cada vatímetro. 
10
10
10
j 10
- j 10
W1
W2
a
b
c
Vab
Vbc
+
-
+
-
Vca
-
+
I1
I2
n’
 
 
Vab = 200 / 00
Vca = 200 / 1200
Vbc = 200 / - 1200
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 49 
METODO DOS DOIS VATÍMETROS PARA MEDIÇÃO DE POTENCIA 
 
Z1
Z2
Z3
a
b
c
W1
W2
W3
i1(t)
i2(t)
i3(t)
+ v2(t ) -
+
v1(t)
-
-
v3(
t)
+
n
Z1
Z2
Z3
a
b
c
W1
W2
W3
i1(t)
i2(t)
i3(t)
+ v2(t ) -
+
v1(t)
-
-
v3(
t)
+
n
x
vnx(t)
 
 dtiviviv
T
p
T
T  
0
332211
1 
Para o circuito abaixo, onde uma extremidade de cada bobina de tensão é ligada ao 
ponto x ao invés de ser ligada ao ponto neutro da carga, as leituras dos vatímetros são: 
      dtivnxv
T
Wdtivnxv
T
Wdtivnxv
T
W
TTT
3
0
32
0
21
0
1
1
3;
1
2;
1
1  
 
 
    dtiiiviviviv
T
p
T
nxT  
0
321332211
1 
 50 
 
Como a soma das três correntes é zero, apesar das leituras individuais dos vatímetros 
terem perdido seu significado, sua soma ainda é igual à potencia total da carga, 
independente de onde esteja localizado o ponto x. 
 
Z1
Z2
Z3
a
b
c
W1
W2
W3
i1(t)
i2(t)
i3(t)
+ v2(t ) -
+
v
1 (t)
-
-
v3(
t)
+
n
x
Z1
Z2
Z3
a
b
c
W1
W2
i1(t)
i2(t)
i3(t)
+ v2(t ) -
+
v
1 (t)
-
-
v3(
t)
+
n
 
 
 
Suponha que o ponto x seja localizado em um dos três terminais da carga, como 
mostrado acima. Como não há tensão na bobina de W3 sua leitura é zero, logo ele pode 
simplesmente ser omitido. Nestas condições, a soma algébrica das duas leituras 
restantes deve ser ainda igual a potencia total da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
Para a carga abaixo ligada em ∆, as tensões de linha são iguais a 100 V eficazes, 
e a sequencia de fases é a, b, c. determine as potencias totais e a leitura de cada 
vatímetro. 
 
 Z3
Z1
Z2
W1
W2
Ia
Ib
 Ic 
I3I1
I2
Vab
Vbc
+
-
+
-
a
b
c
-
+
Vca
Z1 = 10 / - 700 Z2 = 10 / 300 Z3 = 10 / 700
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 52 
38 Um circuito com tensão de linha de 240 V, sequencia A_B_C possui uma carga 
desequilibrada ligada em ∆ consistindo de três resistores: RAC = 45, RBA = 30, RCB = 40. 
Dois vatímetros estão ligados através do método dos dois vatímetros com as bobinas de 
corrente nas linhas A e B. Quais são as leituras desses vatímetros e qual a potência 
média absorvida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
CARGAS LIGADAS EM ESTRELA (Y) E EM TRIANGULO ( ∆ ): 
 
Uma das maneiras é usar a transformação ∆ - Y ou Y - ∆ 
A
B
C
Z3
Za
Zb
Zc
Z1 Z2
Za = 80 + j 80; Zb = 80 + j 60; Zc = 60 + j 80; Z1 = 30 + j 40 Z2 = 40 + j 40; Z3 = 30 + j 30 
 
 
Resultando numa carga equivalente ligada em Y: 
A
B
C
ZR
ZP ZQ
ZP = 13 + j 14,6 ZQ = 17 + j 14
ZR= 12,6 + j 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
No circuito abaixo, a sequencia de fases é a, b, c. e as tensões de linha são de 200 
V eficazes. Determine a potência total ativa (real) e reativa fornecida à carga e as 
leituras de cada vatímetro, utilizando a transformação triângulo-estrela. 
10
10
10
j 10
- j 10
W1
W2
a
b
c
Vab
Vbc
+
-
+
-
Vca
-
+
n’
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 55 
No circuito abaixo, a sequencia de fases é a, b, c. e as tensões de linha são de 200 
V eficazes. Determine apotência total ativa (real) e reativa fornecida à carga e as 
leituras de cada vatímetro, se o ponto n’ na carga estiver ligado ao ponto neutro da fonte 
trifásica. A soma das leituras dos dois vatímetros ainda igualará a potencia total na 
carga. 
 
10
10
10
j 10
- j 10
W1
W2
a
b
c
Vab
Vbc
+
-
+
-
Vca
-
+
I1
I2
n’
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 56 
CARGAS EQUILIBRADAS 
 
A análise de cargas equilibradas será simplificada se fizermos uso de suas 
características especiais. Considere o circuito abaixo, com uma carga equilibrada ligada 
em estrela ( Y ) com quatro fios: 
 
+
-
+ -
+
- ZAZB
ZC
a b
c
A
B
C
IaA
IbB
InN
IcC
 
 
 
Denominando de VF a tensão por fase (ou de fase) e de VL a tensão de linha, IF corrente 
de fase e IL corrente de linha, através de diagramas fasoriais e usando a lei dos cosenos, 
temos: 
 
FLFL IIeVV  3
 
 
 
Se a carga for ligada em triangulo ( ∆ ): 
A
B
C
Za
Zb
Zc
Vab
+
Vbc
-
IL
IF
 
 
 
FLFL VVeII  3
 
 57 
A potencia total, independente do tipo de ligação da carga é: 
 
   
   
 
 



cos
3
cos3
..
..3
..33
cos3cos3
22




LL
LL
LLTT
LLFFT
LLFFT
IV
IV
pf
AVIVQPSN
RAVsenIVsenIVQ
wattIVIVP
 
 
Exemplo 
No circuito abaixo a tensão aplicada aos terminais de um motor ligado em ∆, com 
impedância ZM de enrolamento igual a 20 Ω é VAB = 220 V. Determinar as correntes de 
linha e de fase. 
A
+
VAB
-
ZM ZM
ZM
B
 IL
 IL
IF
IF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 58 
 
No circuito abaixo uma fonte trifásica com tensões de linha de 120 V eficazes é 
ligada aos terminais a, b, c. A impedância do gerador e das linhas de transmissão 
é representada por Z1 = ( 1 + j 1 ) Ω, e a carga equilibrada ligada em estrela é 
representada por Z2 = ( 4 + j 3 ) Ω. Determinar a potencia potência fornecida à carga e 
as tensões de linha entre os terminais a’, b’ e c’. 
Z2
Z2
Z2
a
b
c
Z1
Z1
Z1
a’
b’
c’
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 59 
No circuito abaixo Z1 = ( 1 + j 1 ) Ω e Z3 = ( 12 + j 9 ) Ω = 15 / 36,90, e as 
tensões de linha entre os terminais a, b, e c são 120 V eficazes. Determine a 
potencia total fornecida às três impedâncias de 15 Ω. 
Z3Z3
Z3
Z1
Z1
Z1
a
b
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 60 
Determine o valor eficaz de cada corrente na linha no circuito abaixo. A 
sequencia de fases é a, c, b e a tensão de linha é de 208 V eficazes. 
 
Carga Equilibrada
40 kW com fator de 
potencia 0,8 
atrasado
20 kW
fp = 1
Ia I’a
I’b
I’c
Ib
Ic
I1
a
b
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 61 
Para o circuito abaixo determine a corrente INn e as tensões VAN, VAB. O circuito 
é ou não um circuito equilibrado. Va = 240 /0
0; Vb = 240 /120
0; Vc = 240 / - 120
0, 
onde Z1 = 79 + j 55; Z2 79 + j 52; Z3 = 78 + j 50 
 
b
c
a A
B
C
Z1
Z2
Z3
N
+ -
+
-
+-
Vb
n
Va
Vc
INn
Za = 0, 2 + j 1, 6 
Zb = 0, 3 + j 2, 4 
Zc = 0, 4 + j 2, 8 
Z = 0, 8 + j 3, 4 
Z = 0, 7 + j 5, 6 
Z = 1, 6 + j 7, 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 62 
 A potência aparente total de um sistema trifásico equilibrado, ligado em Y é 3,6 
kVA. A tensão de linha é 208 V. Se a impedância de linha for desprezível e o 
ângulo do fator de potencia da carga for 250, determine a impedância da carga 
equivalente ligada em ∆. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um gerador trifásico ligado em ∆ tem uma impedância interna de 0,6 + j 4,8 
Ω/Φ. Quando o gerador opera a vazio, o módulo de sua tensão terminal é 34,5 
kV. O gerador alimenta uma carga ligada em ∆ por meio de uma linha L. T. com uma 
impedância igual a 0,8 + j 6,4 Ω/Φ. A impedância de carga é 2.877 – j 864 Ω/Φ. (a) 
determine o módulo da corrente de linha; (b) determine o módulo da tensão de linha nos 
terminais da carga; (c) determine o módulo da tensão de linha nos terminais da fonte; 
(d) determine o módulo da corrente de fase na carga; (e) determine o módulo da 
corrente de fase na fonte; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
46 
 63 
Uma fonte trifásica equilibrada está fornecendo 90 kVA, com um f.p. atrasado de 
0,8 a duas cargas paralelas equilibradas ligadas em Y. A impedância da linha de 
distribuição que liga a fonte à carga é desprezível. A carga 1 é puramente resistiva e 
absorve 60 kW. Determine a impedância por fase da carga 2, se a tensão de linha for de 
415,69 V e os componentes da impedância estiverem sem série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um sistema trifásico equilibrado, a fonte é ligada em Y, com uma sequencia 
de fases a-b-c- e uma tensão de linha Vab = 208 / 50
0 V alimenta uma carga 
ligada em Y, equilibrada, com impedância Z = 4 + j 3 Ω/Φ, em paralelo com uma carga 
em ∆, equilibrada, com impedância Z = 3 – j 9 Ω/Φ. A impedância da linha é 1,4 + j 
0,8 Ω/Φ. Determinar a tensão de linha na carga. 
Van = Vab / Ѵ3 / - 300 = 208 / Ѵ3 / 500 - 200 ; transformando a carga do ∆ para Y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
48 
 64 
O módulo da tensão de fase de uma fonte trifásica ideal equilibrada ligada em Y 
é 4,8 kV. A fonte está ligada a uma carga equilibrada ligada em Y por uma linha 
de distribuição com impedância de 2 + j 16 Ω/Φ. A impedância de carga é 190 + j 40 
Ω/Φ. A sequencia de fases da fonte é a-b-c. Use a tensão da fase a da fonte como 
referencia. Determine o módulo e o ângulo de fase das: (a) três correntes de linha; (b) 
três tensões de linha na fonte; (c) três tensões de fase na carga; (d) três tensões de linha 
na carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 65 
No circuito abaixo a fonte está ligada em ∆ e a sequencia de fases é a-b-c. (a) 
determine o circuito equivalente em Y da fonte; (b) mostre que o circuito 
equivalente em Y fornece a mesma tensão de circuito aberto da fonte original 
ligada em ∆; (c) aplique um curto-circuito externo aos terminais A, B e C. Use a fonte 
ligada em ∆ para determinar as três correntes de linha IaA, IbB- e IcC; (d) repita (c) usando 
a fonte ligada em Y; 
0
03200.7 abV
 
 
A
B
C
Z
Z
Z
+
+
+
-
-
-
Z = 5,4 + j 27 Ω 
a
b c
VcaVab
Vbc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 66 
 
Para o problema anterior a fonte está ligada em ∆ e alimenta uma carga ligada 
em Y por meio de uma .linha de distribuição trifásica equilibrada. A impedância 
de carga vale 957 + j 259 Ω/Φ e a impedância da linha é 1,2 + j 12 Ω/Φ. (a) 
determine o módulo da tensão de linha nos terminais da carga; (b) determine o módulo 
da corrente de fase na fonte em ∆; c) determine omódulo da tensão de linha nos 
terminais da fonte. 
A
B
C
ZG
ZG
ZG
+
+
+
-
-
-
ZG = 5,4 + j 27 Ω 
a
b c
VcaVab
Vbc
ZL
ZL
ZL
Z0
Z0
Z0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 67 
No circuito abaixo a carga A consome 4 kW com f.p. 0,8 atrasado, enquanto a 
carga B consome 3 kW com f.p. 0,6 adiantado. Determine as três correntes e a 
leitura de cada vatímetro. 
 
v1(t)
v2(t)
A
B
W1
W2
v1(t) = 200 cos (w t ) v2t) = 200 sen (w t )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 68 
 
No circuito abaixo as três impedâncias são iguais, e estão ligadas a uma fonte 
trifásica. As leituras dos vatímetros W1 e W2 são 10 kW e 12 kW, 
respectivamente. (a) determine as leituras dos outros dois vatímetros; (b) Se a tensão de 
linha for de 200 V eficazes, determine a impedância Z. 
W4
a
Z
Z
Z
b
c
W2
W3
W1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 69 
No circuito abaixo determine a corrente Ia. 
 
j 43
1.200 W
Fator de potencia
0,8 atrasado
j 43
j 43
V2 = 100 / 1200 V
V1 = 100 / 00 V
Iaa
b
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No circuito abaixo a fonte trifásica tem tensão de linha de 208 V eficazes. Se Z1 
= ( 6 – j 8 ) Ω e Z2 = ( 3 + j 4 ) Ω determine o módulo da corrente de linha IL. 
a
b
c
IL+
-
+
-
Z2
Z2
Z1
Z1
Z1
Z2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
55 
 70 
No circuito abaixo o motor é uma carga equilibrada que consome 3 kW com 
fator de potencia de 0,6 atrasado. (a) determine quantos kVAR de capacitores 
serão necessários para tornar o fator de potencia geral 0,9 atrasado; (b) determine os 
fasores de corrente I1 e I2. 
C
C
C
M
a
b
c
I1
I2
120 / 00 V
120 / 1200 V
+
-
+
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 71 
Dois vatímetros estão ligados para o método dos dois vatímetros com as bobinas 
de correntes nas linhas A e C de um circuito de 240 V, sequencia de fases A-C-B 
que tem uma carga equilibrada ligada em Y. Determinar a impedância de fase da carga 
se a duas leituras dos vatímetros são -1 e 2 kW, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No circuito abaixo os capacitores foram incluídos para melhorar o fator de 
potência da carga. Determinar o valor do capacitor para que o fator de potência 
da carga seja de 0,9 atrasado. 
 
+
-
+ -
+
- ZAZB
ZC
a b
c
ZL
ZL
ZL
C
C C
 
 
Va(t) = 100 cos ( 377 t ); Vb(t) = 100 cos ( 377 t + 240
0 ); Vc(t) = 100 cos (377 t + 120
0) 
 
ZL = R + j w L ( R = 4 ; L = 4 mH ) 
 
ZA = ZB = ZC = R + j w L ( R = 20 ; L = 0,2 H ) 
 
 
57 
58 
 72 
Potencia instantânea e Potencia Média em uma carga trifásica 
Uma vantagem da potencia trifásica é o modo regular como a energia é transferida para 
uma carga. Seja uma carga equilibrada de resistência R. A potencia instantânea é: 
 
     twVtvonde
R
v
R
v
R
v
tp ab
cabcab
cos
222

 
 
E as outras tensões de fase têm a mesma amplitude e estão defasadas de 1200. Além 
disso: 
 
      22cos1cos 2 twtw 
 
 
Portanto temos: 
 
        00
2
2402cos11202cos12cos1
2
 twtwtw
R
V
tp
 
        00
22
4802cos2402cos2cos
22
3
 twtwtw
R
V
R
V
tp
 
Onde o termo entre colchetes na última equação é igual a zero. Logo temos: 
 
 
R
V
tp
2
3
2

 
 
Ou seja, a potência instantânea fornecida a uma carga trifásica equilibrada é constante. 
Como para uma carga equilibrada ZY = Z∆ / 3, temos que a relação de potência é: 
 
PY = 3 P∆