Lista de Exercícios 4

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LISTA 4 -
UFSCar CCET DM Ca´lculo 1
Derivadas Profa. Selma H.J. Nicola
1. Calcule f ′(x0) pela definic¸a˜o, sendo dados:
(a) f(x) = x2 + x e x0 = 1 (b) f(x) =
√
x e x0 = 4
(c) f(x) = 5x− 3 e x0 = −3 (d) )f(x) = 2x3 − x2 e x0 = 1
(e) f(x) = 12x e x0 = 3 (f) f(x) =
1
x2
e x0 = 2
(g) f(x) =
1
x
e x0 = 1 (h) f(x) = 3
√
x e x0 = 2.
2. Em cada item abaixo, determine as equac¸o˜es da retas tangente e normal ao gra´fico de f no(s) ponto(s)
(x0, f(x0)). Esboce os gra´ficos de f e das retas tangente e normal.
(a) f(x) = x2 e x0 = 2
(b) f(x) =
1
x
e x0 = 2
(c) f(x) =
√
x e x0 = 9
(d) f(x) = x2 − x e x0 = 1
(e) f(x) = 5x+ 4, x0 = 2, x0 = 1.
(f) f(x) = 3x2 − 5x+ 4, x0 = 0 e x0 = 1.
(g) f(x) = senx, e x0 = 0.
(h) f(x) = x cosx e x0 =
pi
2 .
3. Calcule f ′(x) pela definic¸a˜o:
(a) f(x) = x2 + x
(b) f(x) = x3
(c) f(x) = 3x− 1
(d) f(x) = 10.
4. Mostre que a func¸a˜o
g(x) =
{
2x+ 1, se x < 1
−x+ 4, se x ≥ 1
na˜o e´ diferencia´vel em p = 1. Esboce o gra´fico de g.
5. Seja g(x) =
{
x2 + 2, se x < 1
2x+ 1, se x ≥ 1
(a) Mostre que g e´ diferencia´vel em x0 = 1 e calcule g
′(1).
(b) Esboce o gra´fico de g.
6. Em cada item abaixo, calcule g′(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
(a) g(x) = x6 (b) g(x) = x−3 (c) g(x) = 4
√
x
(d) g(x) = tanx (e) g(x) = secx (f) g(x) = cotx
(g) g(x) = x3 + x2 + 7x+ 6 (h) g(x) =
x
x2 + 1
(i) g(x) = 5x+
x
x− 1
(j) g(x) = x senx (k) g(x) = ex senx cosx (l) f(x) = 37
(m) f(x) = 17x− 65 (n) f(x) = x3 + x (o) f(x) = 6
x2
(p) f(x) = 3x
3−2x2+4
4x3+5x2
(q) f(x) = cos(x) cot(x)sec(x)−cos(x) (r) f(x) =
2 cos(x)
x2+ 1
2
x+1
(s) f(x) = x
3 sec(x)tg(x)
(x2+1) cos(x)
(t) f(x) = 5x (u)pix (v) f(x) = log5 x
7. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de abscissa 0.
8. Seja g(x) =
{
x+ 1, se x < 2
1, se x ≥ 2 . Verifique se g e´ cont´ınua e/ou diferencia´vel em 2. Justifique.
9. Seja f(x) =
{
x2, se x ≤ 0
1, se x > 0
. A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em 0? Justifique. E´ cont´ınua em 0?
Justifique.
10. Seja f(x) =
{
−x+ 3, se x < 3
x− 3, se x ≥ 3 . A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em 3? Justifique. E´ cont´ınua em 3?
Justifique.
11. Seja f(x) = x2 senx+ cosx. Calcule f ′(x), f ′(0), f ′(3a) e f ′(x)2.
12. Determine os valores de A, B e C de modo que as curvas y = x2 + Ax + B e y = Cx − x2 sejam
tangentes uma a` outra no ponto (1, 0).
13. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva y = x3 − 2x2 + 4 no ponto (2, 4).
14. Seja f : IR→ IR tal que f(x+ h) = f(x)f(h), para quaisquer x, h ∈ IR com f(0) 6= 0.
(a) Calcule f ′(0), se existir.
(b) Mostre que se existir f ′(0), enta˜o f e´ diferenci´ıvel em IR e f ′(x) = f ′(0)f(x), para todo x ∈ IR.
15. Em cada um dos ı´tens abaixo, fac¸a o esboc¸o de um gra´fico de uma func¸a˜o f que satisfac¸a as condic¸o˜es
dadas. [Sugesta˜o: voceˆ na˜o precisa fornecer uma expressa˜o para a func¸a˜o. Basta o esboc¸o de um
gra´fico. Recorde que se f e´ diferencia´vel em x0, enta˜o f
′(x0) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de f no ponto (x0, f(x0))].
(a) f definida e diferencia´vel em IR, com f ′(1) = 0.
(b) f definida e diferencia´vel em IR, com f ′(x) > 0, para todo x ∈ IR.
(c) f definida e cont´ınua em IR, tal que f ′(1) nA˜£o exista.
(d) f definida e diferencia´vel em IR, tal que f ′(x) > 0 para x < 1 e f ′(x) < 0 para x > 1.
(e) f definida e diferencia´vel em IR, tal que f ′(0) < f ′(1).
16. Use a definic¸a˜o para encontrar as derivadas da func¸a˜o. Depois calcule no ponto indicado
(a) f(x) = 4− x2, f ′(−3), f ′(0)
(b) s = t3 − t2, dsdt
∣∣∣
t=−1
(c) p(θ) =
√
3θ, θ = 0, 25
17. Determine a primeira e a segunda derivada.
(a) y = x2 + x+ 8 (b) s = 5t3 − 3t5
(c) y = 4x
3
3 − 4 (d) y = x
3+7
x
(e) y = 3x−3 − 1x (f) r = 12θ − 4θ3 + 1θ4
18. Encontre a derivada de todas as ordens.
(a) y = x
4
2 − 32x2 − x
(b) y = x
5
120
19. (a) Encontre uma equac¸a˜o para a tangente a` curva y = x3 − 4x+ 1 no ponto (2, 1).
(b) Qual e´ a imagem para os valores dos coeficientes angulares da curva?
(c) Encontre equac¸o˜es para as tangentes a` curva nos pontos onde o coeficiente angular da curva e´ 8.
20. A para´bola y = 2x2−13x+ 5 tem alguma tangente cujo coeficiente angular seja −1? Se tem, encontre
uma equac¸a˜o para a reta e o ponto de tangeˆncia. Se na˜o tem, por que na˜o?
21. Sabendo que uma func¸a˜o f(x) e´ deriva´vel em x = x0 pode-se dizer alguma coisa a respeito da diferen-
ciabilidade de −f em x = x0? Justifique sua resposta.
22. Determine y′ (a) aplicando a Regra do Produto (b) multiplicando os fatores para produzir uma soma
de termos mais simples para derivar.
(a) y = (3− x2)(x3 − x+ 1)
(b) y =
(
x+ 1x
)(
x− 1x + 1
)
23. Determine as derivadas das func¸o˜es abaixo.
(a) y = 2x+53x−2 (b) f(t) =
t2−1
t2+t−2
(c) y = 1
(x2−1)(x2+x+1)
24. Determine a primeira e a segunda derivada.
(a) s = t
2+5t−1
t2
(b) r = (θ−1)(θ
2+θ+1)
θ3
25. Suponha que u e v sejam func¸o˜es de x deriva´veis em x = 0 e que u(0) = 5, u′(0) = 3, v(0) = −1,
v′(0) = 2. Encontre os valores das derivadas a seguir em x = 0.
(a) ddx(uv) (b)
d
dx(
u
v ) (c)
d
dx(
v
u) (d)
d
dx(7v − 2u)
26. A curva y = ax2 + bx+ c passa pelo ponto (1,2), tangenciando a reta y = x na origem. Encontre a, b
e c.
27. A Regra do Produto fornece a fo´rmula (uv)′ = uv′ + vu′ para a derivada do produto de duas func¸o˜es
deriva´veis de x. Qual e´ a fo´rmula ana´loga para a derivada do produto uvw de treˆs func¸o˜es deriva´veis
de x?
28. Se um ga´s (real) for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressa˜o P estara´
relacionada com o volume V de acordo com uma fo´rmula na forma
P =
nRT
V − nb −
an2
V 2
,
em que a, b, n e R sa˜o constantes. Determine dP/dV.
29. Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x4 e paralela a` reta y = 4x+ 3.
30. Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) =
1
x2
no ponto de abscissa p. Verifique que r intercepta o
eixo Ox no ponto de abscissa
3p
2
.
31. Seja g : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que g(−1) = 3 e g′(−1) = 5. Calcule f ′(0), sendo f dada
por
f(x) = exg(4x− 1).
32. Em cada item abaixo, calcule a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) =
3
x9
(b) f(x) =
7
√
x3
(c) f(x) = x−4 (d) f(x) = 8
√
x
(e) f(x) = (1 +
√
x)2 (f) f(x) = arcsen
(
3x+ 1
x
)
(g) f(x) = arccos
(
x√
1− x2
)
(h) f(x) =
√
1 +
√
1 + x
(i) f(x) = ln(x+ cos(x)) (j) f(x) = e2x ln
(
x sen (x) +
e−x
x5 + 1
)
(k) f(x) = ex
3 − ln(x2 + 1) (l) f(x) = 11x
(m) f(x) = pix (n) f(x) = log7 x
(o) f(x) = logpi x (p) f(x) =
√
x+ 2 +
6
x3 + 2x
(q) f(x) =
cosx+ senx
x2 + 1
(r) f(x) =
x4 + 2x
x senx
(s) f(x) =
x3 + senx
x3 − cosx (t) f(x) = 5 cossecx+ cotgx+ x
5 tgx
(u) f(x) = log3(x) + 5x
2 lnx (v) f(x) =
ex
x5 + 2x
(w) f(x) =
x+ 4
x lnx
(x) f(x) = x3 cosx(3 + lnx+ senx)
(y) f(x) = ( 3
√
x+
√
x)ex cotgx
33. Calcule a derivada de:
(a) f(x) = 4
√
x− 2
x+ 2
(b) y = cos( senx)
(c) y = e tg
2
x (d) y = ln( cossecx+ cotgx)
(e) f(x) =
cosx
sen 4x
(f) f(t) =
te2 sen t
ln(3t+ 1)
(g) g(x) = ex
3
ln(3 +
√
x) (h) y =
√
x4 + e
√
x
(i) g(x) = (3 + tgx)x (j) y = (1 + x2)e
−x
(k) y = (2 + secx)cos 3x (l) y = tg 5x
(m) y = sec 2x (n) y = e tg x
2
(o) y = e−7x secx2 (p) y = ln(sec 3x+ tg 3x)
34. Seja g uma func¸a˜o deriva´vel. Verifique que
(a) [tan g(x)]′ = sec2 g(x) · g′(x)
(b) [sec g(x)]′ = sec g(x) tg g(x) · g′(x)
(c) [ cotg g(x)]′ = − cossec 2g(x) · g′(x)
(d) [ cossec g(x)]′ = − cossec g(x) cotg g(x) · g′(x)
35. Encontre, em cada um dos ı´tens abaixo,
dy
dx
, onde y = y(x) e´ dada implicitamente pelas equac¸o˜es
abaixo:
(a) cos2(x+ y) =
1
4
(b) y3=
x− y
x+ y
(c) (y2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2 (d) x3 + x2y − 2xy2 + y3 − 1 = 0
(e) sen (xy) + y − x2 = 0 (f) xy + 16 = 0
(g) x arctan(x) + y2 = 4 (h)
√
2x+ y +
√
x+ 2y = 6
36. Nos correspondentes ı´tens do exerc´ıcio acima, encontre o valor de
dy
dx
(x0), onde:
(a) x0 = 0 e 0 6 y 6 pi (b) x0 = 0 e y 6= 0 (c) x0 = −1 e y > 0
(d) x0 = 1 e y 6= 0 (e) x0 = 0 (f) x0 = −2
(g) x = 0 e y > 0 (h) x = 0 (i) x = 0 e y 6 0.
37. Considere f : IR→ IR definida por f(x) =

x, se x < 1
x2, se 1 6 x 6 9
27
√
x, se x > 9.
.
(a) Determine os pontos x ∈ IR onde f e´ diferencia´vel.
(b) Onde existe f−1, isto e´, a func¸a˜o inversa de f ?
(c) Determine os pontos onde f−1 e´ diferencia´vel e calcule (f−1)′ nesses pontos.
38. (a) Para que valores de M a reta y = Mx e´ tangente ao c´ırculo y2 + x2 − 4x+ 3 = 0?
(b) Encontre as equac¸o˜es das retas tangentes a` elipse 4x2 + 9y2 = 40 cujos coeficientes angulares
valem −2
9
.
39. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0
. Encontre f ′(x), para todo x ∈ IR. Verifique
se f ′′ e´ cont´ınua em IR.
40. Em quais pontos da curva y = senx+ cosx, 0 6 x 6 2pi, a reta tangente e´ horizontal?
41. Seja f(x) = x + ex, x ∈ [a, b] ⊂ IR, e seja g a inversa de f . Mostre que g e´ deriva´vel e que
g′(x) =
1
1 + eg(x)
, para todo x ∈ [a, b]. [Sugesta˜o: observe que f e´ estritamente crescente no intervalo
fechado [a, b], e portanto f e´ invert´ıvel com inversa g : [f(a), f(b)]→ [a, b] cont´ınua]
42. A func¸a˜o f(x) = secx, 0 6 x < pi
2
e´ invert´ıvel e sua inversa e´ a func¸a˜o f−1(x) = arcsecx, x > 1.
Calcule arcsec ′x.