Exercícios de Cálculo I

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Cálculo I
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
Entrega: Terça-feira 08/05/2018
1. Utilize as propriedades dos números reais e suas operações para escrever as expressões
abaixo sem parênteses:
(a) 3(x + y)
(b) (a − b)8
(c) 4(2m)
(d) 4
3
(−6y)
(e) (3a)(b + c + 2d)
2. Simpli�que as expressões abaixo e elimine expoentes negativos.
(a) x8x2
(b)
√
16x +
√
x5
(c) (3y2)(4y5)
(d) 6y
3z
2yz2
(e) (s−2t2)2(s2t)3
(f)
( y
5x−2
)−3
(g)
(
xy−2x−3
x2y3x−4
)−3
3. Uma caixa d’água é formada por uma casca cilíndrica de concreto como na Figura 1. Uti-
lizando a fórmula para o volume de um cilindro, explique por que o volume da casca é
V = piR2h − pir2h.
Fatore essa expressão para mostrar que
V = 2pi · raio médio · altura · espessura.
Use o diagrama “desenrolado” para explicar por que essa expressão faz sentido geometri-
camente.
Figura 1: Caixa d’água formada por casca cilíndrica e diagrama da casca “desenrolada”
4. Obtenha o domínio das expressões
1
Vi
Realce
Vi
Realce
Vi
Realce
(a) 4x2 − 10x + 3
(b) 2x + 1
x − 4
(c) 2t
2 − 5
3t + 6
(d)
√
x + 3
(e) x
2 + 1
x2 − x − 2
(f) 1√
x − 1
5. Simpli�que as expressões abaixo. Expressões como estas são comuns em cálculo ao aplicar
a regra do quociente.
(a) 3(x + 2)
2(x − 3)2 − (x + 2)3(2)(x − 3)
(x − 3)4
(b) 2x(x + 6)
4 − x2(4)(x + 6)3
(x + 6)8
(c) 3(1 + x)
1/3 − x(1 + x)−2/3
(1 + x)2/3
6. Escreva as expresões abaixo em termos de seno e cosseno e simpli�que.
(a) cos t tan t (b) senθ secθ (c) cotθ
cscθ − senθ
7. Prove as identidades
(a) cos(−x) − sen(−x) = cosx + senx
(b) sen4 θ − cos4 θ = sen2 θ − cos2 θ
(c) sen2 α + cos2 α + tan2 α = sec2 α
(d) tan2u − sen2u = tan2u sen2u
8. Reescreva as expressões abaixo em função de θ efetuando as substituições trigonométricas
sugeridas, considerando 0 ≤ θ ≤ pi2 e simpli�que:
(a) x√
1 − x2
, x = senθ
(b)
√
1 + x2, x = tanθ
(c)
√
x2 − 25
x
, x = 5 secθ
9. Obtenha f + д, f − д, f д e f/д e seus domínios.
(a) f (x) = x − 3, д(x) = x2
(b) f (x) = √4 − x2, д(x) = √1 + x
(c) f (x) = 2x , д(x) = 4x+4
(d) f (x) = 2x+1 , д(x) = xx+1
10. Obtenha f ◦ д, д ◦ f , f ◦ f e д ◦ д e seus domínios.
(a) f (x) = 2x + 3, д(x) = 4x − 1
(b) f (x) = x2, д(x) = x + 1
(c) f (x) = 2x , д(x) = xx+2
(d) f (x) = xx+1 , д(x) = 2x − 1
(e) f (x) = 1√
x
, д(x) = x2 − 4x
2
Vi
Realce
Vi
Realce
Vi
Realce
Vi
Realce
Vi
Realce