Topico 3 - Plano

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Baseado em: Geometria Analítica – UnisulVirtual - Autores: Mario Selhorst; Carlos Henrique Hobold 
Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
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65 
3ª Unidade: Geometria Analítica no Plano 
 
1 – Retas no Plano 
 
Condição de Alinhamento de três pontos 
 
 Vamos considerar a existência de três pontos sobre 
uma reta r de coordenadas ),( AA yxA , ),( BB yxB e 
),( CC yxC , conforme representados no plano cartesiano xy 
da figura 3.1. 
Figura 3.1: Pontos colineares num plano 
 Tem-se que: 
CE
BD
BE
AD
= ou 
CE
BE
BD
AD
= 
Substituindo pelas medidas dos segmentos, e desenvolvendo a expressão: 
)()()()( BCABBCAB
BC
BC
AB
AB xxyyyyxx
yy
xx
yy
xx
−⋅−=−⋅−⇒
−
−
=
−
−
 
Ou 
0
0)()()()(
=−−−++
=−⋅−−−⋅−
CAABBCACCBBA
BCABBCAB
yxyxyxyxyxyx
xxyyyyxx
 
 A expressão obtida é equivalente ao determinante D da matriz constituída pelas coordenadas 
dos pontos A, B e C. 
0
1
1
1
==
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D 
Ou seja, se ),( AA yxA , ),( BB yxB e ),( CC yxC são pontos colineares, então 0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx
. 
 
Equação geral da reta 
 Se conhecermos dois pontos distintos de uma reta, ),( AA yxA e ),( BB yxB , e considerarmos 
),( yxP um ponto genérico da mesma, pela condição de alinhamento de três pontos podemos escrever 
que: 
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66 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
 
Calculando o determinante temos 
0)()()(
0111111
=−+−+−
=⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅
ABBAABBA
BAABBABA
yxyxyxxxyy
yxxyyxyxxyyx
 
Fazendo ayy BA =− , bxx AB =− e cyxyx ABBA =− , pode-se escrever a equação geral de uma reta. 
 
0=++ cbyax
 
Na equação, a, b e c são números reais e a e b não podem ser nulos ao mesmo tempo. 
 
Exemplo1 
Escreva a equação da reta definida pelos pontos )3,2(A e )2,1(−B . 
A equação pode ser obtida usando a condição de alinhamento de três pontos: )3,2(A , )2,1(−B e um 
ponto genérico ),( yx . 
073
022343
0
121
132
1
=+−
=−−++−
=
−
yx
yxyx
yx
 
Assim a equação geral da reta é 073 =+− yx 
 
Equação reduzida da reta 
 
 
 Se conhecermos apenas um ponto ),( yxP da reta e a 
sua inclinação m associada a um ângulo α , a mesma também 
fica perfeitamente definida, como na figura 3.2. 
 
 
Figura 3.2: Reta no plano 
 
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 Na figura 3.2 pode-se reconhecer o triângulo PQR como retângulo. Assim, usando a razão 
trigonométrica tangente, temos que a inclinação m da reta corresponde a: 
x
ny
tgm −== α ou nmxy += 
 De modo mais geral, se conhecemos um dos pontos ),( AA yxA da reta e se consideramos um 
ponto genérico ),( yxP , pode-se escrever que 
A
A
xx
yy
tgm
−
−
== α e assim 
x
y
tgm
∆
∆
== α e 
)( AA xxmyy −=− 
 
 A expressão nmxy += é chamada de equação reduzida da reta e neste formato fica evidente o 
valor da inclinação m e do coeficiente linear n. A inclinação m ou coeficiente angular ou declividade 
representa a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas no sentido positivo. O 
coeficiente linear n é o ponto ),0( n onde a reta intercepta o eixo y. 
 
Observações: 
1) Se a reta é horizontal, o ângulo entre a reta e o eixo x é de 0° e, a inclinação é zero, assim a 
equação se reduz a ny = 
2) Se a reta é vertical, ela forma um ângulo reto com o eixo x. Como a tangente de 90° não existe 
não podemos escrever sua equação na forma reduzida. Retas verticais têm equação do tipo 
px = , onde )0,( p é o ponto onde a reta intercepta o eixo x . 
 
Exemplo 1: 
João comprou um trator agrícola a quatro anos atrás por um valor de R$ 60.000,00. Hoje, na troca por 
um novo, seu trator está cotado em R$ 30.000,00. Considerando que a depreciação é linear, determine 
a depreciação anual. 
Vamos considerar os pares ordenados )60000,0( e )30000,4( 
 
Logo, o trator desvaloriza anualmente o equivalente a R$ 7.500,00 
 
Equação segmentária da reta 
 Esta forma de representação da equação da reta expressa claramente os pontos ),0( n e )0,( p 
onde a mesma intercepta os dois eixos coordenados, como na figura 3.3. 
7500
4
30000
04
6000030000
−=
−
=
−
−
=
−
−
=
A
A
xx
yy
m
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Figura 3.3: Intersecção da reta com os eixos coordenados 
Pela condição de alinhamento de três pontos, podemos escrever: 
0
0000
0
10
10
1
=−+
=−−−++
=
nppynx
nppynx
p
n
yx
 
Dividindo a equação obtida por np : 
1=+
n
y
p
x
, que é a equação segmentária da reta. 
 
Observação: Na prática, pode-se transformar a equação geral da reta para a forma reduzida ou 
segmentaria balanceando convenientemente a expressão. 
 
Exemplo 1: 
Se uma reta passa pelos pontos )3,1( −A e )1,3(B escreva sua equação reduzida. 
Existem várias maneiras de encontrar a equação desta reta. Uma delas é utilizando a condição de 
alinhamento de três pontos já estudada. Outra maneira é utilizando a expressão )( AA xxmyy −=− . 
Considerando os pontos A e B e que 
x
y
tgm
∆
∆
== α 
2
13
)3(1
=
−
−−
=m 
Usando a inclinação 2=m e um dos pontos dados )3,1( −A obtém-se a equação a partir de 
)( AA xxmyy −=− , ou seja, 
52
223
)1(2)3(
−=
−=+
−=−−
xy
xy
xy
 
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Assim, a equação reduzida da reta é 
52 −= xy 
A equação geral então é 052 =−− yx 
Se desenharmos a reta no plano cartesiano pode-
se observar os diversos elementos da equação na 
forma reduzida. 
 
 
Na equação 52 −= xy o coeficiente angular ou 
inclinação é 2=m e o coeficiente linear é 
5−=n . Na figura 3.3 a tangente do ângulo α 
representado é 2 e o ponto onde a reta intercepta o 
eixo y é -5. 
 
 
Exemplo 2: 
Encontre um valor para n para que o ponto ),1( nP pertença a reta de equação 052 =−+ yx . 
Para resolver basta substituir os valores na equação dada: 
2
42
0521
052
=
=
=−+
=−+
n
n
n
yx
 Logo, 2=n . 
Exemplo 3: 
Escreva a equação geral e a equação reduzida da reta que passa pelos pontos )2,2(−A e )5,3(B , 
indicando seu coeficiente angular, o valor aproximado do ângulo existente entre a reta e o eixo das 
abscissas e o ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas. Represente graficamente a reta 
indicando estas informações. 
Podemos encontrar a equação geral da reta através da condição de alinhamento de três pontos, ou seja, 
os pontos A e B e um ponto genérico ).,( yx 
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70 
70 
01653
05261032
0
153
122
1
0
1
1
1
=−+−
=−+−−+
=−⇒=
yx
xyyx
yx
yx
yx
yx
BB
AA
 
A equação reduzida pode ser obtida isolando y na equação geral: 
5
16
5
3
1635
01653
+=
+=
=−+−
xy
xy
yx
 
O coeficiente angular ou inclinação é 
5
3
=m 
031)6,0(
5
3
≅⇒=⇒=⇒= αααα arctgtgtgm 
Observando a equação reduzida da reta temos que o 
termo independente é
5
16
. Este valoré o coeficiente 
linear, logo a reta intercepta o eixo das ordenadas y no 
ponto )
5
16
,0( . 
O gráfico pode ser construído manualmente ou usando 
um programa gerador de gráficos como o Derive, 
Graph ou Geogebra, entre outros. Pela simplicidade 
deste vamos construí-lo manualmente. 
Se a reta passa nos pontos )2,2(−A e intercepta o eixo 
das ordenadas no ponto )
5
16
,0( . 
Exemplo 4: 
Encontre a equação da reta que no plano cartesiano faz um ângulo de 045 com o eixo das abscissas, no 
sentido positivo e passa no ponto )5,2( . 
 
Se o ângulo formado é conhecido, temos como encontrar o coeficiente angular ou inclinação da reta: 
1
450
=
=
m
tgm
 
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Conhecendo a inclinação e um ponto utiliza-se a equação da reta na forma )( BA xxmyy −=− , ou 
seja, )2(15 −=− xy 
E assim, 3+= xy é a equação da referida reta. 
 
 
 
Exemplo 5: 
As retas de equações 01132 =−+ yx e 014 =−− yx se interceptam num ponto. Determine as 
coordenadas deste ponto. 
Ao ponto de encontro de duas retas corresponde a solução do sistema linear formado pelas suas 
equações: 



=−−
=−+
014
01132
yx
yx
 
Resolvendo o sistema obtemos 1=x e 3=y . Logo o ponto é )3,1( . 
 
Exemplo 6: 
Qual é a equação da reta representada na figura? 
 
O coeficiente angular pode ser obtido por 
x
y
m
∆
∆
= 
2
1
4
2
04
13
==
−
−
=
∆
∆
=
x
y
m 
A reta intercepta o eixo das ordenadas no ponto )1,0( , assim o coeficiente linear é 1. 
Usando a forma reduzida da equação da reta nmxy += , temos: 
1
2
1
+=
+=
xy
nmxy
 
Ou na forma geral, 022 =+− yx 
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Relações entre retas 
 Conhecemos da geometria elementar que duas retas no plano podem ser coincidentes ou 
distintas. Se forem distintas podem ser paralelas ou concorrentes. Se forem concorrentes podem ser 
perpendiculares ou não. Vamos nos dedicar ao estudo destas particularidades. 
 
Retas coincidentes, paralelas e concorrentes. 
 
 Duas retas são identificadas como coincidentes quando ocupam o mesmo lugar geométrico, ou 
seja, tem todos os seus pontos em comum. Em outros termos, o gráfico de duas retas coincidentes é de 
duas retas sobrepostas. Analiticamente, suas equações formam um sistema linear classificado como 
possível e indeterminado, já que tem infinitas soluções. 
 Duas retas coplanares, não coincidentes, são ditas paralelas quando não tem nenhum ponto em 
comum, e o sistema linear formado por suas equações é classificado como sistema impossível. 
Por fim, se duas retas distintas, coplanares tiverem um único ponto em comum são denominadas 
concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto. Analiticamente suas equações formam um 
sistema linear possível e determinado. 
 
 A identificação da relação entre as retas pode ser facilmente identificada quando escritas na sua 
forma reduzida nmxy += , como veremos a seguir. 
Se duas retas r e s têm coeficiente angular 1m e 2m , e coeficiente linear 1n e 2n respectivamente, 
podemos mostrar que: 
• Se 21 mm = e 21 nn = , as retas são coincidentes )( sr = ; 
• Se 21 mm = e 21 nn ≠ , as retas são paralelas )//( sr ; 
• Se 21 mm ≠ , as retas são concorrentes )( sr × ; 
• Se 21 mm ≠ e 121 −=⋅ mm , as retas concorrentes são perpendiculares )( sr ⊥ ; 
• Duas retas do tipo ny = (horizontal) e px = (vertical) são sempre perpendiculares entre si. 
 
Exemplo 1: 
As retas de equações 03 =++ yx e 0622 =++ yx são coincidentes. Podemos verificar isto 
resolvendo o sistema linear: 



−=+
−=+
⇒



=++
=++
622
3
0622
03
yx
yx
yx
yx
 
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Utilizando a regra de Cramer temos que 0
22
11
==D , 0
26
13
=
−
−
=xD e 062
31
=
−
−
=yD , o 
que caracteriza um sistema linear possível e indeterminado, ou seja, com infinitas soluções. 
Lembramos que a resolução gráfica de um sistema linear significa encontrar os pontos comuns as 
várias equações. Neste caso, todos os pontos são comuns as duas retas. O gráfico representa estas 
retas. 
 
De maneira mais prática podemos analisar as 
equações reduzidas das retas: 
Na primeira reta 303 −−=⇒=++ xyyx , onde 
temos 11 −=m e 31 −=n ; 
Na segunda reta 
33/)62(0622 −−=⇒−−=⇒=++ xyxyyx , 
onde temos 12 −=m e 32 −=n . 
Como 21 mm = e 21 nn = , as retas são coincidentes. 
Exemplo 2: 
As retas de equações 01 =−+ yx e 0622 =−+ yx são paralelas. Podemos verificar isto resolvendo 
o sistema linear: 



=+
=+
⇒



=−+
=−+
622
1
0622
01
yx
yx
yx
yx
 
Utilizando a regra de Cramer temos que 0
22
11
==D , 4
26
11
−==xD e 462
11
==yD , o que 
caracteriza um sistema linear impossível, sem solução, ou seja, as equações não têm nenhum ponto em 
comum. 
No gráfico temos: 
 
Analisando a relação pelas equações reduzidas, temos: 
Na primeira reta 
101 +−=⇒=−+ xyyx , onde temos 11 −=m e 11 =n ; 
Na segunda reta 
33/)62(0622 +−=⇒+−=⇒=−+ xyxyyx , onde temos 
12 −=m e 32 =n . 
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Como 21 mm = e 21 nn ≠ , as retas são paralelas. 
 
Exemplo 3: 
As retas de equações 082 =−+ yx e 062 =+− yx são concorrentes. Podemos verificar isto 
resolvendo o sistema linear: 



−=−
=+
⇒



=+−
=−+
62
82
062
082
yx
yx
yx
yx
 
Utilizando a regra de Cramer temos que 5
21
12
−=
−
=D , 10
26
18
−=
−−
=xD e 
20
61
82
−=
−
=yD , o que caracteriza um sistema linear possível e determinado, ou seja, com uma 
única solução. 
Encontrando a solução: 
2
5
10
=
−
−
==
D
D
x x e 4
5
20
=
−
−
==
D
D
y y 
No gráfico temos: 
A partir das equações reduzidas podemos 
também chegar a mesma conclusão: 
Na primeira reta 
3
2
1062 +=⇒=+− xyyx , onde temos 
2
1
1 =m e 31 =n ; 
Na segunda reta 
82082 +−=⇒=−+ xyyx , onde temos 
22 −=m e 82 =n . 
Como 21 mm ≠ , concluímos que as retas 
são concorrentes. 
 
 
Exemplo 4: 
Sejam )1,3(−A um ponto de um plano e r a reta 042 =−+ yx contida no mesmo plano, determine: 
a) A reta s perpendicular a reta r e que passa pelo ponto A; 
b) A projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r. 
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Resolução 
a) Iniciamos determinando o coeficiente angular de r e s: 
2
12
2
1042 −=⇒+−=⇒=−+ rmxyyx 
Como r e s devem ser perpendiculares, 1−=⋅ sr mm 
Assim, 21
2
1
=⇒−=⋅− ss mm e passa pelo ponto )1,3(−A . 
Sabemos que )( AA xxmyy −=− , portanto: 
72
162
))3((21
+=
++=
−−=−
xy
xy
xy
 
Logo, s é a reta 72 += xy ou 072 =+− yx . 
 
b) Como o ponto )1,3(−A não pertence à reta r (pode ser verificado substituindo o ponto na equação), 
a projeção ortogonal de A sobre r é ponto B, intersecção de r com s. 
Resolvendo o sistema formado pelas equações, temos: 



=+−
=−+
072
042
yx
yx
, onde 2−=x e 3=y . 
Assim,)3,2(−B é o ponto procurado. 
 
Exemplo 5: 
Para que valor de k as retas 0124: =++ yxr e 045)1(: =+−− yxks são paralelas? 
Inicialmente vamos determinar o coeficiente angular de r e s: 
2
2
1
2
40124: −=⇒−−=⇒=++ rmxyyxr 
5
1
5
4
5
)1(045)1(: −=⇒+−=⇒=+−− kmxkyyxks s 
Se r e s são paralelas, sr mm = , ou seja, 
 9101521
5
12 −=⇒−=−⇒⋅−=−⇒−=− kkkk . 
Exemplo 6: 
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Dada a função demanda definida por PQ
4
115 −= e a função oferta definida por PQ
4
31+−= , 
onde P é o preço e Q é a quantidade do produto. Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio na qual 
a oferta fica igual a demanda. 
Para encontrar os valores solicitados resolvemos o sistema 





+−=
−=
PQ
PQ
4
31
4
115
 
Como Q = Q, temos: 
16
644
4
34
4
60
4
31
4
115
=
=
+−
=
−
+−=−
P
P
PP
PP
 
Como PQ
4
115 −= , substituindo P, encontramos: 
1116
4
115 =⇒⋅−= QQ 
Logo, para que se tenha o equilíbrio solicitado o preço do produto é $ 16 e a quantidade é de 11 
unidades. 
 
Ângulos entre duas retas 
 Entre duas retas r e s, concorrentes e não perpendiculares, formam-se ângulos agudos de 
mesma medida β e ângulos obtusos de mesma medida β−0180 . 
Podemos determinar este ângulo β de duas maneiras, dependendo da posição das retas em relação aos 
eixos coordenados. 
1° caso: Nenhuma das retas é perpendicular ao eixo x. 
Observando a figura 3.4 notamos a existência de um triângulo ABC, onde aplicaremos o teorema do 
ângulo externo de um triângulo. 
Figura 3.4: Ângulos entre retas 1 
 
No triângulo ABC, da figura 3.4, pode-se observar: 
( )sr
srsr
tgtg ααβ
ααβαβα
−=
−=⇒+=
 
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Inserindo uma igualdade trigonométrica conveniente, temos: 
sr
sr
sr
sr
mm
mm
tg
tgtg
tgtg
tg
⋅+
−
=⇒
⋅+
−
=
11
β
αα
ααβ 
Como β é um ângulo agudo, 0>βtg e β pode ser calculado pela expressão: 
sr
sr
mm
mm
tg
⋅+
−
=
1
β 
2° caso: Uma das retas é perpendicular ao eixo x. 
Neste caso não temos coeficiente angular de uma das retas já que 090tg não existe. 
 
Figura 3.5: Ângulos entre retas 2 Figura 3.6: Ângulos entre retas 3 
 
Na figura 3.5, observamos que β e rα são complementares, assim podemos escrever que 
rtg
tg
α
β 1= , consequentemente, 
rm
tg 1=β . 
Como 0>rm , e pela observação na figura 3.5, temos que 0>βtg . 
De modo análogo, na figura 3.6, observamos que β e rα−0180 são complementares, assim podemos 
escrever que )180(
1
0
rtg
tg
α
β
−
= , consequentemente, 
rtg
tg
α
β 1−= e 
rm
tg 1−=β . 
Como 0<rm , e pela observação na figura 3.6, temos que 0>βtg . 
 
Podemos resumir as duas situações escrevendo: 
 
rm
tg 1=β 
Exemplo 1: 
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Sejam as retas r e s respectivamente 013 =+− yx e 012 =++ yx , determine o ângulo β 
existente entre elas. 
Temos que: 3=rm , 2−=sm e: 
Como ambas as retas tem inclinação e as retas não são paralelas ou perpendiculares aos eixos 
coordenados utilizamos a expressão 
sr
sr
mm
mm
tg
⋅+
−
=
1
β . 
Assim: 1
5
5
)2(31
)2(3
=
−
=
−⋅+
−−
=βtg 
Logo, o ângulo β é aquele cuja tangente vale 1, ou seja, 1arctg=β , ou 045=β . 
 
Exemplo 2: 
Se as retas r e s forem 0232 =+− yx e é fácil perceber que 
3
2
== sr mm , portanto sr // e 
00=β . 0332 =−− yx 
 
Exemplo 3: 
Se as retas r e s forem 023 =+− yx e 033 =−−− yx qual seria o ângulo entre elas? Temos que 
3
1
=rm , 3−=sm e é fácil perceber que o ângulo entre elas é de 
090 , ou seja, sr ⊥ , pois 
1−=⋅ sr mm . 
 
Exemplo 4: 
Se as retas r e s forem 4=x e 03232 =−+ yx , percebemos que a reta r é perpendicular ao eixo 
das abscissas, e que 3−=sm . Logo, o ângulo β entre as retas é dado por 
sm
tg 1=β . 
Assim: 
3
3
3
1
=⇒
−
= ββ tgtg 
Logo 
3
3
arctg=β e o ângulo entre elas é 030=β . 
 
Distância entre ponto e reta 
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Prof. Mário Selhorst 
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79 
79 
 Uma das aplicações do perpendicularismo de retas é a possibilidade de determinar a 
distância entre um ponto qualquer e uma reta, muito útil para determinar a altura de triângulos e retas 
tangentes a circunferências. Neste item estaremos estudando como determinar a distância entre um 
ponto qualquer e uma reta. Essa distância, nada mais é do que a distância entre o ponto dado e o 
“pé”da perpendicular à reta dada passando pelo ponto dado. 
Para chegar a essa medida vamos considerar a existência de uma reta 0: =++ cbyaxr e um ponto 
),( 00 yxP , com representado na figura 3.7. 
Com a equação de r é possível chegar a equação de s 
passando por P , de modo que sr ⊥ . Onde r e s se encontram 
temos o ponto Q e, a distância do ponto a reta é a distância 
entre os pontos P e Q . 
Pode-se mostrar que essa distância, entre o ponto P e a reta r , 
é dada por: 
22
00
,
ba
cbyax
d rP
+
++
= , cujo valor é sempre maior ou 
igual a zero. 
 
Figura 3.7: Distância de um ponto a uma reta 
 
Exemplo 1: 
Calcule a altura do triângulo ABC, relativa ao vértice A. São dados que )5,2(A , )3,0(B e )0,4(C . 
Para resolver, temos que determinar a distância entre o vértice A e a reta suporte r do lado BC . 
Inicialmente determinamos a reta suporte do lado BC . 
01243012430
104
130
1
=−+⇒=−+⇒== yxyx
yx
D (reta r) 
A distância d entre o vértice )5,2(A e a reta r, é dada por: 
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80 
80 
5
14
25
14
43
)12(5423
,
,
22,
22
00
,
=
==
+
−+⋅+⋅
=
+
++
=
rA
rA
rA
rA
d
d
d
ba
cbyax
d
 
Exemplo 2: 
Determine as distâncias entre as retas de equações 023 =−− yx e 053 =−− yx . 
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, encontramos um ponto que pertence a uma das 
retas e depois calculamos a distância deste ponto até a outra reta. 
Inicialmente calculamos um ponto P da reta 023 =−− yx . Para isso atribuímos um valor qualquer a 
x e calculamos y. 
Para 0=x temos 20203 −=⇒=−−⋅ yy , logo temos )2,0( −P . 
Calculando a distância entre o ponto P e a reta 053 =−− yx 
10
103
10
10
10
3
10
3
)1(3
)5()2(103
,
,
22,
22
00
,
=⋅=
=
−
=
−+
−+−⋅−⋅
=
+
++
=
rP
rP
rP
rP
d
d
d
ba
cbyax
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 – Circunferência no Plano 
 Assim como a reta, a circunferência também pode ser representada por uma equação. 
Lembramos que quando usamos o termo circunferência estamos nos referindo a linha curva formada 
pelos pontos eqüidistantes de um centro e, quando usamos o termo círculo estamos nos referindo a 
região do plano compreendida pela circunferência. 
 
Circunferência 
 A circunferência é uma figura muito familiar.Grande parte dos objetos, instrumentos e 
construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda alguma relação com esta forma 
geométrica. Analiticamente a circunferência pode ser associada a uma equação a partir de sua 
definição: 
 Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão situados a uma 
mesma distância r , chamada raio, de um ponto C estabelecido, chamado centro da 
circunferência. 
 
Equação Geral da Circunferência 
 Podemos dizer também que um ponto ),( yxP pode mover-se sobre a circunferência e assumir 
coordenadas cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do centro da circunferência. 
Está distância r , chamada de raio, pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois pontos 
do plano, conforme visto na seção 1, ou com o teorema de Pitágoras. Vejamos a figura 3.8 que mostra 
esta relação: 
Na figura 3.8 podemos observar que: 
 
222 )()( rbyax =−+−
 
Esta expressão é denominada equação reduzida 
da circunferência de centro ),( baC e raio r, 
muito útil, pois expressa as coordenadas do centro 
e o valor do raio. Esta equação, se expandida, 
permite representar o que chamamos de equação 
geral da circunferência: 
 
022 22222 =−++−−+ rbabyaxyx
 
 
Figura 3.8: Circunferência de raio r 
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Na equação geral da circunferência devemos observar alguns detalhes: 
• Substituindo os termos independentes da equação por 222 rbac −+= pode-se escrever 
02222 =+−−+ cbyaxyx 
• O raio então é cbar −+= 22 , sendo 0>r ; 
• A equação geral é do 2° grau em x e em y; 
• O coeficientes de 2x e 2y são iguais e diferentes de zero; 
• Não existem termos xy , estes tem coeficiente zero 
• Pode ser facilmente transformada na equação reduzida através de fatoração simples. 
 
Exemplo 1: 
Escrever a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto )2,1(A do plano cartesiano. 
 
Usando a equação reduzida da circunferência 
222 )()( rbyax =−+− , podemos facilmente escrever: 
222 3)2()1( =−+− yx 
Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a 
equação reduzida e obtemos: 
044222 =−−−+ yxyx 
Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto 
de pares ordenados que a satisfazem. 
 
Figura 3.9: Circunferência 044222 =−−−+ yxyx de centro )2,1(A e raio 3. 
 
Exemplo 2: 
Encontrar o raio e o centro da circunferência que tem equação 0124622 =−−++ yxyx . 
Uma das maneiras de obter o raio e o centro de uma circunferência é obtendo a sua equação reduzida 
através da fatoração em quadrados perfeitos: 
A equação 0124622 =−−++ yxyx pode ser escrita, completando os quadrados, como 
0)4912()44()96(
25)2(
2
)3(
2
22
=−−−++−+++
−
−+
443442144344214434421
yx
yyxx ou, na forma reduzida 
222
22
5)2()3(
025)2()3(
=−++
=−−++
yx
yx
 
Daí pode-se concluir que 5=r e o centro da circunferência é o ponto )2,3(−B 
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Exemplo 3: 
Verificar se as equações representam circunferências. 
a) 02412422 22 =−+−+ yxyx . 
Podemos obter resposta através da redução a forma reduzida. 
Primeiro dividir os coeficientes de modo que os coeficientes dos termos quadrados sejam iguais a 
unidade. Assim, 0126222 =−+−+ yxyx é a equação. 
Fatorando a expressão em quadrados perfeitos (completando os quadrados) obtemos: 
222
22
22
22)3(
2
)1(
2
)22()3()1(
22)3()1(
022)3()1(
0)9112(9612
22
=++−
=++−
=−++−
=−−−+++++−
−+−
yx
yx
yx
yyxx
yx
434214342143421
 
Assim concluímos que o centro da circunferência é o ponto )3,1( − e o raio é 22 . 
 
b) 0435603633 22 =++−+ yxyx . 
......................................... 
 
Exemplo 4: 
Seja C a circunferência que tem o centro no ponto )4,3( e raio de medida 5. Determine: 
a) os pontos onde a circunferência C intercepta o eixo das abscissas (eixo x). 
b) o valor de p para que o ponto (-2, p), pertença a C. 
Resolvendo: 
a) A circunferência de centro )4,3( e raio 5 tem equação 222 5)4()3( =−+− yx . 
Vamos representar um ponto qualquer do eixo das abscissas pelo par ordenado (m,0). 
Para verificar a intersecção com o eixo das abscissas, substituímos o ponto na equação de C: 
25)40()3( 22 =−+−m 
Obtemos: 
06
251696
2
2
=−
=++−
mm
mm
 
Resolvendo a equação de 2° grau encontramos 0=m e 6=m 
Logo, os pontos onde a circunferência C intercepta o eixo das abscissas são )0,0( e (6,0). 
 
b) o valor de p para que o ponto (-2, p), pertença a C. 
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Substituindo o ponto (-2, p) na equação de C: 222 5)4()3( =−+− yx , temos: 
0168
2516825
25)4()32(
2
2
22
=+−
=+−+
=−+−−
pp
pp
p
 
Resolvendo a equação de 2° grau encontramos o valor único 4=p . 
 
Exemplo 5: 
Uma fábrica de celulose produz dois tipos de papel, classe A e classe B. As quantidades produzidas, 
respectivamente x e y toneladas satisfazem a equação 0564422 =−+++ yxyx . Que quantidades 
devem ser produzidas do produto se por razões comerciais o papel B deve ter o dobro da produção do 
papel A? 
 
xyyB
xA
2=⇒=
=
 
Substituindo na equação: 0564422 =−+++ yxyx 
056125
056844
056)2(44)2(
2
22
22
=−+
=−+++
=−+++
xx
xxxx
xxxx
 
Resolvendo a equação encontramos: 35,2≅x e 75,4−≅x . Como o valor negativo não satisfaz, e 
70,435,2.22 ≅⇒≅⇒= yyxy . 
Portanto a produção do papel A e B deve ser de aproximadamente 2,35 e 4,70 toneladas. 
 
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência 
 Podemos relacionar a posição de um ponto com um circunferência a medida que for possível 
comparar sua distância do centro desta com a medida do raio. 
 
 Em relação a M, um ponto ),( pp yxP pode então assumir as seguintes posições: 
a) Se P pertence a M (figura 3.10.a): 
 
22222222 22)()( rbabyaxyxrbyaxrd PC =++−−+⇔=−+−⇔= , ou ainda, 
022 22222 =−++−−+ rbabyaxyx 
b) Se P é interno a M (figura 3.10.b): 
 
22222222 22)()( rbabyaxyxrbyaxrd PC <++−−+⇔<−+−⇔< , ou ainda, 
022 22222 <−++−−+ rbabyaxyx 
c) Se P é externo a M (figura 3.10.c): 
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85 
 
22222222 22)()( rbabyaxyxrbyaxrd PC >++−−+⇔>−+−⇔> , ou ainda, 
022 22222 >−++−−+ rbabyaxyx 
 
Figura 3.10: Posições relativas de um ponto a uma circunferência 
 
Exemplo 1: 
Esboce a circunferência 2522 =+ yx num plano cartesiano e verifique a posição, em relação a ela, 
dos pontos: )3,4(A , )3,8(B , )15,10(−C , )4,3( −−D , )5,10( −E . 
 
Podemos esboçar o gráfico manualmente, 
reconhecendo o centro e o raio da mesma: no 
caso, )0,0(C e 5=r e em seguida marcar os 
pontos pelas suas cooordenadas. Marcando a 
circunferência e os pontos com o software 
GeoGebra, temos a figura 3.11. 
 
Concluindo, os pontos A, C e D pertencem a 
circunferência, B é interno e E é um ponto externo 
a circunferência. 
 
Figura 3.11: Circunferência 2522 =+ yx e os pontos A, B, C, D, E. 
 
Exemplo 2: 
Qual é a posição do ponto )2,3( −−P em relação a circunferência 16)2( 22 =−+ yx ? 
Para concluir sobre a posição do ponto em relação a circunferência podemos substituir o ponto na 
equação e compara o resultados com o raio: 
1625169)22()3( 22 >=+=−−+− 
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Concluímos que o ponto )2,3( −−P é externo a circunferência dada. 
 
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência 
 Uma reta pode interceptar uma circunferência marcando sobre ela dois pontos, pode tocar a 
circunferência e ter apenas um ponto em comum, como também pode não ter nenhum ponto em 
comum com a mesma. 
Estas retas são denominadas respectivamente de secantes, tangentes e externas à circunferência. 
Assim , uma reta s e uma circunferência M, coplanares, podem ser relacionadas como na figura 3.12. 
 
Figura 3.12: Relações entre reta e circunferência. 
 
Se a reta s e a circunferência M: 
a) tem dois pontos comuns, s é secante a M (figura 3.12.a); 
 },{ QPMs =I 
b) tem um único ponto em comum, s é tangente M (figura 3.12.b); 
 }{PMs =I 
c) não tem ponto comum, s é externa a M (figura 3.12.c) 
 φ=Ms I 
 
 
Observação: é importante lembrar que a reta tangente a 
circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência 
(figura 3.13). 
 
 
 
Figura 3.13: A reta tangente é perpendicular ao raio 
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 Analiticamente podemos analisar a posição de uma reta em relação a uma circunferência 
determinando a distância da reta até a circunferência. Se a circunferência M tem centro C e raio r e a 
reta s está situada a uma distância sCd do centro, temos que: 
• Se rdCs < , s é secante a M; 
• Se rdCs = , s é tangente a M; 
• Se rdCs > , s é externa a M. 
 
Podemos também descobrir a posição de s em relação a M resolvendo o sistema de equações formado 
pela equação da reta e a equação da circunferência: 



=−+−
=++
222 )()(
0
rbyax
cbyax
 
Se o sistema tem duas soluções, a reta é secante a circunferência; se tem uma única solução a reta é 
tangente e, se não tem solução a reta é externa a circunferência. 
 
Exemplo1: 
Discutir a posição relativa entre as retas r, s e t e a circunferência M 25)2()1( 22 =−+− yx , 
sendo 03534: =−+ yxr , 0: =− yxs e 05: =++ yxt . 
 
Resolvendo: 
a) 03534: =−+ yxr 
Precisamos resolver o sistema formado por: 



=−+−
=−+
25)2()1(
03534
22 yx
yx
 
Isolando y na equação da reta, temos: xy
3
4
3
35
−= e substituindo na equação da circunferência 
25)2()1( 22 =−+− yx , encontramos: 
254
3
4
3
354
3
4
3
3512
254412
2
2
22
=+





−−





−++−
=+−++−
xxxx
yyxx
 
Desenvolvendo encontramos: 
0
9
625
9
250
9
25 2
=+− xx 
Para facilitar a resolução podemos dividir toda a equação por 
9
25
, e obter: 
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88 
88 
025102 =+− xx 
Resolvendo a equação encontramos uma única solução: 5=x 
Substituindo este valor na equação da reta, obtemos o valor de y: 
503535403534 =⇒=−+⋅⇒=−+ yyyx 
Concluímos que a reta r é tangente a M no ponto )5,5( . 
 
b) 0: =− yxs 
Precisamos resolver o sistema: 



=−+−
=−
25)2()1(
0
22 yx
yx
 
Isolando y na primeira equação: 
xy = 
Substituindo na segunda, temos: 
0103
)2(:02062
254412
25)2()1(
25)2()1(
2
2
22
22
22
=−−
=−−
=+−++−
=−+−
=−+−
xx
xx
xxxx
xx
yx
 
Resolvendo a equação encontramos 2−=x e 5=x . 
Como uma das equações é xy = e substituindo chegamos aos pontos )2,2( −− e )5,5( e concluímos 
que a reta é secante a circunferência M nestes pontos. 
 
c) 05: =++ yxt 
Resolvendo o sistema, 



=−+−
=++
25)2()1(
05
22 yx
yx
, chegamos a conclusão de que o mesmo não tem 
solução, assim a reta t é externa a circunferência M, não tem nenhum ponto em comum. 
 
Exemplo 3: 
Que equações tem as retas que são paralelas a reta 05043: =+− yxr e que tangenciam a 
circunferência 36)1()2(: 22 =−+− yxM . 
Vamos resolver: se uma reta s é paralela a reta r dada ela tem os mesmos coeficientes de x e y, 
variando apenas o termo independente c, ou seja, 043: =+− cyxs , é paralela a r. Sabemos também 
que M tem centro )1,2(C e raio .6=r 
Se a reta s tangencia M então rdCs = , e podemos escrever: 
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89 
89 
3026
25
2
6
43
1423
22
22
00
=+⇒=
+
⇒=
+
+⋅−⋅
=
+
++
=
c
cc
r
ba
cbyax
dCs
 
Resolvendo a equação temos que 28=c ou 32−=c , o que leva a conclusão de que existem duas retas 
tangentes a circunferência M. 
Uma das retas é 02843 =+− yx e a outra é 03243 =−− yx . 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
 Uma circunferência também pode ser relacionada com outra, do mesmo plano, de acordo com 
a posição em que se encontra. Dependendo da posição assumem a denominação de secantes, tangentes 
ou disjuntas. 
 Considerando as circunferências coplanares 1M , de centro ),( 111 baC e raio 1r , e 2M , de centro 
),( 222 baC e raio 2r , podemos dizer que: 
 
a) 1M e 2M são secantes se tem dois pontos em comum, conforme figura 3.14. 
Figura 3.14: Circunferências secantes 
 
b) 1M e 2M são tangentes se tem um único ponto em comum, conforme figura 3.15. 
Figura 3.14: Circunferências tangentes 
 
c) 1M e 2M são disjuntas se não tem nenhum ponto em comum, conforme figura 3.16. 
Figura 3.14: Circunferências disjuntas 
 
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90 
90 
Analiticamente podemos analisar o sistema formado pelas equações de 1M e 2M : 



=−+−
=−+−
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)()(
)()(
rbyax
rbyax
 
• Se o sistema tem duas soluções, 1M e 2M são secantes; 
• Se o sistema tem uma única solução, 1M e 2M são tangentes; 
• Se o sistema não tem solução, 1M e 2M são disjuntas; 
 
Exemplo 1: 
Analise as posições da circunferência 2M , 3M e 4M em relação a 1M , sendo: 
0142: 221 =+−−+ yxyxM 
01148222 =++−+= yxyxM 
0448223 =++−+= yxyxM 
016442224 =−−−+= yxyxM 
 
Vamos resolver através da resolução do respectivo sistema de equações: 
a) 1M e 2M 



=++−+
=+−−+
(2) 01148
(1) 0142
22
22
yxyx
yxyx
 
Fazendo (1) – (2) encontramos: 
(3) 
4
5301086 −=⇒=−− xyyx 
Substituindo (3) em (1), vem que: 
012111025
01 
4
5342 
4
53
2
2
2
=+−
=+




 −
⋅−−




 −
+
xx
x
x
x
x
 
Resolvendo a equação encontramos uma única solução, 
5
11
=x , que substituindo em (3) permite 
encontrar 
5
2
=y . Concluímos que 1M e 2M tem um único ponto em comum, 





5
2
,
5
11
, e são 
tangentes. 
 
b) 1M e 3M 
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91 
91 



=++−+
=+−−+
(2) 0448
(1) 0142
22
22
yxyx
yxyx
 
Fazendo (1) – (2) encontramos: 
(3) 
8
360386 −=⇒=−− xyyx 
Substituindo (3) em (1), vem que: 
0169356100
01 
8
3642 
8
36
2
2
2
=+−
=+




 −
⋅−−




 −
+
xx
x
x
x
x
 
Resolvendo a equaçãoe substituindo em (3) encontramos duas soluções aproximadas )048,0 ;564,0( e 
)871,1 ;99,2( , podemos concluir que 1M e 2M são secantes. 
 
c) 1M e 4M 



=−−−+
=+−−+
(2) 016442
(1) 0142
22
22
yxyx
yxyx
 
Fazendo (1) – (2) encontramos: 
0165016500 =⇒=−− yx 
A igualdade não é verdadeira, portanto, não temos solução para o sistema de equações e 1M e 2M não 
tem ponto em comum, são disjuntas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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92 
92 
3 – As Cônicas 
 
 Quando falamos em cônicas estamos nos referindo as curvas que podem ser obtidas quando um 
plano intercepta uma superfície cônica dupla. Desta intersecção resultam formas conhecidas como a 
circunferência, a elipse, a hipérbole e a parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.15: Circunferência Figura 3.16: Elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.17: Parábola Figura 3.18: Hipérbole 
 
Elipse 
 A elipse é uma curva fechada determinada pela intersecção de um plano com uma superfície 
cônica, como na figura 3.16. 
Os pontos de uma elipse possuem uma característica comum que pode ser entendida a partir da figura 
3.19. 
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93 
93 
 
Figura 3.19: Pontos da elipse. 
 
Dados dois pontos 1F e 2F , denominados focos, pertencentes a um plano α , e c2 a distância entre 
eles. Elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a 1F e 2F é a constante a2 , 
sendo ca 22 > , ou ainda, 0>> ca . 
 
{ }aPFPFPElipse 2/ 21 =+∈= α 
Na figura 3.19 também temos: 
..............................
2
2
2
2
21
2111
21
2111
aRFRF
aFAFA
aQFQF
aFBFB
=+
=+
=+
=+
 
Observemos também que o segmento aAA 221 = 
 
Elementos principais da elipse 
 
Na figura 3.20 destacamos os principais elementos da elipse e a sua denominação. 
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94 
94 
 
Figura 3.20: Elementos da elipse 
 
Temos: 
1F , 2F : focos; 
cd FF 221 = : distância focal; 
O : centro; 
aAA 221 = : eixo maior; 
bBB 221 = : eixo menor; 
222 cba += : relação fundamental 
 
Excentricidade da elipse 
 
A excentricidade (e) de uma elipse corresponde ao quociente entre a distância focal (2c) e a medida do 
eixo maior (2a) e permite perceber se a elipse é mais ou menos achatada. 
a
c
a
c
e ==
2
2
 , onde 10 << e . Se a excentricidade se aproxima de zero, a elipse se aproxima da 
circunferência, quando se aproxima de 1, o eixo menor da elipse se aproxima de zero. 
Equação da elipse 
 
 Neste estudo vamos tratar da equação da elipse cujos eixos estão contidos nos eixos 
coordenados e o centro na origem. 
 Temos duas possibilidades conforme a figura 3.21: 
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95 
95 
 
Figura 3.21: Disposição da elipse no plano 
 
A equação da elipse com os eixos sobre os eixos coordenados, centro na origem e focos 1F e 2F no 
eixo Ox , figura 3.21(a), é dada a partir da relação: 
{ }aPFPFPElipse 2/ 21 =+∈= α 
aPFPF 221 =+ 
Calculando as distâncias: 
)()(
22
)(])[(
)())((
)(
)(
)(444
2)(442
)()(44)(
)(2)(
2)0()()0()(
22222222
22242222222
22222
22222
222
222
222
222222222
2222222
2222
2222
caayacax
xccxaayacaxcaxa
cxaycxa
cxaycxa
cxaycxa
ycxaacx
ycxaacx
ycxcxycxaaycxcx
ycxycxaaycx
ycxaycx
aycxycx
−=+−
+−=++−
=−=+−⋅
−=+−
−=+−
+−−=−
+−−=−
++−++−−=+++
+−++−−=++
+−−=++
=−+−+−++
 
Da relação fundamental 222 cba += podemos escrever 222 bca =− e substituindo: 
222222 bayabx =+ 
Dividindo por 22ba , chegamos a equação: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
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96 
96 
 Pode-se mostrar também que a equação da elipse com os eixos sobre os eixos coordenados, 
centro na origem e focos 1F e 2F no eixo Oy , figura 3.21(b), é: 
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
 
 
Exemplo 1: 
Uma elipse, com o eixo maior sobre o eixo x medindo 10 cm e distância focal 8 cm, pode ser 
representada como na figura 3.22. 
Se o maior eixo mede 10 cm e a distância focal mede 8 cm: 



=⇒=
=⇒=
482
5102
cc
aa
 
Como 222 cba += , vem: 
9
45
2
222
=
+=
b
b
 
Se a posição é a indicada na figura, então sua 
equação é: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
, ou seja, 1
925
22
=+
yx
 
 
 Figura 3.22: Elipse 
Exemplo 2: 
A elipse com centro na origem, focos contidos no eixo y e semi-eixos de comprimentos 2=a e 3=b , 
tem equação 12
2
2
2
=+
a
y
b
x
, ou seja, 1
49
22
=+
yx
. 
Exemplo 3: 
Se uma elipse tem focos )0,12(1F e )0,12(2 −F , e o eixo menor medindo 10, determine: 
a) o seu centro C; 
b) sua equação; 
c) os pontos extremos dos eixos maior e menor. 
Resolução: 
a) O centro C da elipse é o ponto médio do segmento )0,0(21 CFF ⇒ . 
b) Como os focos estão situados no eixo x, a elipse tem equação do tipo 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
. 
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97 
97 
Pelas coordenadas dos focos podemos concluir que 1224224
21
=⇒=⇒= ccd FF . 
Temos também a medida do eixo menor, onde 5102 =⇒= bb . 
Utilizando a relação pitagórica 222 cba += , temos: 
 13169125 2222 =⇒=⇒+= aaa 
Assim, a equação da elipse é: 1
25169
22
=+
yx
 
d) Como 13=a , os extremos do eixo maior são: )0,13(− e )0,13( e os extremos do eixo menor, 
são obtidos a partir de 5=b , ou seja, são pontos do eixo y de coordenadas )5,0( − e )5,0( . 
 
Exemplo 4: 
Determine a distância focal e a excentricidade da elipse 640064100 22 =+ yx . 
Iniciamos determinando a equação reduzida da elipse, para isso dividimos a equação por 6400: 
6400:)640064100( 22 =+ yx 
Daí obtemos: 1
10064
22
=+
yx
 
Como o maior denominador é o do termo 2y podemos concluir que os focos da elipse estão situados 
no eixo y, ou seja, a equação é do tipo: 12
2
2
2
=+
a
y
b
x
. 
Assim,



=⇒=
=⇒=
10100
864
2
2
aa
bb
 
Utilizando a relação 222 cba += encontramos o c. 
6810 222 =⇒+= cc 
Concluindo: 
A distância focal é dada por 12622 =⋅=c 
A excentricidade é dada por 6,0
10
6
===
a
c
e 
 
Hipérbole 
 A hipérbole é uma curva aberta que pode ser obtida a partir de uma secção de uma superfície 
cônica dupla por um plano paralelo ao eixo central, como na figura 3.18. 
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98 
98 
Dados dois pontos 1F e 2F , denominados focos, pertencentes a um plano α , e c2 a distância entre 
eles, chamamos de hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja diferença (valor absoluto) das 
distâncias a 1F e 2F é a constante a2 , sendo ca 220 << , ou ainda, ca <<0 . Vejamos a figura3.23. 
 
Figura 3.23: Hipérbole 
{ }aPFPFPHipérbole 2/ 21 =−∈= α 
Na figura 3.23, também temos: 
..............................
2
2
2111
21
aFAFA
aQFQF
=−
=−
 
Observemos também que o segmento aAA 221 = e 
cFF 221 = 
 
 
 
Elementos principais da hipérbole 
Na figura 3.24 destacamos os principais elementos da hipérbole e a sua denominação. 
 
Figura 3.24: Elementos da hipérbole 
Temos: 
1F , 2F : focos; 
cd FF 221 = : distância focal; 
O : centro; 
aAA 221 = : eixo real; 
bBB 221 = : eixo imaginário; 
222 bac += : relação fundamental. 
 
a
c
e = : excentricidade, 1>e . 
 
Observação: Quando ba = a hipérbole é eqüilátera. 
Equação da hipérbole 
 Tal como na elipse, vamos tratar apenas da equação da hipérbole cujos eixos estão contidos nos 
eixos coordenados e o centro na origem. 
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99 
99 
Temos que considerar a possibilidade de que o eixo real pode estar situado tanto no eixo x quanto 
no eixo y, como na figura 3.25. 
 
 Figura 3.25: Disposição da hipérbole no plano 
 
A equação da hipérbole com os eixos sobre os eixos coordenados, centro na origem e focos )0,(1 cF − e 
)0,(2 cF no eixo Ox , figura 3.25(a), pode ser obtida a partir da condição dos pontos que é: 
{ }aPFPFPHipérbole 2/ 21 =−∈= α 
aPFPF 221 =− 
Calculando as distâncias: 
)()(
22
])[()(
)(
)(444
4)(422
4)(4)()(
2)()(
2)0()()0()(
22222222
22222224222
22222
222
222
222222222
2222222
2222
2222
acayaacx
yacaxcaxaacxaxc
ycxaacx
ycxaacx
ycxaacx
aycxaycxcxycxcx
aycxaycxycx
aycxycx
aycxycx
−=−−
++−=+−
+−⋅=−
+−±=−
+−±=−
++−±++−=+++
++−±+−=++
±+−=++
±=−+−−−++
 
 
 
Da relação fundamental 222 bac += podemos escrever 222 bac =− e substituindo: 
222222 bayabx =− 
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100
100 
Dividindo por 22ba , chegamos a equação: 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
 
Pode-se mostrar também que a equação da hipérbole com os eixos sobre os eixos coordenados, centro 
na origem e focos 1F e 2F no eixo Oy , figura 3.25(b), é: 
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 
Exemplo 1: 
A hipérbole com eixo real de extremidades )0,4(1 −A e )0,4(2A e eixo imaginário de extremidades 
)0,2(1 −B e )0,2(2B tem equação do tipo 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
, pois as extremidades do eixo real está sobre o 
eixo das abscissas. Sua equação é 1
416
22
=−
yx
. 
Exemplo 2: 
Obtenha a distância focal da hipérbole cuja equação é 1
3664
22
=−
yx
. 
Pela equação sabemos que os focos estão dispostos sobre o eixo x e que 



=⇒=
=⇒=
636
864
2
2
bb
aa
 
Usando a relação 222 bac += , temos que 1068 222 =⇒+= cc . 
A distância focal é 2c, portanto 201022 =⋅=c . 
Exemplo 3: 
Seja a hipérbole que tem focos )13,0(1 −F e )13,0(2F , e o eixo imaginário medindo 10, determine: 
a) o seu centro C; 
b) sua equação; 
c) os pontos extremos dos eixos real e imaginário. 
Resolução: 
a) A hipérbole tem equação do tipo 12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 pois os focos estão contidos no eixo y. Assim o 
centro corresponde ao ponto médio dos focos: )0,0(C . 
 
b) A distância focal 13262 =⇒= cc 
O eixo imaginário mede 10, logo 5102 =⇒= bb . 
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101
101 
Usando a relação 222 bac += , encontramos a: 
12513 222 =⇒+= aa 
Assim, a equação da hipérbole é 1
25144
1
512
22
2
2
2
2
=−⇒=−
xyxy
. 
 
c) Os extremos do eixo real são )12,0(1 −A e )12,0(2A ; os extremos do eixo imaginário são )0,5(1B e 
)0,5(2 −B . 
 
Parábola 
 Quando estudamos a função quadrática, ainda no ensino fundamental ou médio, vimos que seu 
gráfico é uma parábola. Geometricamente também pode ser obtida pela secção entre um plano 
inclinado e um cone, como na figura 3.17. 
Analiticamente partimos da proposição: Dados uma reta d e um ponto F fora da reta d, situados num 
plano α . O conjunto de pontos do plano eqüidistantes de d e F recebe o nome de parábola, conforme 
ilustrado na figura 3.26. 
 
 
 
 
 Na figura 3.26, temos: 
 
Rd
Qd
Pd
dRF
dQF
dPF
VBVF
=
=
=
=
 
 
Figura 3.26: Parábola 
 
Elementos principais da parábola 
 Observando a figura 3.26 podemos destacar alguns dos elementos da parábola: 
F : foco (ponto fixo); 
d : reta diretriz (reta fixa); 
0>= pd Fd : parâmetro )( FdFB dd = ; 
VF : eixo de simetria; 
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102
102 
V : vértice 
2
pVF = 
 
Equação da parábola com vértice na origem 
 Vamos considerar inicialmente a parábola com vértice na origem do sistema de coordenadas 
cartesianas, eixo de simetria no eixo das abscissas ou das ordenadas. 
Observando a figura 3.27, fica evidente que o foco é )0,
2
( pF . 
 
Figura 3.27: Disposição da parábola no plano 
 
Pode-se mostrar que no primeiro caso, figura 3.27(a) com o eixo de simetria no eixo dos x, e vértice na 
origem: 
A diretriz d tem equação: 
2
pd −= 
O ponto ),( yxP da parábola é tal que 'PPPF = 
Calculando as distâncias: 
222
2222
)
2
()
2
(
)()
2
()0()
2
(
p
xypx
yypxypx
+=+−
−++=−+−
 
Que resulta na equação: 
pxy 22 = 
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103
103 
Assim também, quando o vértice está situado na origem do sistema de coordenadas e o eixo de 
simetria da parábola está sobre o eixo y, figura 3.27(b), pode-se mostrar que a equação é dada por: 
pyx 22 = 
 
Observação: Acrescentar o sinal negativo no segundo termo da equação muda a direção da 
concavidade da parábola. 
 
Equação da parábola com vértice fora da origem 
 Quando uma parábola tem o vértice fora da origem do sistema cartesiano xOy , num ponto 
),( 00 yxV e eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, concavidade voltada para a direita, utilizamos um 
sistema auxiliar ''Vyx , como na figura 3.28. 
Neste sistema, sua equação corresponde a '2' 2)( pxy = . 
Transferindo esta equação para o sistema de eixos xOy , temos a equação: 
 )(2)( 020 xxpyy −=− 
Onde ),
2
( 00 y
p
xF + e a diretriz d é 
20
p
xx −= 
Se a parábola tem o vértice fora da origem do sistema 
cartesiano xOy , num ponto ),( 00 yxV e eixo de simetria 
paralelo ao eixo dos y, com concavidade voltada para cima, 
temos a equação: 
)(2)( 020 yypxx −=− 
Sendo que o foco é )
2
,( 00
pyxF + e a diretriz d é 
20
pyy −= 
 
Figura 3.28: Parábola com vértice fora da origem 
Observação: Em cada uma das equações da parábola, a introdução do sinal negativo no segundo termo 
faz com que a parábola tenha concavidade voltada para a esquerda e para baixo, respectivamente. 
Portanto, )(2)( 020 xxpyy −−=− é a equação da parábola que tem diretriz 20
p
xx += , paralela ao 
eixo y, e foco ),
2
( 00 y
p
xF − , a esquerda da diretriz, enquanto que, )(2)( 020 yypxx −−=− é a 
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104 
equação da parábola que tem diretriz 
20
pyy += , paralela ao eixo x, e foco )
2
,( 00
pyxF − abaixo 
da diretriz. 
 
Exemplo 1: 
Encontre a equação da parábola que tem foco )0,1(F e diretriz 1: −=xd . 
Resolvendo: 
Conhecidos o foco, sobre o eixo x, e a diretriz paralela ao eixo y, temos que o parâmetro 2== Fddp e 
o vértice da parábola está situado na origem do sistema, logo sua equação do tipo pxy 22 = . 
Portanto, xy 42 = 
 
Exemplo 2: 
Obtenha a equação da parábola que tem parâmetro 2=p , vértice )4,2(V e eixo de simetria paralelo 
ao eixo y. 
Resolvendo: 
Neste caso, não conhecemos o foco ou a diretriz da parábola. Esta pode estar voltada para cima ou 
para baixo. Temos então duas possibilidades: 
 
a) O foco F está acima de V 
A equação da parábola com vértice fora da origem, com concavidade voltada para cima, é do tipo 
)(2)( 020 yypxx −=− . 
Portanto sua equação é )4(4)2()4(22)2( 22 −=−⇒−⋅=− yxyx 
Note que as equações obtidas neste estudo são equivalentes as obtidas no estudo da função quadrática. 
Veja neste caso, se desenvolvermos a equação )4(4)2( 2 −=− yx chegaremos a expressão conhecida 
5
4
1 2 +−= xxy . 
 
b) O foco F está abaixo de V 
A equação da parábola com vértice fora da origem, com concavidade voltada para baixo, é do tipo 
)(2)( 020 yypxx −−=− (inserimos o sinal negativo no segundo termo). 
Portanto sua equação é )4(4)2( 2 −−=− yx 
 
Exemplo 3: 
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105
105 
Encontre as coordenadas do vértice V e do foco F e a equação da diretriz d da parábola: 
a) )5(6)2( 2 −=− xy 
b) )2(4)2( 2 −−=− yx 
Resolvendo: 
a) Da equação da parábola )5(6)2( 2 −=− xy comparada com o modelo )(2)( 020 xxpyy −=− , 
concluímos que: 
3=p , 50 =x , 20 =y , logo, )2,5(V 
O foco tem coordenadas ),
2
( 00 y
p
xF + , portanto )2,
2
13()2,
2
35( FF ⇒+ 
A diretriz d tem equação 
20
p
xx −= , portanto 
2
7
2
35 =⇒−= xx . 
b) Da equação da parábola )2(4)2( 2 −−=− yx comparada com o modelo )(2)( 020 yypxx −−=− , 
concluímos que: 
2=p , 20 =x , 20 =y , logo, )2,2(V 
O foco tem coordenadas )
2
,( 00
pyxF − , portanto )1,2()12,2( FF ⇒− 
A diretriz d tem equação 
20
pyy += , portanto 312 =⇒+= yy . 
 
 
Exercícios 
1) Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto )1,1(P e é perpendicular a reta r de equação 
012 =+− yx . 
 
2) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 2.400,00 ela gasta R$ 2.100,00 por mês; quando 
a renda é de R$ 4.200,00 ela consome R$ 2.800,00. Chamando de R a renda mensal de C o consumo, 
obtenha C em função de R sabendo que a evolução da renda e do consumo é linear. 
3) Determinar o ponto de nivelamento entre a receita qqR 5,0)( = e o custo total qqC
4
14)( += . 
4) Determine as distâncias entre as retas 0232: =+− yxr e 0632: =+− yxs . 
 
5) Seja M a circunferência de centro )6,8(C e raio 10. Determine: 
a) as intersecções de M com o eixo x; 
b) as intersecções de M com o eixo y; 
c) os pontos de M que tem ordenada 9; 
d) os pontos de M que tem abscissa 20. 
 
Baseado em: Geometria Analítica – UnisulVirtual - Autores: Mario Selhorst; Carlos Henrique Hobold 
Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
106
106 
6) Um terreno urbano situado entre duas ruas tem forma de um trapézio de vértices ABCD onde os 
lados AB e CD são paralelos e correspondem as ruas. Sabendo que as coordenadas dos vértices do 
terreno são )0,30(A , )10,60(B , )50,20(C e )60,50(D , encontre a distância de uma rua a outra. 
 
7) Obtenha uma equação da circunferência que tem como diâmetro o segmento de extremos )1,8(−A e 
)5,4(−B . 
 
8) Determine as equações das retas tangentes a circunferência de equação 4)1()4( 22 =−+− yx e que 
são perpendiculares a reta 2: −=yt 
 
 
 
Respostas 
Resposta 1 
Determinando o coeficiente angular da reta r: 
212012 =⇒+=⇒=+− rmxyyx 
Se as retas r e s são perpendiculares então 1−=⋅ sr mm 
Assim: 
2
112 −=⇒−=⋅ ss mm 
A equação da reta s então é: 
032
122
)1(
2
11
)(
=−+
+−=−
−−=−
−=−
yx
xy
xy
xxmyy AA
 
 
Resposta 2 
Podemos resolver a questão identificando os pares de pontos que compõe a situação: A(2400, 2100) e 
B(4200, 2800) 
 
A função consumo é representada pela equação da reta que passa pelos dois pontos. Assim temos: 
 
6
7000
18
7
1800
2100000700
021000001800700
0240028008820000672000042002100
0
128004200
121002400
1
0
1
1
1
+=
+
=
=−+−
=−−−++
=⇒=
RC
RC
CR
CRCR
CR
CR
CR
CR
BB
AA
 
Resposta 3 
 
Teremos o nivelamento quando )()( qCqR = 
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107
107 
16
162
4
145,0
=
+=
+=
q
qq
qq
 
Portanto, quando 16=q , teremos o nivelamento, ou seja: 
 816.5,0)(5,0)( ==⇒= qRqqR 
 8)(16.
4
14)( =⇒+= qCqC 
 
Resposta 4 
As retas r e s são paralelas entre si. Logo, a distância entre elas será dada pela distância de qualquer 
ponto de uma delas até a outra reta. 
Tomando arbitrariamente o ponto rA ∈− )0,1( , podemos escrever: 
13
4
13
62
32
60.3)1(2
22
=
+−
=
+
+−−
== Asrs dd 
 
Resposta 5 
A circunferência tem equação 100)6()8( 22 =−+− yx 
a) os pontos de intersecção com o eixo x tem coordenadas )0,(x , portanto: 



=
=
⇒=−
=++−
=−+−
16
0
016
100366416
100)60()8(
2
2
22
x
x
xx
xx
x
 
Logo os pontos são )0,0( e )0,16( 
 
b) os pontos de intersecção com o eixo y tem coordenadas ),0( y , portanto: 



=
=
⇒=−
=+−+
=−+−
12
0
012
100361264
100)6()80(
2
2
22
y
y
yy
yy
y
 
Logo os pontos são )0,0( e )12,0( 
 
c) os pontos de ordenada 9 tem coordenadas )9,(x 



−=
+=
⇒=−−
=++−
=−+−
378
37802716
10096416
100)69()8(
2
2
22
x
x
xx
xx
x
 
 
Logo os pontos são )9,378( − e )9,378( + 
 
d) os pontos de abscissa 20 tem coordenadas ),20( y 
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108
108 
Ryyy
yy
y
∉⇒=+−
=+−+
=−+−
08012
1003612144
100)6()820(
2
2
22
 
A equação não tem solução real, portanto nenhum ponto da circunferência tem abscissa 20. 
 
Resposta 6 
Para resolver a questão precisamos encontrar a distância de um dos pontos de uma das ruas à reta que 
passa pelos pontos da outra rua. Podemos escolher então a distância do ponto )50,20(C a reta AB . 
Determinando a reta AB 
0303
03003010
0301003006000
11060
1030
1
=++−
=++−
=−−−++⇒=
yx
yx
yxy
yx
 
Calculando a distância, temos: 
37,44
13
160
10
160
3)1(
3050.320.1
22
≅==
+−
++−
=d 
 
Resposta 7 
Para determinar a equação precisamos do centro, que corresponde ao ponto médio do segmento, e do 
raio que corresponde a distância entre o ponto médio e uma extremidade do segmento. 
Ponto médio :),( yxM
3
2
51
6
2
)8(4
=
+
=
−=
−+−
=
m
m
y
x
 
Centro: )3,6(−M 
 
Raio: 22844)31())6(8( 22 ==+⇒−+−−−=MAd 
 
Assim a equação da circunferência é: 
8)3()6()22()3()6( 22222 =−++⇒=−++ yxyx 
 
Resposta 8 
 
Para resolver, fazemos o esboço abaixo: inicialmente 
determinamos a equação da reta r paralela a t que passa 
pelo centro C da circunferência; depois determinamos as 
intersecções A e B da reta r com a circunferênciae, em 
seguida, as retas tangentes a circunferência, que passam nos 
pontos A e B e são perpendiculares a reta t. 
 
 
 
Centro da circunferência: )1,4(C 
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Prof. Mário Selhorst 
e-mail: mario.selhorst@unisul.br 
 
109
109 
Coeficiente angular da reta t: 2−=y 
0=tm 
Coeficiente angular da reta r: 0=rm 
Equação da reta r: 
1
01
)4(01
)(
=
=−
−=−
−=−
y
y
xy
xxmyy CC
 
Pontos de intersecção de da reta r com a circunferência 
 
6
2
0128
040168
4)11()4(
1
4)1()4(
2
2
22
22
=
=
=+−
=−++−
=−+−⇒



=
=−+−
x
x
xx
xx
x
y
yx
 
 
Assim os pontos são )1,2(A e )1,6(B 
 
Como a reta t é horizontal e seu coeficiente angular é zero, retas perpendiculares a t são verticais e não 
tem coeficiente angular. São do tipo cx = 
Logos a retas são 2: =xs e 6: =xw .