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Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2018-1) 
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Espaços Vetoriais, Base e Dimensão 
1. Verifique se o conjunto de vetores dado é l.i. ou l.d.: 
a) 
)}1,1,2(),0,1,1{( 
 
b) 
)}5,5,7,4(),1,1,1,1(),1,1,2,0(),0,0,1,1{( 
 
c) 
}2,{ tt ee
 
d) 
)}1,1,0,0(),0,0,1,1(),0,0,2,0(),0,0,1,1{( 
 
e) 
}32,22,132{ 22  ttttt
 
f) 











































14
21
22
,
10
01
40
,
02
10
11
 
g) 
)}0,0(),,1,1{( 
 
h) 
}32,594,153{ 232323  ttttttttt
 
Resposta: Você pode montar uma matriz com as coordenadas/coeficientes/elementos, 
escaloná-la e verificar a existência de linhas nulas. 
a) li b) ld c) ld d) ld e) ld f) ld g) ld h) ld 
 
 
2. Verifique se o conjunto de vetores S forma uma base para o espaço vetorial V. Justifique a sua 
resposta. 
a) S=
)}1,1,2(),0,1,1{( 
 
3RV 
 
b) S=
)}1,2,1(),1,1,2(),0,1,1{( 
 
3RV 
 
c) S=






































































1
2
2
3
,
1
1
0
0
,
0
1
2
1
,
0
0
0
3
 
)(14 RMV x
 
d) S=
}32,22,132{ 22  tttt
 
)(2 RPV 
 
Resposta: 
a) S não é base para 𝑹𝟑 pois 𝐝𝐢𝐦𝑹𝟑 = 𝟑 e o conjunto apresenta dois vetores. 
b) S é base para 𝑹𝟑 pois S é formado por um conjunto de 3 vetores li e 𝐝𝐢𝐦𝑹𝟑 = 𝟑 
c) S é base para 𝑴𝟒𝒙𝟏(𝑹) pois S é formado por um conjunto de 4 vetores li e 𝒅𝒊𝒎𝑴𝟒𝒙𝟏(𝑹) =
𝟒. 𝟏 = 𝟒 
d) S é base para 𝑷𝟐(𝑹) pois S é formado por um conjunto de 3 vetores li e 𝒅𝒊𝒎𝑷𝟐(𝑹) = 𝟐 +
𝟏 = 𝟑 
 
3. Determine o valor de m para que o conjunto de vetores {(1, −1,0,1), (2, 𝑚, 2,0), (0,5,2, −2)} seja 
l.d. . 
Resposta: 𝐦 = 𝟑 
 
Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2018-1) 
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4. (Baseado em “Álgebra Linear e suas aplicações”. David C. Lay. LTC (Ex 23 p.235)) 
Os quatro primeiros polinômios de Hermite são 1, 2t, −2 + 4t2 e − 12t + 8t3. Esses polinômios 
surgem naturalmente no estudo de certas equações diferenciais importantes em física 
matemática. É fácil provar que os quatro primeiros polinômios de Hermite formam uma base para 
P3. 
a) Verifique que B = {1, 2t, −2 + 4t2, −12t + 8t3} forma uma base de P3 . 
b) Seja 𝒑(𝑡) = 7 – 12𝑡 − 8𝑡2 + 12𝑡3 um polinômio de 𝑃3. Determine o vetor (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) das 
coordenadas de 𝑝(𝑡) em relação aos vetores da base 𝐵. 
Resposta: 
a) Basta verificar que o conjunto 𝑩 é li já que 𝒅𝒊𝒎𝑃3 = 4 e B contém 4 vetores. 
b) Escreva 𝒑(𝒕) como combinação linear dos vetores de 𝑩 e obtenha 
(𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅) = (𝟑, 𝟑, −𝟐,
𝟑
𝟐
). 
 
5. Uma situação importante na qual aparece um subespaço vetorial é obtida ao resolvermos um 
sistema de equações lineares homogêneo. Considere o sistema linear homogêneo: 








04
032
02
zyx
zyx
zyx
 
O Conjunto de Soluções S desse sistema linear é um subespaço vetorial do 𝑹𝟑. 
a) Escreva o conjunto de soluções S deste sistema linear. 
b) Determine uma base e a dimensão desse conjunto de soluções S. 
Resposta: 
a) 𝐒 = {(
𝟕
𝟑
𝐳, −
𝟓
𝟑
 𝐳 , 𝐳) ∈ 𝐑𝟑} 
b) Base para S: {(
𝟕
𝟑
, −
𝟓
𝟑
 , 𝟏)} e dimS=1. 
 
6. (Boldrini – Álgebra Linear – 3 ed. 1980 – pág 131 – ex. 18 – adaptado) 
Considere o subespaço 
)]5,5,7,4(),1,1,1,1(),1,1,2,0(),0,0,1,1[( W
de 4R . 
a) O vetor 𝑢 = (2, −3,2,2) pertence a W? Justifique. 
b) Exiba uma base para W. Qual é a dimensão? 
c) 
4RW 
? Por que? 
Resposta: 
a) Sim, pois o vetor 𝒖 pode ser escrito como combinação linear dos vetores do sistema de 
geradores de W. 
b) Base para W: {(𝟏, 𝟎, 𝟎, 𝟎), (𝟎, 𝟏, 𝟎, 𝟎), (𝟎, 𝟎, 𝟏, 𝟏)} e dim W=3 
c) W não é igual a 𝑹𝟒 pois dimW ≠ dim𝑹𝟒. 
 
 
7. Considere os planos 𝜋1 , 𝜋2 e 𝜋3 do ℝ
3, dados respectivamente pelas equações: 
 
{ 
𝜋1: x − y + z = 0 
𝜋2 : − 2 x + 3y + z = 0
𝜋3 : − 𝑥 + 2 y + 2 z = 0 
 
 
Exercícios Complementares de Álgebra Linear (2018-1) 
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O conjunto dessas equações forma um sistema de equações lineares homogêneo. Sabe-
se que o Conjunto de Soluções desse sistema é um subespaço vetorial do ℝ3. Assinale a 
alternativa correta: 
a) Os planos 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3 interceptam-se numa reta. Esta reta é um subespaço gerado 
pelo vetor (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−4, −3,1). 
b) Os três planos interceptam-se num único ponto do ℝ3 e este ponto é (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(−4, −3,1). 
c) Os planos 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3 interceptam-se num único ponto do ℝ
3 e este ponto é (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(0,0,0). 
d) Os planos 𝜋1, 𝜋2 e 𝜋3 não possuem ponto comum. 
e) Os três planos são paralelos coincidentes. 
Resposta: alternativa (a) 
 
8. Considere o conjunto de vetores 𝑆 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (3, 2, 𝑎)} . Determine o único 
valor de 𝑎 de forma que 𝑆 não seja um sistema de geradores do espaço vetorial ℝ3. 
 
Resposta: a=3 
9. Em cada item, verifique se o conjunto de vetores 𝐵 é linearmente dependente (l. d.) ou linearmente 
independente (l. i.). Diga, também, se 𝐵 é uma base para o espaço vetorial 𝑉. Não deixe de apresentar 
justificativa para as respostas. 
a) 

















 

23
51
,
74
12
B
 e 𝑉 = 𝕄2𝑥2(ℝ) 
b) 𝐵 = {(2, – 1, 1), (4, 1, 0), (0, – 2, 3)} e 𝑉 = ℝ3 
Resposta: 
a) B é l. i. , mas não é base de V uma vez que a dimensão de V é 4 e B contém apenas 
2 vetores de V. 
b) B é l. i. e é base de V uma vez que a dimensão de V é 3 e B contém 3 vetores (de V).